抽象函數(shù)賦值技巧 24個(gè)函數(shù)模型總結(jié)

抽象函數(shù)賦值技巧&24個(gè)函數(shù)模型總結(jié)F[f(x?y),f(x),fy]=0型抽象函數(shù)模型，方便同學(xué)們快速解答簡(jiǎn)單的抽象函數(shù)【【2023年新高考全國(guó)I卷T11】已知函數(shù)fx的定義域?yàn)镽，fxy=y2fx+x2fy，則().B.f(1)=0C.f(x)是偶函數(shù)∵fxy=y2fx+x2fy:f0=0f0+0f0=0:f1=1f1+1f1:f(1)=0:f1=f—1+f—1=2f—1:f(—1)=0:f—x=fx+x2f—1=fx又函數(shù)fx的定義域?yàn)镽，所以fx為偶函數(shù)⑤不妨令fx=0，顯然符合題設(shè)條件，此時(shí)fx無(wú)極值對(duì)fxy=y2fx+x2fy兩邊同時(shí)除以x2y2得到即當(dāng)x>0時(shí)，fx=x2lnx故f(x)在0,e?上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增因?yàn)閒x為偶函數(shù)，所以fx)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減圖1【【2022年新高考全國(guó)II卷T8】已知函數(shù)fx的定義域?yàn)镽，且f(x+y)+fx?y=fxfy，f1=1，則Σ∵f(x+y)+f(x?y)=fxfy)∴2f1=f1f0∴f(0)=2∴fy+f?y=2fy∴fy=f?y所以函數(shù)fx為偶函數(shù):f(x+1)+f(x—1)=fxf1)=fx:f(x+2)+fx=f(x+1):f(x+2)=f(x—4)，:fx=f(x+6)所以函數(shù)fx的一個(gè)周期為6f4=f—2=f2=—1f5=f—1=f1=1f6=f0=2f1+f2+…+f6=0由常見(jiàn)抽象函數(shù)模型可得fx=acoswx和fx=coshwx”f(1)=1所以fx只能是fx=acoswxf(6)=2域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x,y均有f則下列結(jié)論正確的是A.f(1)=2D.f(x)是奇函數(shù)①令y=1，則fxf1)=2fx，即fxf1?2)=0因?yàn)閒x非常數(shù)函數(shù)，所以fx≠0，則f1=2③令x=y=?1，則f?1f?1=f1+f1=4所以f?1=±2④令y=?1，則fxf?1)=2f?x若f?1=2，則fx=f?x，所以fx是偶函數(shù)若f?1=?2，則?fx=f?x，所以fx是奇函數(shù)12【九省聯(lián)考T11】已知函數(shù)fx的定義域?yàn)镽，且ffxfy)=4xy，則12≠0，若f(x+y)+A.f(?=0B.f()=?212C.函數(shù)f(x1212D.函數(shù)fx+12即f1+f0=0，又f()≠0，則f0=?1所以f()?f?=0，又f)≠0，則f?=0121212=f(x+12綜上所述，選ABDfx1+x22fx1+fx22圖2（（24）對(duì)于雙曲正切函數(shù)f(x)=tanhx，與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為得到f0f2x?1)=0因?yàn)閒x單調(diào)遞增，所以fx不恒等于±1，故f0=0因?yàn)閒x在[0,+∞)上單調(diào)遞增，故fx≥f0=0.若存在x0，fx0=1，則fx+x0=1，則f恒等于1，與fx單調(diào)若存在x1,fx1>1，因?yàn)閒x連續(xù)，fx1>1，f0=0<1，故存在x2，當(dāng)且僅當(dāng)fx1=fx2時(shí)取等，因?yàn)閤1≠x2，fx單調(diào)遞增，故不取等.三、24個(gè)F[f(x?y,fx,fy)]=0型抽象函數(shù)模型注：標(biāo)題中的方程F[f(x?y,fx,fy)]=0里的f(x?y)可以是f(x±y)、f(x×y)或是f(x÷y).性等。其二在于這個(gè)知識(shí)點(diǎn)本身，無(wú)論抽象原型，只要你用心總結(jié)到位，這種題型是沒(méi)）！函數(shù)與之對(duì)應(yīng)，但也不乏一種原函數(shù)可以與多種抽象函數(shù)對(duì)是的，這種這樣想是沒(méi)有錯(cuò)的，但是，有多種原函數(shù)模型F[f(x?y,fx,fy)]=0，往往還會(huì)給出一個(gè)限制條件，比如f1=t【【2022新高考全國(guó)II卷·T8】已知函數(shù)fx的定義域?yàn)镽，且f(x+y)+f(x?y=fxfy，f1=1，則Σ），+f(x?y)=fxfy)，還給出了f1=1，這是有必要的，下面會(huì)講到這個(gè)抽象函數(shù)模型至少對(duì)應(yīng)了兩種原函數(shù)，y=acoswx和=cosf(0)=2待定）。另外，在高中知識(shí)內(nèi)，一種抽象函數(shù)往往只到題中抽象函數(shù)模型后，大膽寫(xiě)出原函數(shù)的（（1）對(duì)于正比例函數(shù)f(x)=kx(k≠0)，與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為f(x±y)=f(x)±f(y)（（2）對(duì)于一次函數(shù)f(x)=kx+b(k≠0)，與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為f(x±y)=f(x)±f(y)干b（（3）對(duì)于二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為f(x+y)=f(x)+f(y)+2axy-c（（4）對(duì)于冪函數(shù)f(x)=xn，與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為f(xy)=f(x)f(y)（（5）對(duì)于冪函數(shù)f(x)=xn，其抽象函數(shù)還可以是（（6）對(duì)于指數(shù)函數(shù)f(x)=ax，與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為f(x+y)=f(x)f(y)（（7）對(duì)于指數(shù)函數(shù)f(x)=ax，其抽象函數(shù)還可以是（（8）對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)=logax，與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為f(xy)=f(x)+f(y)（（9）對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)=logax，其抽象函數(shù)還可以是f()=f(x)-f(y)（（10）對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)=logax，其抽象函數(shù)還可以是f(xn)=nf(x)（（11）對(duì)于正弦函數(shù)f(x)=sinx，與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為f(x+y)f(x-y)=f2(x)-f2(y)sin2α?sin2β=sin(α+βsinα?β)（（12）對(duì)于余弦函數(shù)f(x)=cosx，與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為（（13）對(duì)于余弦函數(shù)f(x)=cosx，其抽象函數(shù)還可以是（（14）對(duì)于正切函數(shù)f(x)=tanx，與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為到此，常見(jiàn)的初等函數(shù)和與其對(duì)應(yīng)的抽象函三角函數(shù)部分已經(jīng)給出其對(duì)應(yīng)構(gòu)造恒等式；對(duì)于一二次函求證：二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為f(x+y)=f(x)+f(y)+2axy-cf(x+y)=a(x+y)2+b(x+y)+c（（15）對(duì)于反正弦函數(shù)f(x)=arcsinx，與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為fx+fy=fx1?y2+y1?x2)（（16）對(duì)于反正弦函數(shù)f(x)=arcsinx，對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)還可以是f(f(x)-f(y)=f(x·i1-y2-y、i1-x2)（（17）對(duì)于反余弦函數(shù)f(x)=arccosx，與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為·1-x2·1-y2f(x)+f(y)·1-x2·1-y2（（18）對(duì)于反余弦函數(shù)f(x)=arccosx，對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)還可以是（（19）對(duì)于反正切函數(shù)f(x)=arctanx，與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為（（20）對(duì)于反正切函數(shù)f(x)=arctanx，對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)還可以是雙曲函數(shù)和三角函數(shù)非常相似。三角函數(shù)具有的和角公式差公式、倍角公式、半角公式、升冪降角等等，雙雙曲函數(shù)與三角函數(shù)存在的恒等式，就導(dǎo)致上面說(shuō)的相似和三角函數(shù)的和角公式、倍角公式、半角公式、升冪降cosh(x±y)=coshxcoshy±sinhxsinhy盡管上面的恒等式有些正負(fù)號(hào)上的差別，但是兩個(gè)對(duì)稱和差化積公式、積化和差公式還是與三角函數(shù)一樣的，（（21）對(duì)于雙曲正弦函數(shù)f(x)=sinhx，與其對(duì)應(yīng)