2025屆高考數(shù)學一輪復習第9章統(tǒng)計與統(tǒng)計案例第2講用樣本估計總體創(chuàng)新教學案含解析新人教版

PAGE第2講用樣本估計總體[考綱解讀]1.了解頻率分布直方圖的意義和作用，能依據(jù)頻率分布表畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，并體會它們各自的特點．(重點)2．理解樣本數(shù)據(jù)標準差的意義和作用，會計算數(shù)據(jù)標準差；能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征，并作出合理的說明．3．會用樣本的頻率分布估計總體分布，用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征．(難點)4．會用隨機抽樣的基本方法和樣本估計總體的思想解決實際問題．[考向預料]從近三年高考狀況來看，本講是高考中的一個熱點．預料2024年將會考查用樣本估計總體，主要體現(xiàn)在利用頻率分布直方圖或莖葉圖估計總體，利用樣本數(shù)字特征估計總體．題型以客觀題呈現(xiàn)，試題難度不大，屬中、低檔題型．頻率分布直方圖與莖葉圖也可能出現(xiàn)于解答題中，與概率等學問綜合命題.1.作頻率分布直方圖的步驟2．頻率分布折線圖和總體密度曲線(1)頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的eq\o(□,\s\up1(01))中點，就得到頻率分布折線圖．(2)總體密度曲線：隨著eq\o(□,\s\up1(02))樣本容量的增加，作圖時所分的組數(shù)增加，eq\o(□,\s\up1(03))組距減小，相應的頻率折線圖就會越來越接近于一條光滑曲線，即總體密度曲線．3．莖葉圖(1)莖葉圖的概念：統(tǒng)計中還有一種被用來表示數(shù)據(jù)的圖叫做莖葉圖，莖是指中間的一列數(shù)，葉就是從莖的旁邊生長出來的數(shù)．(2)莖葉圖的優(yōu)點：一是全部的信息都可以從這個莖葉圖中得到；二是莖葉圖便于記錄和表示，能夠展示數(shù)據(jù)的分布狀況．4．樣本的數(shù)字特征(1)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)數(shù)字特征樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖優(yōu)點與缺點眾數(shù)出現(xiàn)次數(shù)eq\o(□,\s\up1(01))最多的數(shù)據(jù)取最高的小長方形底邊eq\o(□,\s\up1(02))中點的橫坐標通常用于描述變量的值出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，但明顯它對其他數(shù)據(jù)信息的忽視使得無法客觀地反映總體特征中位數(shù)將數(shù)據(jù)按大小依次排列，處在最eq\o(□,\s\up1(03))中間位置的一個數(shù)據(jù)(或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))把頻率分布直方圖劃分左右兩個面積eq\o(□,\s\up1(04))相等的分界線與x軸交點的橫坐標是樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線，它不受少數(shù)幾個極端值的影響，這在某些狀況下是優(yōu)點，但它對極端值的不敏感有時也會成為缺點平均數(shù)樣本數(shù)據(jù)的算術平均數(shù)每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之eq\o(□,\s\up1(05))和平均數(shù)和每一個數(shù)據(jù)有關，可以反映樣本數(shù)據(jù)全體的信息，但平均數(shù)受數(shù)據(jù)中極端值的影響較大，使平均數(shù)在估計總體時牢靠性降低(2)方差和標準差方差：s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(x2－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋…＋(xn－eq\o(x,\s\up6(－)))2]，標準差：s＝eq\r(\f(1,n)[x1－\o(x,\s\up6(－))2＋x2－\o(x,\s\up6(－))2＋…＋xn－\o(x,\s\up6(－))2]).(3)平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平，標準差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大?。畼藴什睢⒎讲钤酱?，數(shù)據(jù)的離散程度越大，越波動；標準差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定．1．概念辨析(1)一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可以是一個或幾個，那么中位數(shù)也具有相同的結論．()(2)從頻率分布直方圖中得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容，把數(shù)據(jù)表示成直方圖后，原有的詳細數(shù)據(jù)信息就被抹掉了．()(3)在頻率分布直方圖中，小矩形的面積越大，表示樣本數(shù)據(jù)落在該區(qū)間內(nèi)的頻率越高．()(4)莖葉圖一般左側的葉按從大到小的依次寫，右側的葉按從小到大的依次寫，相同的數(shù)據(jù)可以只記一次．()答案(1)×(2)√(3)√(4)×2．小題熱身(1)(2024·全國卷Ⅰ)為評估一種農(nóng)作物的種植效果，選了n塊地作試驗田．這n塊地的畝產(chǎn)量(單位：kg)分別為x1，x2，…，xn，下面給出的指標中可以用來評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是()A．x1，x2，…，xn的平均數(shù) B．x1，x2，…，xn的標準差C．x1，x2，…，xn的最大值 D．x1，x2，…，xn的中位數(shù)答案B解析因為可以用極差、方差或標準差來描述數(shù)據(jù)的離散程度，所以要評估畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度，應當用樣本數(shù)據(jù)的極差、方差或標準差．故選B.(2)若某校高一年級8個班參與合唱競賽的得分如莖葉圖所示，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)分別是()A．91.5和91.5 B．91.5和92C．91和91.5 D．92和92答案A解析由莖葉圖可知，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是eq\f(1,2)×(91＋92)＝91.5，平均數(shù)是eq\f(1,8)×(87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋96)＝91.5.(3)港珠澳大橋于2018年10月2日正式通車，它是中國境內(nèi)一座連接香港、珠海和澳門的橋隧工程，橋隧全長55千米．橋面為雙向六車道高速馬路，大橋通行限速100km/h，現(xiàn)對大橋某路段上1000輛汽車的行駛速度進行抽樣調(diào)查．畫出頻率分布直方圖(如圖)，依據(jù)直方圖估計在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間[85,90)的車輛數(shù)和行駛速度超過90km/h的頻率分別為()A．3000.25 B．3000.35C．600.25 D．600.35答案B解析由頻率分布直方圖，得在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間[85,90)的頻率為0.06×5＝0.3，∴在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間[85,90)的車輛數(shù)為0.3×1000＝300，行駛速度超過90km/h的頻率為(0.05＋0.02)×5＝0.35.故選B.(4)(2024·江蘇高考)已知一組數(shù)據(jù)6,7,8,8,9,10，則該組數(shù)據(jù)的方差是________．答案eq\f(5,3)解析這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為8，故方差為s2＝eq\f(1,6)×[(6－8)2＋(7－8)2＋(8－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＋(10－8)2]＝eq\f(5,3).題型一樣本數(shù)字特征的計算及應用1．(2024·全國卷Ⅱ)演講競賽共有9位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成果時，從9個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到7個有效評分.7個有效評分與9個原始評分相比，不變的數(shù)字特征是()A．中位數(shù) B．平均數(shù)C．方差 D．極差答案A解析中位數(shù)是將9個數(shù)據(jù)從小到大或從大到小排列后，處于中間位置的數(shù)據(jù)，因而去掉1個最高分和1個最低分，不變的是中位數(shù)，平均數(shù)、方差、極差均受影響．故選A.2．(2024·長沙二模)高鐵、掃碼支付、共享單車、網(wǎng)購并稱中國“新四大獨創(chuàng)”，近日對全國100個城市的共享單車和掃碼支付的運用人數(shù)進行大數(shù)據(jù)分析，其中共享單車運用的人數(shù)分別為x1，x2，x3，…，x100，它們的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，方差為s2；其中掃碼支付運用的人數(shù)分別為3x1＋2,3x2＋2,3x3＋2，…，3x100＋2，它們的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))′，方差為s′2，則eq\o(x,\s\up6(－))′，s′2分別為()A．3eq\o(x,\s\up6(－))＋2,3s2＋2 B．3eq\o(x,\s\up6(－))，3s2C．3eq\o(x,\s\up6(－))＋2,9s2 D．3eq\o(x,\s\up6(－))＋2,9s2＋2答案C解析依據(jù)題意，數(shù)據(jù)x1，x2，…x100的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，方差為s2；則eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,100)(x1＋x2＋x3＋…＋x100)，s2＝eq\f(1,100)[(x1－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(x2－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋…＋(x100－eq\o(x,\s\up6(－)))2]，若3x1＋2,3x2＋2,3x3＋2，…，3x100＋2的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))′，則eq\o(x,\s\up6(－))′＝eq\f(1,100)[(3x1＋2)＋(3x2＋2)＋…＋(3x100＋2)]＝3eq\o(x,\s\up6(－))＋2，方差s′2＝eq\f(1,100)[(3x1＋2－3eq\o(x,\s\up6(－))－2)2＋(3x2＋2－3eq\o(x,\s\up6(－))－2)2＋…＋(3x100＋2－3eq\o(x,\s\up6(－))－2)2]＝9s2.3．一組數(shù)據(jù)1,10,5,2，x,2，且2<x<5，若該數(shù)據(jù)的眾數(shù)是中位數(shù)的eq\f(2,3)倍，則該數(shù)據(jù)的方差為________．答案9解析依據(jù)題意知，該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是2，則中位數(shù)是2÷eq\f(2,3)＝3，把這組數(shù)據(jù)從小到大排列為1,2,2，x,5,10，則eq\f(2＋x,2)＝3，解得x＝4，所以這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,6)×(1＋2＋2＋4＋5＋10)＝4，方差為s2＝eq\f(1,6)×[(1－4)2＋(2－4)2×2＋(4－4)2＋(5－4)2＋(10－4)2]＝9.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差的意義及常用結論(1)平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征，是對總體的一種簡明的描述，它們所反映的狀況有著重要的實際意義，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述其集中趨勢，方差和標準差描述波動大?。?2)方差的簡化計算公式：s2＝eq\f(1,n)[(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n))－neq\o(x,\s\up6(－))2]或?qū)懗蓅2＝eq\f(1,n)(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n))－eq\o(x,\s\up6(－))2，即方差等于原數(shù)據(jù)平方的平均數(shù)減去平均數(shù)的平方．(3)平均數(shù)、方差的公式推廣①若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)是meq\o(x,\s\up6(－))＋a.見舉例說明2.②數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為s2.a．數(shù)據(jù)x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也為s2；b．數(shù)據(jù)ax1，ax2，…，axn的方差為a2s2.見舉例說明2.1．(2024·六安模擬)某樣本中共有5個個體，其中4個值分別為0,1,2,3，第5個值丟失，但該樣本的平均值為1，則樣本方差為()A．2 B.eq\f(6,5)C.eq\r(2) D.eq\f(\r(30),5)答案A解析設第5個值為x，則由題意，得eq\f(1,5)×(0＋1＋2＋3＋x)＝1，解得x＝－1，所以樣本方差s2＝eq\f(1,5)×[(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2＋(－1－1)2]＝2.2．(2024·全國卷Ⅱ)我國高鐵發(fā)展快速，技術先進．經(jīng)統(tǒng)計，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有10個車次的正點率為0.97，有20個車次的正點率為0.98，有10個車次的正點率為0.99，則經(jīng)停該站高鐵列車全部車次的平均正點率的估計值為________．答案0.98解析eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(10×0.97＋20×0.98＋10×0.99,10＋20＋10)＝0.98.則經(jīng)停該站高鐵列車全部車次的平均正點率的估計值為0.98.題型二扇形圖、折線圖1．(2024·株洲市高三摸底)某市2024年12個月的PM2.5的平均濃度指數(shù)如圖所示．由圖推斷，四個季度中PM2.5的平均濃度指數(shù)方差最小的是()A．第一季度 B．其次季度C．第三季度 D．第四季度答案B解析依據(jù)圖中數(shù)據(jù)，知第一季度的數(shù)據(jù)是72.15,43.96,93.13；其次季度的數(shù)據(jù)是66.5,55.25,58.67；第三季度的數(shù)據(jù)是59.16,38.67,51.6；第四季度的數(shù)據(jù)是82.09,104.6,168.05；視察得出其次季度的數(shù)據(jù)波動性最小，所以其次季度的PM2.5的平均濃度指數(shù)方差最?。蔬xB.2．(2024·全國卷Ⅰ)某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設，農(nóng)村的經(jīng)濟收入增加了一倍，實現(xiàn)翻番．為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟收入改變狀況，統(tǒng)計了該地區(qū)新農(nóng)村建設前后農(nóng)村的經(jīng)濟收入構成比例，得到如下餅圖：則下面結論中不正確的是()A．新農(nóng)村建設后，種植收入削減B．新農(nóng)村建設后，其他收入增加了一倍以上C．新農(nóng)村建設后，養(yǎng)殖收入增加了一倍D．新農(nóng)村建設后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟收入的一半答案A解析設新農(nóng)村建設前的收入為M，而新農(nóng)村建設后的收入為2M，則新農(nóng)村建設前種植收入為0.6M，而新農(nóng)村建設后的種植收入為0.74M，所以種植收入增加了，所以A不正確；新農(nóng)村建設前其他收入為0.04M，新農(nóng)村建設后其他收入為0.1M(1)通過扇形統(tǒng)計圖可以很清晰的表示出各部分數(shù)量同總數(shù)之間的關系．(2)折線圖可以顯示隨時間(依據(jù)常用比例放置)而改變的連續(xù)數(shù)據(jù)，因此特別適用于顯示在相等時間間隔下數(shù)據(jù)的趨勢．(2024·東北三省四市教研聯(lián)合體模擬)“科技引領，布局將來”，科技研發(fā)是企業(yè)發(fā)展的驅(qū)動力氣.2007年至2024年，某企業(yè)連續(xù)12年累計研發(fā)投入達4100億元．我們將研發(fā)投入與經(jīng)營收入的比值記為研發(fā)投入占營收比．這12年間的研發(fā)投入(單位：十億元)用如圖中的條形圖表示，研發(fā)投入占營收比用如圖中的折線圖表示．依據(jù)折線圖和條形圖，下列結論錯誤的是()A．2012年至2013年研發(fā)投入占營收比增量相比2024年至2024年增量大B．2013年至2024年研發(fā)投入數(shù)量相比2024年至2024年增量小C．該企業(yè)連續(xù)12年研發(fā)投入逐年增加D．該企業(yè)連續(xù)12年研發(fā)投入占營收比逐年增加答案D解析由題圖可知，該企業(yè)在2008年至2009年、2013年至2024年和2024年至2024年研發(fā)投入占營收比是下降的，所以D錯誤．故選D.題型三莖葉圖及其應用1．(2024·鄭州三模)某同學10次測評成果的數(shù)據(jù)如莖葉圖所示，總體的中位數(shù)為12.若要使該總體的標準差最小，則4x＋2y的值是()A.12 B．14C．16 D．18答案A解析因為總體的中位數(shù)為12，所以eq\f(10＋x＋10＋y,2)＝12，即x＋y＝4，所以總體的平均數(shù)為eq\f(1,10)×(2＋2＋3＋4＋10＋x＋10＋y＋19＋19＋20＋21)＝11.4.要使總體的標準差最小，只要(10＋x－11.4)2＋(10＋y－11.4)2最?。驗?10＋x－11.4)2＋(10＋y－11.4)2≥2×（eq\f(10＋x－11.4＋10＋y－11.4,2)）2＝0.72，當且僅當x＝y(tǒng)＝2時等號成立，所以4x＋2y＝12.故選A.2．某良種培育基地正在培育一小麥新品種A，將其與原有的一個優(yōu)良品種B進行比照試驗，兩種小麥各種植了25畝，所得畝產(chǎn)數(shù)據(jù)(單位：千克)如下：品種A：357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,412,414,415,421,423,423,427,430,430,434,443,445,445,451,454.品種B：363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395,397,397,400,401,401,403,406,407,410,412,415,416,422,430.(1)作出數(shù)據(jù)的莖葉圖；(2)通過視察莖葉圖，對品種A與B的畝產(chǎn)量及其穩(wěn)定性進行比較，寫出統(tǒng)計結論．解(1)畫出莖葉圖如圖所示：(2)通過視察莖葉圖可以看出：①品種A的畝產(chǎn)平均數(shù)(或均值)比品種B高；②品種A的畝產(chǎn)標準差(或方差)比品種B大，故品種A的畝產(chǎn)穩(wěn)定性較差．1．莖葉圖的畫法步驟第一步：將每個數(shù)據(jù)分為莖(高位)和葉(低位)兩部分；其次步：將最小莖與最大莖之間的數(shù)按大小次序排成一列，寫在左(右)側；有兩組數(shù)據(jù)時，寫在中間；第三步：將各個數(shù)據(jù)的葉依次寫在其莖的右(左)側．莖葉圖的繪制需留意：①“葉”的位置只有一個數(shù)字，而“莖”的位置的數(shù)字位數(shù)一般不須要統(tǒng)一；②重復出現(xiàn)的數(shù)據(jù)要重復記錄，不能遺漏，特殊是“葉”的位置上的數(shù)據(jù)．2．莖葉圖的應用莖葉圖通常用來記錄兩位數(shù)的數(shù)據(jù)，可以用來分析單組數(shù)據(jù)，也可以用來比較兩組數(shù)據(jù)．通過莖葉圖可以確定數(shù)據(jù)的中位數(shù)，數(shù)據(jù)大致集中在哪個莖，數(shù)據(jù)是否關于該莖對稱，數(shù)據(jù)分布是否勻稱等．1．甲、乙兩位射擊運動員的5次競賽成果(單位：環(huán))如莖葉圖所示，若兩位運動員平均成果相同，則成果較穩(wěn)定(方差較小)的那位運動員成果的方差為()A．2 B．4C．6 D．8答案A解析依據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)知，甲、乙二人的平均成果相同，即eq\f(1,5)×(87＋89＋90＋91＋93)＝eq\f(1,5)×(88＋89＋90＋91＋90＋x)，解得x＝2，所以平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))＝90；依據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)知甲的成果波動性小，較為穩(wěn)定(方差較小)，所以甲成果的方差為s2＝eq\f(1,5)×[(88－90)2＋(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(92－90)2]＝2.故選A.2．如圖莖葉圖記錄了甲、乙兩組各6名學生在一次數(shù)學測試中的成果(單位：分)．已知甲組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為124，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，則x，y的值分別為()A．4,5 B．5,4C．4,4 D．5,5答案A解析由已知，甲組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是124，則x＝4，即甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為124.所以eq\f(1,6)×(116＋116＋125＋120＋y＋128＋134)＝124，解得y＝5.故選A.題型四頻率分布直方圖角度1求頻率或頻數(shù)1．黨的十九大報告指出：“脫貧攻堅戰(zhàn)取得確定性進展，六千多萬貧困人口穩(wěn)定脫貧，貧困發(fā)生率從百分之十點二下降到百分之四以下．”2024年各地依據(jù)實際進行創(chuàng)新，精準、高效地完成了脫貧任務．某地區(qū)對當?shù)?000戶家庭的2024年所得年收入狀況調(diào)查統(tǒng)計，年收入的頻率分布直方圖如圖所示，數(shù)據(jù)(單位：千元)的分組依次為[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]，則年收入不超過6萬的家庭大約為()A．900戶 B．600戶C．300戶 D．150戶答案A解析由頻率分布直方圖得：年收入不超過6萬的家庭所占頻率為：(0.005＋0.010)×20＝0.3，∴年收入不超過6萬的家庭大約為0.3×3000＝900.角度2求數(shù)字特征2．某市在對兩千多名出租車司機的年齡進行的調(diào)查中，從兩千多名出租車司機中隨機抽選100名司機，已知這100名司機的年齡都在20歲至50歲之間，且依據(jù)調(diào)查結果得出的年齡狀況頻率分布直方圖如圖所示(部分圖表污損)．利用這個殘缺的頻率分布直方圖，可估計該市出租車司機年齡的中位數(shù)大約是()A．31.4歲 B．32.4歲C．33.4歲 D．36.4歲答案A解析由頻率分布直方圖可知[20,25)的頻率為0.1，[25,30)的頻率為0.3，[30,35)的頻率為0.35，因為0.1＋0.3<0.5<0.1＋0.3＋0.35，所以中位數(shù)x0∈[30,35)，由0.1＋0.3＋(x0－30)×0.07＝0.5，得x0≈31.4.故選A.3．(2024·全國卷Ⅲ)為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進行如下試驗：將200只小鼠隨機分成A，B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液．每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同．經(jīng)過一段時間后用某種科學方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比．依據(jù)試驗數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：記C為事務：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，依據(jù)直方圖得到P(C(1)求乙離子殘留百分比直方圖中a，b的值；(2)分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表)．解(1)由已知得0.70＝a＋0.20＋0.15，故a＝0.35，b＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.(2)甲離子殘留百分比的平均值的估計值為2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05.乙離子殘留百分比的平均值的估計值為3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.1．頻率分布直方圖的性質(zhì)(1)小長方形的面積＝組距×eq\f(頻率,組距)＝頻率．見舉例說明1.(2)各小長方形的面積之和等于1.2．頻率分布直方圖中的眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)(1)最高的小長方形底邊中點的橫坐標即是眾數(shù)；(2)平分頻率分布直方圖的面積且垂直于橫軸的直線與橫軸交點的橫坐標是中位數(shù)；(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標之和．見舉例說明3.1．(2024·湘潭三模)統(tǒng)計某校n名學生的某次數(shù)學同步練習成果(滿分150分)，依據(jù)成果分數(shù)分成如下6組：[90,100)，[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150]，并繪制頻率分布直方圖如圖所示，若已知不低于140分的人數(shù)為110，則n的值是()A．800 B．900C．1200 D．1000答案D解析由頻率分布直方圖的性質(zhì)，得10×(0.031＋0.020＋0.016×2＋m＋0.006)＝1，解得m＝0.011，∵不低于140分的頻率為0.011×10＝0.11，∴n＝eq\f(110,0.11)＝1000.2．從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標值，由測量結果得如下頻數(shù)分布表：質(zhì)量指標值分組[75,85)[85,95)[95,105)[105,115)[115,125]頻數(shù)62638228(1)作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖；(2)估計這種產(chǎn)品質(zhì)量指標值的平均數(shù)及方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)；(3)依據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，能否認為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品80%”的規(guī)定？解(1)頻率分布直方圖如圖．(2)質(zhì)量指標值的樣本平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.質(zhì)量指標值的樣本方差為s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.所以這種產(chǎn)品質(zhì)量指標值的平均數(shù)的估計值為100，方差的估計值為104.(3)質(zhì)量指標值不低于95的產(chǎn)品所占比例的估計值為0.38＋0.22＋0.08＝0.68.由于該估計值小于0.8，故不能認為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品的80%”的規(guī)定．組基礎關1．一個頻數(shù)分布表(樣本容量為30)不當心被損壞了一部分，只記得樣本中數(shù)據(jù)在[20,60)上的頻率為0.8，則估計樣本在[40,60)內(nèi)的數(shù)據(jù)個數(shù)為()A．14 B．15C．16 D．17答案B解析由頻數(shù)分布表可知，樣本中數(shù)據(jù)在[20,40)上的頻率為eq\f(4＋5,30)＝0.3，又因為樣本數(shù)據(jù)在[20,60)上的頻率為0.8，所以樣本在[40,60)內(nèi)的頻率為0.8－0.3＝0.5，數(shù)據(jù)個數(shù)為30×0.5＝15.2．甲、乙、丙、丁四人參與國際奧林匹克數(shù)學競賽選拔賽，四人的平均成果和方差如表：甲乙丙丁平均成果eq\o(x,\s\up6(－))86898985方差s22.13.52.15.6從這四人中選擇一人參與國際奧林匹克數(shù)學競賽，最佳人選是()A．甲 B．乙C．丙 D．丁答案C解析丙平均成果高，方差s2小(穩(wěn)定)，故最佳人選是丙．3．(2024·全國卷Ⅲ)《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學珍寶，并稱為中國古典小說四大名著．某中學為了解本校學生閱讀四大名著的狀況，隨機調(diào)查了100位學生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學生共有90位，閱讀過《紅樓夢》的學生共有80位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學生共有60位，則該校閱讀過《西游記》的學生人數(shù)與該校學生總數(shù)比值的估計值為()A．0.5 B．0.6C．0.7 D．0.8答案C解析解法一：設調(diào)查的100位學生中閱讀過《西游記》的學生人數(shù)為x，則x＋80－60＝90，解得x＝70，所以該校閱讀過《西游記》的學生人數(shù)與該校學生總數(shù)比值的估計值為eq\f(70,100)＝0.7.故選C.解法二：用Venn圖表示調(diào)查的100位學生中閱讀過《西游記》和《紅樓夢》的人數(shù)之間的關系如圖：易知調(diào)查的100位學生中閱讀過《西游記》的學生人數(shù)為70，所以該校閱讀過《西游記》的學生人數(shù)與該校學生總數(shù)比值的估計值為eq\f(70,100)＝0.7.故選C.4．(2024·欽州模擬)某儀器廠從新生產(chǎn)的一批零件中隨機抽取40個檢測，如圖是依據(jù)抽樣檢測后零件的質(zhì)量(單位：克)繪制的頻率分布直方圖，樣本數(shù)據(jù)分8組，分別為[80,82)，[82,84)，[84,86)，[86,88)，[88,90)，[90,92)，[92,94)，[94,96]，則樣本的中位數(shù)在()A．第三組 B．第四組C．第五組 D．第六組答案B解析由圖可得，前四組的頻率為(0.0375＋0.0625＋0.075＋0.1)×2＝0.55，則其頻數(shù)為40×0.55＝22，且第四組的頻數(shù)為40×0.1×2＝8，故中位數(shù)落在第四組，所以B正確．5．如圖所示，樣本A和B分別取自兩個不同的總體，它們的樣本平均數(shù)分別為eq\o(x,\s\up6(－))A和eq\o(x,\s\up6(－))B，樣本標準差分別為sA和sB，則()A.eq\o(x,\s\up6(－))A>eq\o(x,\s\up6(－))B，sA>sB B.eq\o(x,\s\up6(－))A<eq\o(x,\s\up6(－))B，sA>sBC.eq\o(x,\s\up6(－))A>eq\o(x,\s\up6(－))B，sA<sB D.eq\o(x,\s\up6(－))A<eq\o(x,\s\up6(－))B，sA<sB答案B解析由圖可知A組的6個數(shù)為2.5,10,5,7.5,2.5,10，B組的6個數(shù)為15,10,12.5,10,12.5,10，所以eq\o(x,\s\up6(－))A＝eq\f(2.5＋10＋5＋7.5＋2.5＋10,6)＝6.25，eq\o(x,\s\up6(－))B＝eq\f(15＋10＋12.5＋10＋12.5＋10,6)≈11.67.明顯eq\o(x,\s\up6(－))A<eq\o(x,\s\up6(－))B.又由圖形可知，B組的數(shù)據(jù)分布比A勻稱，改變幅度不大，故B組數(shù)據(jù)比較穩(wěn)定，方差較小，從而標準差較小，所以sA>sB，故選B.6．(2024·合肥一模)某調(diào)查機構對全國互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)進行調(diào)查統(tǒng)計，得到整個互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分布餅狀圖和90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分布條形圖，則下列結論中不肯定正確的是()注：90后指1990年及以后誕生，80后指1980～1989年之間誕生，80前指1979年及以前誕生．A．互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中90后占一半以上B．互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術崗位的人數(shù)超過總人數(shù)的20%C．90后從事運營崗位的人數(shù)比80前從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)的人數(shù)多D．互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中90后從事技術崗位的人數(shù)比80后從事技術崗位的人數(shù)多答案D解析對于A，由餅狀圖可知互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中90后占了56%，故A正確．對于B，由條形圖可知互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術崗位的人數(shù)占總人數(shù)的比例為39.6%，故B正確．對于C，由兩圖數(shù)據(jù)可計算出整個互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從事運營崗位的90后占56%×17%＝9.52%，大于互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中的80前總人數(shù)，故C正確．對于D，因為80后從事技術崗位的人數(shù)所占比例不清晰，所以互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術崗位的90后人數(shù)不肯定比80后的人數(shù)多，故D錯誤．故選D.7．(2024·重慶名校聯(lián)盟調(diào)研)在樣本頻率分布直方圖中共有9個小矩形，若其中1個小矩形的面積等于其他8個小矩形面積和的eq\f(2,5)，且樣本容量為210，則該組的頻數(shù)為()A．28 B．40C．56 D．60答案D解析設該小矩形的面積為x,9個小矩形的總面積為1，則其他8個小矩形的面積和為eq\f(5,2)x，所以x＋eq\f(5,2)x＝1，所以x＝eq\f(2,7)，所以該組的頻數(shù)為eq\f(2,7)×210＝60.8．(2024·貴陽模擬)某地的中小學辦學條件在政府的教化督導下，快速得到改善．教化督導一年后，分別隨機抽查了初中(用A表示)與小學(用B表示)各10所學校，得到相關指標的綜合評價得分(百分制)的莖葉圖如圖所示，則從莖葉圖可得出正確的信息為(80分及以上為優(yōu)秀)()①初中得分與小學得分的優(yōu)秀率相同②初中得分與小學得分的中位數(shù)相同③初中得分的方差比小學得分的方差大④初中得分與小學得分的平均值相同A．①② B．①③C．②④ D．③④答案B解析從莖葉圖可知抽查的初中得分的優(yōu)秀率為eq\f(3,10)×100%＝30%，小學得分的優(yōu)秀率為eq\f(3,10)×100%＝30%，故①正確；初中得分的中位數(shù)為75.5，小學得分的中位數(shù)為72.5，故②不正確；從莖葉圖可知初中得分比小學得分分散，所以初中得分的方差比小學得分的方差大，故③正確；初中得分的平均值為75.7，小學得分的平均值為75，故④不正確．所以正確的信息為①③，故選B.9．已知一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為2，若數(shù)據(jù)ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b(a>0)的方差為8，則a的值為________．答案2解析依據(jù)方差的性質(zhì)，知a2×2＝8，解得a＝2.10．某學校隨機抽取了部分學生，對他們每周運用手機的時間進行統(tǒng)計，得到如下的頻率分布直方圖．若從每周運用時間在[15,20)，[20,25)，[25,30]三組內(nèi)的學生中用分層抽樣的方法選取8人進行訪談，則應從運用時間在[20,25)內(nèi)的學生中應選取的人數(shù)為________．答案3解析由頻率分布直方圖，知5×(0.01＋0.02＋a＋0.04＋0.04＋0.06)＝1，解得a＝0.03，即運用時間在[15,20)，[20,25)，[25,30]三組內(nèi)的學生人數(shù)之比為4∶3∶1，則從每周運用時間在[15,20)，[20,25)，[25,30]三組內(nèi)的學生中用分層抽樣的方法選取8人進行訪談，則應從運用時間在[20,25)內(nèi)的學生中應選取的人數(shù)為eq\f(3,8)×8＝3.組實力關1．某校高二(1)班一次階段考試數(shù)學成果的莖葉圖和頻率分布直方圖可見部分如圖，依據(jù)圖中的信息，可確定被抽測的人數(shù)及分數(shù)在[90,100]內(nèi)的人數(shù)分別為()A．20,2 B．24,4C．25,2 D．25,4答案C解析由頻率分布直方圖可知，組距為10，所以[50,60)的頻率為0.008×10＝0.08，由莖葉圖可知[50,60)的人數(shù)為2，設參與本次考試的總人數(shù)為N，則N＝eq\f(2,0.08)＝25，依據(jù)頻率分布直方圖可知[90,100]內(nèi)的人數(shù)與[50,60)的人數(shù)一樣，都是2.故選C.2．(2024·葫蘆島一模)一個樣本容量為10的樣本數(shù)據(jù)，它們組成一個公差為2的等差數(shù)列{an}，若a1，a3，a7成等比數(shù)列，則此樣本的平均數(shù)和中位數(shù)分別是()A．12,13 B．13,13C．13,12 D．12,14答案B解析依題意aeq\o\al(2,3)＝a1a7，∴(a1＋4)2＝a1(a1＋6×2)，解得a1＝4，所以此樣本的平均數(shù)為eq\f(S10,10)＝13，中位數(shù)為eq