2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章平面向量及其應(yīng)用4.1平面向量基本定理課后習(xí)題含解析北師大版必修第二冊

§4平面對量基本定理及坐標(biāo)表示4.1平面對量基本定理課后篇鞏固提升基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練1.設(shè)e1,e2是不共線的向量,則下面四組向量中,能作為一組基的組數(shù)有()①e1和e1+e2;②e1-2e2和e2-2e1;③e1-2e2和4e2-2e1;④2e1+e2和e1-e2.A.1組 B.2組 C.3組 D.4組解析①設(shè)e1+e2=λe1,則λ=1,所以e1+e2與e1不共線,即e1與e1+e2可作為一組基;②設(shè)e1-2e2=λ(e2-2e1),則(1+2λ)e1-(2+λ)e2=0,則1+2λ=0,2+λ=0,無解,所以e1-2e2與e2-2e1不共線,即e1-2e2與e③因為e1-2e2=-12(4e2-2e1),所以e1-2e2與4e2-2e1共線,即e1-2e2與4e2-2e1不行作為一組基④設(shè)e1+e2=λ(e1-e2),則(1-λ)e1+(1+λ)e2=0,所以1-λ=0,1+λ=0,無解,所以e1+e2與e1-e2不共線,即e1+e2答案C2.已知e1,e2為平面內(nèi)全部向量的一組基,λ∈R,a=e1+λe2,b=2e1,則a與b共線的條件為()A.λ=0 B.e2=0C.e1∥e2 D.e1∥e2或λ=0解析因為e1,e2不共線,而a與b共線,所以λ=0.答案A3.設(shè)a,b為平面內(nèi)全部向量的一組基,已知向量AB=a-kb,CB=2a+b,CD=3a-b,若A,B,D三點共線,則實數(shù)k的值等于()A.2 B.-2 C.10 D.-10解析AD=AB+BC+CD=(a-kb)+(-2a-b)+(3a-b)=2a因為A,B,D三點共線,所以存在實數(shù)λ使得AB=λAD,即a-kb=λ[2a-(k+2)b]=2λa-λ(k+2)b.因為a,b為基向量,所以2λ=1,λ(k+2)答案A4.已知O是△ABC所在平面內(nèi)一點,D為BC的中點,且2OA+OB+OC=0,A.AO=OD B.AO=C.AO=3OD D.2AO解析由2OA+OB+OC=0,得2OA=-因為D是BC的中點,所以O(shè)B+OC=2于是2OA=-2OD,即AO=答案A5.(多選)假如e1,e2是平面α內(nèi)兩個不共線的向量,那么下列說法中不正確的是()A.λe1+μe2(λ,μ∈R)可以表示平面α內(nèi)的全部向量B.對于平面α內(nèi)任一向量a,使a=λe1+μe2的實數(shù)對(λ,μ)有無窮多個C.若向量λ1e1+μ1e2與λ2e1+μ2e2共線,則有且只有一個實數(shù)λ,使得λ1e1+μ1e2=λ(λ2e1+μ2e2)D.若實數(shù)λ,μ使得λe1+μe2=0,則λ=μ=0解析由平面對量基本定理可知A,D是正確的.對于B,由平面對量基本定理可知,一旦一個平面的基確定,那么平面內(nèi)隨意一個向量在此基下的實數(shù)對是唯一的.對于C,當(dāng)兩向量均為零向量時,即λ1=λ2=μ1=μ2=0時,則這樣的λ有多數(shù)個.故選BC.答案BC6.若e1,e2為平面內(nèi)全部向量的一組基,且a=3e1-4e2,b=6e1+ke2不能作為一組基,則k的值為.

解析因為a,b不能作為一組基,所以存在實數(shù)λ,使得a=λb,即3e1-4e2=λ(6e1+ke2),則6λ=3,且kλ=-4,解得λ=12,k=-8答案-87.(2024湖北浠水試驗高級中學(xué)高一期末)設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點,AD=-13AB+43AC,若BC=λDC(λ∈R),解析因為D為△ABC所在平面內(nèi)一點,由AD=-13AB+43AC,可得3AD即4AD-4AC=則4CD=BD,即BD=-4可得BD+DC=-3DC,故BC=-3DC,則λ=-答案-3實力提升練1.已知平面內(nèi)有一點P及一個△ABC,若PA+PB+PC=A.點P在△ABC外部 B.點P在線段AB上C.點P在線段BC上 D.點P在線段AC上解析因為PA+所以PA+PB+即PA+PB+所以PA+PA+PC=0,所以點P在線段AC上.答案D2.A,B,O是平面內(nèi)不共線的三個定點,且OA=a,OB=b,點P關(guān)于點A的對稱點為Q,點Q關(guān)于點B的對稱點為R,則PR等于()A.a-b B.2(b-a)C.2(a-b) D.b-a解析如圖,a=12b=12相減得b-a=12(所以PR=2(b-a).答案B3.(2024北京通州高一期末)在△ABC中,點D在線段BC的延長線上,且BC=3CD,點O在線段CD上(與點C,D不重合),若AO=xAB+(1-x)AC,則x的取值范圍是()A.0,12 B.0,13C.-12,0 D.-13,0解析如圖.依題意,設(shè)BO=λBC,其中1<λ<43,則有AO=AB+BO=AB+λBC=AB+λ(AC-AB又AO=xAB+(1-x)AC,且AB,AC于是有x=1-λ∈-13,0,即x的取值范圍是-13,0.故選D.答案D4.如圖,平行四邊形ABCD中,AB=a,AD=b,H,M分別是AD,DC的中點,BF=13BC,以a,b為基表示向量AM=,HF=.解析在平行四邊形ABCD中,AB=a,AD=b,H,M分別是AD,DC的中點,BF=13BC所以AM=AD+DM=ADHF=AF-AH=AB+BF-12答案b+12aa-15.在△ABC所在平面上有一點P,滿意PA+PB+4PC=AB,則△PBC與△PAB解析PA+PB+4PC=AB=AP+PB,所以2PC=AP,即點P在AC邊上,且AP=2PC,所以答案1∶26.如圖所示,在△OAB中,OA=a,OB=b,M,N分別是OA,OB上的點,且OM=13a,ON=12b.設(shè)AN與BM交于點P,用向量解設(shè)MP=mMB,NP=nNA,因為OP=OM+MP,OP=ON+NP,所以O(shè)P=OM+mMB=13a+mb因為a與b不共線,所以1解得m=25,n=1素養(yǎng)培優(yōu)練已知A,B,C三點不共線,O為平面上隨意一點,證明存在實數(shù)p,q,r,使得pOA+qOB+rOC=0,且若p+q+r=0,則必有p=q=r=0.證明由題意