5.3.2函數(shù)的極值與最大（?。┲担ㄍ骄毩?xí)）（含解析）-【一堂好課】2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)同步名師重點(diǎn)課堂（人教A版2019選擇性必修第二冊(cè)）

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）A． B．1 C．2 D．e2．已知函數(shù)，若在R上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍（

）A． B． C． D．3．設(shè)，若函數(shù)在區(qū)間有極值點(diǎn)，則取值范圍為（

）A． B． C． D．4．已知函數(shù)，則“有極值”是（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．已知函數(shù)f(x)=ex-ln(x+2)，則下面對(duì)f(x)的描述正確的是（

）A．?x∈(-2，+∞)，f(x)∈(2，+∞) B．?x∈(-2，+∞)，f(x)∈(0，+∞)C．?x0∈(-2，+∞)，f(x0)∈(-∞，0) D．f(x)min∈(1，2)二、多選題6．關(guān)于函數(shù)，，下列說(shuō)法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，在處的切線方程為B．當(dāng)時(shí)，存在唯一極小值點(diǎn)且C．對(duì)任意，在上均存在零點(diǎn)D．存在，在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)7．已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，下列說(shuō)法正確的是（

）A．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為B．函數(shù)的極小值是C．當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意的，都有D．函數(shù)的圖像有條切線方程為8．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減 D．函數(shù)在處取得極小值三、填空題9．函數(shù)的極大值與極小值的和為_(kāi)______．10．已知函數(shù)在上不單調(diào)，則的取值范圍是__________.11．已知函數(shù)，函數(shù)在處是連續(xù)的，若，則的取值范圍為_(kāi)_______.四、解答題12．已知函數(shù)在處的切線方程為．(1)求的值；(2)求函數(shù)在上的最值．13．設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線l與x軸y軸所圍成的三角形面積為．(1)求切線l的方程；(2)求的最大值．14．已知函數(shù)，其中，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值．參考答案：1．B【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極小值.【詳解】解：由，得，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的極小值為.故選：B.2．D【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出的最小值后可得參數(shù)的取值范圍.【詳解】，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故.因?yàn)樵赗上單調(diào)遞增，故，故，故選：D.3．B【分析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)在區(qū)間有極值點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)有零點(diǎn)，再由零點(diǎn)存在定理列出不等式求解即可.【詳解】，為單調(diào)函數(shù)，所以函數(shù)在區(qū)間有極值點(diǎn)，即，代入解得，解得取值范圍為，故選：B．4．B【分析】根據(jù)極值點(diǎn)的定義求出的范圍，驗(yàn)證充分性和必要性即可.【詳解】定義域?yàn)?由得，令，則，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，有極值；當(dāng)時(shí)，令解得，所以在上小于0，在上大于0，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，有極值則，令，則，，再令，則，解得，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)時(shí)，，即，解得，綜上有極值，則或或，所以有極值是的必要不充分條件，故選：B.5．B【分析】由已知，先求導(dǎo)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，卡出f'(x0)=0在(-2，+∞)上有唯一的實(shí)根，且x0∈(-1，0)，然后代入原函數(shù)計(jì)算極小值，即可得到判斷.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=ex-ln(x+2)，所以f'(x)=ex-，導(dǎo)函數(shù)f'(x)在(-2，+∞)上是單調(diào)遞增的.又f'(-1)=-1<0，f'(0)=1->0，所以f'(x)=0在(-2，+∞)上有唯一的實(shí)根，設(shè)為x0，且x0∈(-1，0)，則x=x0為f(x)的最小值點(diǎn)，且，即x0=-ln(x0+2)，故f(x)≥f(x0)=+x0=>0，故B正確.又顯然f(x0)=<1，所以D錯(cuò)誤.故選：B.【點(diǎn)睛】本題設(shè)計(jì)新穎，求解的前提是根據(jù)選項(xiàng)A，B，C的共同特征明確應(yīng)該在區(qū)間x∈(-2，+∞)上進(jìn)行研究，解題的關(guān)鍵是依據(jù)導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在性定理判斷導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的存在區(qū)間及唯一性，進(jìn)而確定函數(shù)的最小值的取值范圍.6．ABD【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，直接求出切線斜率利用點(diǎn)斜式寫(xiě)出方程即可判斷正誤.對(duì)于B選項(xiàng)，利用二次求導(dǎo)得單調(diào)性，再利用零點(diǎn)存在性定理確定出所在區(qū)間.對(duì)于C，D選項(xiàng)，轉(zhuǎn)化為對(duì)于與圖像交點(diǎn)情況的判斷.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，x，故，切點(diǎn)為(0，1).又，.則切線方程為，即，故A正確;對(duì)于B選項(xiàng)，時(shí)，，令，則.當(dāng)時(shí)，因，則.當(dāng)時(shí)，，故在(-π，+∞)上單調(diào)遞增，注意到，，有，又=>0，故在(-π，+∞)上有唯一零點(diǎn)，結(jié)合在(-π，+∞)上單調(diào)遞增得f(x)存在唯一極小值點(diǎn)，且，則，得+，則，又因則，得，故B正確.對(duì)于C選項(xiàng)，，，令，則，當(dāng)且時(shí)，顯然沒(méi)有實(shí)根，故且則，令，有，令，得且，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，的極小值為h=≥，的極大值為h=-≤-，故當(dāng)時(shí)，與的圖像沒(méi)有交點(diǎn)，即在上沒(méi)有零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤;對(duì)于D選項(xiàng)，由C選項(xiàng)分析可知，存在，使得在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)，故D正確，故選：ABD.【點(diǎn)睛】：方法點(diǎn)睛：處理涉及函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的常見(jiàn)手段：（1）數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖像的交點(diǎn)相關(guān)問(wèn)題.（2）利用零點(diǎn)存在性定理，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，通過(guò)適當(dāng)?shù)厝↑c(diǎn)，確定零點(diǎn)所在的大致區(qū)間.7．AB【分析】對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，對(duì)A令即可解決問(wèn)題；B選項(xiàng)把增減區(qū)間求出來(lái)后即可得極值；C選項(xiàng)做差法證明即可；D由切線斜率為3出發(fā)反向分析即可得答案.【詳解】因?yàn)樗裕?，所以的單調(diào)減區(qū)間為，故A正確．令，則或所以在，單調(diào)遞增在單調(diào)遞減所以函數(shù)的極小值為，故選項(xiàng)B正確；由，若即矛盾，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤．，解的或，當(dāng)時(shí)切點(diǎn)不在上當(dāng)時(shí)切點(diǎn)不在上，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：AB．8．ABD【分析】結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的圖象，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而判斷各個(gè)選項(xiàng).【詳解】由圖象知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為和；對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，函數(shù)在區(qū)間單減，在區(qū)間單增，故在處取得極小值，故D正確；故選：ABD9．【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，求出單調(diào)區(qū)間，找出極值點(diǎn)，求出極值相加即可.【詳解】因?yàn)樗粤睿瑒t，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增；令，則或，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減；所以極小值為極大值點(diǎn)為所以的極大值與極小值之和為故答案為：.10．【分析】結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性，確定函數(shù)在上既有增區(qū)間又有減區(qū)間即可求解.【詳解】由題可知，，令，因?yàn)?，所以，則在單調(diào)遞減，所以，若，則恒成立，即恒成立，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，不滿足題意;若，則，因?yàn)椋?所以，所以由零點(diǎn)的唯一性定理可知，在必定存在唯一的零點(diǎn)記為，所以當(dāng)時(shí)，即，時(shí)，即，所以在時(shí)單調(diào)遞增，時(shí)單調(diào)遞減，滿足題意;綜上得，故答案為:.11．【分析】構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)證明，再證明在上單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為解不等式即得解.【詳解】構(gòu)造，∴，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)，，函數(shù)單調(diào)遞增.∴成立，當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，又函數(shù)的圖象在處連續(xù)不間斷，∴在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，可得，求得或，故答案?.12．(1)(2)最小值為；最大值為【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線斜率，再利用切點(diǎn)在切線上又在函數(shù)上，列出兩個(gè)方程，即可求出的值；(2)求導(dǎo)，再求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，列出表格判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，進(jìn)而求出最值.【詳解】（1）因，故，依題意，有，即，解得，（2）由（1）知．令，得．在時(shí)，隨x的變化．，的變化情況如下表所示：x23正0負(fù)0正11單調(diào)遞增18單調(diào)遞減單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，有極大值，當(dāng)時(shí)，有極小值．因?yàn)椋虼嗽诘淖钚≈禐椋畲笾禐?13．(1)；(2)．【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程；（2）求出切線與坐標(biāo)的交點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算出三角形面積后，由導(dǎo)數(shù)求得最大值．【詳解】（1），時(shí)，所以切線方程為，即．（2）在中，令得，令得，因?yàn)?，所以，，所以時(shí)，，遞增，時(shí)，，遞減，所以．14．(1)當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；(2)當(dāng)時(shí)，最大值是；當(dāng)時(shí)，最大值是；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的最大值是.【分析】（1）先確定函數(shù)的定義域然后求導(dǎo)數(shù)，討論，在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式和即可．（2）欲求函數(shù)在區(qū)間上的最大值，先求在區(qū)間上的單調(diào)性，討論的值，分別求出最大值．【詳解】（1），函數(shù)定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，令，得．若，則，從而在上單調(diào)遞增；若，