6.1.1分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理（一）教學(xué)設(shè)計(jì)【新教材 新思維高中數(shù)學(xué)】-2021-2022學(xué)年上學(xué)期高二數(shù)學(xué)同步教學(xué)（人教A版（2019）選擇性必修第三冊(cè)）

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問(wèn)題1.用一個(gè)大寫(xiě)的英文字母或一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字給教室里的一個(gè)座位編號(hào)，總共能編出多少種不同的號(hào)碼？因?yàn)橛⑽淖帜腹灿?6個(gè)，阿拉伯?dāng)?shù)字共有10個(gè)，所以總共可以編出26+10=36種不同的號(hào)碼. 問(wèn)題2.你能說(shuō)說(shuō)這個(gè)問(wèn)題的特征嗎？上述計(jì)數(shù)過(guò)程的基本環(huán)節(jié)是：（1）確定分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，根據(jù)問(wèn)題條件分為字母號(hào)碼和數(shù)字號(hào)碼兩類(lèi)；（2）分別計(jì)算各類(lèi)號(hào)碼的個(gè)數(shù)；（3）各類(lèi)號(hào)碼的個(gè)數(shù)相加，得出所有號(hào)碼的個(gè)數(shù).你能舉出一些生活中類(lèi)似的例子嗎？一般地，有如下分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理：完成一件事，有兩類(lèi)辦法.在第1類(lèi)辦法中有m種不同的方法，在第2類(lèi)方法中有n種不同的方法，則完成這件事共有:N=m+n種不同的方法.二、典例解析例1.在填寫(xiě)高考志愿時(shí)，一名高中畢業(yè)生了解到，A,B兩所大學(xué)各有一些自己感興趣的強(qiáng)項(xiàng)專(zhuān)業(yè)，如表，A大學(xué)B大學(xué)生物學(xué)數(shù)學(xué)化學(xué)會(huì)計(jì)學(xué)醫(yī)學(xué)信息技術(shù)學(xué)物理學(xué)法學(xué)工程學(xué)如果這名同學(xué)只能選一個(gè)專(zhuān)業(yè)，那么他共有多少種選擇？分析:要完成的事情是“選一個(gè)專(zhuān)業(yè)”.因?yàn)檫@名同學(xué)在A,B兩所大學(xué)中只能選擇一所，而且只能選擇一個(gè)專(zhuān)業(yè)，又因?yàn)檫@兩所大學(xué)沒(méi)有共同的強(qiáng)項(xiàng)專(zhuān)業(yè)，所以符合分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理的條件.解：這名同學(xué)可以選擇A,B兩所大學(xué)中的一所，在A大學(xué)中有5種專(zhuān)業(yè)選擇方法，在B大學(xué)中有4種專(zhuān)業(yè)選擇方法，因?yàn)闆](méi)有一個(gè)強(qiáng)項(xiàng)專(zhuān)業(yè)是兩所大學(xué)共有的，所以根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，這名同學(xué)可能的專(zhuān)業(yè)選擇種數(shù)N=5+4=9.利用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理解題的一般思路(1)分類(lèi):將完成這件事的辦法分成若干類(lèi);(2)計(jì)數(shù):求出每一類(lèi)中的方法數(shù);(3)結(jié)論:將每一類(lèi)中的方法數(shù)相加得最終結(jié)果.問(wèn)題3.如果完成一件事有三類(lèi)不同方案，在第一類(lèi)方案中有m1種不同的方法，在第二類(lèi)方案中有m2種不同的方法，在第三類(lèi)方案中有m3種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法？如果完成一件事情有N類(lèi)不同方案，在每一類(lèi)中都有若干種不同的方法，那么應(yīng)該如何計(jì)數(shù)呢？分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理：完成一件事,如果有n類(lèi)辦法,且:第一類(lèi)辦法中有m1種不同的方法,第二類(lèi)辦法中有m2種不同的方法……第n類(lèi)辦法中有mn種不同的方法,那么完成這件事共有N=m1+m2+…+mn種不同的方法.跟蹤訓(xùn)練1.在所有的兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)是()A．18B．36C．72D．48解析：方法一按十位上的數(shù)字分別是1，2，3，4，5，6，7，8分成八類(lèi)，在每一類(lèi)中滿(mǎn)足條件的兩位數(shù)分別有8個(gè)、7個(gè)、6個(gè)、5個(gè)、4個(gè)、3個(gè)、2個(gè)、1個(gè)．由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理知，滿(mǎn)足條件的兩位數(shù)共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(個(gè)).方法二按個(gè)位上的數(shù)字分別是2，3，4，5，6，7，8，9分成八類(lèi)，在每一類(lèi)中滿(mǎn)足條件的兩位數(shù)分別有1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)、5個(gè)、6個(gè)、7個(gè)、8個(gè)．由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理知，滿(mǎn)足條件的兩位數(shù)共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(個(gè)).方法三考慮兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的大小關(guān)系，利用對(duì)應(yīng)思想解決．所有的兩位數(shù)共有90個(gè)，其中，個(gè)位數(shù)字等于十位數(shù)字的兩位數(shù)為11，22，33，…，99，共9個(gè)；有10，20，30，…，90共9個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字不能調(diào)換位置，則剩余的兩位數(shù)有90－18＝72(個(gè)).在這72個(gè)兩位數(shù)中，每一個(gè)個(gè)位數(shù)字(a)小于十位數(shù)字(b)的兩位數(shù)都有一個(gè)十位數(shù)字(a)小于個(gè)位數(shù)字(b)的兩位數(shù)與之對(duì)應(yīng)，故滿(mǎn)足條件的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)是72÷2＝36.故選B.答案：B問(wèn)題4.用前6個(gè)大寫(xiě)的英文字母和1~9個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字，以A1，A1，…A9，B1，B2，…的方式給教室里的一個(gè)座位編號(hào)，總共能編出多少種不同的號(hào)碼？解：方法一：解決計(jì)數(shù)問(wèn)題可以用“樹(shù)狀圖”列舉出來(lái)方法二：由于6個(gè)英文字母中的任意一個(gè)都能與6個(gè)數(shù)字中的任意一個(gè)組成一個(gè)號(hào)碼，而且它們互不相同，因此共有6×9=54種不同的號(hào)碼.問(wèn)題5.你能說(shuō)說(shuō)這個(gè)問(wèn)題的特征嗎？上述計(jì)數(shù)過(guò)程的基本環(huán)節(jié)是：（1）由問(wèn)題條件中的“和”，可確定完成編號(hào)要分兩步；（2）分別計(jì)算各步號(hào)碼的個(gè)數(shù)；（3）將各步號(hào)碼的個(gè)數(shù)相乘，得出所有號(hào)碼的個(gè)數(shù).你能舉出一些生活中類(lèi)似的例子嗎？例2.設(shè)某班有男生30名，女生24名。現(xiàn)要從中選出男、女生各一名代表班級(jí)參加比賽，共有多少種不同的選法？分析:選出一組參賽代表，可分兩步：第一步,選男生；第二步,選女生.解：第一步,從30名男生中選出1人,有30種不同選擇；第二步,從24名女生中選出1人,有24種不同選擇；根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有30×24=720種不同方法.問(wèn)題6.如果完成一件事有三個(gè)步驟,做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，做第3步有m3種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法?N＝m1×m2×m3如果完成一件事需要有n個(gè)步驟,做每一步中都有若干種不同方法,那么應(yīng)當(dāng)如何計(jì)數(shù)呢?例2.設(shè)某班有男生30名，女生24名?，F(xiàn)要從中選出男、女生各一名代表班級(jí)參加比賽，共有多少種不同的選法？分析:選出一組參賽代表，可分兩步：第一步,選男生；第二步,選女生.解：第一步,從30名男生中選出1人,有30種不同選擇；第二步,從24名女生中選出1人,有24種不同選擇；根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有30×24=720種不同方法.問(wèn)題6.如果完成一件事有三個(gè)步驟,做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，做第3步有m3種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法?N＝m1×m2×m3 如果完成一件事需要有n個(gè)步驟,做每一步中都有若干種不同方法,那么應(yīng)當(dāng)如何計(jì)數(shù)呢?如果完成一件事需要n個(gè)步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，…,做第n步有mn種不同的方法,那么完成這件事的方法總數(shù)如何計(jì)算？分步乘法計(jì)數(shù)原理一般結(jié)論：N＝m1×m2×…×mn例3.書(shū)架上第1層放有4本不同的計(jì)算機(jī)書(shū),第2層放有3本不同的文藝書(shū),第3層放有2本不同的體育雜志.(1)從書(shū)架上任取1本書(shū),有多少種不同的取法?(2)從書(shū)架的第1、2、3層各取1本書(shū),有多少種不同取法?(3)從書(shū)架上取2本不同學(xué)科的書(shū),有多少種不同的取法?解：（1）根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可得：N＝4＋3+2＝9；（2）根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得：N＝4×3×2＝24；（3）需先分類(lèi)再分步.第一類(lèi)：從一、二層各取一本，有4×3=12種方法；第二類(lèi)：從一、三層各取一本,有4×2=8種方法；第三類(lèi)：從二、三層各取一本,有3×2=6種方法；根據(jù)兩個(gè)基本原理，不同的取法總數(shù)是N=4×3+4×2+3×2=26答:從書(shū)架上取2本不同種的書(shū),有26種不同的取法.應(yīng)用分步乘法計(jì)數(shù)原理解題的一般思路通過(guò)具體問(wèn)題，已發(fā)學(xué)生思考，通過(guò)分析、比較、歸納、形成對(duì)計(jì)數(shù)原理的認(rèn)識(shí)。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。在典例分析和練習(xí)中讓學(xué)生熟悉兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的基本步驟，并能區(qū)分它們的聯(lián)系和區(qū)別，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)四、小結(jié)兩個(gè)原理的聯(lián)系與區(qū)別1.聯(lián)系:分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理都是解決計(jì)數(shù)問(wèn)題最基本、最重要的方法.2.區(qū)別

分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理區(qū)別一完成一件事共有n類(lèi)辦法,關(guān)鍵詞是“分類(lèi)”完成一件事共有n個(gè)步驟,關(guān)鍵詞是“分步”區(qū)別二每類(lèi)辦法中的每種方法都能獨(dú)立地完成這件事,它是獨(dú)立的、一次的且每種方法得到的都是最后結(jié)果,只需一種方法就可完成這件事除最后一步外,其他每步得到的