2023年北京首師大附中高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷和答案

高中PAGE1高中2023北京首都師大附中高一（上）期末數(shù)學(xué)2023.1本試卷共4頁，120分．考試時長90分鐘．考生務(wù)必將答案寫在答題卡上，在試卷上作答無效．考試結(jié)束后，將只將答題卡交回．Ⅰ卷選擇題（共40分）一、選擇題，共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.已知命題，則為（）A. B.C. D.3.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在上是增函數(shù)的是（）A. B. C. D.4.不等式的解集為（）A. B. C. D.5.已知函數(shù)在下列區(qū)間中，包含零點(diǎn)的區(qū)間是（）A. B. C. D.6.已知a＝0.63，b＝30.6，c＝log30.6，則（）A.a＜b＜c B.b＜a＜cC.c＜a＜b D.c＜b＜a7.已知實(shí)數(shù)，若，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.8.某市6月前10天的空氣質(zhì)量指數(shù)為35，54，80，86，72，85，58，125，111，53，則這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是（）A.84.5 B.85 C.85.5 D.869.學(xué)校開展學(xué)生對食堂滿意度的調(diào)查活動，已知該校高一年級有學(xué)生550人，高二年級有學(xué)生500人，高三年級有學(xué)生450人.現(xiàn)從全校學(xué)生中用分層抽樣的方法抽取60人進(jìn)行調(diào)查，則抽取的高二年級學(xué)生人數(shù)為（）A.18 B.20 C.22 D.3010.物理學(xué)規(guī)定音量大小的單位是分貝(dB)，對于一個強(qiáng)度為I的聲波，其音量的大小η可由如下公式計算:(其中是人耳能聽到聲音的最低聲波強(qiáng)度)，一般聲音在30分貝左右時不會影響正常的生活和休息，超過50分貝就會影響睡眠和休息;70分貝以上會造成心煩意亂，精神不集中，影響工作效率，甚至發(fā)生事故;長期生活在90分貝以上的噪聲環(huán)境，就會得“噪音病”，汽車的噪聲可以達(dá)到100分貝，為了降低噪聲對周圍環(huán)境的影響，某高速公路上安裝了隔音圍擋護(hù)欄板，可以把噪聲從75分貝降低到50分貝，則50dB聲音的聲波強(qiáng)度是75dB聲音的聲波強(qiáng)度的（）A.倍 B.倍 C.倍 D.倍Ⅱ卷非選擇題（共80分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.函數(shù)的定義域?yàn)開____．12.某校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時間（單位:小時），制成了如圖所示的的頻率分布直方圖，根據(jù)直方圖，這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時間不少于22.5小時的人數(shù)為：_____．13.函數(shù)恒過的定點(diǎn)坐標(biāo)為___________，值域?yàn)開____________．14.若“”是“”的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．15.已知函數(shù)，則函數(shù)最小值為_______________；如果關(guān)于x的方程有兩個不同的實(shí)根，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是__________________．三、解答題（共5小題，16題10分，17題8分，18題12分，19題14分，20題11分，共55分）16.計算下列各式的值：（1）；（2）.17.已知甲乙兩人的投籃命中率分別為，如果這兩人每人投籃一次，求：（1）兩人都命中的概率；（2）兩人中恰有一人命中的概率.18.某班倡議假期每位學(xué)生每天至少鍛煉一小時.為了解學(xué)生的鍛煉情況，對該班全部34名學(xué)生在某周的鍛煉時間進(jìn)行了調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表:鍛煉時長（小時）56789男生人數(shù)（人）12434女生人數(shù)（人）38621（Ⅰ）試根據(jù)上述數(shù)據(jù)，求這個班級女生在該周的平均鍛煉時長;（Ⅱ）若從鍛煉8小時的學(xué)生中任選2人參加一項(xiàng)活動，求選到男生和女生各1人的概率；（Ⅲ）試判斷該班男生鍛煉時長的方差與女生鍛煉時長的方差的大小.（直接寫出結(jié)果）19.已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù).（1）求f（x）的解析式及值域：（2）判斷f（x）在R上的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義予以證明.（3）若不大于f（1），直接寫出實(shí)數(shù)m的取值范圍.20.為了節(jié)能減排，某農(nóng)場決定安裝一個可使用10年的太陽能供電設(shè)備，使用這種供電設(shè)備后，該農(nóng)場每年消耗的電費(fèi)（單位：萬元）與太陽能電池板面積（單位：平方米）之間的函數(shù)關(guān)系為（為常數(shù)）．已知太陽能電池板面積為5平方米時，每年消耗的電費(fèi)為12萬元，安裝這種供電設(shè)備的工本費(fèi)為（單位：萬元），記為該農(nóng)場安裝這種太陽能供電設(shè)備的工本費(fèi)與該農(nóng)場10年消耗的電費(fèi)之和.（1）求常數(shù)的值；（2）寫出的解析式；（3）當(dāng)為多少平方米時，取得最小值？最小值是多少萬元？

參考答案Ⅰ卷選擇題（共40分）一、選擇題，共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.【答案】A【分析】求出集合，根據(jù)并集的運(yùn)算即可求出結(jié)果.【詳解】解可得，，所以，所以.故選：A.2.【答案】B【分析】根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題，否量詞，否結(jié)論即可得解.【詳解】命題的否定為：，故選：B.3.【答案】A【分析】根據(jù)單調(diào)性排除BD，根據(jù)奇偶性排除C，A滿足單調(diào)性和奇偶性，得到答案.【詳解】對選項(xiàng)A：，函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時，為增函數(shù)，正確；對選項(xiàng)B：在上為減函數(shù)，錯誤；對選項(xiàng)C：，函數(shù)為奇函數(shù)，錯誤；對選項(xiàng)D：在上為減函數(shù)，錯誤；故選：A4.【答案】D【分析】將原不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式求解.【詳解】，即，等價于，解得或；故選：D.5.【答案】B【分析】確定函數(shù)單調(diào)遞增，計算，，得到答案.【詳解】在上單調(diào)遞增，，，故函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間上.故選：B6.【答案】C【分析】利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】因?yàn)?＜0.63＜0.60＝1，則0＜a＜1，而b＝30.6＞30＝1，c＝log30.6＜log31＝0，所以c＜a＜b．故選：C7.【答案】C【分析】對ABD選項(xiàng)采用取特殊值驗(yàn)證即可，對于C，首先構(gòu)造指數(shù)函數(shù)，利用單調(diào)性即可.【詳解】因?yàn)?，則對于A，取，，則，A錯誤；對于B，取，，此時，故B錯誤；對于C，構(gòu)造指數(shù)函數(shù)，則單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以有，即，故C正確；對于D，取、，則，故D錯誤.故選：C8.【答案】D【分析】按照求解百分位數(shù)的流程，先計算出，然后由小到大排序，選取第8個數(shù)作為第75百分位數(shù).【詳解】，故從小到大排列后：35，53，54，58，72，80，85，86，111，125取第8個數(shù)作為第75百分位數(shù)，第8個數(shù)是86故選：D9.【答案】B【分析】求出高一年級學(xué)生、高二年級學(xué)生、高三年級學(xué)生人數(shù)比，再列式計算作答.【詳解】依題意，該校高一年級學(xué)生、高二年級學(xué)生、高三年級學(xué)生人數(shù)比為：，所以抽取的高二年級學(xué)生人數(shù)為.故選：B10.【答案】A【分析】首先根據(jù)題意得到，再代入公式計算即可.【詳解】因?yàn)?，所?所以倍.故選：AⅡ卷非選擇題（共80分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式，列出使函數(shù)解析式有意義的不等式組，求出解集即可．【詳解】由題意，可知，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋蚀鸢笧椋海?2.【答案】140【分析】求出這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時間不少于22.5小時的頻率，即可求得答案.【詳解】由頻率分布直方圖得：這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時間不少于22.5小時的頻率為:,這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時間不少于22.5小時的人數(shù)為：，故答案為：140.13.【答案】①.②.【分析】根據(jù)，求出對應(yīng)的的值得到定點(diǎn)坐標(biāo)，再由指數(shù)函數(shù)值域得所求值域.【詳解】令，解得：，此時，故函數(shù)恒過定點(diǎn).指數(shù)函數(shù)的值域?yàn)?，函?shù)的圖像，可將指數(shù)函數(shù)的圖像向左平移兩個單位，再向下平移兩個單位，所以函數(shù)的值域?yàn)?故答案為：；.14.【答案】【分析】結(jié)合充分不必要條件即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，由于“”是“”的充分不必要條件，則，但不能推出，所以，故答案為：.15.【答案】①.②.【分析】空1利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最小值，空2作函數(shù)與的圖像，從而利用數(shù)形結(jié)合求解．【詳解】在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時，；在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，，∴函數(shù)最小值為.作出函數(shù)與的圖像如下，

∴結(jié)合圖像可知，方程有兩個不同的實(shí)根，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍三、解答題（共5小題，16題10分，17題8分，18題12分，19題14分，20題11分，共55分）16.【答案】（1）13（2）【分析】（1）由指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)求解即可；（2）由對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解即可【小問1詳解】；【小問2詳解】17.【答案】（1）0.56；（2）0.38.【分析】（1）利用相互獨(dú)立事件概率計算公式，求得兩人都命中的概率.（2）利用互斥事件概率公式和相互獨(dú)立事件概率計算公式，求得恰有一人命中的概率.【詳解】記事件A，B分別為“甲投籃命中"，“乙投籃命中”，則.（1）“兩人都命中”為事件AB，由于A，B相互獨(dú)立，所以，即兩人都命中的概率為0.56.（2）由于互斥且A，B相互獨(dú)立，所以恰有1人命中的概率為.即恰有一人命中的概率為0.38.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本小題主要考查相互獨(dú)立事件概率計算，考查互斥事件概率公式，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確地理解題意和運(yùn)用公式求解.18.【答案】（Ⅰ）小時（Ⅱ）（Ⅲ）【分析】（Ⅰ）由表中數(shù)據(jù)計算平均數(shù)即可；（Ⅱ）列舉出任選2人的所有情況，再由古典概型的概率公式計算即可；（Ⅲ）根據(jù)數(shù)據(jù)的離散程度結(jié)合方差的性質(zhì)得出【詳解】（Ⅰ）這個班級女生在該周的平均鍛煉時長為小時（Ⅱ）由表中數(shù)據(jù)可知，鍛煉8小時的學(xué)生中男生有人，記為，女生有人，記為從中任選2人的所有情況為，，，共種，其中選到男生和女生各1人的共有種故選到男生和女生各1人的概率（Ⅲ）【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：在第二問中，關(guān)鍵是利用列舉法得出所有的情況，再結(jié)合古典概型的概率公式進(jìn)行求解.19.【答案】（1），（2）單調(diào)遞減，證明見解析（3）【分析】（1）根據(jù)定義在R上的奇函數(shù)列方程，解方程得到，即可得到解析式，然后根據(jù)和反比例函數(shù)的單調(diào)性求值域即可；（2）根據(jù)單調(diào)性的定義證明即可；（3）根據(jù)單調(diào)性解不等式即可.【小問1詳解】因?yàn)闉镽上的奇函數(shù)，所以，解得，所以，因?yàn)椋?，，所以的值域?yàn)?【小問2詳解】在R上單調(diào)遞減，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，，即，所以在R上單調(diào)遞減.【小問3詳解