第十五章-平面直角坐標(biāo)系（能力提升） 帶解析

第十五章平面直角坐標(biāo)系（能力提升）考試時間：90分鐘注意事項：本試卷滿分100分，考試時間90分鐘，試題共25題．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（每小題4分，共24分）1.已知a+b＞0，ab＞0，則在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，小手蓋住的點的坐標(biāo)可能是（）A．（a，b） B．（﹣a，b） C．（﹣a，﹣b） D．（a，﹣b）【答案】B【分析】因為ab＞0，所以a、b同號，又a+b＞0，所以a＞0，b＞0，觀察圖形判斷出小手蓋住的點在第二象限，然后解答即可．【解答】解：∵a+b＞0，ab＞0，∴a＞0，b＞0．A、（a，b）在第一象限，因為小手蓋住的點在第二象限，故此選項不符合題意；B、（﹣a，b）在第二象限，因為小手蓋住的點在第二象限，故此選項符合題意；C、（﹣a，﹣b）在第三象限，因為小手蓋住的點在第二象限，故此選項不符合題意；D、（a，﹣b）在第四象限，因為小手蓋住的點在第二象限，故此選項不符合題意；故選：B．【知識點】點的坐標(biāo)2.若點P（a，b）是第四象限的點，且|a|＝2，|b|＝3，則P的坐標(biāo)是（）A．（2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（﹣3，2） D．（3，﹣2）【答案】A【分析】根據(jù)第四象限內(nèi)的點的橫坐標(biāo)是正數(shù)，縱坐標(biāo)是負(fù)數(shù)解答即可．【解答】解：∵點P（a，b）在第四象限，∴點P（a，b）的橫坐標(biāo)是正數(shù)，縱坐標(biāo)是負(fù)數(shù)，∵|a|＝2，|b|＝3，∴a＝2，b＝﹣3，∴點P的坐標(biāo)為（2，﹣3）．故選：A．【知識點】點的坐標(biāo)3.線段CD是由線段AB平移得到的，點A（3，﹣1）的對應(yīng)點C的坐標(biāo)是（﹣2，5），則點B（0，4）的對應(yīng)點D的坐標(biāo)是（）A．（5，﹣7） B．（4，3） C．（﹣5，10） D．（﹣3，7）【答案】C【分析】根據(jù)點A（3，﹣1）的對應(yīng)點為C（﹣2，5），可知橫坐標(biāo)由3變?yōu)椹?，向左移動了5個單位，﹣1變?yōu)?，表示向上移動了6個單位，以此規(guī)律可得D的對應(yīng)點的坐標(biāo)．【解答】解：點A（3，﹣1）的對應(yīng)點C的坐標(biāo)是（﹣2，5），可知橫坐標(biāo)由3變?yōu)椹?，向左移動了5個單位，﹣1變?yōu)?，表示向上移動了6個單位，于是點B（0，4）的對應(yīng)點D的橫坐標(biāo)為0﹣5＝﹣5，點D的縱坐標(biāo)為4+6＝10，故D（﹣5，10）．故選：C．【知識點】坐標(biāo)與圖形變化-平移4.以方程組的解為坐標(biāo)的點（x，y）在平面直角坐標(biāo)系中的位置是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】先求解方程組，再判斷點（x，y）在平面直角坐標(biāo)系中的位置．【解答】解：，把②代入①，得x+x﹣1＝2，解得x＝．把x＝代入②，得y＝．∴原方程組的解為．∵x＝＞0，y＝＞0，∴點（，）在第一象限．故選：A．【知識點】二元一次方程組的解、點的坐標(biāo)5.如圖，A，B的坐標(biāo)為（2，0），（0，1），若將線段AB平移至A1B1，點A對應(yīng)點A1（3，b），點B對應(yīng)點B1（a，3），則a+b的值為（）A．﹣1 B．1 C．3 D．5【答案】C【分析】根據(jù)點的坐標(biāo)的變化可得將線段AB向右平移1個單位，向上平移2個單位，然后可確定a、b的值，進(jìn)而可得答案．【解答】解：∵A，B的坐標(biāo)為（2，0），（0，1）平移后點A對應(yīng)點A1（3，b），點B對應(yīng)點B1（a，3），∴將線段AB向右平移1個單位，向上平移2個單位，∴a＝0+1＝1，b＝0+2＝2，∴a+b＝1+2＝3，故選：C．【知識點】坐標(biāo)與圖形變化-平移6.如圖，指針OA，OB分別從與x軸和y軸重合的位置出發(fā)，繞著原點O順時針轉(zhuǎn)動，已知OA每秒轉(zhuǎn)動45°，OB的轉(zhuǎn)動速度是OA的，則第2020秒時，OA與OB之間夾角的度數(shù)為（）A．130° B．145° C．150° D．165°【答案】C【分析】首先求出第一次相遇的時間，再求出第二次相遇所用的時間，探究規(guī)律利用規(guī)律解決問題即可．【解答】解：設(shè)t秒第一次相遇．由題意：270+15t＝45t，解得t＝9，相遇后設(shè)m秒第二次相遇，則有45t﹣15t＝360，解得t＝12，以后每過12秒相遇一次，（2020﹣9）÷12＝167…7，∴2020秒時，7×45°﹣7×15°＝210°，此時OA與OB的夾角為150°故選：C．【知識點】坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)二、填空題（每小題4分，共48分）7.點P（﹣2，1）向上平移2個單位后的點的坐標(biāo)為．【答案】（-2，3）【分析】讓點的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)加2即可．【解答】解：平移后點P的橫坐標(biāo)為﹣2；縱坐標(biāo)為1+2＝3；∴點P（﹣2，1）向上平移2個單位后的點的坐標(biāo)為（﹣2，3）．故答案為：（﹣2，3）．【知識點】坐標(biāo)與圖形變化-平移8.在平面直角坐標(biāo)系中，點P（5，y）在第四象限，則y的取值范圍是．【答案】y＜0【分析】根據(jù)第四象限點的縱坐標(biāo)是負(fù)數(shù)解答．【解答】解：∵點P（5，y）在第四象限，∴y＜0．故答案為y＜0．【知識點】解一元一次不等式、點的坐標(biāo)9.在平面直角坐標(biāo)系中，點A（1，﹣1）和B（1，1）關(guān)于軸對稱．【答案】x【分析】根據(jù)關(guān)于x軸對稱點的坐標(biāo)特點：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)即可對稱結(jié)論．【解答】解：點A（1，﹣1）和B（1，1）關(guān)于x軸對稱，故答案為x．【知識點】關(guān)于x軸、y軸對稱的點的坐標(biāo)、坐標(biāo)與圖形變化-對稱10.已知點P的坐標(biāo)為（2+2a，3a+8），且點P到兩個坐標(biāo)軸的距離相等，則點P的坐標(biāo)為．【答案】（-2，2）或（-10，-10）【分析】根據(jù)點P到兩個坐標(biāo)軸的距離相等可得2+2a+3a+8＝0，或2+2a＝3a+8，解方程可得a的值，進(jìn)而可得點P的坐標(biāo)．【解答】解：由題意得：2+2a+3a+8＝0，或2+2a＝3a+8，解得：a＝﹣2或﹣6，當(dāng)a＝﹣2時，2+2a＝﹣2，3a+8＝2，則P點坐標(biāo)為（﹣2，2），當(dāng)a＝﹣6時，2+2a＝﹣10，3a+8＝﹣10，則P點坐標(biāo)為（﹣10，﹣10），綜上：點P的坐標(biāo)為（﹣2，2）或（﹣10，﹣10）．【知識點】點的坐標(biāo)11.如圖是一臺雷達(dá)探測相關(guān)目標(biāo)得到的部分結(jié)果，若圖中目標(biāo)A的位置為（2，90°），目標(biāo)B的位置為（4，210°），則目標(biāo)C的位置為．【答案】（3，150°）【分析】根據(jù)題意寫出坐標(biāo)即可．【解答】解：由題意，點C的位置為（3，150°）．故答案為（3，150°）．【知識點】坐標(biāo)確定位置12.已知在平面直角坐標(biāo)系中，線段AB的兩個端點坐標(biāo)分別為A（2，5），B（6，﹣2），點P（m，n）為線段AB上一點，若平移AB使其兩個端點都落在坐標(biāo)軸上，則平移后點P的坐標(biāo)為．【答案】（m-2，n+2）或（m-6，n-5）【分析】根據(jù)題意求得線段AB需向左平移2個單位，再向上平移兩個單位或線段AB向下平移5個單位，向左平移6個單位，進(jìn)而即可求平移后點P的坐標(biāo)．【解答】解：∵線段AB的兩個端點坐標(biāo)分別為A（2，5），B（6，﹣2），∴若平移AB使其兩個端點都落在坐標(biāo)軸上，∴線段AB需向左平移2個單位，再向上平移兩個單位或線段AB向下平移5個單位，向左平移6個單位，∴平移后點P的坐標(biāo)為（m﹣2，n+2）或（m﹣6，n﹣5），故答案為（m﹣2，n+2）或（m﹣6，n﹣5）．【知識點】坐標(biāo)與圖形變化-平移13.在平面直角坐標(biāo)系中，把點P（﹣5，4）向右平移8個單位得到點P1，再將點P1繞原點順時針旋轉(zhuǎn)90°得到點P2，則點P2的坐標(biāo)是．【答案】（4，-3）【分析】首先利用平移的性質(zhì)得出P1（3，4），再利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可得結(jié)論；【解答】解：∵點P（﹣5，4）向右平移8個單位得到點P1∴P1（3，4），∴將點P1繞原點順時針旋轉(zhuǎn)90°得到點P2，則點P2的坐標(biāo)是（4，﹣3），故答案為（4，﹣3）．【知識點】坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)、坐標(biāo)與圖形變化-平移14.若點A（x+2，3x﹣3）在第四象限，則x的取值范圍是﹣．【答案】-2＜x＜1【分析】根據(jù)點的位置得出不等式組，求出不等式組的解集即可．【解答】解：∵點A（x+2，3x﹣3）在第四象限，∴，解得：﹣2＜x＜1，故答案為：﹣2＜x＜1．【知識點】點的坐標(biāo)、解一元一次不等式組15.如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點P0的坐標(biāo)為（1，0），將線段OP0按照逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°，再將其長度伸長為OP0的2倍，得到線段OP1；又將線段OP1按照逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°，長度伸長為OP1的2倍，得到線段OP2；如此下去，得到線段OP3，OP4，…，OPn（n為正整數(shù)），則點P8的坐標(biāo)為．【答案】（256，0）【分析】先根據(jù)伸長的變化規(guī)律求出OP8的長度，再根據(jù)每8次變化為一個循環(huán)組，然后確定出所在的位置，再根據(jù)等腰直角三角形的直角邊等于斜邊的倍解答即可．【解答】解：由題意可得，OP0＝1，OP1＝2×1＝2，OP2＝2×2＝22，OP3＝2×22＝23，OP4＝2×23＝24，…OP8＝2×27＝28＝256，∵每一次都旋轉(zhuǎn)45°，360°÷45°＝8，∴每8次變化為一個循環(huán)組，∴P8在x4的正半軸上，P8（256，0），故答案為（256，0）．【知識點】規(guī)律型：點的坐標(biāo)、坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一動點從原點O出發(fā)，沿著箭頭所示方向，每次移動一個單位，依次得到點P1（0，1）；P2（1，1）；P3（1，0）；P4（1，﹣1）；P5（2，﹣1）；P6（2，0）……，則點P2019的坐標(biāo)是．【答案】（673，0）【分析】由P3、P6、P9可得規(guī)律：當(dāng)下標(biāo)為3的整數(shù)倍時，橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為0，據(jù)此可解．【解答】解：由P3、P6、P9可得規(guī)律：當(dāng)下標(biāo)為3的整數(shù)倍時，橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為0，∵2019÷3＝673，∴P2019（673，0）則點P2019的坐標(biāo)是（673，0）．故答案為（673，0）．【知識點】坐標(biāo)確定位置17.如圖，將平行四邊形ABCO放置在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點，若點A的坐標(biāo)是（8，0），點C的坐標(biāo)是（2，6），則點B的坐標(biāo)是．【答案】（10，6）【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)即可得到點B的坐標(biāo)．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝BC，OA∥BC，∵A（8，0），∴OA＝BC＝8，∵C（2，6），∴B（10，6），故答案為：（10，6）【知識點】坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)18.在平面直角坐標(biāo)系中，小明玩走棋的游戲，其走法是：棋子從原點出發(fā)，第1步向右走1個單位長度，第2步向右走2個單位長度，第3步向上走1個單位長度，第4步向右走1個單位長度，…，依此類推，第n步的走法是：當(dāng)n能被3整除時，則向上走1個單位長度；當(dāng)n被3除，余數(shù)為1時，則向右走1個單位長度；當(dāng)n被3除，余數(shù)為2時，則向右走2個單位長度，當(dāng)走完第8步時，棋子所處位置的坐標(biāo)是；當(dāng)走完第2018步時，棋子所處位置的坐標(biāo)是．【答案】【第1空】（9，2）

【第2空】（2019，672）【分析】設(shè)走完第n步，棋子的坐標(biāo)用An來表示．列出部分A點坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律“A3n（3n，n），A3n+1（3n+1，n），A3n+2（3n+3，n）”，根據(jù)該規(guī)律即可解決問題．【解答】解：設(shè)走完第n步，棋子的坐標(biāo)用An來表示．觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：A0（0，0），A1（1，0），A2（3，0），A3（3，1），A4（4，1），A5（6，1），A6（6，2），…，∴A3n（3n，n），A3n+1（3n+1，n），A3n+2（3n+3，n）．∵8＝2×3+2，∴A8（9，2）．∵2018＝672×3+2，∴A2018（2019，672）．故答案為：（9，2），（2019，672）．【知識點】坐標(biāo)與圖形變化-平移三、解答題（共78分）19.如圖，△ABC三個頂點的坐標(biāo)分別為A（1，1），B（4，2），C（3，4）．（1）若△A1B1C1與△ABC關(guān)于y軸成軸對稱，則△A1B1C1三個頂點坐標(biāo)分別為：A1，B1，C1；（2）計算△ABC的面積．【答案】【第1空】（-1，1）

【第2空】（-4，2）

【第3空】（-3，4）【分析】（1）依據(jù)軸對稱的性質(zhì)，即可得到△A1B1C1三個頂點坐標(biāo)；（2）依據(jù)割補法進(jìn)行計算，即可得到△ABC的面積．【解答】解：（1）若△A1B1C1與△ABC關(guān)于y軸成軸對稱，則△A1B1C1三個頂點坐標(biāo)分別為：A1（﹣1，1），B1（﹣4，2），C1（﹣3，4）；故答案為：（﹣1，1），（﹣4，2），（﹣3，4）；（2）△ABC的面積為：3×3﹣﹣﹣＝9﹣1.5﹣1﹣3＝3.5．【知識點】關(guān)于x軸、y軸對稱的點的坐標(biāo)、三角形的面積20.小明和爸爸、媽媽到白銀水川濕地公園游玩，回到家后，他利用平面直角坐標(biāo)系畫出了公園的景區(qū)地圖，如圖所示．可是他忘記了在圖中標(biāo)出原點、x軸及y軸．只知道長廊E的坐標(biāo)為（4，﹣3）和農(nóng)家樂B的坐標(biāo)為（﹣5，3），請你幫他畫出平面直角坐標(biāo)系，并寫出其他各點的坐標(biāo)．【分析】由長廊E的坐標(biāo)為（4，﹣3）和農(nóng)家樂B的坐標(biāo)為（﹣5，3），可以確定平面直角坐標(biāo)系中原點的位置，以及坐標(biāo)軸的位置，從而可以確定其它點的坐標(biāo)．【解答】解：由題意可知，本題是以點D為坐標(biāo)原點（0，0），DA為y軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系．則A、C、F的坐標(biāo)分別為：A（0，4）；C（﹣3，2）；F（5，5）．【知識點】坐標(biāo)確定位置21.如圖，三角形A′B′C′是由三角形ABC經(jīng)過某種平移得到的，點A與點A′，點B與點B′，點C與點C′分別對應(yīng)，且這六個點都在格點上，觀察各點以及各點坐標(biāo)之間的關(guān)系，解答下列問題：（1）分別寫出點B和點B′的坐標(biāo)，并說明三角形A′B′C′是由三角形ABC經(jīng)過怎樣的平移得到的；（2）連接BC′，直接寫出∠CBC′與∠B′C′O之間的數(shù)量關(guān)系；（3）若點M（a﹣1，2b﹣5）是三角形ABC內(nèi)一點，它隨三角形ABC按（1）中方式平移后得到的對應(yīng)點為點N（2a﹣7，4﹣b），求a和b的值．【答案】∠CBC′-∠B′C′O=90°【分析】（1）由圖形可得出點的坐標(biāo)和平移方向及距離；（2）根據(jù)平移的性質(zhì)和平角的定義和平行線的性質(zhì)即可求解；（3）根據(jù)以上所得平移方式，利用“橫坐標(biāo)，右移加，左移減；縱坐標(biāo)，上移加，下移減”的規(guī)律列出關(guān)于a、b的方程，解之求得a、b的值．【解答】解：（1）由圖知，B（2，1），B′（﹣1，﹣2），三角形A′B′C′是由三角形ABC向左平移3個單位，向下平移3個單位得到的；（2）∠CBC′與∠B′C′O之間的數(shù)量關(guān)系∠CBC′﹣∠B′C′O＝90°．故答案為：∠CBC′﹣∠B′C′O＝90°；（3）由（1）中的平移變換得a﹣1﹣3＝2a﹣7，2b﹣5﹣3＝4﹣b，解得a＝3，b＝4．故a的值是3，b的值是4．【知識點】坐標(biāo)與圖形變化-平移22.在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（a，b）且a，b滿足|a﹣2|＝﹣（b+1）2．（1）求A的坐標(biāo)；（2）①將OA繞O點順時針旋轉(zhuǎn)90°得OE，求E點的坐標(biāo)；②連接AE交y軸于點M，OE與x軸負(fù)半軸的夾角的平分線與∠OME的平分線相交于N，求∠N的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)非負(fù)性得出a，b的值，從而得出點A的坐標(biāo)；（2）①正確作出圖形，根據(jù)圖形即可確定E的坐標(biāo)；②利用角平分線的定義以及三角形內(nèi)角和定理即可求得．【解答】解：（1）∵|a﹣2|＝﹣（b+1）2，∴a﹣2＝0，b+1＝0，解得：a＝2，b＝﹣1，∴A（2，﹣1）；（2）①點的坐標(biāo)為（2，﹣1）．根據(jù)旋轉(zhuǎn)中心O，旋轉(zhuǎn)方向順時針，旋轉(zhuǎn)角度90°，從而得E點坐標(biāo)為（﹣1，﹣2）；②設(shè)∠EOM＝α，則∠COE＝90°﹣α，∴∠EON＝（90°﹣α）＝45°﹣α，∴∠MON＝∠EON+α＝45°+α，∵∠AOE＝90°，OA＝OE，∴∠E＝45°，∴∠OME＝180°﹣45°﹣α，∴∠OMN＝∠OME＝90°﹣22.5°﹣α，∴∠OMN+∠MON＝112.5°∴∠N＝180°﹣（∠MON+∠OMN）＝180°﹣112.5°＝67.5°．【知識點】非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對值、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方、坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)23.（1）已知點P（2x+3，4x﹣7）的橫坐標(biāo)減縱坐標(biāo)的差為6，求這個點到x軸、y軸的距離；（2）已知點A（2x﹣3，6﹣x）到兩坐標(biāo)軸的距離相等，且在第二象限，求點A的坐標(biāo)；（3）已知線段AB平行于y軸，點A的坐標(biāo)為（﹣2，3），且AB＝4，求點B的坐標(biāo)．【分析】（1）根據(jù)橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的關(guān)系列方程求出x，再求出點P的坐標(biāo)，然后根據(jù)點到x軸的距離等于縱坐標(biāo)的長度，點到y(tǒng)軸的距離等于橫坐標(biāo)的長度解答；（2）根據(jù)題意列不等式，即可得到結(jié)論；（3）線段AB∥y軸，把點A向下或上平移4個單位即可得到B點坐標(biāo)．【解答】解：（1）根據(jù)題意得，（2x+3）﹣（4x﹣7）＝6，解得，x＝2，∴P（7，1），∴這個點到x軸的距離是1，到y(tǒng)軸的距離是7；（2）∵A（2x﹣3，6﹣x）在第二象限，∴2x﹣3＜0，6﹣x＞0，根據(jù)題意得，﹣（2x﹣3）＝6﹣x，解得，x＝﹣3，∴A（﹣9，9）；（3）∵線段AB平行于y軸，點A的坐標(biāo)為（﹣2，3），∴點B點的橫坐標(biāo)是﹣2，又∵AB＝4，∴當(dāng)B點在A點上方時，B點的縱坐標(biāo)是3+4＝7，當(dāng)B點在A點下方時，B點的縱坐標(biāo)是3﹣4＝﹣1，∴B點坐標(biāo)是（﹣2，7）或（﹣2，﹣1）．【知識點】坐標(biāo)與圖形性質(zhì)24.如圖，長方形OABC中，O為平面直角坐標(biāo)系的原點，A點的坐標(biāo)為（4，0），C點的坐標(biāo)為（0，6），點B在第一象限內(nèi)，點