2023年考研數(shù)學(xué)（二）試題及答案解析

2023年全國碩士研究生招生考試數(shù)學(xué)（二）參考答案【解析】（方法一）則所求斜漸近線方程為'=e(方法二)、=Hln(e+占)=工+招+其中-7)=0,則所求斜漸近線方程為/=工+§.[,1&,1wo,)&=<|cosxdx>x>0,[ln(x+』T+1)+G,?z<0,為連續(xù)函數(shù)，所以G=I+C2,|/(x)dx=fln(x+7x2+l)+l+C,?r<0,[(z+1)sinx+cos1+C,?z>0.-1由遞推關(guān)系可知均為單調(diào)減數(shù)列，且為無窮小.由少=萬,Hth=V：可知,由于sinx>7x°<-<7，則由Xi==sinx?可知，1則o則oVB0,故當(dāng)〃—8時,以是的高階無窮小.2【解析】微分方程的特征方程為冒+辦+3=0,特征根為九2若a2-4b>0,則特征方程有兩個實根且Az尹A2.微分方程的解為v=Ge"+C2e^在（一8,+8）上無界.2微分方程的解為3-=（G+Gz）e”，在（-00,4-00）上無界.若a2-46<0,則A.,2=-a士微分方程的解為y=eT^1（Gcos—^~x+Gsin"%"*□.如果此解在（一8,+oo）上有界，則a=0,進而6>0.【評注】本題還可從選項出發(fā)，驗證只有（C）符合條件.【解析】當(dāng)ttNO時,，當(dāng)yo時ny=—xsinz.貝!1y=〈.=0*0)=笑=o,得7(0)=0.=v0,z=0,=v-2-由此可知/義（0□=lim二必*二買空z=-2,可知/□0□不存在.【評注】泰勒公式判斷導(dǎo)數(shù)存在性.又搭（0□=音按【解析】廣義積分當(dāng)a>。時收斂，所以-(a)的定義域為a>0.當(dāng)a>0時，f()=「8&=r+o°=__]+8=]>o,o<g<-ln,記g(a)=a(ln2)a9g\a)=(In2)。+a(ln2)aln(ln2)<V。，a>-raT2)*所以在ao=-點取得最EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up3(大),ln)a)在a。=一j#芥點取得最小值.【解析】由/(x)=(x2+a)ex可知，f'(工)=(x2+2工+a)ex,f"(x)=(x2+4工+a+2)ex,要使得y(z)沒有極值，二次多項式x2+2x+a的判別式△=4—4a(0,a21；要使得/'(*)有拐點，二次多項式x2+4x+(a+2)的判別式△=16—4(a+2)>0,a<2.所以a￡[1,2).【解析】(方法一)分別令(A)(B)(C)(D)選項中的矩陣為L,LA4不能保證IAB-不正確.\E-AB\|B….,不正確.■\A\\B\EO-O\A\\B\B~'.O1A|B--【評注】本題用到分塊矩陣的逆或伴隨，設(shè)Ae，3eEQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up8(一A),1A)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up8(CB),B)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up9("A),B)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up9(~),C)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up9(O),B)=EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up9(B),礦)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up9(A),CV)1廣|BI-AB1—AO'.?-BA-1EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up7(B),O)1-'【解析】（方法一）配方法x2X3Zl+$12+（方法二）合同變換法二次型對應(yīng)的對稱矩陣A=111-344-3._令p__01,x=Py,則f=yi—境.（方法三）特征值2二次型對應(yīng)的對稱矩陣A=1A-2-1-34-14-3由|AE—4|=-1A+：3-4=A(A+7)(A-3)=0,得A的特征值為3,--1-4A+3故正慣性指數(shù)為1,負慣性指數(shù)為1,故選（B）.（方法四）可逆線性變換Z]=X1+x2》令Yz2=X1+工3,則/=+Z2—4□。一五）2=—3好—3zf+8—羽再由配方法、合同變化法或特征值.-340一二次型對應(yīng)的矩陣4=4-30,人的特征值為次一7,0,正慣性指數(shù)為1,負慣性指數(shù)【解析】設(shè)y=xiQi+x2a2=aA+了4。2,即(*)Cl\+X2U2—^3fll—Z4“2=(*)下面求解該方程組：行初等變換行最簡形),方程組(*)與Y工2=X4,同解.0正確答案為(D).【解析】由題設(shè)知1=lim皿+I氣,2+I就11+1力、=limar+bx2+x----o(x2)l。e，一cos工l。[]+工2+。3)]__[]__蘇+。(了2)](a+1)工+(b--捽+。(了2)=lim------------------------------------------?l。^-x2+o(x2)則q=—1=2.故ab=—2.(12)【答案】73+j-n.【解析】、=「媚的定義域為[一,,屈J-VT【解析】當(dāng)x=y=1時，#+；2=1,得z=0.方程ez+j:z=2x—y兩邊對x求偏導(dǎo)，有e*?教+z+*靜=2.①①式兩端再對z求偏導(dǎo)數(shù)，有將x=y=l,z=0代入①再將t=y=l,z=0,|^=1代入②得I=—V*【解析】將X=1代入3x3=+2j3得y=1.等式3x3=+2y3兩端對x求導(dǎo)得9x2=syy+6yy.將z=1，v=1代入上式得y(1)=號，所以，曲線3^3=J/5+2y3在z=1對應(yīng)點處的法線斜率F(15)【答案】y.【解析】/(x)dx=J/(x)dx+[/(x)dx.【解析】已知題中方程組有解，所以r(A)=r(B),其中又因為1a1=4丈0,所以r(A)=3,從而r(B)=3,|B|=0.b1aI)設(shè)曲線V=在點&,少處的切線方程為Y—y=yf(X—x),則在、軸上的截距為y—xyr,從而有x=y—xy.即3/---y=—1,解此方程得-7-由3^(e2)=0可知，C=2,則=x(2—Inx(D)設(shè)曲線y=x(2—Inx)在點(了以)處的切線方程為丫一了=3/(乂一1),令X=。得Y=廠書'=工,令Y=。得X=畚丁該切線與兩坐標軸所圍三角形的面積為則S'G)=f^^S")=°得駐點，=』，且當(dāng)eVz<e號時,S'(工)vo,當(dāng)疾<工時,S'&)>0,故S(x)在x=ei處取最小值，最小值為S(J)=e3.因而所求點為(G，號e*)，所圍三角形的最小面積為e3.(18)【解】由得駐點為(一ei>k,如)以=0,士1,…).可計算、A=f'n=1,B=f,=—sinyeCMy,C—=—x(cosy—sin2>)ecos>,在駐點處，判別式△=B。一AC=-e<-1)*?(-l)*e<-1,<,當(dāng)k為奇數(shù)時,△=e~2>0,不是極值點，當(dāng)k為偶數(shù)時,△=-e2<0,且A=1>0,此時函數(shù)取極小值為f(-e,m=一§,以為偶數(shù)).I)所求面積為(R)所求旋轉(zhuǎn)體體積為=—*(§+arctan|—方法一方法一方法二s-廣—us-廣—u=—In|esct+cott:=ln(72+1).(20)【解】曲線x2+y2—xy=1,x2y2—xy=2的極坐標方程為“1cosOsinO''\cos^sin-8-4訂辛護心=「阿-產(chǎn)(3心打茹荀?rdrEQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up5(l),*)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up5(^o),n2)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up5(dt),MP)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up5(a),t)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up5(n),a)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up5(0),n)蛙.arctan竺W2^3V30 (21)【證明】(I)由泰勒公式可知了+=，l+，其中"介于。與Z之間.①則=f\O)a+a2?(0<；^<a),①Z!/(一a)=-/(0)a+烏襯a，,(—aV恰VO),Z!③①+②得③①+②得/(a)+/(—a)=￥[，頜)+，(宓)]?又r(x)在以，小]上連續(xù)，則必有最小值m和最大值M.而m品[/(小)+/*(爭)]VM.由介值定理知，存在$6[wi]U(-a,a)&得尸=yE/代入③式得/(?)=4〔，(a)+/(-a)].a設(shè)/在ZoE取得極值，則廣&0)=0,由泰勒公式可知/(x)=f)+r(io)(z—Zo)+(x—x0)2=/(xo)+烏目&—io)?,其中S介于io與]之間，/(a)=/(x0)+』并)(a—x0)2，(工oV包Va),I/(a)—/*(—Q)|=，(a—x0)2—)(q+z())2(a+x0)2.崢H(f)2+3i(a+x0)2.r(x)i在[角，&]上連續(xù)，則必有最大值m.u(-a,a),使得|/'3)I=M.|/(a)—/(—a)|<竽[(。一x0)2+(