上海市崇明區(qū)2024-2025學年高三上學期第一次模擬考試數(shù)學試題答案

第1頁/共1頁2024學年第一學期崇明區(qū)高三第一次模擬考試高三數(shù)學考生注意：1．本試卷共4頁，21道試題，滿分150分，考試時間120分鐘．2．本試卷分設(shè)試卷和答題紙．試卷包括試題與答題要求．作答必須涂（選擇題）或?qū)懀ǚ沁x擇題）在答題紙上，在試卷上作答一律不得分．3．答卷前，務(wù)必用鋼筆或圓珠筆在答題紙正面清楚地填寫姓名、準考證號碼等相關(guān)信息．一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，其中1～6題每題4分，7～12題每題5分）1.已知集合，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)交集運算求解.【詳解】因為集合，所以，故答案為：2.不等式的解為__________．【答案】【解析】【分析】將分式不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式后可求原不等式的解.【詳解】不等式的解即為，故原不等式的解為，故答案為：3.若復(fù)數(shù)滿足其中為虛數(shù)單位，則_____.【答案】【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)實虛部分別相等可解.【詳解】解:，則所以，，，故答案為：【點睛】根據(jù)復(fù)數(shù)相等求復(fù)數(shù)，解決的關(guān)鍵是實虛部分別相等求解；基礎(chǔ)題.4.的二項展開式中的系數(shù)為__________．【答案】35【解析】【分析】寫出展開式的通項，利用通項計算可得.【詳解】二項式展開式的通項為（且），令，解得，所以，所以二項展開式中的系數(shù)為.故答案為：5.雙曲線的漸近線方程是__________．【答案】【解析】【分析】將雙曲線方程中的1變?yōu)?后可得漸近線方程.【詳解】雙曲線的漸近線方程為即，故答案為：.6.已知為正實數(shù)，且滿足，則的最大值是______．【答案】100【解析】【分析】利用基本不等式的變形，得到，即可求解.【詳解】因為，所以，當且僅當，即時，等號成立.即的最大值為.故答案為：7.已知，如果，那么實數(shù)的值為______.【答案】4【解析】【分析】根據(jù)向量的坐標表示即可.【詳解】由題意得，則.故答案為：4.8.已知，關(guān)于的方程的解___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的形式分段求解即可.【詳解】等價于或，故，故答案為：9.在空間直角坐標系中，點關(guān)于平面的對稱點的坐標是__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)空間點關(guān)于坐標平面的對稱點特征可求對稱點的坐標.【詳解】點關(guān)于平面的對稱點的坐標為，故答案為：.10.某校四個植樹小隊，在植樹節(jié)這天種下柏樹的棵數(shù)分別為，若這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)相等，那么_____.【答案】或【解析】【分析】利用平均數(shù)，中位數(shù)的性質(zhì)結(jié)合分類討論求解即可.【詳解】當時，將數(shù)據(jù)進行排列，得到，因為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)相等，所以，解得，當時，將數(shù)據(jù)進行排列，得到，因為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)相等，所以，解得，與范圍不符，故排除當時，將數(shù)據(jù)進行排列，得到，因為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)相等，所以，解得，經(jīng)檢驗，和均符合題意.故答案為：或.11.已知，若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有3個零點和1個極小值點，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)零點個數(shù)和極小值點的個數(shù)可得關(guān)于的不等式，故可求其取值范圍.【詳解】當時，，因為函數(shù)在區(qū)間上有且僅有3個零點和1個極小值點，所以，故，故答案為：12.已知函數(shù)的定義域，值域，則函數(shù)為增函數(shù)的概率是__________．【答案】【解析】【分析】求出所有函數(shù)的個數(shù)，再求出增函數(shù)的個數(shù)，利用古典概型的概率公式可求對應(yīng)的概率.【詳解】若函數(shù)的定義域為，值域為，則不同的函數(shù)的個數(shù)為，其中增函數(shù)共有3個：（1）；（2）；（3）；故所求概率為，故答案為：.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，其中13～14題每題4分，15～16題每題5分）13.下列函數(shù)中，在其定義域上既是奇函數(shù)又是嚴格增函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用奇偶性的定義及基本函數(shù)的性質(zhì)逐個判斷即可.【詳解】對于A，的定義域為R，且，所以為奇函數(shù)，又是嚴格增函數(shù)，正確；對于B，的定義域為R，且，所以不為奇函數(shù)，錯誤；對于C，的定義域為0,+∞，不關(guān)于原點對稱，所以不具有奇偶性，嚴格增函數(shù)，錯誤；對于D，的定義域為R，且，所以為奇函數(shù)，但為周期函數(shù)，不是定義域R上的嚴格增函數(shù)，錯誤.故選：A14.已知直線和平面，則“垂直于內(nèi)的兩條直線”是“”的（）．A.充分非必要條件 B.必要非充分條件 C.充要條件 D.非充分非必要條件【答案】B【解析】【分析】利用直線與平面垂直的判定定理，即可得出結(jié)論.【詳解】根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知：如果一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，那么這條直線垂直于這個平面.而“垂直于內(nèi)的兩條直線”，沒有滿足相交，所以不一定能推出直線與平面垂直，但是如果一條直線與平面垂直，一定能推出這條直線垂直于平面內(nèi)的所有直線，即可得：“垂直于內(nèi)的兩條直線”是“”的必要不充分條件.故選：B.15.拋擲一紅一綠兩顆質(zhì)地均勻的骰子，記錄骰子朝上面的點數(shù)，若用表示紅色骰子的點數(shù)，用表示綠色骰子的點數(shù)，用表示一次試驗結(jié)果，設(shè)事件；事件：至少有一顆點數(shù)為6；事件；事件.則下列說法正確的是（

）A.事件與事件為互斥事件 B.事件與事件為互斥事件C.事件與事件相互獨立 D.事件與事件相互獨立【答案】D【解析】【分析】A選項，寫出事件包含情況，得到，A錯誤；B選項，寫出事件包含的情況，結(jié)合A選項，得到，B錯誤；C選項，寫出事件包含的情況，故，C錯誤；D選項，寫出事件和包含的情況，得到，D正確.【詳解】A選項，事件包含的情況有，事件：至少有一顆點數(shù)為6包含的情況有，故，事件與事件不為互斥事件，A錯誤；B選項，事件包含的情況有，故，事件與事件不為互斥事件，B錯誤；C選項，拋擲一紅一綠兩顆質(zhì)地均勻的骰子，共有種情況，故，事件包含的情況為，故，故，故事件與事件不相互獨立，C錯誤；D選項，事件包含的情況有，，共18種情況，故，事件包含的情況有：，故，因為，所以事件與事件相互獨立，D正確.故選：D16.已知數(shù)列，若存在數(shù)列滿足對任意正整數(shù)，都有，則稱數(shù)列是的交錯數(shù)列.有下列兩個命題：①對任意給定的等差數(shù)列，不存在等差數(shù)列，使得是的交錯數(shù)列；②對任意給定的等比數(shù)列，都存在等比數(shù)列，使得是的交錯數(shù)列.下列結(jié)論正確的是（）A.①與②都真命題； B.①為真命題，②為假命題；C.①為假命題，②為真命題； D.①與②都是假命題．【答案】A【解析】【分析】對于①：根據(jù)等差數(shù)列通項公式為一次函數(shù)形式分析判斷；對于②：根據(jù)等比數(shù)列通項公式為指數(shù)型，并舉例說明即可.【詳解】對于①：因為數(shù)列、均為等差數(shù)列，設(shè)，則，若，可知當時，恒成立，不滿足交錯數(shù)列；若，可知的符號不變，不滿足交錯數(shù)列；若，可知當時，恒成立，不滿足交錯數(shù)列；綜上所述：對任意等差數(shù)列、，均不是的交錯數(shù)列，故①正確；對于②：因為數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)，等比數(shù)列的公比為不妨假設(shè)，，此時等比數(shù)列的公比為當為奇數(shù)，則；當為偶數(shù)，則；滿足是的交錯數(shù)列，若等比數(shù)列的公比為，根據(jù)對稱結(jié)構(gòu)，上述結(jié)論依然成立，同理若，，此時等比數(shù)列的公比為當為奇數(shù)，則；當為偶數(shù)，則；滿足是的交錯數(shù)列，若等比數(shù)列的公比為，根據(jù)對稱結(jié)構(gòu)，上述結(jié)論依然成立，綜上所述：對任意給定的等比數(shù)列，都存在等比數(shù)列，使得是的交錯數(shù)列，故②正確；故選：A.【點睛】關(guān)鍵點點睛：數(shù)列是特殊的函數(shù)，根據(jù)數(shù)列的特性，準確構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，借助函數(shù)性質(zhì)分析求解是解題的關(guān)鍵，背景函數(shù)的條件，應(yīng)緊扣題中的限制條件.三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）17.如圖，在直三棱柱中，E、F分別為、的中點，，.（1）求證：平面；（2）求點到平面的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）取中點，可得四邊形是平行四邊形，再由線面平行的判定定理可得答案；（2）利用相等可得答案.【小問1詳解】取中點，連接，則，，又，，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面；【小問2詳解】由（1）點是中點，連接，因為平面，平面，所以，又，且，平面，所以平面，平面，所以，所以，，，所以，，所以為等腰三角形，則，且，所以，設(shè)點到平面的距離為，由得，所以，所以，即點到平面的距離為.18.在中，已知點D是BC邊上一點，且，.（1）若，且，求AD的長；（2）若，，求AD的長（結(jié)果精確到0.01）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）結(jié)合角的關(guān)系，利用二倍角的正切公式列式求解即可.（2）先利用正弦定理求得AC，再利用余弦定理求解即可.【小問1詳解】因為，所以，，又，所以即，解得.【小問2詳解】在中，，由正弦定理得，所以，在中，由余弦定理得.19.王老師將全班40名學生的高一數(shù)學期中考試（滿分100分）成績分成5組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，現(xiàn)將記作第一組，、、、分別記作第二、三、四、五組．已知第一組、第二組的頻率之和為0.3，第一組和第五組的頻率相同．（1）估計此次考試成績的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的中點值代替）；（2）王老師將測試成績在和內(nèi)的試卷進行分析，再從中選2人的試卷進行優(yōu)秀答卷展示，求被選中進行優(yōu)秀答卷展示的這2人的測試成績至少1個在內(nèi)的概率；（3）已知第二組考生成績的平均數(shù)和方差分別為65和40，第四組考生成績的平均數(shù)和方差分別為83和70，據(jù)此計算第二組和第四組所有學生成績的方差．【答案】（1）745（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率之和為1可求的值，根據(jù)組中值可求平均數(shù)；（2）根據(jù)對立事件可求2人的測試成績至少1個在內(nèi)的概率；（3）根據(jù)分層方差和總體方差的關(guān)系式可求第二組和第四組所有學生成績的方差.【小問1詳解】由題意得，解得所以平均數(shù)等于【小問2詳解】由題意，內(nèi)有8人，內(nèi)有2人，所以被選中進行優(yōu)秀答卷展示的這2人的測試成績至少1個在內(nèi)的概率為.【小問3詳解】設(shè)第二組、第四組的平均數(shù)與方差分別為，由題意，第二組、第四組分別有10人和8人，所以成績在第二組、第四組的平均數(shù)成績在第二組、第四組的方差故估計成績在第二組、第四組方差是.20.已知橢圓，點、分別是橢圓的下焦點和上焦點，過點的直線與橢圓交于A、B兩點．（1）若直線平行于軸，求線段AB的長；（2）若點A在y軸左側(cè)，且，求直線l的方程；（3）已知橢圓上的點C滿足，是否存在直線l使得的重心在x軸上？若存在，請求出直線l的方程，若不存在，請說明理由．【答案】（1）3（2）或（3）存在，或或【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓方程求出直線與橢圓交點的橫坐標后可求；（2）設(shè)，根據(jù)點在橢圓上和可得關(guān)于的方程組，求出其解后可得直線方程；（3）就斜率是否存在分類討論，若斜率存在，則聯(lián)立直線方程和橢圓方程，利用韋達定理結(jié)合中心在軸上求出的縱坐標，再根據(jù)求出的橫坐標，代入橢圓方程可求斜率.【小問1詳解】由題意，、，所以直線的方程是，代入中，得，所以【小問2詳解】設(shè)，則所以，又，所以所以點坐標是或，所以直線的方程是或.【小問3詳解】當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，代入中，得，此時，設(shè)、、，則，所以中點.又的重心在軸上，所以，即，故，因為，所以，所以，因為，所以，所以，所以，因為點在橢圓上，所以，解得或當直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時、恰為長軸頂點，點為短軸頂點，滿足題意．綜上所述，存在直線l使得的重心在軸上，其方程為：或或.【點睛】思路點睛：圓錐曲線中的直線的存在性問題，可直線滿足的幾何性質(zhì)轉(zhuǎn)化為坐標的關(guān)系，再結(jié)合韋達定理轉(zhuǎn)化為參數(shù)的方程，從而求出參數(shù)的值.21.定義：若曲線和曲線有公共點P，且曲線在點P處的切線與曲線在點P處的切線重合，則稱與在點P處“一線切”.（1）已知圓與曲線在點處“一線切”，求實數(shù)a的值；（2）設(shè)，，若曲線與曲線在點P處“一線切”，求實數(shù)a的值；（3）定義在上的函數(shù)的圖象為連續(xù)曲線，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，對任意的，都有成立.是否存在點使得曲線和曲線在點處“一線切”？若存在，請求出點的坐標，若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）（3）不存在點滿足條件，理由見解析【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求出曲線在點處的切線方程，再根據(jù)圓心到切線的距離為半徑可求的值；（2）設(shè)出公切點，則可得關(guān)于切點橫坐標與的方程組，解方程組可求得的值；（3）假設(shè)存