2024-2025學(xué)年廣東省江門市臺山一中高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年廣東省江門市臺山一中高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.直線x?y+1=0的傾斜角是(

)A.π6 B.π4 C.π32.已知α，β是兩個不重合的平面，且直線l⊥α，則“α⊥β”是“l(fā)//β”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.已知一組數(shù)據(jù)：2，5，7，x，10的平均數(shù)為6，則該組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為(

)A.7 B.6.5 C.6 D.5.54.直線l1：ax?y+2025=0，l2：(3a?2)x+ay?2a=0，若l1⊥l2A.0 B.1 C.0或1 D.13或5.已知點Q(1,2,3)，平面α={P|n?PQ=0}，其中n=(2,?1,2)，則點A(?1,0,1)到平面A.53 B.73 C.2 6.已知點P是橢圓x225+y216=1上一動點，Q是圓(x+3)A.4 B.5 C.6 D.77.已知正三角形ABC的邊長為1，D在平面ABC內(nèi)，若向量AD滿足AD2?4AD?AB+3=0A.3+1 B.3?1 C.8.如圖，在四棱錐P?ABCD中，O是正方形ABCD的中心，PO⊥底面ABCD，PA=5，AB=2，則四棱錐P?ABCD內(nèi)切球的體積為(

)A.354π

B.4327二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.下列說法正確的是(

)A.用簡單隨機(jī)抽樣從含有50個個體的總體中抽取一個容量為10的樣本，個體m被抽到的概率是0.2

B.已知一組數(shù)據(jù)1，2，m，6，7的平均數(shù)為4，則這組數(shù)據(jù)的方差是5

C.數(shù)據(jù)27，12，14，30，15，17，19，23的50%分位數(shù)是17

D.若樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的標(biāo)準(zhǔn)差為8，則數(shù)據(jù)2x1?1，210.拋擲一枚骰子兩次.設(shè)“第一次向上的點數(shù)是2”為事件A，“第二次向上的點數(shù)是奇數(shù)”為事件B，“兩次向上的點數(shù)之和能被3整除”為事件C，則下列說法正確的是(

)A.事件A與事件B互為對立事件 B.P(BC)=16

C.P(AB?∪BC?11.如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1，線段B1D1A.當(dāng)E點運動時，A1C⊥AE總成立

B.當(dāng)E向D1運動時，二面角A?EF?B逐漸變小

C.二面角E?AB?C的最小值為45°

D.三棱錐三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.兩直線3x+y?3=0與6x+my?1=0平行，則它們之間的距離為______．13.甲、乙兩隊進(jìn)行籃球決賽，采取七場四勝制(當(dāng)一隊贏得四場勝利時，該隊獲勝，決賽結(jié)束).根據(jù)前期比賽成績，甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主”.設(shè)甲隊主場取勝的概率為0.6，客場取勝的概率為0.5，且各場比賽結(jié)果相互獨立，則甲隊以4：1獲勝的概率是

．14.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓M：x2+y2+2x=1，直線l：2x?y?3=0，過l上一點P作圓M的切線，切點為A四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知平面直角坐標(biāo)系中，圓O：x2+y2=8，點P(?4,2)，

(1)若A是圓O上的動點，線段AP的中點為M，求M的軌跡方程；

(2)以O(shè)P為直徑的圓交圓O于C，D16.(本小題15分)

如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，底面是等腰三角形，∠ACB=120°，AC=BC=AA1，D，E分別是棱AB，B1C1的中點．

(1)求證：DE//平面17.(本小題15分)

某中學(xué)為了組建一支業(yè)余足球隊，在高一年級隨機(jī)選取50名男生測量身高，發(fā)現(xiàn)被測男生的身高全部在160?cm到184?cm之間，將測量結(jié)果按如下方式分成六組：第1組[160,164)，第2組[164,168)，…，第6組[180,184]，如圖是按上述分組得到的頻率分布直方圖，以頻率估計概率．

(1)若學(xué)校要從中選1名男生擔(dān)任足球隊長，求被選取的男生恰好在第5組或第6組的概率；(2)試估計該校高一年級全體男生身高的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表)與中位數(shù)；(3)現(xiàn)在從第5與第6組男生中選取兩名同學(xué)擔(dān)任守門員，求選取的兩人中最多有1名男生來自第5組的概率．18.(本小題17分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD//BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q為AD的中點，M是棱PC上的點，PA=PD=2，BC=12AD=1，CD=3．

(1)求證：平面PQB⊥平面PAD；

(2)設(shè)PM=tMC，若二面角M?BQ?C的平面角的大小為30°19.(本小題17分)

定義：M是圓C上一動點，N是圓C外一點，記|MN|的最大值為m，|MN|的最小值為n，若m=2n，則稱N為圓C的“黃金點”；若G同時是圓E和圓F的“黃金點”，則稱G為圓“E?F”的“鉆石點”.已知圓A：(x+1)2+(y+1)2=13，P為圓A的“黃金點”

(1)求點P所在曲線的方程．

(2)已知圓B：(x?2)2+(y?2)2=1，P，Q均為圓“A?B”的“鉆石點”．

(ⅰ)求直線PQ的方程．

(ⅱ)若圓H是以線段PQ為直徑的圓，直線l：y=kx+13與圓H交于I，參考答案1.B

2.B

3.B

4.C

5.C

6.C

7.A

8.B

9.AD

10.BC

11.ACD

12.1013.0.18

14.3

15.解：(1)設(shè)M(x,y)，A(x0,y0)，

根據(jù)M為AP中點，可得x=x0?42y=y0+22，整理得x0=2x+4y0=2y?2，

將A(2x+4,2y?2)代入圓O方程，可得(2x+4)2+(2y?2)2=8，

化簡得(x+2)2+(y?1)2=2，即為點M的軌跡方程．

綜上所述，動點M的軌跡方程為(x+2)2+(y?1)2=2；

(2)如圖所示：

OP的中點坐標(biāo)為(?2,1)，且|OP|=16+4=25，

可得以O(shè)P為直徑的圓的方程為(x+2)2+(y?1)2=5，即x2+y216.(1)證明：在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC=BC，∠ACB=120°，取AB中點D，連接CD，

則CD⊥AB，過點D作Dz//AA1，由AA1⊥平面ABC，得Dz⊥平面ABC，

則直線DB，DC，Dz兩兩垂直，以點D為原點，直線DB，DC，Dz分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)AC=2，則D(0,0,0),A(?3,0,0),C(0,1,0),C1(0,1,2),E(32,12,2)，

則DE=(32,12,2)，AC=(3,1,0)，AC1=(3,1,2)，

設(shè)平面ACC1A1的法向量n=(x,y,z)，

則n?AC=0n?AC1=0，即3x+y=03x+y+2z=0，

取x=1，得n=(1,?3,0)，

于是DE?n=32?32+0=0，

即DE17.解：(1)學(xué)校要從中選1名男生擔(dān)任足球隊長，

由頻率分布直方圖得被選取的男生恰好在第5組或第6組的概率：

P=(0.02+0.01)×4=0.12．

(2)估計該校高一年級全體男生身高的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表)為：

x?=162×0.05×4+166×0.07×4+170×0.08×4+174×0.02×4+178×0.02×4+182×0.01×4=168.72．

由頻率分布直方圖得[160,168)的頻率為：

(0.05+0.07)×4=0.48，

[168,172)的頻率為：0.08×4=0.32，

∴中位數(shù)為：168+0.5?0.480.32×4=168.25．

(3)第5組有：0.02×4×50=4名男生，

第6組有：0.01×4×50=2名男生，

現(xiàn)在從第5與第6組男生中選取兩名同學(xué)擔(dān)任守門員，

基本事件部數(shù)n=C62=15，

選取的兩人中最多有1名男生來自第5組包含的基本事件個數(shù)：

m=C418.(1)求證：∵AD/?/BC，BC=12AD，Q為AD的中點，

∴四邊形BCDQ為平行四邊形，∴CD//BQ．

∵∠ADC=90°，∴∠AQB=90°，即QB⊥AD．

又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，BQ?平面ABCD，

∴BQ⊥平面PAD．

∵BQ?平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD；

(2)解：∵PA=PD，Q為AD的中點，∴PQ⊥AD．

∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴PQ⊥平面ABCD．

如圖，以Q為原點建立空間直角坐標(biāo)系．

則面BQC的法向量為n=(0,0,1)；

Q(0,0,0)，P(0,0,3)，B(0,3,0)，C(?1,3,0).

設(shè)M(x,y,z)，則PM=(x,y,z?3)，MC=(?1?x,3?y,?z)，

∵PM=tMC，∴PM=tMC，則x=t(?1?x)y=t(3?y)z?3=t(?z)，

即x=?t1+t,y=3t1+t,z=31+t，

在平面19.解：(1)由題，點P為圓A的“黃金點”，

所以|PA|+33=2(|PA|?33)，

解得|PA|=3，

故點P的軌跡是以A(?1,?1)為圓心，3為半徑的圓，

所以點P所在曲線的方程為(x+1)2+(y+1)2=3；

(2)(ⅰ)由題有，|PB|+1=2(|PB|?1)，

則|PB|=3，即點P在圓(x?2)2+(y?2)2=9上，

所以P是圓(x+1)2+(y+1)2=3和(x?2)2+(y?2)2=9的交點，

因為P，Q均為圓“A?B”的“鉆石點”，

所以