安徽省阜陽市阜陽第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（含解析）

阜陽一中2024—2025學(xué)年高二年級(jí)（上）月考試卷說明：1．考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分考試時(shí)間：2024．112．答題前請(qǐng)把答題卷上的所有信息填寫完整，并把所有答案填寫在答題卷上.一、選擇題Ⅰ（本大題共8題，每題5分，共計(jì)40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)最符合題目要求.）1．直線的傾斜角是（

）A． B． C． D．不存在2．已知圓關(guān)于直線對(duì)稱，則（

）A． B．1 C． D．03．已知橢圓的一個(gè)短軸端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的內(nèi)切圓半徑為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．4．如圖，在正方體中，為的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．5．從點(diǎn)向圓引兩條切線，，切點(diǎn)分別為，，且四邊形的面積為2，則不滿足條件的點(diǎn)所在區(qū)域的面積為（

）A． B． C． D．6．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，若，則線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（

）A．3 B．4 C．5 D．67．如圖，在三棱錐中，“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．充要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件8．已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為、，左、右焦點(diǎn)分別為、．現(xiàn)有如下命題：①右支上存在點(diǎn)滿足為等腰三角形，，且；②右支上不存在點(diǎn)滿足為等腰三角形，，且．那么下列判斷正確的是（

）A．①②都是真命題 B．①是真命題，②是假命題C．①是假命題，②是真命題 D．①②都是假命題二、選擇題Ⅱ（本大題共3題，每題6分，共計(jì)18分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9．已知直線，圓，則（

）A．不過定點(diǎn) B．與相交C．圓心到的距離的最大值為1 D．是的一個(gè)方向向量10．如圖，在四棱錐，平面，底面是平行四邊形，與交于點(diǎn)，則（

）A．B．C．點(diǎn)到的距離為D．11．已知曲線，其中，則（

）A．曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱B．曲線上存在橫坐標(biāo)大于1的點(diǎn)C．若，曲線與軸圍成的面積大于D．三、填空題（本大題共3題，每題5分，共計(jì)15分.）12．將直線繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的直線方程是．13．空間中，，，，，且平面，則．14．已知曲線與圓交于，，，四個(gè)點(diǎn)，且四邊形的面積為4，則圓的面積為．四、解答題（本大題共5題，共計(jì)77分.）15．已知向量，，，且．(1)求；(2)若向量與垂直，求．16．已知直線，，，．(1)證明：與的交點(diǎn)不在軸上；(2)已知與交于點(diǎn)，，分別與軸交于，點(diǎn)，記的面積為，求的取值范圍．17．已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足，記其軌跡為，與軸交于點(diǎn)，過（異于點(diǎn)）作直線的垂線．(1)求曲線的方程；(2)記到的距離為，到的距離為，證明：為定值．18．如圖，多面體中，四邊形為等腰梯形，四邊形為矩形，為上一點(diǎn)，且，．

(1)證明：平面平面；(2)若二面角為直二面角，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，求：①多面體的體積；②平面與平面所成銳二面角的余弦值．19．如圖，已知拋物線，直線依次與，軸交于點(diǎn)，直線依次與，軸交于點(diǎn)，其中，．(1)若，且，求；(2)若，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，證明：①；②．

答案1．A解析：由且，易知斜率為1，直線傾斜角為.故選：A2．B解析：由題意直線過圓心，則.故選：B3．A解析：由題設(shè)，焦點(diǎn)三角形的周長為，面積為，又其內(nèi)切圓半徑為，所以.故選：A4．C解析：由題設(shè)，易知，且，.故選：C5．B解析：由題設(shè)，易知，，且，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以滿足條件的點(diǎn)所在區(qū)域以為圓心，半徑范圍為，則不滿足條件點(diǎn)所在區(qū)域以為圓心，半徑范圍為，故面積為.故選：B6．B解析：由題設(shè)，令，聯(lián)立拋物線得，顯然，所以，，則，所以，可得，又，故線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4.故選：B7．B解析：若分別是中點(diǎn)，連接，若，則，可得，所以，即，所以，即，所以，充分性成立；若，則，所以，即，必要性成立，故選：B8．D解析：若，且，設(shè)，則，由，則，此時(shí)為雙曲線的右頂點(diǎn)，即重合，與為等腰三角形矛盾，①為假命題；若，則，又，即，則，此時(shí)，結(jié)合雙曲線的性質(zhì)知重合，與為等腰三角形矛盾，②為假命題；

故選：D9．BC解析：由過定點(diǎn)，圓心，半徑為，而，即在圓內(nèi)，A錯(cuò)，B對(duì)，如下圖，當(dāng)時(shí)，圓心到的距離的最大值為1，C對(duì)；由，故是的一個(gè)方向向量，顯然不與向量平行，所以不是的一個(gè)方向向量，錯(cuò).故選：BC10．ABD解析：A：由題意有，所以，對(duì)；B：，由平面，平面，則，，所以，對(duì)；C：由，則，所以點(diǎn)到的距離為，錯(cuò)；D：由，由，則，對(duì).故選：ABD11．ACD解析：A：曲線任取一點(diǎn)，其關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，代入曲線，得，即，所以曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，對(duì)；B：由對(duì)稱性，只需研究部分曲線，此時(shí)，所以，對(duì)應(yīng)關(guān)于的二次函數(shù)開口向上，對(duì)稱軸，若存在橫坐標(biāo)大于1的點(diǎn)，即方程在上有解，所以，即，與矛盾，錯(cuò)；D：結(jié)合對(duì)稱性，只需研究部分，且，當(dāng)時(shí)，或，所以為與曲線交點(diǎn)縱坐標(biāo)，是與曲線交點(diǎn)縱坐標(biāo)，聯(lián)立與曲線，得，即，將代入左側(cè)，得，即；聯(lián)立與曲線，得，即，將代入左側(cè)，得，即，綜上，，對(duì)；C：由對(duì)稱性，只需研究且的曲線部分，其上界滿足，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，而，顯然，對(duì)于圓，其面積為，上界高于曲線的上界，下界高于曲線的下界，且，上述圓與已知曲線均過，即它們的左右邊界重合，易知該部分曲線圍成的圖形面積大于，對(duì)；故選：ACD12．解析：因?yàn)橹本€的斜率為1，所以其傾斜角為.將其順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，所得直線的傾斜角為，所以所求直線的斜率為：.所以所求直線方程為：即.故答案為：13．解析：因?yàn)?，，，，，，所以；設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，可得，可得法向量，由平面可得，即可得，經(jīng)檢驗(yàn)均滿足題意.故答案為：.14．解析：由，即為過一、三象限的雙曲線，如下圖示，根據(jù)對(duì)稱性，、分別關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且四邊形為矩形，不妨令且，則，則，故，所以，又，所以，即，所以，若（負(fù)值舍），此時(shí)，則，圓的面積為；若（負(fù)值舍），此時(shí)，則，圓的面積為；綜上，圓的面積為.故答案為：15．(1)；(2).解析：（1）由，即，所以，整理得；（2）由，又向量與垂直，所以，所以.16．(1)證明見解析；(2).解析：（1）聯(lián)立，可得，又，，所以，即與的交點(diǎn)不在軸上；（2）由（1）知，，由，令，有，由，令，可得，則，所以，故，令，則，對(duì)于，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等，所以，故，則.所以.17．(1)且；(2)證明見解析；解析：（1）由題設(shè)，則，所以所求曲線方程為且.（2）由題設(shè)及圓的性質(zhì)，顯然直線斜率必存在，如下圖，不妨設(shè)，且，則到的距離為，到的距離為，令且，則，故，所以，則，綜上，，為定值.18．(1)證明見解析(2)①；②解析：（1）

取中點(diǎn)為，連接，因?yàn)?，．所以，，又因?yàn)樗倪呅螢榈妊菪危?，又因?yàn)椋运倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以，又因?yàn)椋匀切螢榈妊切?，又因?yàn)椋?，為中點(diǎn)，所以，又因?yàn)樗倪呅螢榈妊菪?，所以，所以又因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所以，又因?yàn)?，面，所以面，又因?yàn)槊妫云矫嫫矫妫?）①過點(diǎn)作與交于點(diǎn)，連接，由（1）知，面，面，所以，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所以，所以為二面角的平面角，因?yàn)槎娼菫橹倍娼牵?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以三棱錐的體積最大時(shí)，，所以多面體的體積.②取中點(diǎn)為，過作的平行線為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，所以，則，，，設(shè)面的法向量為m=x則，令，則，則，設(shè)面的法向量為n=x則，令，則，則，所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為，所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為.19．(1)2(2)①證明見解析；②證明見解析解析：（1）由直線，直線，可知，如圖，設(shè)兩平行線之間的距離為，則點(diǎn)到邊的距離與點(diǎn)到邊的距離都等于