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文檔簡介
2025屆上海嘉定區(qū)高三3月份第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知雙曲線的一條漸近線為,圓與相切于點,若的面積為,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.2.在中,為上異于,的任一點,為的中點,若,則等于()A. B. C. D.3.已知復(fù)數(shù),若,則的值為()A.1 B. C. D.4.在四邊形中,,,,,,點在線段的延長線上,且,點在邊所在直線上,則的最大值為()A. B. C. D.5.設(shè)(是虛數(shù)單位),則()A. B.1 C.2 D.6.已知函數(shù),若不等式對任意的恒成立,則實數(shù)k的取值范圍是()A. B. C. D.7.如圖,正方形網(wǎng)格紙中的實線圖形是一個多面體的三視圖,則該多面體各表面所在平面互相垂直的有()A.2對 B.3對C.4對 D.5對8.已知復(fù)數(shù),則對應(yīng)的點在復(fù)平面內(nèi)位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限9.已知向量滿足,且與的夾角為,則()A. B. C. D.10.已知復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù),則為A. B. C. D.11.已知集合,,則A. B. C. D.12.《九章算術(shù)》“少廣”算法中有這樣一個數(shù)的序列:列出“全步”(整數(shù)部分)及諸分子分母,以最下面的分母遍乘各分子和“全步”,各自以分母去約其分子,將所得能通分之分?jǐn)?shù)進(jìn)行通分約簡,又用最下面的分母去遍乘諸(未通者)分子和以通之?dāng)?shù),逐個照此同樣方法,直至全部為整數(shù),例如:及時,如圖:記為每個序列中最后一列數(shù)之和,則為()A.147 B.294 C.882 D.1764二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,在中,,,,點在邊上,且,將射線繞著逆時針方向旋轉(zhuǎn),并在所得射線上取一點,使得,連接,則的面積為__________.14.設(shè)為偶函數(shù),且當(dāng)時,;當(dāng)時,.關(guān)于函數(shù)的零點,有下列三個命題:①當(dāng)時,存在實數(shù)m,使函數(shù)恰有5個不同的零點;②若,函數(shù)的零點不超過4個,則;③對,,函數(shù)恰有4個不同的零點,且這4個零點可以組成等差數(shù)列.其中,正確命題的序號是_______.15.已知函數(shù)若關(guān)于的不等式的解集為,則實數(shù)的所有可能值之和為_______.16.在某批次的某種燈泡中,隨機(jī)抽取200個樣品.并對其壽命進(jìn)行追蹤調(diào)查,將結(jié)果列成頻率分布表如下:壽命(天)頻數(shù)頻率40600.30.4200.1合計2001某人從燈泡樣品中隨機(jī)地購買了個,如果這個燈泡的壽命情況恰好與按四個組分層抽樣所得的結(jié)果相同,則的最小值為______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在直三棱柱中,,,D,E分別為AB,BC的中點.(1)證明:平面平面;(2)求點到平面的距離.18.(12分)在中,角A、B、C的對邊分別為a、b、c,且.(1)求角A的大??;(2)若,的平分線與交于點D,與的外接圓交于點E(異于點A),,求的值.19.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時,求函數(shù)的值域;(2)的角的對邊分別為且,,求邊上的高的最大值.20.(12分)(1)求曲線和曲線圍成圖形的面積;(2)化簡求值:.21.(12分)某大型公司為了切實保障員工的健康安全,貫徹好衛(wèi)生防疫工作的相關(guān)要求,決定在全公司范圍內(nèi)舉行一次普查,為此需要抽驗1000人的血樣進(jìn)行化驗,由于人數(shù)較多,檢疫部門制定了下列兩種可供選擇的方案.方案①:將每個人的血分別化驗,這時需要驗1000次.方案②:按個人一組進(jìn)行隨機(jī)分組,把從每組個人抽來的血混合在一起進(jìn)行檢驗,如果每個人的血均為陰性,則驗出的結(jié)果呈陰性,這個人的血只需檢驗一次(這時認(rèn)為每個人的血化驗次);否則,若呈陽性,則需對這個人的血樣再分別進(jìn)行一次化驗,這樣,該組個人的血總共需要化驗次.假設(shè)此次普查中每個人的血樣化驗呈陽性的概率為,且這些人之間的試驗反應(yīng)相互獨立.(1)設(shè)方案②中,某組個人的每個人的血化驗次數(shù)為,求的分布列;(2)設(shè),試比較方案②中,分別取2,3,4時,各需化驗的平均總次數(shù);并指出在這三種分組情況下,相比方案①,化驗次數(shù)最多可以平均減少多少次?(最后結(jié)果四舍五入保留整數(shù))22.(10分)已知函數(shù).(1)討論函數(shù)單調(diào)性;(2)當(dāng)時,求證:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
由圓與相切可知,圓心到的距離為2,即.又,由此求出的值,利用離心率公式,求出e.【詳解】由題意得,,,.故選:D.【點睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì),直線與圓相切的性質(zhì),離心率的求法,屬于中檔題.2、A【解析】
根據(jù)題意,用表示出與,求出的值即可.【詳解】解:根據(jù)題意,設(shè),則,又,,,故選:A.【點睛】本題主要考查了平面向量基本定理的應(yīng)用,關(guān)鍵是要找到一組合適的基底表示向量,是基礎(chǔ)題.3、D【解析】由復(fù)數(shù)模的定義可得:,求解關(guān)于實數(shù)的方程可得:.本題選擇D選項.4、A【解析】
依題意,如圖以為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系,表示出點的坐標(biāo),根據(jù)求出的坐標(biāo),求出邊所在直線的方程,設(shè),利用坐標(biāo)表示,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值.【詳解】解:依題意,如圖以為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系,由,,,,,,,因為點在線段的延長線上,設(shè),解得,所在直線的方程為因為點在邊所在直線上,故設(shè)當(dāng)時故選:【點睛】本題考查向量的數(shù)量積,關(guān)鍵是建立平面直角坐標(biāo)系,屬于中檔題.5、A【解析】
先利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算法則求出,即可根據(jù)復(fù)數(shù)的模計算公式求出.【詳解】∵,∴.故選:A.【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算法則的應(yīng)用,以及復(fù)數(shù)的模計算公式的應(yīng)用,屬于容易題.6、A【解析】
先求出函數(shù)在處的切線方程,在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)和的圖象,利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可.【詳解】當(dāng)時,,所以函數(shù)在處的切線方程為:,令,它與橫軸的交點坐標(biāo)為.在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)和的圖象如下圖的所示:利用數(shù)形結(jié)合思想可知:不等式對任意的恒成立,則實數(shù)k的取值范圍是.故選:A【點睛】本題考查了利用數(shù)形結(jié)合思想解決不等式恒成立問題,考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,屬于中檔題.7、C【解析】
畫出該幾何體的直觀圖,易證平面平面,平面平面,平面平面,平面平面,從而可選出答案.【詳解】該幾何體是一個四棱錐,直觀圖如下圖所示,易知平面平面,作PO⊥AD于O,則有PO⊥平面ABCD,PO⊥CD,又AD⊥CD,所以,CD⊥平面PAD,所以平面平面,同理可證:平面平面,由三視圖可知:PO=AO=OD,所以,AP⊥PD,又AP⊥CD,所以,AP⊥平面PCD,所以,平面平面,所以該多面體各表面所在平面互相垂直的有4對.【點睛】本題考查了空間幾何體的三視圖,考查了四棱錐的結(jié)構(gòu)特征,考查了面面垂直的證明,屬于中檔題.8、A【解析】
利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化簡,由此求得對應(yīng)點所在象限.【詳解】依題意,對應(yīng)點為,在第一象限.故選A.【點睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)除法運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)對應(yīng)點的坐標(biāo)所在象限,屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】
根據(jù)向量的運(yùn)算法則展開后利用數(shù)量積的性質(zhì)即可.【詳解】.故選:A.【點睛】本題主要考查數(shù)量積的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】
利用復(fù)數(shù)的三角形式的乘法運(yùn)算法則即可得出.【詳解】z1z2=(cos23°+isin23°)?(cos37°+isin37°)=cos60°+isin60°=.故答案為C.【點睛】熟練掌握復(fù)數(shù)的三角形式的乘法運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵,復(fù)數(shù)問題高考必考,常見考點有:點坐標(biāo)和復(fù)數(shù)的對應(yīng)關(guān)系,點的象限和復(fù)數(shù)的對應(yīng)關(guān)系,復(fù)數(shù)的加減乘除運(yùn)算,復(fù)數(shù)的模長的計算.11、C【解析】分析:根據(jù)集合可直接求解.詳解:,,故選C點睛:集合題也是每年高考的必考內(nèi)容,一般以客觀題形式出現(xiàn),一般解決此類問題時要先將參與運(yùn)算的集合化為最簡形式,如果是“離散型”集合可采用Venn圖法解決,若是“連續(xù)型”集合則可借助不等式進(jìn)行運(yùn)算.12、A【解析】
根據(jù)題目所給的步驟進(jìn)行計算,由此求得的值.【詳解】依題意列表如下:上列乘上列乘上列乘630603153021020156121510所以.故選:A【點睛】本小題主要考查合情推理,考查中國古代數(shù)學(xué)文化,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
由余弦定理求得,再結(jié)合正弦定理得,進(jìn)而得,得,則面積可求【詳解】由,得,解得.因為,所以,,所以.又因為,所以.因為,所以.故答案為【點睛】本題考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用,考查運(yùn)算求解能力,是中檔題14、①②③【解析】
根據(jù)偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱,利用已知中的條件作出偶函數(shù)的圖象,利用圖象對各個選項進(jìn)行判斷即可.【詳解】解:當(dāng)時又因為為偶函數(shù)可畫出的圖象,如下所示:可知當(dāng)時有5個不同的零點;故①正確;若,函數(shù)的零點不超過4個,即,與的交點不超過4個,時恒成立又當(dāng)時,在上恒成立在上恒成立由于偶函數(shù)的圖象,如下所示:直線與圖象的公共點不超過個,則,故②正確;對,偶函數(shù)的圖象,如下所示:,使得直線與恰有4個不同的交點點,且相鄰點之間的距離相等,故③正確.故答案為:①②③【點睛】本題考查函數(shù)方程思想,數(shù)形結(jié)合思想,屬于難題.15、【解析】
由分段函數(shù)可得不滿足題意;時,,可得,即有,解方程可得,4,結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的圖象即可得到所求和.【詳解】解:由函數(shù),可得的增區(qū)間為,,時,,,時,,當(dāng)關(guān)于的不等式的解集為,,可得不成立,時,時,不成立;,即為,可得,即有,顯然,4成立;由和的圖象可得在僅有兩個交點.綜上可得的所有值的和為1.故答案為:1.【點睛】本題考查分段函數(shù)的圖象和性質(zhì),考查不等式的解法,注意運(yùn)用分類討論思想方法,考查化簡運(yùn)算能力,屬于中檔題.16、10【解析】
先求出a,b,根據(jù)分層抽樣的比例引入正整數(shù)k表示n,從而得出的最小值.【詳解】由題意得,a=0.2,b=80,由表可知,燈泡樣品第一組有40個,第二組有60個,第三組有80個,第四組有20個,所以四個組的比例為2:3:4:1,所以按分層抽樣法,購買的燈泡數(shù)為n=2k+3k+4k+k=10k(),所以的最小值為10.【點睛】本題考查分層抽樣基本原理的應(yīng)用,涉及抽樣比、總體數(shù)量、每層樣本數(shù)量的計算,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析;(2).【解析】
(1)通過證明面,即可由線面垂直推證面面垂直;(2)根據(jù)面,將問題轉(zhuǎn)化為求到面的距離,利用等體積法求點面距離即可.【詳解】(1)因為棱柱是直三棱柱,所以又,所以面又,分別為AB,BC的中點所以//即面又面,所以平面平面(2)由(1)可知////所以//平面即點到平面的距離等于點到平面的距離設(shè)點到面的距離為由(1)可知,面且在中,,易知由等體積公式可知即由得所以到平面的距離等于【點睛】本題考查由線面垂直推證面面垂直,涉及利用等體積法求點面距離,屬綜合中檔題.18、(1);(2)【解析】
(1)由,利用正弦定理轉(zhuǎn)化整理為,再利用余弦定理求解.(2)根據(jù),利用兩角和的余弦得到,利用數(shù)形結(jié)合,設(shè),在中,由正弦定理求得,在中,求得再求解.【詳解】(1)因為,所以,即,即,所以.(2)∵,.所以,從而.所以,.不妨設(shè),O為外接圓圓心則AO=1,,.在中,由正弦定理知,有.即;在中,由,,從而.所以.【點睛】本題主要考查平面向量的模的幾何意義,還考查了數(shù)形結(jié)合的方法,屬于中檔題.19、(1).(2)【解析】
(1)由題意利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式,再利用正弦函數(shù)的定義域和值域,得出結(jié)論.(2)由題意利用余弦定理?三角形的面積公式?基本不等式求得的最大值,可得邊上的高的最大值.【詳解】解:(1)∵函數(shù),當(dāng)時,,.(2)中,,∴.由余弦定理可得,當(dāng)且僅當(dāng)時,取等號,即的最大值為3.再根據(jù),故當(dāng)取得最大值3時,取得最大值為.【點睛】本題考查降冪公式、兩角和的正弦公式,考查正弦函數(shù)的性質(zhì),余弦定理,三角形面積公式,所用公式較多,選用恰當(dāng)?shù)墓绞墙忸}關(guān)鍵,本題屬于中檔題.20、(1)(2)【解析】
(1)求曲線和曲線圍成的圖形面積,首先求出兩曲線交點的橫坐標(biāo)0、1,然后求在區(qū)間上的定積分.(2)首先利用二倍角公式及兩角差的余弦公式計算出,然后再整體代入可得;【詳解】解:(1)聯(lián)立解得,,所以曲線和曲線圍成的圖形面積.(2)∴【點睛】本題考查定積分求曲邊形的面積以及三角恒等變換的應(yīng)用,屬于中檔題.21、(1)分布列見解析;(2)406.【解析】
(1)計算個人的血混合后呈陰性反應(yīng)的概率為,呈陽性反應(yīng)的概率為,得到分布列.(2)計算
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