第13章三角形中的邊角關(guān)系、命題與證明 單元測(cè)試-滬科版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)

第13章綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，滿分40分)1．下列長度的各組線段中，能組成三角形的是()A．1，1，2B．3，7，11C．6，8，9D．3，3，62．在△ABC中，畫出邊AC上的高，下列畫法正確的是()3．一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比為1︰2︰3，則這個(gè)三角形一定是()A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等腰直角三角形4．如圖，已知BD是△ABC的中線，AB＝5，BC＝3，且△ABD的周長為11，則△BCD的周長是()A．9B．14C．16D．不能確定5．如圖，在△ABC中，CE和AD分別是AB，BC邊上的高，若AD＝12，CE＝16，則eq\f(AB,BC)的值為()A.eq\f(3,5)B.eq\f(3,4)C.eq\f(4,3)D.eq\f(5,8)6．如圖，在△ABC和△EFD中，∠BAC＝30°，∠EDF＝45°，點(diǎn)F在AC上，AB∥DE，則∠AFD等于()A．15°B．30°C．12°D．35°7．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，BE是△ABD中AD邊上的中線，若S△ABC＝24，則△ABE的面積是()A．4B．12C．6D．88．下列命題中，真命題有()①如果a＝b，b＝c，那么a＝c；②直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段，叫做這個(gè)點(diǎn)到這條直線的距離；③如果a·b＝0，那么a＝b＝0;④如果a＝b，那么a3＝b3.A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)9．如圖，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，當(dāng)∠E＝35°時(shí)，∠A＋∠C的度數(shù)為()A．70°B．75°C．80°D．85°10．如圖，有四個(gè)論斷：①AC∥DE；②DC∥EF；③CD平分∠BCA；④EF平分∠BED.若選擇四個(gè)論斷中的三個(gè)作為條件，余下的一個(gè)作為結(jié)論，構(gòu)成一個(gè)數(shù)學(xué)命題，則真命題有()A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，滿分20分)11．命題“直角三角形中一定有兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)和等于90°”的逆命題是________命題(填“真”或“假”)．12．如圖，∠A＝70°，∠B＝30°，∠C＝20°，則∠BOC＝________．13．如圖，在△ABC中，E，F(xiàn)分別是AB，AC上的點(diǎn)，且EF∥BC，AD是∠BAC的平分線，分別交EF，BC于點(diǎn)H，D，則∠1，∠2和∠3之間的數(shù)量關(guān)系為________．14．如圖，AD是△ABC的中線，G是AD上的一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是CG，BG的中點(diǎn)，若△ABC的面積是24，則陰影部分的面積為________．三、(本大題共2小題，每小題8分，滿分16分)15．寫出下列命題的逆命題，并判斷寫出的逆命題是真命題還是假命題．(1)如果a＋b＝0，那么a＝0，b＝0；(2)如果一個(gè)數(shù)的平方是9，那么這個(gè)數(shù)是3.16．如圖，∠1＝∠2，∠A＝∠3.求證：AC∥DE.四、(本大題共2小題，每小題8分，滿分16分)17．有人說：“如果△ABC的三邊長a，b，c滿足a2－b2＝ac－bc，那么△ABC一定是等腰三角形．”你同意這個(gè)說法嗎？請(qǐng)給出你的理由．18.如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分線AD交BC于點(diǎn)E，BD⊥AB于點(diǎn)B，∠ABC＝40°.求∠D和∠CED的度數(shù)．五、(本大題共2小題，每小題10分，滿分20分)19．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D，E，P分別是邊AC，BC，AB上的點(diǎn)，當(dāng)∠α＝40°時(shí)，求∠1＋∠2的度數(shù)．20．已知在△ABC中，AB＝20，BC＝8，AC＝2m－2.(1)求m的取值范圍；(2)若△ABC是等腰三角形，求m的值及△ABC的周長．六、(本題滿分12分)21．如圖，已知AD，AE分別是△ABC的高和中線，AB＝8cm，AC＝15cm，BC＝17cm，∠BAC＝90°.試求：(1)AD的長；(2)△ACE和△ABE的周長的差；(3)△ABE的面積．七、(本題滿分12分)22．如果三角形的兩個(gè)內(nèi)角α與β滿足2α＋β＝90°，那么我們稱這樣的三角形為“準(zhǔn)直角三角形”．(1)如圖①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD是△ABC的角平分線．求證：△ABD是“準(zhǔn)直角三角形”；(2)下列說法：①在△ABC中，若∠A＝100°，∠B＝70°，∠C＝10°，則△ABC是“準(zhǔn)直角三角形”；②若△ABC是“準(zhǔn)直角三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，則∠B＝20°；③“準(zhǔn)直角三角形”一定是鈍角三角形．其中，正確的是________；(填序號(hào))(3)如圖②，B，C為直線l上兩點(diǎn)，點(diǎn)A在直線l外，且∠ABC＝50°.若P是直線l上一點(diǎn)，且△ABP是“準(zhǔn)直角三角形”，請(qǐng)直接寫出∠APB的度數(shù)．八、(本題滿分14分)23.已知點(diǎn)A在射線CE上，∠BDA＝∠C.(1)如圖①，若AD∥BC，求證：AC∥BD；(2)如圖②，若BD⊥BC，CE與BD相交于點(diǎn)G，求證：∠DAE＋2∠C＝90°；(3)如圖③，在(2)的條件下，若∠BAC＝∠BAD，過點(diǎn)D作DF∥BC交射線CE于點(diǎn)F，當(dāng)∠DFE＝8∠DAE時(shí)，求∠BAE的度數(shù)．

答案一、1．C【點(diǎn)撥】根據(jù)三角形中任何兩邊的和大于第三邊，任何兩邊的差小于第三邊判斷即可．2．C3．B【點(diǎn)撥】由三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比為1︰2︰3，可設(shè)三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為x，2x，3x，則x＋2x＋3x＝180°，解得x＝30°.∴三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為30°，60°，90°.∴這個(gè)三角形一定是直角三角形．4．A【點(diǎn)撥】∵BD是△ABC的中線，∴AD＝CD.∵△ABD的周長為11，∴AB＋AD＋BD＝11，∵AB＝5，∴AD＋BD＝6，即CD＋BD＝6，∴△BCD的周長為BD＋CD＋BC＝6＋3＝9.5．B【點(diǎn)撥】∵CE和AD分別是AB，BC邊上的高，∴S△ABC＝eq\f(1,2)BC·AD＝eq\f(1,2)AB·CE，∵AD＝12，CE＝16，∴12BC＝16AB，∴eq\f(AB,BC)＝eq\f(12,16)＝eq\f(3,4).6．A【點(diǎn)撥】設(shè)FD與AB交于點(diǎn)G.∵AB∥DE，∴∠FGB＝∠EDF＝45°.∵∠FGB＝∠BAC＋∠AFD，∠BAC＝30°，∴∠AFD＝45°－30°＝15°.7．B【點(diǎn)撥】∵AD是△ABC的中線，∴S△ABD＝eq\f(1,2)S△ABC＝12.∵BE是△ABD的中線，∴S△ABE＝eq\f(1,2)S△ABD＝12.8．B【點(diǎn)撥】如果a＝b，b＝c，那么a＝c，故①為真命題；直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度，叫做這個(gè)點(diǎn)到這條直線的距離，故②為假命題；如果a·b＝0，那么a＝0或b＝0或a＝b＝0，故③為假命題；如果a＝b，那么a3＝b3，故④為真命題．9．A【點(diǎn)撥】易知∠1＋∠A＝∠3＋∠E，∠4＋∠C＝∠2＋∠E，∴∠1＋∠A＋∠4＋∠C＝∠3＋∠E＋∠2＋∠E，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴2∠E＝∠A＋∠C.∵∠E＝35°，∴∠A＋∠C＝70°.10．D【點(diǎn)撥】真命題有：如果①②③，那么④；如果①②④，那么③；如果①③④，那么②；如果②③④，那么①.二、11．真【點(diǎn)撥】逆命題為如果一個(gè)三角形中有兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)和等于90°，那么這個(gè)三角形是直角三角形，是真命題．12．120°【點(diǎn)撥】連接AO并延長到點(diǎn)E.∵∠BOE為△ABO的外角，∠COE為△AOC的外角，∴∠BOE＝∠B＋∠BAO，∠COE＝∠C＋∠CAO，∴∠BOE＋∠COE＝∠B＋∠BAO＋∠C＋∠CAO，即∠BOC＝∠B＋∠BAC＋∠C.∵∠BAC＝70°，∠B＝30°，∠C＝20°，∴∠BOC＝70°＋30°＋20°＝120°.13．∠1＋∠3＝2∠2【點(diǎn)撥】∵EF∥BC，∴∠B＝∠3.∵∠1，∠2分別是△ABC和△ABD的外角，∴∠1＝∠BAC＋∠B＝∠BAC＋∠3，∠2＝∠BAD＋∠B＝∠BAD＋∠3，∴∠BAD＝∠2－∠3，∵AD是∠BAC的平分線，∴∠BAC＝2∠BAD，∴∠1＝2∠BAD＋∠3.∴∠1＝2(∠2－∠3)＋∠3，整理，得∠1＝2∠2－∠3，即∠1＋∠3＝2∠2.14．6【點(diǎn)撥】如圖，連接DE.∵△ABC的面積是24，AD是△ABC的中線，∴△ACD的面積為12.∵GD是△GBC的中線，∴S△CGD＝S△BGD.∵E，F(xiàn)分別是CG，BG的中點(diǎn)，∴S△AEG＝eq\f(1,2)S△ACG，S△GED＝eq\f(1,2)S△CGD，S△DGF＝eq\f(1,2)S△DGB，∴S△DEG＝S△DGF.∴S陰影＝S△AGE＋S△DGE＝eq\f(1,2)S△ACG＋eq\f(1,2)S△CDG＝eq\f(1,2)S△ACD＝6.三、15．【解】(1)逆命題：如果a＝0，b＝0，那么a＋b＝0.此逆命題是真命題．(2)逆命題：如果一個(gè)數(shù)是3，那么這個(gè)數(shù)的平方是9.此逆命題是真命題．16．【證明】∵∠1＝∠2，∴AB∥CE，∴∠A＝∠4.又∵∠3＝∠A，∴∠3＝∠4，∴AC∥DE.四、17．【解】同意，理由如下：因?yàn)閍2－b2＝ac－bc，所以(a＋b)(a－b)＝c(a－b)，即(a＋b－c)(a－b)＝0.因?yàn)閍，b，c是△ABC的三邊長，所以a＋b－c>0，所以a－b＝0，即a＝b，所以△ABC一定是等腰三角形．18．【解】∵∠C＋∠CAB＋∠ABC＝180°，∠C＝90°，∠ABC＝40°，∴∠CAB＝180°－90°－40°＝50°.∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠DAB＝25°.∵∠EAB＋∠AEB＋∠EBA＝180°，∴∠AEB＝180°－25°－40°＝115°，∵∠AEB＝∠CED，∴∠CED＝115°，∵BD⊥AB，∴∠DBA＝90°.∴∠D＝90°－∠DAB＝90°－25°＝65°.五、19．【解】連接CP，∵∠1是△CDP的外角，∴∠1＝∠CPD＋∠DCP.∵∠2是△CEP的外角，∴∠2＝∠EPC＋∠ECP，∴∠1＋∠2＝∠CPD＋∠DCP＋∠EPC＋∠ECP＝∠ECD＋∠α＝90°＋40°＝130°.20．【解】(1)∵在△ABC中，AB＝20，BC＝8，AC＝2m－2，∴20－8<2m－2<20＋8，解得7<m<15.∴m的取值范圍是7<m<15.(2)分兩種情況：①當(dāng)AB＝AC時(shí)，2m－2＝20，解得m＝11.此時(shí)△ABC的周長＝20＋20＋8＝48；②當(dāng)BC＝AC時(shí)，2m－2＝8，解得m＝5.∵7<m<15，∴此種情況不合題意．綜上所述，m的值為11，△ABC的周長為48.六、21．【解】(1)因?yàn)椤螧AC＝90°，AD是邊BC上的高，所以S△ABC＝eq\f(1,2)AB·AC＝eq\f(1,2)BC·AD，所以AD＝eq\f(AB·AC,BC)＝eq\f(8×15,17)＝eq\f(120,17)(cm)，故AD的長為eq\f(120,17)cm.(2)因?yàn)锳E為BC邊上的中線，所以BE＝CE，所以△ACE的周長－△ABE的周長＝(AC＋AE＋CE)－(AB＋BE＋AE)＝AC－AB＝15－8＝7(cm)，故△ACE和△ABE的周長的差是7cm.(3)因?yàn)椤螧AC＝90°，AB＝8cm，AC＝15cm，所以S△ABC＝eq\f(1,2)AB·AC＝eq\f(1,2)×8×15＝60(cm2)．因?yàn)锳E是邊BC上的中線，所以S△ABE＝S△AEC，所以S△ABE＝eq\f(1,2)S△ABC＝eq\f(1,2)×60＝30(cm2)，故△ABE的面積是30cm2.七、22．(1)【證明】∵∠ACB＝90°，∴∠ABC＋∠A＝90°.∵BD是∠ABC的平分線，∴∠ABC＝2∠ABD，∴2∠ABD＋∠A＝90°，∴△ABD是“準(zhǔn)直角三角形”．(2)①③【點(diǎn)撥】∵∠B＝70°，∠C＝10°，∴∠B＋2∠C＝90°，∴△ABC是“準(zhǔn)直角三角形”，故①正確；∵△ABC是“準(zhǔn)直角三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，∴∠B＝eq\f(1,2)(90°－∠A)＝15°，故②錯(cuò)誤；∵在“準(zhǔn)直角三角形”中，內(nèi)角α與β滿足2α＋β＝90°，∴α＋β＜90°，∴“準(zhǔn)直角三角形”一定是鈍角三角形，故③正確．(3)∠APB的度數(shù)為10°或20°或40°或110°.八、23．(1)【證明】∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠C，∵∠BDA＝∠C，∴∠DAE＝∠BDA，∴AC∥BD.(2)【證明】∵BD⊥BC，∴∠DBC＝90°，∴∠BGA＋∠C＝90°