第十四、十五講、直線與圓 高中數(shù)學(xué)

第十四、十五講、直線與圓

知識(shí)回顧

一、直線的傾斜角、斜率和方程

1、直線方程的五種形式：點(diǎn)斜式:斜截式;兩

點(diǎn)式;截距式;一般式;

2、兩直線位置關(guān)系的判定：（1）設(shè)兩條直線44的斜率分別為匕，白，傾斜角分別為%,4,則34時(shí)，%=%,

從而有o這是對(duì)于不重合的直線4,4而言的，如果4,4是否重合不能確定時(shí)，匕=心，可

以得到或o

（2）若兩條直線都有斜率，且44的斜率分別為kt,k2,貝〃。。若/,的斜率為0,當(dāng)4，12

時(shí)，（的斜率,其傾斜角為。

3、①4至IJ4的角：設(shè)直線4和4的斜率分別為匕&，且4和4不垂直，4至幾的角為。，貝I有tane=￡",4至U

J.I1^2

4的角。的取值范圍是。汨；②4與4的夾角：設(shè)直線4和4的斜率分別為《，&，且4和4不垂直，4與，2的夾角

k?一履

為9,貝tan夕=,4與4的夾角的取值范圍是曲^]。

1+左2K

5、直線系方程：具有某種共同性質(zhì)的所有直線的集合叫直線系方程，常見的直線系方程有：

①平行直線系方程：與Av+By+C=0平行的所有直線可設(shè)其方程為Ax+By+C^O；

②垂直直線系方程：與瓜+&+。=。垂直的所有直線可設(shè)其方程為&-4）；+。1=0；

③共點(diǎn)直線系方程：過一定點(diǎn)（%（）,%）的所有直線方程可表示為y-y0=k（x-x0）和%=%；

④交點(diǎn)直線系方程：設(shè)4:4工+3]丁+￡=0與4:++Q=0是兩相交直線，則經(jīng)過它們的交點(diǎn)P（x0,y0）的直

線可表不為：TAJX+BJJ+CJ++B2y+C2）=0,（X為參數(shù)，該方程不包括4）

6、中點(diǎn)公式：已知片（西,乂）、6（x2,%）,尸（x,y）是線段々巴的中點(diǎn)，則彳="上；y=汽匹；

7、重心公式：在AABC中，A（^,yt）,B（X2,y2）,C（x3,y3）,重心為G（x,y）,則x=土玉士且；/=，"+%+%。

8、兩點(diǎn)間距離公式：已知平面上兩點(diǎn)4&,乂），￡（%，%），則由閭=?七一4）2+（%。

9、點(diǎn)到直線的距離公式：點(diǎn)P（x0,%）到直線/:Ax+By+C=0的距離d=體%及”>。

<解+B?

10、兩條平行線的距離公式：兩條平行線4：Av+By+G=0與/2：Av+3v+G=0的距離"=隼二M。

7A2+B2

二、圓的方程

1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：設(shè)圓的圓心是C（a,b）,半徑為r,則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（x-“『+（y-刀2=/

22

2、圓的一般方程：7]^X+y+Dx+Ey+F=0,其中須滿足。?+E?-4/>0,圓心為（一名-芻。

3、直徑式方程：若圓的一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)是（國,％）,（x2,y2）,則此圓的方程為：0-%1）（尤-兄2）+（丁-必）0->2）=0

4、圓的參數(shù)方程：圓心在句力），半徑為r的圓的參數(shù)方程為F=：+'.cos?,。為參數(shù)。

[y=。+rsin”

三、直線與圓以及圓與圓的位置關(guān)系

1、圓的切線方程：過圓（%-a）2+（y-。）2=，上任意一點(diǎn)尸（%,先）,圓的切線方程為：（/—〃）（%—〃）+（%—力（,一力=/

2、切點(diǎn)弦方程：圓入2+,2=r2,圓外一點(diǎn)為（%,為）,則過此點(diǎn)的兩條切線與圓相切，切點(diǎn)弦方程為尤0兄+為丁=/。

專題三第十四十五講

3、圓系方程：①以色))為圓心的圓系方程：(x-a)2+(y-b)2=r2(r^0)；②過圓C：3+產(chǎn)+瓜+劭+尸=0和直線

22

l：Ax+By+C=O的交點(diǎn)的圓的方程為x+y+Dx+Ey+F+^AX+By+C)=0③過兩圓Q：d+9+D/+與>+6=0和

2222

C2:x+y+D2x+E2y+F2=0的交點(diǎn)的圓系方程：+y+Dxx+Exy+Fl+2(x+9+3無+用〉+居)=。，但不包括

G，幾為參數(shù)，當(dāng)4=-1時(shí)，/：(2-烏口+(片-￡2)、+(4-用)=0為兩圓公共弦所在的直線方程。其中當(dāng)兩圓相

切時(shí)，/為過兩圓公共切點(diǎn)所在直線的方程。

典型例題

例題1、直線or+y+1=0與連接A(2,3),2(-3,2)的線段相交，則a的取值范圍是()

A>[—1,2]B、[2,+oo]|J(—oo,—1)C、[—2,1]D、[1,+oo]|J(^>o,—2)

例題2、求直線4：7x-y+4=0到/]：x+y-2=0的角平分線的方程

例題3、已知直線/經(jīng)過點(diǎn)P(3,l),且被兩平行直線、：x+y+l=0和/z：x+y+6=0截得的線段之長為5,求直線/

的方程。

例題4、直線2x+3y-6=0交x,y軸與A、B兩點(diǎn)，試在直線y=—x上求一點(diǎn)[,使山聞+山用最小，在y=x上

求一點(diǎn)尸°，使怛A|-隹圳最大，求處兩最值及山閭的值。

例題5、已知點(diǎn)”(3,5),在直線：x-2y+2=0上和y軸上各找一點(diǎn)P和Q,使AMPQ的周長最小。

2

例題6、一條直線被兩直線4：4x+y+6=O,/2：3x-5y-6=0截得的線段的中點(diǎn)恰好為坐標(biāo)原點(diǎn)，求這條直線的

方程。

例題7、如圖，已知圓M：d+（y-2>=1,Q是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，QA,QB分別切圓M于A,B兩點(diǎn)。（1）如果

|A8|=殍，求直線MQ的方程。（2）求動(dòng)弦AB的中點(diǎn)P的軌跡方程。

鞏固訓(xùn)練題

一、選擇題

-8--

專題三第十四十五講

1、直線/過點(diǎn)A(2,l),B(l,m2),那么直線/的傾斜角a的取值范圍是)

A、[0㈤B、［。中U年萬)C、卜D、［吟里㈤

2、直線2x-y+3=0關(guān)于定點(diǎn)M(-l,2)對(duì)稱的直線方程是)

A、2x-y+l=0B、2x-y+5=0

C、2x—y—l=0D、2x—y—5=0

3、P(-2,-2),e(0-1),取一點(diǎn)R(2,〃z),使|PR|+|R0最小,則m=)

4

A、B、0C、-1D、

23

4、方程(a-l)x-y+2a+l=0(awR)所表水的直線是)

A、恒過定點(diǎn)(-2,3)B、恒過定點(diǎn)(2,3)

C、恒過定點(diǎn)(-2,3)和(2,3)D、都是平行線

5、已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(x,y)滿足5向-Ip+(y—2)2=田十分-11］,則P點(diǎn)的軌跡是

A、直線B、拋物線C、雙曲線D、橢圓

6、圓：12+/一4%+6)=。和圓/+>2一6兀=。交于A,B兩點(diǎn)，則AB的垂直平分線的方程是()

A、x+y+3=0B、2x-y-5=0C、3x-y-9=0D、4x-3y+7=0

7、過定點(diǎn)(1,2)作兩直線與圓/+/+丘+2尸/-15=0相切，則k的取值范圍是)

A、k>2B、—3<k<2C、左>2或左<-3D、以上皆不對(duì)

8、圓(x-l)2+(y+的［=1的切線方程中有一個(gè)是)

A、x-y=0B>x+y=0C、x=0D、y=0

9、已知圓(％-3)2+丁=4和直線y=如的交點(diǎn)分別為P,Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，^\\OP\-\OQ\=()

B、工?

A、1+m2C、5D、10

l+m

10、與圓％2+(y+5)2=3相切，且縱截距和橫截距相等的直線共有()

A、2條B、3條C、4條D、6條

填空題

11、直線y=—%?tana+2,a￡,乃)的傾斜角是_________________________