廣東省深圳市深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校中學(xué)部2022-2023學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

第1頁(yè)/共1頁(yè)2023年中學(xué)部八下期中考試一、選擇題（每小題3分，10小題，共30分）1.若等腰三角形的周長(zhǎng)為10cm，其中一邊長(zhǎng)為2cm，則該等腰三角形的腰長(zhǎng)為（）A.2cm B.4cm C.6cm D.8cm【答案】B【解析】【分析】2cm的邊長(zhǎng)分別作為底邊與腰討論，選擇合適的即可；【詳解】解：當(dāng)2cm為腰時(shí)，則另一條腰也為2cm，底邊為cm，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知：該情況構(gòu)不成三角形；當(dāng)2cm底邊時(shí)，則腰長(zhǎng)為：cm，此時(shí)三邊分別為：4,4,2，符合題意．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，等腰三角形性質(zhì)的運(yùn)用是解題關(guān)鍵．2.下列圖形是中心對(duì)稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形．根據(jù)中心對(duì)稱圖形的概念對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可得解．【詳解】解：A.不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；B.不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；C.不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；D.是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了中心對(duì)稱圖形的概念，中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．3.如果代數(shù)式有意義，那么x的取值范圍是（）A.x≠2 B.x≥-1 C.x≠-1 D.x≥-1，且x≠2【答案】D【解析】【分析】由題意得，x+1≥0且x-2≠0，【詳解】解得x≥-1且x≠2，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式有意義的條件；分式有意義的條件．掌握二次根式有意義的條件是被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)；分式有意義的條件是分母不為0．4.若是分式方程的根，則a的值為（）A.6 B. C.4 D.【答案】A【解析】【分析】首先根據(jù)題意，把代入分式方程中，然后根據(jù)一元一次方程的解法，求出a的值即可．【詳解】將代入分式方程中，可得：，解得，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式方程解的意義．5.關(guān)于x的分式方程﹣＝1有增根，則m的值（）A.m＝2 B.m＝1 C.m＝3 D.m＝﹣3【答案】D【解析】【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程有增根，確定出m的值即可．【詳解】解：去分母得：m+3＝x﹣2，由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，把x＝2代入整式方程得：m+3＝0，解得：m＝﹣3，故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了分式方程的增根，增根確定后可按如下步驟進(jìn)行：①化分式方程為整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．6.已知四邊形是平行四邊形，則下列各圖中與一定不相等的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由對(duì)頂角的性質(zhì)得出A正確；由平行四邊形的性質(zhì)得出B、D正確，再根據(jù)外角的性質(zhì)得到∠2=∠CBE+∠1，即可判斷C．【詳解】解：A正確；∵∠1和∠2是對(duì)頂角，∴∠1=∠2；B、D正確；∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠B=∠D，AB∥CD，∴∠1=∠2；C不正確；∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠1=∠BCE，∵∠2=∠CBE+∠BCE，∴∠2=∠CBE+∠1，∴∠2＞∠1，即一定不相等；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、對(duì)頂角的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及外角的性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)時(shí)解決問(wèn)題的關(guān)鍵．7.如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，點(diǎn)D在BC上，以AC為對(duì)角線的所有?ADCE中，DE最小的值是（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】由平行四邊形的對(duì)角線互相平分、垂線段最短知，當(dāng)OD⊥BC時(shí)，DE線段取最小值．【詳解】解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∴BC⊥AB．∵四邊形ADCE是平行四邊形，∴OD=OE，OA=OC．∴當(dāng)OD取最小值時(shí)，DE線段最短，此時(shí)OD⊥BC．∴OD∥AB．又點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，∴OD是△ABC的中位線，∴OD=AB=1.5，∴ED=2OD=3．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，以及垂線段最短．解答該題時(shí)，利用了“平行四邊形的對(duì)角線互相平分”的性質(zhì)．8.如果關(guān)于x的不等式的解集為．那么a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知不等式的解集，確定出為負(fù)數(shù)，求出的范圍即可．【詳解】解：∵關(guān)于的不等式的解集為，∴，即故選：B【點(diǎn)睛】此題考查了不等式的解集，熟練掌握不等式的基本性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．9.已知關(guān)于x的方式方程的解是非負(fù)數(shù)，那么a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】因?yàn)榉质椒匠逃薪馇沂欠秦?fù)數(shù)，所以不會(huì)產(chǎn)生增根，即，然后解分式方程的根且，化簡(jiǎn)即可出結(jié)果．【詳解】解：，方程兩邊同乘以得解得且且故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)含參數(shù)的分式方程解的范圍來(lái)求參數(shù)范圍，熟練掌握解分式方程的方法是解題關(guān)鍵，注意增根的檢驗(yàn)是易錯(cuò)點(diǎn)．10.如圖，平分，于E，，下列結(jié)論正確有（）個(gè)．①；②；③；④；⑤．A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè)【答案】C【解析】【分析】在取點(diǎn)，使．利用已知條件，可得，進(jìn)而證出；在上取點(diǎn)，使，連接．先由證明，得出；再根據(jù)線段垂直平分線、等腰三角形的性質(zhì)得出；然后由鄰補(bǔ)角定義及四邊形的內(nèi)角和定理得出；根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得出，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)性質(zhì)得出，從而；由于，根據(jù)全等三角形的面積相等易證；由知，且，即可求得．【詳解】解：在取點(diǎn)，使，∵∴∴∴∴，故正確；在上取點(diǎn)，使，連接．在與中，∵∴∴垂直平分，∴∴又∵，∴，∴，故正確；由知，，∴又∵∴，故正確；易證∴又∵，∴∴，故正確．由知，，且，所以，故錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)及線段垂直平分線的性質(zhì)，解題的突破口是在取點(diǎn)，使．二、填空題（共5小題）11.因式分解：_______．【答案】【解析】【分析】先提取公因式，再運(yùn)用平方差公式分解即可．【詳解】

，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的綜合，熟練掌握因式分解的基本思路是解題的關(guān)鍵．12.如圖，在中，，，垂直平分，垂足為Q，交于點(diǎn)P．按以下步驟作圖：①以點(diǎn)A為圓心，以適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為半徑作弧，分別交邊于點(diǎn)D，E；②分別以點(diǎn)D，E為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)F；⑤作射線．若與的夾角為，則________°．【答案】55°．【解析】【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余得∠BAC=70°，由角平分線的定義得∠2=35°，由線段垂直平分線可得△AQM是直角三角形，故可得∠1+∠2=90°，從而可得∠1=55°，最后根據(jù)對(duì)頂角相等求出．【詳解】如圖，∵△ABC是直角三角形，∠C=90°，，，，∵是的平分線，，是的垂直平分線，是直角三角形，，，∵∠α與∠1是對(duì)頂角，．故答案為：55°．【點(diǎn)睛】此題考查了直角三角形兩銳角互余，角平分線的定義，線段垂直平分線的性質(zhì)，對(duì)頂角相等等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)定義和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13.若關(guān)于x的不等式組有且只有三個(gè)整數(shù)解，則m的取值范圍是______．【答案】1≤m＜4【解析】【分析】解不等式組得出其解集為﹣2＜x≤，根據(jù)不等式組有且只有三個(gè)整數(shù)解得出1≤＜2，解之可得答案．【詳解】解不等式，得：x＞﹣2，解不等式2x﹣m≤2﹣x，得：x≤，則不等式組的解集為﹣2＜x≤，∵不等式組有且只有三個(gè)整數(shù)解，∴1≤＜2，解得：1≤m＜4，故答案為：1≤m＜4．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式組的整數(shù)解，關(guān)鍵是根據(jù)不等式組的整數(shù)解求出取值范圍，用到的知識(shí)點(diǎn)是一元一次不等式的解法．14.若數(shù)a使關(guān)于x的分式方程的解為非負(fù)數(shù)，且使關(guān)于y的不等式組的解集為，則符合條件的所有整數(shù)a的積為_(kāi)____________【答案】40【解析】【分析】根據(jù)分式方程的解為正數(shù)即可得出a5且a≠3，根據(jù)不等式組的解集為，即可得出a>0，找出0<a5且a≠3中所有的整數(shù)，將其相乘即可得出結(jié)論．【詳解】解：分式方程的解為x=且x≠1，∵分式方程的解為非負(fù)數(shù)，∴且≠1.∴a5且a≠3.解不等式①，得.解不等式②，得y<a.∵關(guān)于y的不等式組的解集為，∴a>0.∴0<a5且a≠3.又a為整數(shù)，則a的值為1，2，4，5.符合條件所有整數(shù)a的積為.故答案為：40.【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，根據(jù)分式方程的解為正數(shù)結(jié)合不等式組的解集為，找出a的取值范圍是解題的關(guān)鍵．15.如圖，平行四邊形ABCD中，BG平分∠ABC交AD于G，AF⊥CD于F，AF交BG于E，AB=AF=12,GD=1,則EC=______.【答案】【解析】【分析】在AD上截取AK=AE，連接KF，由平行四邊形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)證得∠ABG=∠AGB，證得AG=AB=AF=12，進(jìn)一步證得AD=13，利用勾股定理求得DF=5，設(shè)∠ABC=2∠ABG=2α，然后通過(guò)證得△AKF≌△AEG（SAS），得出∠AFK=∠AGE=α，通過(guò)三角形內(nèi)角和定理證得∠KFD=90°-α，即可證得∠DKF=∠KFD，從而求得EF=4，F(xiàn)C=7，最后利用勾股定理即可求得EC．【詳解】解：在AD上截取AK=AE，連接KF，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠CBG=∠AGB，

∵∠ABG=∠CBG，

∴∠ABG=∠AGB，

∴AG=AB=AF=12，

∴AD=AG+GD=13，

∵AF⊥CD于F，

∴DF==5，

設(shè)∠ABC=2∠ABG=2α，

∴∠D=∠ABC=2α，∠ABG=∠AGB=α

在△AKF和△AEG中,

∴△AKF≌△AEG（SAS），

∴∠AFK=∠AGE=α，

∴∠KFD=90°-α，

∴∠DKF=180°-∠KFD-∠D=180°-（90°-α）-2α=90°-α，

∴∠DKF=∠KFD，

∴DK=DF=5，

∴AK=13-5=8，

∴AE=AK=8，

∴AB=CD，AB=AG=AF=12，

∴EF=12-8=4，F(xiàn)C=12-5=7，

在Rt△EFC中，EC==．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，求得三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等，作出輔助線根據(jù)全等三角形是解題的關(guān)鍵．三、解答題（共8小題）16.（1）解方程：＝+1；（2）解不等式組：【答案】（1）x＝4；（2）﹣3＜x＜5．【解析】【分析】（1）解分式方程的步驟有：去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類(lèi)項(xiàng)，系數(shù)化為1，檢驗(yàn)；（2）先求出每個(gè)不等式的解集，再在數(shù)軸上表示出其解集，然后根據(jù)是否存在公共部分求解即可．【詳解】解：（1）＝+1，2x＝1+x+3，2x﹣x＝1+3，x＝4，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝4是原方程的解，∴此方程的解是x＝4；（2），由①得，4x﹣x＞﹣2﹣7，3x＞﹣9，x＞﹣3；由②得，3x﹣6＜4+x，3x﹣x＜4+6，2x＜10，x＜5，兩個(gè)不等式的解集在數(shù)軸上表示為：∴不等式組的解集是﹣3＜x＜5．【點(diǎn)睛】此題考查了解一元一次不等式組、分式方程，要掌握解方程和不等式的步驟和方法，解分式方程時(shí)要進(jìn)行檢驗(yàn)．三、解答題（共8小題，共55分）17.因式分解：．【答案】【解析】【分析】先提出公因式，再利用十字相乘法進(jìn)行因式分解，即可求解．【詳解】解：故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了多項(xiàng)式的因式分解，熟練掌握多項(xiàng)式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分組分解法，并會(huì)結(jié)合多項(xiàng)式的特征，靈活選用合適的方法是解題的關(guān)鍵．18.先化簡(jiǎn)：（1+）÷，請(qǐng)?jiān)讴?，0，1，2，3當(dāng)中選一個(gè)合適的數(shù)a代入求值．【答案】；當(dāng)a＝2時(shí)，原式＝或當(dāng)a＝3時(shí)，原式＝（任取其一即可）【解析】【分析】先根據(jù)分式的各個(gè)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，然后代入一個(gè)使原分式有意義的a的值即可．【詳解】解：原式＝＝＝，當(dāng)a＝﹣1，0，1時(shí)，原分式無(wú)意義，故當(dāng)a＝2時(shí)，原式＝；當(dāng)a＝3時(shí)，原式＝．【點(diǎn)睛】此題考查的是分式的化簡(jiǎn)求值題，掌握分式的各個(gè)運(yùn)算法則和分式有意義的條件是解決此題的關(guān)鍵．19.某公司購(gòu)進(jìn)某種礦石原料300噸，用于生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，生產(chǎn)1噸甲產(chǎn)品或1噸乙產(chǎn)品所需該礦石和煤原料的噸數(shù)如下表:產(chǎn)品資源甲乙礦石（噸）104煤（噸）48生產(chǎn)1噸甲產(chǎn)品所需成本費(fèi)用為4000元，每噸售價(jià)4600元；生產(chǎn)1噸乙產(chǎn)品所需成本費(fèi)用為4500元，每噸售價(jià)5500元，現(xiàn)將該礦石原料全部用完，設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品x噸，乙產(chǎn)品m噸，公司獲得的總利潤(rùn)為y元.（1）寫(xiě)出m與x之間的關(guān)系式（2）寫(xiě)出y與x之間的函數(shù)表達(dá)式，并寫(xiě)出自變量的范圍（3）若用煤不超過(guò)200噸，生產(chǎn)甲產(chǎn)品多少噸時(shí)，公司獲得的總利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？【答案】（1）m=75-2.5x；（2）y=-1900x+75000（0≤x≤30）；（3）生產(chǎn)甲產(chǎn)品25噸時(shí)，公司獲得的總利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是27500元.【解析】【分析】（1）∵生產(chǎn)甲產(chǎn)品x噸，則用礦石原料10x噸．∴生產(chǎn)乙產(chǎn)品用礦石原料為（300-10x）噸，由此得出；（2）先求出生產(chǎn)1噸甲、乙兩種產(chǎn)品各獲利多少，然后可求出獲得的總利潤(rùn)．

（3）由于總利潤(rùn)y是x的一次函數(shù)，先求出x的取值范圍，再根據(jù)一次函數(shù)的增減性，求得最大利潤(rùn)．【詳解】（1）m與x之間的關(guān)系式為（2）生產(chǎn)1噸甲產(chǎn)品獲利：4600-4000=600生產(chǎn)1噸乙產(chǎn)品獲利：5500-4500=1000y與x的函數(shù)表達(dá)式為：（0≤x≤30）（3）根據(jù)題意列出不等式解得x≥25又∵0≤x≤30∴25≤x≤30∵y與x的函數(shù)表達(dá)式為：y＝－1900x＋75000y隨x的增大而減小，∴當(dāng)生產(chǎn)甲產(chǎn)品25噸時(shí)，公司獲得的總利潤(rùn)最大y最大＝-1900×25＋75000=27500（元）.【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是用函數(shù)的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，解題關(guān)鍵是注意自變量的取值范圍還必須使實(shí)際問(wèn)題有意義．20.如圖，在平行四邊形ABCD中，AE，CF分別平分∠BAD和∠DCB，交對(duì)角線BD于點(diǎn)E，F(xiàn)．（1）若∠BCF=60°，求∠ABC的度數(shù)；（2）求證：BE=DF．【答案】（1）60°；（2）證明見(jiàn)解析．【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得∠BCD=2∠BCF=120°，利用平行四邊形的性質(zhì)即可解答；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及角平分線即可證明△ABE≌△CDF，再利用全等三角形的性質(zhì)即可證明．【詳解】（1）∵CF平分∠DCB，∴∠BCD=2∠BCF=120°∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠ABC=180°-∠BCD=180°-120°=60°．（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠BAD=∠DCB，AB=CD，AB∥CD，∴∠ABE=∠CDF．∵AE，CF分別平分∠BAD和∠DCB，∴∠BAE=∠BAD，∠CDF=∠DCB，∴∠BAE=∠CDF，∴△ABE≌△CDF，∴BE=DF．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟悉平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定．21.甲、乙兩公司全體員工踴躍參與“攜手防疫，共渡難關(guān)”捐款活動(dòng)，甲公司共捐款100000元，乙公司共捐款140000元．下面是甲、乙兩公司員工的一段對(duì)話：（1）甲、乙兩公司各有多少人？（2）現(xiàn)甲、乙兩公司共同使用這筆捐款購(gòu)買(mǎi)、兩種防疫物資，種防疫物資每箱15000元，種防疫物資每箱12000元．若購(gòu)買(mǎi)種防疫物資不少于10箱，并恰好將捐款用完，有幾種購(gòu)買(mǎi)方案？請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出來(lái)（注：、兩種防疫物資均需購(gòu)買(mǎi)，并按整箱配送）．【答案】（1）甲公司有150人，乙公司有180人；（2）有2種購(gòu)買(mǎi)方案：購(gòu)買(mǎi)8箱種防疫物資、10箱種防疫物資，或購(gòu)買(mǎi)4箱種防疫物資、15箱種防疫物資【解析】【分析】（1）設(shè)乙公司有x人，則甲公司有人，根據(jù)對(duì)話，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論;（2）（2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)種防疫物資箱，購(gòu)買(mǎi)種防疫物資箱，根據(jù)甲公司共捐款100000元，公司共捐款140000元．列出方程，求解出，根據(jù)整數(shù)解，約束出m、n的值，即可得出方案．【詳解】（1）設(shè)乙公司有人，則甲公司有人，由題意得，解得．經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解．∴．答：甲公司有150人，乙公司有180人．（2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)種防疫物資箱，購(gòu)買(mǎi)種防疫物資箱，由題意得，整理得．又因?yàn)椋?、為正整?shù)，所以，．答：有2種購(gòu)買(mǎi)方案：購(gòu)買(mǎi)8箱種防疫物資、10箱種防疫物資，或購(gòu)買(mǎi)4箱種防疫物資、15箱種防疫物資．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，方案問(wèn)題，二元一次方程整數(shù)解問(wèn)題，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出方程是解題的關(guān)鍵．22.如圖，中，，，點(diǎn)F為平行四邊形外一點(diǎn)，連接、，且于點(diǎn)F．（1）如圖1，若，求的長(zhǎng)度；（2）如圖2，延長(zhǎng)、交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，若C為的中點(diǎn)，求證：．【答案】（1）的長(zhǎng)度為12（2）見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）先根據(jù)平行四邊形的面積求出的面積，然后求出的長(zhǎng)度，最后根據(jù)勾股定理即可求得的長(zhǎng)度；（2）在線段上截取，連接，證，然后證，即可證得．【小問(wèn)1詳解】解：如圖1，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵，∴，∵，∴、是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴．【小問(wèn)2詳解】解：如圖2，在線段上截取，連接，∵C為的中點(diǎn)，∴，在和中，，∴（），∴，∴，∵，∴，∴，∴，由（1）知：是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∴（），∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定、勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，輔助線的添加是解決第二問(wèn)的關(guān)鍵．23.在中，，，點(diǎn)為外一點(diǎn)，連接，連接交于點(diǎn)，且滿足．（1）如圖1，若，，求的長(zhǎng)．（2）如圖2，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，連接、，過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線