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PAGE5-第12講函數(shù)與方程1.(2024年安徽)下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又存在零點(diǎn)的是()A.y=lnxB.y=x2+1C.y=sinxD.y=cosx2.(2024年內(nèi)蒙古包頭模擬)已知函數(shù)f(x)=lnx+3x-8的零點(diǎn)x0∈[a,b],且b-a=1,a,b∈N*,則a+b=()A.0B.2C.5D.73.設(shè)方程2x|lnx|=1有兩個(gè)不等的實(shí)根x1和x2,則()A.x1x2<0B.x1x2=1C.x1x2>1D.0<x1x2<14.設(shè)函數(shù)f(x)=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x-[x],x≥0,,fx+1,x<0,))其中[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù),如[-1.1]=-2,[π]=3等.若方程f(x)=k(x+1)(k>0)恰有三個(gè)不相等的實(shí)根,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(1,4)))B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4),\f(1,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3),1))D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4),1))5.設(shè)函數(shù)f(x)=ex+2x-4,g(x)=lnx+2x2-5,若實(shí)數(shù)a,b分別是f(x),g(x)的零點(diǎn),則()A.g(a)<0<f(b)B.f(b)<0<g(a)C.0<g(a)<f(b)D.f(b)<g(a)<06.若函數(shù)f(x)=4x-2x-a,x∈[-1,1]有零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.7.已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿意f(x-4)=f(x),且在區(qū)間[0,2]上f(x)=x,若關(guān)于x的方程f(x)=logax有三個(gè)不同的實(shí)根,則a的取值范圍為_(kāi)_______.8.(2024年浙江)已知λ∈R,函數(shù)f(x)=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x-4,x≥λ,,x2-4x+3,x<λ,))當(dāng)λ=2時(shí),不等式f(x)<0的解集是__________;若函數(shù)f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn),則λ的取值范圍是__________.9.(2024年福建模擬)已知f(x)=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x+1,x≤0,,|lnx|,x>0,))則方程f(f(x))=3的根的個(gè)數(shù)是()A.6B.5C.4D.310.(多選)設(shè)函數(shù)f(x)=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|lnx|,x>0,,exx+1,x≤0.))若函數(shù)g(x)=f(x)-b有三個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)b的取值可能是()A.0B.eq\f(1,2)C.1D.211.函數(shù)f(x)=(x-3)2和g(x)=eq\r(x)的圖象的示意圖如圖X2-12-1,設(shè)兩函數(shù)交于點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),且x1<x2.(1)請(qǐng)指出示意圖中曲線C1,C2分別對(duì)應(yīng)哪一個(gè)函數(shù)?(2)若x1∈[a,a+1],x2∈[b,b+1],且a,b∈{0,1,2,3,4,5,6},指出a,b的值,并說(shuō)明理由.圖X2-12-112.已知函數(shù)f(x)=x2+eq\f(2,x)-alnx(a∈R).(1)f(x)在x=2處取極值,求f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;(2)當(dāng)a>0時(shí),若f(x)有唯一的零點(diǎn)x0,求[x0].注:[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù),如[0.6]=0,[2.1]=2,[-1.5]=-2.(參考數(shù)據(jù):ln2≈0.693,ln3≈1.099,ln5≈1.609,ln7≈1.946)
第12講函數(shù)與方程1.D解析:y=lnx的定義域?yàn)?0,+∞),故y=lnx不具備奇偶性,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;y=x2+1是偶函數(shù),但y=x2+1=0無(wú)解,即不存在零點(diǎn),故選項(xiàng)B錯(cuò)誤;y=sinx是奇函數(shù),故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;y=cosx是偶函數(shù),且y=cosx=0?x=eq\f(π,2)+kπ,k∈Z.故選D.2.C解析:∵f(2)=ln2+6-8=ln2-2<0,f(3)=ln3+9-8=ln3+1>0,且函數(shù)f(x)=lnx+3x-8在(0,+∞)上為單調(diào)遞增函數(shù),∴x0∈[2,3],即a=2,b=3,∴a+b=5.3.D解析:2x|lnx|=1?|lnx|=eq\f(1,2x),分別作y=|lnx|,y=eq\f(1,2x)的圖象,如圖D127圖D127明顯0<x1<1,x2>1,-lnx1=,lnx2=,lnx2-eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-lnx1))=lnx2+lnx1=ln(x2x1)=-<0,∴0<x1x2<1.4.B解析:直線y=kx+k(k>0)恒過(guò)定點(diǎn)(-1,0),在同始終角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=f(x)的圖象和直線y=kx+k(k>0)的圖象,如圖D128所示,∵兩個(gè)函數(shù)圖象恰好有三個(gè)不同的交點(diǎn),∴eq\f(1,4)≤k<eq\f(1,3).圖D1285.A解析:先代入特別值,有f(0)<0,f(1)>0,g(1)<0,g(2)>0,故a∈(0,1),b∈(1,2).當(dāng)x>0時(shí),f(x),g(x)都為增函數(shù),故g(a)<g(1)<0,f(b)>f(1)>0.∴g(a)<0<f(b).6.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(1,4),2))解析:∵函數(shù)f(x)=4x-2x-a,x∈[-1,1]有零點(diǎn),∴方程4x-2x-a=0在[-1,1]上有解,即方程a=4x-2x在[-1,1]上有解.方程a=4x-2x可變形為a=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x-\f(1,2)))2-eq\f(1,4),∵x∈[-1,1],∴2x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2),2)),∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x-\f(1,2)))2-eq\f(1,4)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(1,4),2)).∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(1,4),2)).7.(eq\r(6),eq\r(10))解析:由f(x-4)=f(x)知,函數(shù)的周期為4,又函數(shù)為偶函數(shù),∴f(x-4)=f(x)=f(4-x),∴函數(shù)圖象關(guān)于x=2對(duì)稱,且f(2)=f(6)=f(10)=2,要使方程f(x)=logax有三個(gè)不同的根,如圖D129,則滿意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>1,,loga6<2,,loga10>2,))解得eq\r(6)<a<eq\r(10).故a的取值范圍是(eq\r(6),eq\r(10)).圖D1298.(1,4)(1,3]∪(4,+∞)解析:由題意,得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥2,,x-4<0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<2,,x2-4x+3<0,))∴2≤x<4或1<x<2,即1<x<4.不等式f(x)<0的解集是(1,4).當(dāng)λ>4時(shí),f(x)=x-4>0,此時(shí)f(x)=x2-4x+3=0,x=1或3,即在(-∞,λ)上有2個(gè)零點(diǎn);當(dāng)λ≤4時(shí),f(x)=x-4=0,x=4,由f(x)=x2-4x+3=0,得x=1或3,由f(x)在(-∞,λ)上只能有1個(gè)零點(diǎn),得1<λ≤3.綜上所述,λ的取值范圍為(1,3]∪(4,+∞).9.B解析:令f(x)=t,則方程f[f(x)]=3即為f(t)=3,解得t=e-3或e3,作出函數(shù)f(x)的圖象,由圖象可知方程f(x)=e-3有3個(gè)解,f(x)=e3有2個(gè)解,則方程f[f(x)]=3有5個(gè)實(shí)根,故選B.10.BC解析:函數(shù)g(x)=f(x)-b有三個(gè)零點(diǎn),則函數(shù)g(x)=f(x)-b=0,即f(x)=b有三個(gè)根,當(dāng)x≤0時(shí),f(x)=ex(x+1),則f′(x)=ex(x+1)+ex=ex(x+2).由f′(x)<0得x+2<0,即x<-2,此時(shí)f(x)為減函數(shù),由f′(x)>0得x+2>0,即-2<x≤0,此時(shí)f(x)為增函數(shù),即當(dāng)x=-2時(shí),f(x)取得微小值f(-2)=-eq\f(1,e2),作出f(x)的圖象如圖D130所示:圖D130要使f(x)=b有三個(gè)根,則0<b≤1,則實(shí)數(shù)b的取值可能是eq\f(1,2),1.故選BC.11.解:(1)C1對(duì)應(yīng)的函數(shù)為f(x)=(x-3)2,C2對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x)=eq\r(x).(2)a=1,b=4.理由如下:令φ(x)=f(x)-g(x)=(x-3)2-eq\r(x),則x1,x2為函數(shù)φ(x)的零點(diǎn),由于φ(0)=9>0,φ(1)=3>0,φ(2)=1-eq\r(2)<0,φ(3)=-eq\r(3)<0,φ(4)=-1<0,φ(5)=4-eq\r(5)>0,則方程φ(x)=f(x)-g(x)的兩個(gè)零點(diǎn)x1∈(1,2),x2∈(4,5),因此整數(shù)a=1,b=4.12.解:(1)7x+y-10=0.(2)f(x)=x2+eq\f(2,x)-alnx,∴f′(x)=eq\f(2x3-ax-2,x2)(x>0).令g(x)=2x3-ax-2,則g′(x)=6x2-a.由a>0,g′(x)=0,可得x=eq\r(\f(a,6))∴g(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\r(\f(a,6))))上單調(diào)遞減,在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(a,6)),+∞))上單調(diào)遞增.由于g(0)=-2<0,故x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\r(\f(a,6))))時(shí),g(x)<0,又g(1)=-a<0,故g(x)在(1,+∞)上有唯一零點(diǎn),設(shè)為x1,從而可知f(x)在(0,x1)上單調(diào)遞減,在(x1,+∞)上單調(diào)遞增.由于f(x)有唯一零點(diǎn)x0,故x1=x0,且x0>1.則g(x0)=0,f(x
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