高職高等數學教案第四章不定積分

第四章不定積分§4-1不定積分的概念與性質一、不定積分的概念1.原函數定義定義1：如果在區(qū)間上，可導函數的導數為，即對任一，都有或，則稱為在區(qū)間上的一個原函數。例：，則是的一個原函數；，則都是的原函數。2.原函數性質定理1：如果在區(qū)間上連續(xù)，則在該區(qū)間原函數一定存在。定理2：如果是的一個原函數，則是的全體原函數，且任一原函數與只差一個常數。例：驗證都是的原函數證：，則三個函數都是的原函數3.不定積分定義定義2：的全體原函數稱為的不定積分，記作，其中稱為積分號，稱為被積函數，稱為被積表達式，稱為積分變量。說明：如果是在區(qū)間上的一個原函數，則就是的不定積分，即例1：求解：因為，所以是的一個原函數則例2：求解：當時，當時，所以4.不定積分幾何意義在相同橫坐標的點處切線是平行的，切線斜率都為，可由沿軸平移得到。OOxy例：一條積分曲線過點，且平移后與重合，求該曲線方程解：設由于曲線過則，二、不定積分性質性質1：性質2：性質3：三、基本積分表(1)(k是常數)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)例1：求解：例2：求解：例3：求解：例4：求解：注：根式或多項式函數需化成形式，再利用公式。例5：求解：例6：求解：例7：求解：例8：求解：例9：求解：注：三角函數不定積分問題需要利用三角函數常用平方和公式及二倍角公式?！?-2換元積分法一、第一類換元積分法定理：如果，則，其中為關于的任意可微函數。第一類換元積分法（湊微分法）：對于不定積分中被積函數，如果可以將整理成的形式，則設，則原式例1：求解：設，則原式例2：求解：設，則原式例3：求解：設，則原式注：變量代換熟練后，可省略中間變量換元過程，直接利用湊微分形式解決問題。例4：求解：例5：求解：例6：求解：即同理可得例7：求解：即同理可得含三角函數（為非負整數）形式的積分：（1）若中有一個奇數，則將奇次冪分為一次冪與偶次冪的乘積，并將一次冪與湊微分。（2）若同為偶數，利用三角函數的倍角公式例8：求解：例9：求解：例10：求（選講）解：即例11：求（選講）解：即例12：求（選講）解：即二、第二類換元積分法定理：設有連續(xù)導數，且，又設有原函數，是的反函數，則有例1：求解：設，則，例2：求解：設，則，注：若被積函數中含有被開方因式為一次式的根式，如，可設消去根式，再求積分。例3：求解：設，則，ttax如圖由于則，，因此例4：求解：設，則，ttax如圖由于則因此，其中例5：求解：設，則，ttax如圖由于，則，其中常用積分公式補充：(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)(22)§4-3分部積分法1.引入分部積分公式：設函數及具有連續(xù)導數，則兩個函數乘積的導數公式為：經過移項可得：兩邊求不定積分可得：，即此公式稱為分部積分公式。2.直接利用分部積分公式例1：求解1：令，則解2：令，則注：1．通過例子可以看出解2中利用分部積分公式后積分變得更加復雜，因此應恰當選擇2．利用分部積分公式后要比容易求解3．選擇的方法：按“反對冪指三”的順序，靠前為，靠后為例2：求解：令，則例3：求解：令，則例4：求解：令，則注：熟練后可不寫出3.多次使用分部積分公式例1：求解：例2：求解：