第05講 一次方程（組）及其應(yīng)用課件2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)

第二章

方程與不等式

第05講一次方程（組）及其應(yīng)用5大考點(diǎn)精講+專訓(xùn)3大中考命題點(diǎn)+15大題型探究01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航中考考點(diǎn)考查頻率新課標(biāo)要求一元一次方程及其解法二元一次方程及其解法一次方程（組）的應(yīng)用★★★★掌握等式的基本性質(zhì)；能解一元一次方程.掌握消元法，能解二元一次方程組；*能解簡(jiǎn)單的三元一次方程組；能根據(jù)現(xiàn)實(shí)情境理解方程的意義，能針對(duì)具體問(wèn)題列出方程【考情分析1】一元一次方程屬于初中的基礎(chǔ)內(nèi)容，試題形式多樣，難度不大，主要以解決實(shí)際問(wèn)題為考查背景，多出現(xiàn)在銷(xiāo)售、行程、工程等問(wèn)題中，確定題目中的等量關(guān)系，正確地列出方程是解題的關(guān)鍵.此外，準(zhǔn)確的計(jì)算能力也是得分所必不可少的技能.★★【考情分析2】中考對(duì)二元一次方程組的考查包括解方程組和利用二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題，其關(guān)鍵是“消元”思想，即將“二元”轉(zhuǎn)化為“一元”，這也體現(xiàn)在用二元一次方程組可解決的問(wèn)題用一元一次方程也可以解決，考查形式多樣，難度不大，多以解決實(shí)際問(wèn)題為出題背景.02知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航03考點(diǎn)突破·考法探究二元一次方程（組）基礎(chǔ)考點(diǎn)三解一元一次方程考點(diǎn)二一元一次方程基礎(chǔ)考點(diǎn)一一元一次方程基礎(chǔ)解二元一次方程（組）考點(diǎn)四一次方程（組）及其應(yīng)用考點(diǎn)五一元一次方程基礎(chǔ)考點(diǎn)一1.一元一次方程的相關(guān)概念一元一次方程的概念

只含有一個(gè)未知數(shù)（元），且未知數(shù)的次數(shù)都是1，這樣的整式方程叫一元一次方程.一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式ax+b=0（a、b是常數(shù)，且a≠0）.解方程求方程的解得過(guò)程叫做解方程.易錯(cuò)易混方程的解與解方程是兩個(gè)不同的概念，方程的解是一個(gè)具體的數(shù)值，而解方程是求方程的解的過(guò)程；1）3）2）方程的解是通過(guò)解方程求得的.

一元一次方程基礎(chǔ)考點(diǎn)一2.等式的性質(zhì)等式的性質(zhì)101等式的兩邊都加上(或減去)同一個(gè)數(shù)（或同一個(gè)式子），所得的結(jié)果仍是等式.等式兩邊都乘以同一個(gè)數(shù)，或都除以同一個(gè)不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等.如果a=b，則b=a（對(duì)稱性）如果a=b，b=c，則a=c（傳遞性）即：如果a=b，那么a±c=a±c等式的性質(zhì)202等式的性質(zhì)303等式的性質(zhì)404

即：如果a=b，那么ac=bc；易錯(cuò)易混1）利用等式的性質(zhì)進(jìn)行變形時(shí)，等式兩邊都要參加運(yùn)算，而且是同一種運(yùn)算.2）等式兩邊同時(shí)除以一個(gè)字母時(shí)，字母不能為0，若題目沒(méi)有注明該字母不為0，那么這個(gè)變形就不成立.一元一次方程基礎(chǔ)考點(diǎn)一針對(duì)練習(xí)

ACB03考點(diǎn)突破·考法探究二元一次方程（組）基礎(chǔ)考點(diǎn)三解一元一次方程考點(diǎn)二一元一次方程基礎(chǔ)考點(diǎn)一解一元一次方程解二元一次方程（組）考點(diǎn)四一次方程（組）及其應(yīng)用考點(diǎn)五解一元一次方程考點(diǎn)二解一元一次方程的步驟基本思路：

步驟具體做法去分母去括號(hào)移項(xiàng)合并同類項(xiàng)系數(shù)化為1在方程兩邊都乘以各分母的最小公倍數(shù)先去小括號(hào)，再去中括號(hào)，最后去大括號(hào)把含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程一邊，其它項(xiàng)都移到方程另一邊把方程變?yōu)閍x=b（a≠0)的形式

【補(bǔ)充說(shuō)明】解具體的一元一次方程時(shí)，要根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活安排解題步驟，甚至可以省略某些步驟，有分母的去分母，有括號(hào)的去括號(hào).以上解題步驟中，開(kāi)始出錯(cuò)的一步是（

）A．第一步 B．第二步C．第三步 D．第四步

解一元一次方程考點(diǎn)二針對(duì)練習(xí)

AB

解一元一次方程考點(diǎn)二針對(duì)練習(xí)

03考點(diǎn)突破·考法探究二元一次方程（組）基礎(chǔ)考點(diǎn)三解一元一次方程考點(diǎn)二一元一次方程基礎(chǔ)考點(diǎn)一二元一次方程（組）基礎(chǔ)解二元一次方程（組）考點(diǎn)四一次方程（組）及其應(yīng)用考點(diǎn)五二元一次方程（組）基礎(chǔ)考點(diǎn)三1.二元一次方程二元一次方程概念含有兩個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程.其中：a1,a2不同時(shí)為0,b1,b2不同時(shí)為0二元一次方程的三要素2.二元一次方程組二元一次方程組的概念方程組有兩個(gè)未知數(shù)，每個(gè)含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，并且一共有兩個(gè)方程，像這樣的方程叫做二元一次方程組二元一次方程組一般形式：二元一次方程組的解一般地，二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.01有且只有兩個(gè)未知數(shù)02含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)為1；03方程兩邊都是整式二元一次方程（組）基礎(chǔ)考點(diǎn)三2.二元一次方程組易錯(cuò)易混二元一次方程有無(wú)數(shù)個(gè)解，滿足二元一次方程使得方程左右相等都是這個(gè)方程的解，但并不是說(shuō)任意一對(duì)數(shù)值就是它的解.在二元一次方程中，給定其中一個(gè)未知數(shù)的值，就可以通過(guò)解一元一次方程的方法求出另一個(gè)未知數(shù)的值.二元一次方程組的“二元”和“一次”都是針對(duì)整個(gè)方程組而言的，組成方程組的各個(gè)方程不必同時(shí)含有兩個(gè)未知數(shù)，這兩個(gè)一次方程不一定都是二元一次方程，但這兩個(gè)一次方程必須只含有兩個(gè)未知數(shù).解二元一次方程組的基本思想是消元，即將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程．二元一次方程（組）基礎(chǔ)考點(diǎn)三針對(duì)練習(xí)

A

【解析】有題意得：

由①得x=9+y③將③代入②得：36+4y+3y=1，解得y=-5∴x=9+（-5）=4A∴x=4，y=-5．

二元一次方程（組）基礎(chǔ)考點(diǎn)三針對(duì)練習(xí)

【解析】

整體代入求值1

【解析】利用平方差公式分解∵x-2y=-2，x+2y=3，∴x2-4y2=（x+2y）（x-2y）

=3×（-2）

=-6，-603考點(diǎn)突破·考法探究二元一次方程（組）基礎(chǔ)考點(diǎn)三解一元一次方程考點(diǎn)二一元一次方程基礎(chǔ)考點(diǎn)一解二元一次方程（組）解二元一次方程（組）考點(diǎn)四一次方程（組）及其應(yīng)用考點(diǎn)五解二元一次方程（組）考點(diǎn)四1.代入消元法定義把二元一次方程組中的一個(gè)方程的一個(gè)未知數(shù)用含另一個(gè)未知數(shù)的式子表示出來(lái)，再代入另一個(gè)方程，實(shí)現(xiàn)消元，進(jìn)而求得這個(gè)二元一次方程組的解，這種方法叫做代入消元法，簡(jiǎn)稱代入法.用代入消元法解二元一次方程組的一般步驟2【代入】3【解元】從方程組中選一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)比較簡(jiǎn)單的方程，將這個(gè)方程中的一個(gè)未知數(shù)用含有另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示出來(lái)；將變形后的方程代入沒(méi)變形的方程，得到一個(gè)一元一次方程；解這個(gè)一元一次方程，求出一個(gè)未知數(shù)的值；將求得的未知數(shù)的值代入變形后的方程，求出另一個(gè)未知數(shù)的值，從而得到方程組的解.易錯(cuò)易混1【變形】4【求值】1）方程組中各項(xiàng)系數(shù)不全是整數(shù)時(shí)，應(yīng)先化簡(jiǎn)，即應(yīng)用等式的性質(zhì)，化為整數(shù)系數(shù).2）當(dāng)求出一個(gè)未知數(shù)后，把它代入變形后的方程y=ax+b或x=ay+b,求出另一個(gè)未知數(shù)的值比較簡(jiǎn)單解二元一次方程（組）考點(diǎn)四2.加減消元法定義當(dāng)二元一次方程組的兩個(gè)方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時(shí)，把這兩個(gè)方程的兩邊分別相加或相減，就能消去這個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程，這種方法叫做加減消元法，簡(jiǎn)稱加減法.用加減消元法解二元一次方程組的一般步驟2【加減】把兩個(gè)方程的兩邊分別相加或相減，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程3【解元】解這個(gè)一元一次方程，求出一個(gè)未知數(shù)的值先觀察系數(shù)特點(diǎn)，將同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)化成互為相反數(shù)或相等的數(shù)1【變形】將求得的未知數(shù)的值代入原方程組中任意一個(gè)方程，求出另一個(gè)未知數(shù)的值，并把求得的兩個(gè)未知數(shù)的值用“大括號(hào)”聯(lián)立起來(lái)，就是方程組的解．4【求值】解二元一次方程（組）考點(diǎn)四針對(duì)練習(xí)

方法指導(dǎo)

D代入消元法2．（2023·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）如圖，“●、■、▲”分別表示三種不同的物體，已知前兩架天平保持平衡，要使第三架也保持平衡，如果在“？”處只放“■”，那么應(yīng)放“■”（

）A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)方法指導(dǎo)設(shè)●、■、▲分別為x，y，z

用y分別表示出x和z

A解二元一次方程（組）考點(diǎn)四針對(duì)練習(xí)

7（答案不唯一）【解析】

03考點(diǎn)突破·考法探究二元一次方程（組）基礎(chǔ)考點(diǎn)三解一元一次方程考點(diǎn)二一元一次方程基礎(chǔ)考點(diǎn)一一次方程（組）及其應(yīng)用解二元一次方程（組）考點(diǎn)四一次方程（組）及其應(yīng)用考點(diǎn)五一次方程（組）及其應(yīng)用考點(diǎn)五解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟審：審清題意（注意關(guān)鍵詞），找出題中的等量關(guān)系，理清題中的已知量與未知量；設(shè)：設(shè)未知數(shù)，并用含未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知量；列：根據(jù)題中相等關(guān)系，列出方程（組）；解：解所列出的方程（組）；驗(yàn)：檢驗(yàn)所得的解是不是所列方程的解、是否符合實(shí)際意義（這一步可在草稿紙上完成）；答：寫(xiě)出答案，包括單位.用一元一次方程（組）解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟：1．（2024·四川·中考真題）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》記載了一道題，大意是：幾個(gè)人合買(mǎi)一件物品，每人出8元，剩余3元；每人出7元，還差4元．設(shè)有x人，該物品價(jià)值y元，根據(jù)題意，可列出的方程組是（

）

A．

B．C．

D．

一次方程（組）及其應(yīng)用考點(diǎn)五針對(duì)練習(xí)A2．（2024·海南·中考真題）端午節(jié)是中國(guó)傳統(tǒng)節(jié)日，人們有吃粽子的習(xí)俗．某商店售賣(mài)某品牌瘦肉粽和五花肉粽．請(qǐng)依據(jù)以下對(duì)話，求促銷(xiāo)活動(dòng)前每個(gè)瘦肉粽、五花肉粽的售價(jià)．【解析】

一次方程（組）及其應(yīng)用考點(diǎn)五針對(duì)練習(xí)3．（2024·江蘇徐州·中考真題）中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《張邱建算經(jīng)》中有一道問(wèn)題；“今有甲、乙懷錢(qián)，各不知其數(shù)．甲得乙十錢(qián)，多乙余錢(qián)五倍．乙得甲十錢(qián)，適等．問(wèn)甲、乙懷錢(qián)各幾何？”問(wèn)題大意：甲、乙兩人各有錢(qián)幣干枚．若乙給甲10枚錢(qián)，此時(shí)甲的錢(qián)幣數(shù)比乙的錢(qián)幣數(shù)多出5倍，即甲的錢(qián)幣數(shù)是乙錢(qián)幣數(shù)的6倍；若甲給乙10枚錢(qián)，此時(shí)兩人的錢(qián)幣數(shù)相等．問(wèn)甲、乙原來(lái)各有多少枚錢(qián)幣？請(qǐng)用二元一次方程組解答上述問(wèn)題．【解析】設(shè)甲有錢(qián)x枚，乙有錢(qián)y枚，甲得乙十錢(qián)，多乙余錢(qián)五倍乙得甲十錢(qián)，適等等量關(guān)系：∴由題意，得

解這個(gè)方程組得

答：甲、乙原來(lái)各有38枚、18枚錢(qián)幣．04題型精研·考向洞悉等式的性質(zhì)題型01

一元一次方程（組）的相關(guān)概念命題點(diǎn)一一元一次方程的相關(guān)概念題型02二元一次方程的相關(guān)概念題型03

【解析】命題點(diǎn)一一元一次方程（組）的相關(guān)念?題型01等式的性質(zhì)BD方法指導(dǎo)解題的關(guān)鍵：?熟記等式的性質(zhì)等式的性質(zhì)1：等式的兩邊都加（或減）同一個(gè)數(shù)或式子，等式仍成立；等式的性質(zhì)2：等式的兩邊都乘同一個(gè)數(shù)或式子，等式仍成立，等式的兩邊都除以同一個(gè)不等于0的數(shù)或式子，等式仍成立

命題點(diǎn)一一元一次方程（組）的相關(guān)念?題型01等式的性質(zhì)

C

【解析】解題的關(guān)鍵：?熟記等式的性質(zhì)命題點(diǎn)一一元一次方程（組）的相關(guān)念?題型01等式的性質(zhì)1．（2024·貴州貴陽(yáng)·一模）用“□”“△”“○”表示三種不同的物體，現(xiàn)用天平稱了兩次，情況如圖所示．設(shè)a，b，c均為正數(shù)，則能正確表示天平從左到右變化過(guò)程的等式變形為（

）

A

C命題點(diǎn)一一元一次方程（組）的相關(guān)念?題型02一元一次方程的相關(guān)概念

D方法指導(dǎo)解題的關(guān)鍵：?掌握一元一次方程的定義

解得：k=-2，方程為-4x=-2+6，解得：x=-1，解：

命題點(diǎn)一一元一次方程（組）的相關(guān)念?題型02一元一次方程的相關(guān)概念

BC由一元一次方程定義可知

命題點(diǎn)一一元一次方程（組）的相關(guān)念?題型03二元一次方程的相關(guān)概念

-1方法指導(dǎo)解題的關(guān)鍵：?理解什么是二元一次方程的解

解：【例2】（2024·江蘇無(wú)錫·一模）請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)解為

的二元一次方程組

．

（答案不唯一）命題點(diǎn)一一元一次方程（組）的相關(guān)念?題型03二元一次方程的相關(guān)概念

3

（答案不唯一）方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值04題型精研·考向洞悉一元一次方程的解法題型01解一元一次方程（組）命題點(diǎn)二代入法解二元一次方程組題型02加減法解二元一次方程組題型03整體法解二元一次方程組題型04解二元一次方程組--同解方程組題型05解二元一次方程組—已知二元一次方程組的解的情況求參數(shù)題型06中考最熱考法之以注重過(guò)程性學(xué)習(xí)的形式考查一次方程(組)題型07命題點(diǎn)二解一元一次方程（組）?題型01一元一次方程的解法步驟具體做法注意事項(xiàng)去分母去括號(hào)移項(xiàng)合并同類項(xiàng)系數(shù)化為1在方程兩邊都乘以各分母的最小公倍數(shù)1）不要漏乘不含分母的項(xiàng)；2）當(dāng)分母中含有小數(shù)時(shí)，先將小數(shù)化成整數(shù)，再去分母.3）如果分子是多項(xiàng)式，去分母后要加括號(hào).先去小括號(hào)，再去中括號(hào)，最后去大括號(hào)1)去括號(hào)時(shí)，括號(hào)前的數(shù)要乘括號(hào)內(nèi)的每一項(xiàng);2)不要弄錯(cuò)符號(hào).把含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程一邊，其它項(xiàng)都移到方程另一邊1）移項(xiàng)時(shí)不要丟項(xiàng);2）將方程中的項(xiàng)從一邊移到另一邊要變號(hào).而在方程同一邊改變項(xiàng)的位置時(shí)不變號(hào).把方程變?yōu)閍x=b（a≠0)的形式1）系數(shù)的符號(hào)處理要得當(dāng)；

2）字母及其指數(shù)不變.

1)未知數(shù)的系數(shù)為整數(shù)或小數(shù)時(shí),方程兩邊同除以該系數(shù);2)未知數(shù)的系數(shù)為分?jǐn)?shù)時(shí),方程兩邊同乘該系數(shù)的倒數(shù).

命題點(diǎn)二解一元一次方程（組）?題型01一元一次方程的解法

方法指導(dǎo)解題的關(guān)鍵：?方程的解的定義?用m表示x解：命題點(diǎn)二解一元一次方程（組）?題型01一元一次方程的解法

A0

命題點(diǎn)二解一元一次方程（組）?題型02代入法解二元一次方程組【例1】（2022·遼寧沈陽(yáng)·中考真題）二元一次方程組

的解是

．

方法指導(dǎo)解題的關(guān)鍵：?熟練掌握代入法解二元一次方程組代入元的選擇解：

∴原方程組的解為

命題點(diǎn)二解一元一次方程（組）?題型02代入法解二元一次方程組

解得：

解：

命題點(diǎn)二解一元一次方程（組）?題型03加減法解二元一次方程組【例1】（2023·湖南常德·中考真題）解方程組：

方法指導(dǎo)

∴原方程組的解

加減消元法解題的關(guān)鍵：?熟練掌握消元的思想?加減消元法消去一個(gè)未知數(shù)．命題點(diǎn)二解一元一次方程（組）?題型03加減法解二元一次方程組

方法指導(dǎo)

解題的關(guān)鍵：?熟練掌握解一元一次方程和解二元一次方程組的方法求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)命題點(diǎn)二解一元一次方程（組）?題型04整體法解二元一次方程組當(dāng)二元一次方程組的結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，但又有一定的規(guī)律時(shí)，可以考慮利用整體消元法，從而使原方程組變成結(jié)構(gòu)比較簡(jiǎn)單、求解方便的二元一次方程組解題方法【例1】（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知關(guān)于x、y的二元一次方程組

則關(guān)于x，y的方程組

A．

B．

C．

D．

A解：∵關(guān)于x，y的方程組

命題點(diǎn)二解一元一次方程（組）?題型04整體法解二元一次方程組

(2)已知方程組

的解

是

則方程組

的解是

．

方法指導(dǎo)解題的關(guān)鍵：?先求(x+2)、(y-1)的解，再求x、y的值．

（2）解：依題意

命題點(diǎn)二解一元一次方程（組）?題型05解二元一次方程組--同解方程組若方程組解相同，則聯(lián)立兩個(gè)不含參數(shù)的方程，解得x，y的值，再代入含參數(shù)的方程組，即可求出參數(shù)的取值.解題方法

解：由題意列方程組：

解得

命題點(diǎn)二解一元一次方程（組）?題型05解二元一次方程組--同解方程組

方法指導(dǎo)解題的關(guān)鍵：?熟練掌握同解方程組的定義，求出m、n的值?勾股定理的逆定理（1）解：由方程組

∴方程組

解得：

命題點(diǎn)二解一元一次方程（組）?題型05解二元一次方程組--同解方程組

方法指導(dǎo)解題的關(guān)鍵：?熟練掌握同解方程組的定義，求出m、n的值?勾股定理的逆定理

代入關(guān)于x的一元二次方程

命題點(diǎn)二解一元一次方程（組）?題型06解二元一次方程組—已知二元一次方程組解的情況求參數(shù)正常解方程組，用參數(shù)表示解，再將解代入到滿足的條件中，從而求出參數(shù)值解題方法

D解法一：

解法二：

A

【解析】

D

【解析】

命題點(diǎn)二解一元一次方程（組）?題型06解二元一次方程組—已知二元一次方程組解的情況求參數(shù)命題點(diǎn)二解一元一次方程（組）?題型07中考最熱考法之以注重過(guò)程性學(xué)習(xí)的形式考查一次方程(組)

(1)請(qǐng)?jiān)谙鄳?yīng)的方框內(nèi)用橫線劃出小紅的錯(cuò)誤處．(2)寫(xiě)出你的解答過(guò)程．方法指導(dǎo)解題的關(guān)鍵：?（1）根據(jù)等式的性質(zhì)，解一元一次方程的步驟即可判斷?（2）首先去分母、然后去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、次數(shù)化成1即可求解去分母漏乘

①④②⑤代入消元法加減消元法

命題點(diǎn)二解一元一次方程（組）?題型07中考最熱考法之以注重過(guò)程性學(xué)習(xí)的形式考查一次方程(組)

請(qǐng)寫(xiě)出解答過(guò)程中最早出現(xiàn)錯(cuò)誤的步驟序號(hào)，并寫(xiě)出正確的解答過(guò)程．

方程中未知數(shù)的系數(shù)化為整數(shù)，而不是去分母命題點(diǎn)二解一元一次方程（組）?題型07中考最熱考法之以注重過(guò)程性學(xué)習(xí)的形式考查一次方程(組)04題型精研·考向洞悉列一元一次方程組題型01一元一次方程（組）的應(yīng)用命題點(diǎn)三一元一次方程的應(yīng)用題型02二元一次方程組的應(yīng)用題型03中考最熱考法之以跨學(xué)科背景考查一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用題型04中考最熱考法之以真實(shí)問(wèn)題情境為背景考查二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用題型05命題點(diǎn)三一元一次方程（組）的應(yīng)用?題型01列一元一次方程組

A增長(zhǎng)率問(wèn)題方法指導(dǎo)等量關(guān)系（1+增長(zhǎng)率）×原來(lái)的量=增長(zhǎng)后的量（1+4.7%）×去年第一季度社會(huì)消費(fèi)品零售總額=第一季度社會(huì)消費(fèi)品零售總額命題點(diǎn)三一元一次方程（組）的應(yīng)用?題型01列一元一次方程組方法指導(dǎo)【例2】（2024·湖北·中考真題）我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一個(gè)關(guān)于“方程”的問(wèn)題：“今有牛五、羊二，直金十兩．牛二、羊五，直金八兩．問(wèn)牛羊各直金幾何？”譯文：“今有牛5頭，羊2頭，共值金10兩．牛2頭，羊5頭，共值金8兩．問(wèn)牛、羊每頭各值金多少？”若設(shè)牛每頭值金x兩，羊每頭值金y兩，則可列方程組是（

）A．B．C．

D．

A解題的關(guān)鍵：?由實(shí)際問(wèn)題抽象出二元一次方程組?（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組等量關(guān)系情景一情景二牛羊總計(jì)5x2y5x+2y2x5y2x+5y牛5頭+羊2頭=10兩牛2頭+羊5頭=8兩命題點(diǎn)三一元一次方程（組）的應(yīng)用?題型01列一元一次方程組1.（2023·吉林·中考真題）《九章算術(shù)》中記載了一道數(shù)學(xué)問(wèn)題，其譯文為：有人合伙買(mǎi)羊，每人出5錢(qián)，還缺45錢(qián)；每人出7錢(qián)，還缺3錢(qián)．問(wèn)合伙人數(shù)是多少？為解決此問(wèn)題，設(shè)合伙人數(shù)為x人，可列方程為

．

從左到右列出的算籌數(shù)分別表示方程中未知數(shù)x，y的系數(shù)與相應(yīng)的常數(shù)項(xiàng)，即可表示方程x+4y=23，則2.（2022·貴州貴陽(yáng)·中考真題）“方程”二字最早見(jiàn)于我國(guó)《九章算術(shù)》這部經(jīng)典著作中，該書(shū)的第八章名為“方程”如：

表示的方程是

．

x+2y=32【解析】x+4y=23x+2y=32x4y23x2y32解題的關(guān)鍵：?工作量=工作時(shí)間×工作效率?（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一次方程組命題點(diǎn)三一元一次方程（組）的應(yīng)用?題型02一元一次方程的應(yīng)用

(1)求甲池的排水速度．工作量問(wèn)題方法指導(dǎo)

總水量排走的水剩余水甲池乙池

甲池剩余水量=乙池剩余水量的2倍等量關(guān)系命題點(diǎn)三一元一次方程（組）的應(yīng)用?題型02一元一次方程的應(yīng)用

一題兩解命題點(diǎn)三一元一次方程（組）的應(yīng)用?題型03二元一次方程組的應(yīng)用

(1)求一塊長(zhǎng)方形墻磚的長(zhǎng)和寬；(2)求電視背景墻的面積．解題的關(guān)鍵：?正確用代數(shù)式表示長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬?（2）長(zhǎng)方形的兩組對(duì)邊分別相等列出方程組方法指導(dǎo)

解得

命題點(diǎn)三一元一次方程（組）的應(yīng)用?題型03二元一次方程組的應(yīng)用【例2】（2021·湖南邵陽(yáng)·中考真題）為慶祝中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年，某校計(jì)劃舉行“學(xué)黨史·感黨恩”知識(shí)競(jìng)答活動(dòng)，并計(jì)劃購(gòu)置籃球、鋼筆、筆記本作為獎(jiǎng)品．采購(gòu)員劉老師在某文體用品購(gòu)買(mǎi)了做為獎(jiǎng)品的三種物品，回到學(xué)校后發(fā)現(xiàn)發(fā)票被弄花了，有幾個(gè)數(shù)據(jù)變得不清楚，如圖．請(qǐng)根據(jù)圖所示的發(fā)票中的信息，幫助劉老師復(fù)原弄花的數(shù)據(jù)，即分別求出購(gòu)置鋼筆、筆記本的數(shù)量及對(duì)應(yīng)的金額．解：設(shè)鋼筆買(mǎi)了x支，筆記本買(mǎi)了y本，根據(jù)題意可得：

解得：

則購(gòu)置筆記本金額為：35×5=175元購(gòu)置鋼筆金額為：15×15=225元答：購(gòu)置鋼筆15支，金額為225元，購(gòu)置筆記本34本，金額為175元命題點(diǎn)三一元一次方程（組）的應(yīng)用?題型03二元一次方程組的應(yīng)用

解得：

調(diào)整前（元）調(diào)整后（元）甲地乙地

等量關(guān)系

甲地調(diào)整后單價(jià)+1=乙地調(diào)整后單價(jià)命題點(diǎn)三一元一次方程（組）的應(yīng)用?題型04中考最熱考法之以跨學(xué)科背景考查一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用【例1】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）在進(jìn)行氯化鈉溶液配置實(shí)驗(yàn)中，小明配置了一瓶質(zhì)量分?jǐn)?shù)為20%的氯化鈉溶液，小蘭配置了一瓶質(zhì)量分?jǐn)?shù)為25%的氯化鈉溶液，兩人用已配制好的溶液混合恰好得到質(zhì)量分?jǐn)?shù)為22%的氯化鈉溶液，已知小明配置的溶液質(zhì)量比小蘭配置的溶液質(zhì)量多7克，求兩人配置的氯化鈉溶液質(zhì)量各有多少克？（提示：氯化鈉質(zhì)量=氯化鈉溶液質(zhì)量×質(zhì)量分?jǐn)?shù)）

解題的關(guān)鍵：?（1）正確理解提示?（2）確定等量關(guān)系方法指導(dǎo)命題點(diǎn)三一元一次方程（組）的應(yīng)用?題型04中考最熱考法之以跨學(xué)科背景考查一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用1．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組的同學(xué)用一根質(zhì)地均勻的輕質(zhì)木桿和若干個(gè)鉤碼做實(shí)驗(yàn)．如圖所示，在輕質(zhì)木桿O處用一根細(xì)線懸掛，左端A處掛一重物，右端B處掛鉤碼，每個(gè)鉤碼質(zhì)量是500g．若OA=15cm，OB=30cm，掛3個(gè)鉤碼可使輕質(zhì)木桿水平位置平衡．若輕質(zhì)木桿的質(zhì)量忽略不計(jì)，設(shè)這個(gè)重物的質(zhì)量為xg，根據(jù)題意可列方程為（

）A．15x=30×500×3 B．30x=15×500×3C．3×15x=30×500 D．3×30x=15×500A

等量關(guān)系杠桿原理2．（2024·山西晉中·三模）公元前3世紀(jì)，古希臘科學(xué)家阿基米德發(fā)現(xiàn)：若兩物體與支點(diǎn)的距離與其重量成反比，則杠桿平衡．后來(lái)人們把它歸納為“杠桿原理”．通俗地說(shuō)，杠桿原理為：阻力×阻力臂=動(dòng)力×動(dòng)力臂．某野外作業(yè)人員，因工作需要，用橇棍撬動(dòng)一塊2000N的大石頭，經(jīng)過(guò)分析后，撬棍的阻力臂是動(dòng)力臂的14則所需要的動(dòng)力至少為

N．500命題點(diǎn)三一元一次方程（組）的應(yīng)用?題型05中