2023-2024學(xué)年廣東省深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校高中園高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題及答案

試題PAGE1試題深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校高中園2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期期中考試高一數(shù)學(xué)第一卷一、單選題：本題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.命題“，都有”否定是（）A.，使得 B.，都有C.，使得 D.，使得3.“”是“關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)解”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.5.函數(shù)的圖象是（）A. B.C. D.6.已知函數(shù)，有，則實(shí)數(shù)（）A.或4 B.或2 C.2或9 D.2或47.以下結(jié)論正確的是（）A.若且，則B.正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是C.的最小值是D.函數(shù)的最小值是8.已知定義在上的函數(shù)滿足，其圖象經(jīng)過點(diǎn)，且對(duì)任意，且，恒成立，則不等式的解集為（）A. B.C. D.二、多選題：本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)是（）A. B. C. D.10.下列命題為真命題的是()A若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則11.關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)描述，正確的是（）A.的定義域?yàn)锽.的值域?yàn)镃.在定義域上是增函數(shù)D.的圖象關(guān)于軸對(duì)稱12.設(shè)函數(shù)，其中表示中最小者，下列說法正確的有（）A.函數(shù)為偶函數(shù) B.不等式解集為C.當(dāng)時(shí)， D.當(dāng)時(shí)，第二卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若函數(shù)，則__________．14.已知冪函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則的值為__________．15.若正數(shù)、滿足，則的最小值為______.16.設(shè)函數(shù)，若存在最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_________．四、解答題：本題共6個(gè)小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.計(jì)算下列各式的值．（1）（2）已知求的值．18.已知集合，（1）若，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．19.已知定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且時(shí)，.（1）求當(dāng)時(shí)，函數(shù)的解析式；（2）求證：在上為增函數(shù).20.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)響應(yīng)“綠水青山就是金山銀山”的號(hào)召，因地制宜的將該鎮(zhèn)打造成“生態(tài)水果特色小鎮(zhèn)”經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)．某珍稀水果樹的單株產(chǎn)量即（單位：千克）與施用肥料x（單位：千克）滿足如下關(guān)系：，肥料成本投入為10x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工費(fèi)）20x元.已知這種水果的市場(chǎng)售價(jià)大約為15元/千克，且銷路暢通供不應(yīng)求記該水果樹的單株利潤(rùn)為（單位：元）．（1）求的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)施用肥料為多少千克時(shí)，該水果樹的單株利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少?21.設(shè)函數(shù)（，且）是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且的圖象過點(diǎn)．（1）求t和a的值；（2）若，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；22.設(shè)函數(shù)，．（1）對(duì)于任意都有成立，求的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)對(duì)任意，恒有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若存在，使得與同時(shí)成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校高中園2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期期中考試高一數(shù)學(xué)第一卷一、單選題：本題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用集合的交集、補(bǔ)集運(yùn)算,即可求解.【詳解】解：，,故選:A2.命題“，都有”的否定是（）A.，使得 B.，都有C.，使得 D.，使得【答案】D【解析】【分析】由全稱量詞命題的否定的定義即可得解.【詳解】命題“，都有”的否定是“，使得”.故選：D.3.“”是“關(guān)于x方程有實(shí)數(shù)解”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】分析】解出不等式，然后判斷即可【詳解】因?yàn)殛P(guān)于x方程有實(shí)數(shù)解所以，即或所以“”是“關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)解”的充分不必要條件故選：A【點(diǎn)睛】本題考查的是充分條件、必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題.4.設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用函數(shù)，的單調(diào)性比較大小即可【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以，即，所以故選：D5.函數(shù)的圖象是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】化函數(shù)為分段函數(shù)，再根據(jù)各段函數(shù)式的特點(diǎn)即可判斷作答.【詳解】依題意，原函數(shù)化為：，其定義域?yàn)?，顯然當(dāng)時(shí)，圖象是經(jīng)過點(diǎn)的直線在y軸右側(cè)部分，當(dāng)時(shí)，圖象是是經(jīng)過點(diǎn)的直線在y軸左側(cè)部分，根據(jù)一次函數(shù)圖象知，符合條件的只有選項(xiàng)B.故選：B.6.已知函數(shù)，有，則實(shí)數(shù)（）A.或4 B.或2 C.2或9 D.2或4【答案】D【解析】【分析】由分段函數(shù)求值運(yùn)算可得方程，求解即可詳解】，，即，解得或.故選：D7.以下結(jié)論正確的是（）A.若且，則B.正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是C.的最小值是D.函數(shù)的最小值是【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式的知識(shí)逐一判斷即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為，所以的最小值為，故B正確；因?yàn)榕c不能相等，所以的最小值不是，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，，故D錯(cuò)誤故選：B8.已知定義在上的函數(shù)滿足，其圖象經(jīng)過點(diǎn)，且對(duì)任意，且，恒成立，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意得知，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，由此可得出該函數(shù)在上單調(diào)遞減，，由分類討論即可.【詳解】，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，該函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，則，且有，對(duì)任意，且，恒成立，可設(shè)，則，，即.所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，由此可得該函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，符合題意；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，則有，由于函數(shù)在上單調(diào)遞減，由，得，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，則有，由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，由，得，此時(shí)，綜上所述，不等式的解集為.故選：D.二、多選題：本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義和增函數(shù)的定義逐個(gè)分析判斷即可.【詳解】對(duì)于A，定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以此函?shù)為偶函數(shù)，所以A不符合題意，對(duì)于B，定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以此函?shù)為奇函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以B符合題意，對(duì)于C，定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以此函?shù)為奇函數(shù)，因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，所以C符合題意，對(duì)于D，定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以此函?shù)為奇函數(shù)，因?yàn)?，所以函?shù)在不是增函數(shù)，所以D不符合題意，故選：BC10.下列命題為真命題的是()A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)不等式性質(zhì)逐一判斷命題真假即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)椋@然，由不等式可知，，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，由不等式性質(zhì)可知，，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，由不等式性質(zhì)可知，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?，由不等式性質(zhì)可知，，故D錯(cuò)誤.故選：AB.11.關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)描述，正確的是（）A.的定義域?yàn)锽.的值域?yàn)镃.在定義域上增函數(shù)D.的圖象關(guān)于軸對(duì)稱【答案】AB【解析】【分析】先求出函數(shù)的定義域，再求值域，然后利用函數(shù)單調(diào)性以及奇偶性定義即可求解.【詳解】對(duì)于A中，由，解得即為函數(shù)的定義域，故A正確；對(duì)于B中，由定義域可化簡(jiǎn)函數(shù)得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，故B正確；對(duì)于C中，因?yàn)椋院瘮?shù)不是增函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，因?yàn)槎x域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且對(duì)任意，，所以函數(shù)是奇函數(shù)，故D錯(cuò)誤，故選：AB.12.設(shè)函數(shù)，其中表示中的最小者，下列說法正確的有（）A.函數(shù)為偶函數(shù) B.不等式的解集為C.當(dāng)時(shí)， D.當(dāng)時(shí)，【答案】AC【解析】【分析】作出函數(shù)的圖象，易判斷AB，然后分類討論確定、和的表達(dá)式，判斷CD．【詳解】作出函數(shù)的圖象，如圖實(shí)線部分．由圖可知其圖象關(guān)于軸對(duì)稱，函數(shù)為偶函數(shù)，A正確；，再計(jì)算得，解集為，B錯(cuò)；時(shí)，即為，即，成立時(shí)，即為，即，成立，時(shí)，即為，即，成立，時(shí)，，，由在上遞增，得成立．C正確；由B選項(xiàng)知時(shí)，，成立，時(shí)，，，不等式為，，不成立．D錯(cuò)誤．故選：AC．第二卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若函數(shù)，則__________．【答案】【解析】【分析】利用換元法求出的解析式，代入數(shù)字即可求解.【詳解】，令，則，，即，.故答案為：.14.已知冪函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則的值為__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義和性質(zhì)得，由此即可得解.【詳解】因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，

所以，即，

解得或，

又冪函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，

所以，故，

故答案為：．15.若正數(shù)、滿足，則的最小值為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意得，進(jìn)而利用基本不等式“1”的用法求解即可.【詳解】解：因?yàn)檎龜?shù)、滿足，所以，且所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為故答案為：16.設(shè)函數(shù)，若存在最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_________．【答案】【解析】【分析】當(dāng)時(shí)，由二次函數(shù)性質(zhì)可知無最大值；當(dāng)時(shí)，，無最大值；當(dāng)時(shí)，分別在兩段區(qū)間內(nèi)求得的取值范圍，根據(jù)有最大值可構(gòu)造不等式求得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，開口方向向上，此時(shí)無最大值，不合題意；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，無最大值，不合題意；當(dāng)時(shí)，若，；若，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則；若存在最大值，則，解得：；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.四、解答題：本題共6個(gè)小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.計(jì)算下列各式的值．（1）（2）已知求的值．【答案】（1）7；（2）7【解析】【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪運(yùn)算即可；（2）利用平方關(guān)系求解即可.【小問1詳解】原式；【小問2詳解】，等號(hào)兩邊同時(shí)平方，得，所以.18.已知集合，（1）若，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解一元二次不等式和分式不等式可求得集合，由并集定義可得結(jié)果；（2）根據(jù)補(bǔ)集定義和并集結(jié)果得，結(jié)合可知，由此可解得結(jié)果.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，；由得：，解得：，則；.【小問2詳解】由（1）知：，；，；由得：，若，則，解得：，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.19.已知定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且時(shí)，.（1）求當(dāng)時(shí)，函數(shù)的解析式；（2）求證：在上為增函數(shù).【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】(1)結(jié)合已知條件，首先求出當(dāng)時(shí)，的解析式，然后結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)求的解析式，最后利用奇函數(shù)定義求出即可；(2)結(jié)合已知條件，利用單調(diào)性定義證明即可.【小問1詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，，①當(dāng)時(shí)，則，故，又因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，從而，故；②因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，即，綜上所述，當(dāng)時(shí)，.【小問2詳解】不妨設(shè)、，且，，又因?yàn)?，，，即，所以，即，從而在上為增函?shù).20.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)響應(yīng)“綠水青山就是金山銀山”的號(hào)召，因地制宜的將該鎮(zhèn)打造成“生態(tài)水果特色小鎮(zhèn)”經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)．某珍稀水果樹的單株產(chǎn)量即（單位：千克）與施用肥料x（單位：千克）滿足如下關(guān)系：，肥料成本投入為10x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工費(fèi)）20x元.已知這種水果的市場(chǎng)售價(jià)大約為15元/千克，且銷路暢通供不應(yīng)求記該水果樹的單株利潤(rùn)為（單位：元）．（1）求的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)施用肥料為多少千克時(shí)，該水果樹的單株利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少?【答案】（1）（2）4千克時(shí)，利潤(rùn)最大480元.【解析】【分析】（1）利用銷售額減去成本投入可得出利潤(rùn)解析式；（2）利用分段函數(shù)的單調(diào)性及基本不等式計(jì)算最值即可.【小問1詳解】由已知；【小問2詳解】由（1）得，即由二次函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng)時(shí)，，由基本不等式可知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值，綜上，當(dāng)時(shí)取得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為480元.21.設(shè)函數(shù)（，且）是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且的圖象過點(diǎn)．（1）求t和a的值；（2）若，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)直接利用奇函數(shù)性質(zhì)可得到的值，再代回解析式看是否符合奇函數(shù)的條件，由函數(shù)過點(diǎn)代入求a.(2)利用奇函數(shù)的性質(zhì)可得，再由函數(shù)單調(diào)性脫去“”，轉(zhuǎn)化為二次不等式恒成立求解即可.【小問1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)（，且）是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以，所以，所以，解得，所以，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，所以函數(shù)是奇函數(shù)，故滿足題意，又因?yàn)榈膱D象過點(diǎn)，所以，，且，解得或（舍去），綜上t和a的值分別為2，2.【小問2詳解】由（1）可知函數(shù)是奇函數(shù)，所以不等式等價(jià)于，因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知在上單調(diào)遞增，所以不等式等價(jià)于，即，不等式恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)，解得，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為.22.設(shè)函數(shù)，．（1）對(duì)于任意都有成立，求的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)對(duì)任意，恒有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若存在，使得與同時(shí)成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）或；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）轉(zhuǎn)化條件為對(duì)于任意恒成立，設(shè)，由一次函數(shù)的性質(zhì)即可得解；（2）轉(zhuǎn)化條件為在區(qū)間上，，結(jié)合二次函數(shù)、一次函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)最值后即可得解；（3）按照、、討論，由一