浙江省北斗星盟2024-2025學年高二上學期12月月考數(shù)學試卷（含解析）

絕密★考試結束前高二年級數(shù)學學科試題考生須知：1．本卷共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘。2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準考證號并填涂相應數(shù)字。3．所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效。4．考試結束后，只需上交答題紙。選擇題部分一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知直線的一個方向向量為，則它的傾斜角為（）A．B．C．D．2．已知圓，則以下選項中與圓內切的圓的方程為（）A．B．C．D．3．已知雙曲線的方程是，它的兩個焦點分別是與，M是雙曲線上的一點，且，則的值為（）A．1B．13C．1或13D．4或104．已知是等差數(shù)列的前n項和，若，則（）A．2B．3C．4D．55．已知，則點D到平面ABC的距離為（）A．3B．C．D．6．在四棱臺中，平面ABCD，，且，動點P滿足，則直線CP與平面ABCD所成角正弦值的最大值為（）A．B．C．D．7．設橢圓的左，右焦點分別為，點M，N在C上，且點M，N關于原點O對稱，當時，，當點M在橢圓C上運動時，四邊形面積的最大值是，則橢圓C的焦距為（）A．B．6C．D．8．記圓錐的側面是曲面，且曲面平面，其中l(wèi)是圓錐的一條母線，則稱平面是“平面”，“平面”上不與l平行且不與l重合的直線稱為“圓錐的斜切直線”．已知直線a是圓錐的“斜切直線”，且直線a經過圓錐某條母線的中點，若圓錐的體積是，底面面積是，且圓錐底面中心C到直線a的距離是，則直線l與圓錐底面夾角的正弦值為（）A．B．C．D．二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個選項中，有多個選項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9．已知圓，直線與圓C交于A，B兩點，則以下四個選項中正確的是（）A．圓C的圓心坐標是B．C．D．的面積是10．如圖，把正方形紙片ABCD沿著AE（E是線段BC的中點）翻折成平面，O是原正方形的中心，則在翻折過程中，以下說法正確的是（）A．B．與BD所成角的最大值是C．若F是CD的中點，則與平面ABCD所成角的正弦值的最大值是D．過B做AE的垂線與AE交于點H，11．已知曲線，直線l經過點，則以下說法正確的是（）A．記曲線圍成的面積是S，則B．若，直線l與曲線交于不同的兩點B，C，的最小值是C．當時，有2條不同的直線l，直線l與曲線有3個不同的交點D．若，設點B是曲線上的任意一點，則非選擇題部分三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知等比數(shù)列滿足，則___________．13．在棱長為6的正方體中，E，F(xiàn)分別是線段OA，OC上的動點，直線和平面所成的角為，則點B到直線EF的最大距離為__________．14．已知橢圓，左、右焦點分別為在直線上有一動點，過點P作兩條直線，其中與橢圓相切于點D，經過點與橢圓交于點B，C當時，__________．四、解答題：本大題共5小題，共77分。解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）已知數(shù)列是公比不為1的等比數(shù)列，前n項和為，且滿足．（1）求數(shù)列的公比；（2）若是遞增數(shù)列且，求數(shù)列的前n項和．16．（15分）已知橢圓經過點，點P是橢圓上的動點，左右焦點分別是與，過的直線交橢圓于A，B兩點，周長的為16．（1）求橢圓C的標準方程；（2）若橢圓上有且只有3個點到直線的距離為1，求m．17．（15分）如圖，三角形PAB和菱形ABCD所在平面垂直，且．線段BC的中點為E．（1）當時，證明：直線平面ABCD；（2）當時，求平面PAB和平面PDE夾角的正弦值．18．（17分）已知平面上的動點P到點的距離與直線的距離相等．（1）求點P的軌跡方程；（2）已知圓C方程是，過點P的兩條直線分別與圓C相切于點A，B．（i）記四邊形PACB的面積是S，若．求點P縱坐標的取值范圍；（ii）設直線PA，PB的斜率是，若，求的取值范圍．19．（17分）取整函數(shù)被廣泛的應用于數(shù)論，函數(shù)繪圖和計算機領域，其定義如下：設，不超過x的最大整數(shù)稱為x的整數(shù)部分，記作，函數(shù)稱為取整函數(shù)另外也稱是x的整數(shù)部分已知數(shù)列的前n項和為，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，其中，求k的值；（3）求證：為8的倍數(shù)其中．（參考公式：）高二年級數(shù)學學科參考答案一、選擇題題號12345678答案CBBDBADD1．【C】因為直線的方向向量為，所以直線的斜率，即傾斜角正切值，所以傾斜角為．2．【B】圓心坐標，半徑對于A選項，此時圓心坐標為，半徑為2，圓心距為，舍去對于B選項，此時圓心坐標為，半徑為，圓心距為，符合題意對于C選項，此時圓心坐標為，半徑為，圓心距為，舍去對于D選項，此時圓心坐標為，半徑為，圓心距為，舍去3．【B】由題意得：或13，又不符題意，舍去．4．【D】設等差數(shù)列的公差為d，則，解方程組得．5．【B】由題意得：，設平面ABC的法向量為，則有：令，解得又點D到平面ABC的距離為6．【A】如圖所示，當點P與點重合時，直線CP與平面ABCD所成角正弦值最大為．7．【D】由題意得：，由余弦定理得：，解得①又當M，N分別為橢圓得上、下頂點時，四邊形面積最大，②，又③①②③聯(lián)立解得：焦距為．8．【D】如圖建立坐標系，設A為母線的中點且在直線a上，平面的法向量．不妨取直線a上一點使得，此時，可得，可以令，則所以此時底面中心到直線a的距離，解得而底面的法向量，記直線a與底面所成角為，所以．二、選擇題91011ABABDAD9．【AB】解析：對于A選項，，因此圓心的坐標是；對于B選項，圓心到直線的距離是，則；對于C選項，，因此C選項錯誤；對于D選項，，因此D選項錯誤．10．【ABD】解析：對于A選項，，則平面．對于B選項，，直線BD與直線的夾角，就是直線AH與AH的夾角，設，當在平面ABCD時，，因此直線BD與直線的夾角最大值是．對于C選項，如圖所示，的軌跡是圓G，當與圓G相切時，則與平面ABCD所成角的正弦值的最大，設正方形的邊長是2，因此C選項錯誤．對于D選項，與都是等腰三角形，，因此．11．【AD】解析：對于A選項，該曲線的圖象如圖所示，與x軸的交點是，因此該封閉圖形的面積由一個正方形和四個半圓組成，計算可得正方形的面積是，半圓的半徑是，四個半圓的面積是，因此；對于B選項，若過的直線l與曲線相交，則當直線l的斜率為0時，交點落在以為圓心，半徑是n的圓上，而其他直線與曲線的交點都在圓外，但是曲線也經過，因此不是最小值，B選項錯誤；對于C選項，如圖所示，當時，點A在曲線外，若直線l與曲線有3個不同的交點，因此這樣的直線l有4條，C選項錯誤；對于D選項，無論點在曲線內還是曲線外，到曲線上點的最大值可以轉化成點到如圖所示的四個圓上的點的最大值，由對稱性可知，點到四個圓上的點的最大值在左上圓或者左下圓取到，則最大值是．三、填空題12．213．14．012．2解析：已知等比數(shù)列滿足，則13．解析：如圖1所示，過點O做平面的垂線，垂足是G，延長與底面相交，交點是L，由于，則點L的軌跡是圓，如圖2所示，設直線OL的傾斜角是，則，因此圓O的切線方程是，則點B到直線的距離是．當時，“=”成立．所以點B到直線EF的最大值是．圖1圖214．0設點，直線的斜率為直線的斜率為由于直線與橢圓相切，所以直線DP的方程為：，因為點P在切線上，將點P代入，化簡可得①而，所以②將①式和②式聯(lián)立可得，，化簡得③又因為，即，而所以，將③式代入化簡，可得，解得或（舍去）所以軸，即點P此時為直線和x軸的交點，故四、解答題15．（1）解：由（2分）化簡得，解得或（6分）（2）由題可知，（8分）兩式相減得：，化簡得（13分）16．解：周長（2分）橢圓，將代入解得：（4分）所以橢圓方程為（6分）（2）由題意得，到1的距離為1的點的軌跡是與l平行的兩條直線，可設為，則得或（8分）因為，所以橢圓與相交且與相切由方程組消去y，得．①方程①的根的判別式．由，得（12分）所以同理：所以（15分）17．（1）當時，又，所以故為等腰直角三角形，（2分）取CD中點F，連AF因為四邊形ABCD為菱形，，所以所以因為平面平面ABCD，且交線為AB所以平面PAB，故（6分）所以平面ABCD（7分）（2）如圖建系因為平面平面ABCD，可設所以，解得，（10分）所以（10分）又平面PAB的法向量，設平面PDE的法向量則所以，化簡得，令，所以故（12分）記平面PAB和平面PDE夾角為，所以所以．（15分）18．解析：（1）設點，由于動點P到點的距離與直線的距離相等則點P的軌跡是拋物線，拋物線的方程是．（4分）（2）若，可以轉化為，設點，則，則，（7分）聯(lián)立圓方程與橢圓方程，解得，則拋物線與圓只相較于，而過只能做圓C的一條切線，因此，所以（8分）（3），可得，可得（10分）設PA的方程是，化簡可得由相切可得，整理可得（13分），（16分）所以（17分