2024-2025學(xué)年遼寧省大連二十四中高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年遼寧省大連二十四中高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知a=(1,t,0)，b=(?1,1,2)，a?b=0A.?1 B.0 C.1 D.22.已知直線l1：3x?y+3=0與直線l2：3x?y+c=0之間的距離為210，則A.23 B.23或?17 C.17 D.?23或173.已知{a,b,c}是空間向量的一個基底，{a+b,b+c,A.(3,3,1) B.(1,?1,3) C.(3,?1,3) D.(?1,1,3)4.在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AA1=1，AB=2，AD=3，A.2 B.10 C.1 5.已知⊙C1：(x+1)2+(y+32A.0<m<6 B.154<m<234 C.6.螢石是非常漂亮的一種礦物，其原石往往呈現(xiàn)正八面體形狀.在如圖所示的正八面體EABCDF中，EA與平面ABCD所成的角為(

)A.45°

B.30°

C.60°

D.75°7.N為圓C：x2+(y?1)2=1上的一個動點(diǎn)，平面內(nèi)動點(diǎn)M(x0,y0A.π3?32 B.4π38.某工廠生產(chǎn)的一種零件是由一個圓柱OO′和一個正三棱錐P?ABC穿插而成的對稱組合體，如圖所示.棱PB和平面PAC都與圓柱側(cè)面相切，G是棱PB與圓柱側(cè)面的切點(diǎn).OO′//平面ABC.已知PA=6，AB=23，圓柱OO′的底面圓半徑為3A.322?3

B.3?32

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知直線l：xsinα?ycosα=1，其中α∈[0,2π)，則以下命題正確的有(

)A.直線l的傾斜角為α

B.直線l的斜率為tanα

C.若P(x,y)是直線l上的任意一點(diǎn)，則x2+y2≥1

D.當(dāng)10.如圖，在多面體ABCDES中，SA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是正方形，且DE//SA，SA=AB=2DE=2，M，N分別是線段BC，SB的中點(diǎn)，Q是線段DC上的一個動點(diǎn)(含端點(diǎn)D，C)，則下列說法正確的是(

)A.存在點(diǎn)Q，使得NQ⊥SB

B.存在點(diǎn)Q，使得異面直線NQ與SA所成的角的余弦值為55

C.當(dāng)點(diǎn)Q自D向C處運(yùn)動時，直線DC與平面QMN所成的角不變

D.三棱錐Q?AMN11.已知平面內(nèi)的點(diǎn)P異于原點(diǎn)，且點(diǎn)P的坐標(biāo)(x,y)滿足關(guān)系式|4x+y+1|=|x?3y+1|=tx2+y2，若這樣的點(diǎn)PA.52 B.2135 C.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知二面角α?l?β，A∈l，B∈l，AC?α，AC⊥l，BD?β，BD⊥l，若AC=1，BD=2，AB=3，CD=3，則二面角α?l?β的余弦值為______．13.已知直線l1：2x?y+1=0，l2：x?2y?1=0，若直線l1與l2關(guān)于直線l對稱，則直線14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P(x1,y1)(y1>0)是圓M：(x?2)2+y2=1上的一個動點(diǎn)，直線OP與圓M交于另一點(diǎn)Q，過點(diǎn)O作直線四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為正方形，PA=PD，O是AD中點(diǎn)，PO⊥平面ABCD，E為線段AB上的動點(diǎn)(含端點(diǎn))，若PO=AB=2．

(1)求平面PAD與平面PEC的夾角θ的余弦值的取值范圍；

(2)設(shè)四棱錐P?ABCD的外接球球心為M，當(dāng)E為線段AB中點(diǎn)時，求M到平面PEC的距離．16.(本小題15分)

瑞士數(shù)學(xué)家歐拉(Euler)1765年在所著的《三角形的幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線.已知△ABC的三個頂點(diǎn)分別為A(2,0)，B(2,4)，C(4,2)，直線l經(jīng)過點(diǎn)D(?1,4)．

(1)求△ABC的歐拉線方程；

(2)已知直線l與△ABC的外接圓M相離，點(diǎn)P為直線l上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓M的兩條切線PR，PS，切點(diǎn)分別為R，S，當(dāng)四邊形MSPR的面積的最小值為25時，求直線l的方程．17.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD//BC，AD⊥CD，且AD=CD=2，BC=22，PA=2．

(1)取PC中點(diǎn)N，求證：DN//平面PAB，

(2)求直線AC與PD所成角的余弦值，

(3)在線段PD上，是否存在一點(diǎn)M，使得二面角M?AC?D的大小為45°，如果存在，求BM與平面18.(本小題17分)

已知圓E：x2?2mx+y2?12m=0，點(diǎn)A(1,0)關(guān)于直線l：y=ax+b的對稱點(diǎn)為B(?2,3)．

(1)求l的方程；

(2)討論l與圓E的位置關(guān)系；

(3)若l與圓E相交于M，N兩點(diǎn)，圓心E到l的距離為2，圓C的圓心在線段MN19.(本小題17分)

過點(diǎn)A(x0,y0)作斜率分別為k1，k2的直線l1，l2，若k1k2=μ(μ≠0)，則稱直線l1，l2是KA(μ)定積直線或K(x0,y0)(μ)定積直線．

(1)已知直線l1：y=2tx+1，l2：y=?13tx+1，試問是否存在點(diǎn)Q，使得直線l1，l2是KQ(μ)定積直線？請說明理由．

(2)若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P與點(diǎn)M均在第二象限，且點(diǎn)M(x0,y0)在二次函數(shù)y=x2?3的圖象上.若直線OP與直線OM是K(0,0)參考答案1.C

2.B

3.B

4.C

5.A

6.A

7.D

8.B

9.CD

10.ABD

11.AD

12.?113.x?y=0

14.715.解：(1)∵PO⊥平面ABCD，底面ABCD為正方形，

∴以O(shè)為原點(diǎn)，以過O且與直線CD平行的直線為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則P(0,0,2)，E(1,t,0)，C(?1,2,0)，A(1,0,0)，

∴CP=(1,?2,2),CE=(2,t?2,0),(0≤t≤2)，

設(shè)平面PEC的法向量為m=(x,y,z)，

則m?CP=0m?CE=0?x?2y+2z=02x+(t?2)y=0，

令y=4，則m=(4?2t,4,2+t)，

取平面PAD的法向量n=(0,1,0)，

又平面PAD與平面PEC的夾角為θ，

∴cosθ=|m?n||m|?|n|=4(4?2t)2+16+(2+t)2=45t2?12t+36，

∵0≤t≤2，

∴5t2?12t+36=5(t?65)2+1445在[0,65)單調(diào)遞減，在(616.解：(1)由題意得|AB|2=16，|BC|2=(2?4)2+(4?2)2=8=|AC|2，

所以|BC|2+|AC|2=|AB|2，△ABC為等腰直角三角形，

其外心為斜邊中點(diǎn)，垂心為直角頂點(diǎn)，

所以△ABC的歐拉線是由(2,2)、(4,2)確定的直線，可知?dú)W拉線方程為y=2；

(2)由(1)得M(2,2)，△ABC外接圓的半徑等于12|AB|=2，|PR|=|PS|，

設(shè)直線方程為x?ky+4k+1=0，

則四邊形MSPR的面積S=2S△PRM=|PR|?|RM|=2|PR|，

顯然當(dāng)|PR|取最小值時，Smin=25，即|PR|=5，|PM|=17.證明：(1)取BC中點(diǎn)E，連結(jié)DN、DE、NE，

∵在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD//BC，AD⊥CD，

AD=CD=2，BC=22，PA=2，N是PC中點(diǎn)，

∴DE/?/AB，EN//PB，

∵EN∩DE=E，PB∩AB=B，EN、DE?平面DNE，PB、AB?平面PAB，

∴平面DEN//平面PAB，

∵DN?平面DEN，∴DN//平面PAB．

解：(2)以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，過D作平面ABCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

A(2,0,0)，C(0,2,0)，P(2,0,2)，D(0,0,0)，

AC=(?2,2,0)，PD=(?2,0,?2)，

設(shè)直線AC與PD所成角為θ，

則cosθ=AC·BDAC·BD=226=66．

∴直線AC與PD所成角的余弦值為66．

(3)假設(shè)在線段PD上，存在一點(diǎn)M，使得二面角M?AC?D的大小為45°，

設(shè)M(a,b,c)，PM=λPD，0≤λ≤1，

則(a?2,b,c?2)=(?2λ,0,?2λ)，

∴a?2=?2λb=0c?2=?2λ,∴M(2?2λ,0,2?2λ)，

AC=(?2,2,0)，18.解：(1)∵點(diǎn)A(1,0)關(guān)于直線l：y=ax+b的對稱點(diǎn)為B(?2,3)，且線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(?12,32)，

∴a×3?0?2?1=?1,?12a+b=32,解得a=1,b=2.

∴l(xiāng)的方程為x?y+2=0．

(2)圓E：x2?2mx+y2?12m=0的方程可變形為(x?m)2+y2=m2+12m，

則圓心E的坐標(biāo)為(m,0)，且m2+12m>0，解得m>0或m<?12，

圓E的半徑r=m2+12m．

設(shè)圓心E到l：x?y+2=0的距離為d，則d=|m+2|2．

若d=r，m2+12m=|m+2|2.則m=?1或m=4，此時l與圓E相切；

若d>r，則(|m+2|2)2>(m2+12m)2，解得?1<m<4，

又m<?12或m>0，∴?1<m<?12或0<m<4，

此時19.解：(1)根據(jù)題意，直線l1：y=2tx+1，l2：y=?13tx+1，

顯然兩直