2024-2025學(xué)年廣東省珠江市高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年廣東省珠江市高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A． B． C． D．2．一組數(shù)據(jù)23，11，31，14，16，17，19，27的百分之七十五分位數(shù)是（）A．14 B．15 C．23 D．253．在四面體中，，，，為的重心，在上，且，則（

）A． B．C． D．4．已知隨機(jī)事件和互斥,且,,則等于（

）A． B． C． D．5．已知直線l過定點，且方向向量為，則點到l的距離為（

）A． B． C． D．6．雙曲線與橢圓有相同的焦點，一條漸近線的方程為，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A．B．C．D．7．已知橢圓：的右焦點為，過點的直線交橢圓于兩點，若的中點坐標(biāo)為，則橢圓的方程為（

）A． B． C． D．8．橢圓的左、右焦點分別是，，斜率為1的直線l過左焦點，交C于A，B兩點，且的內(nèi)切圓的面積是，若橢圓的離心率的取值范圍為，則線段的長度的取值范圍是（）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．在棱長為1的正方體中，E，F(xiàn)分別是AB，BC中點，則（

）A．平面B．平面C．平面平面D．點E到平面的距離為10．已知點是左、右焦點為，的橢圓：上的動點，則（

）A．若，則的面積為B．使為直角三角形的點有6個C．的最大值為D．若，則的最大、最小值分別為和11．如圖，曲線是一條“雙紐線”，其上的點滿足：到點與到點的距離之積為4，則下列結(jié)論正確的是（

）A．點在曲線上B．點在上，則C．點在橢圓上，若，則D．過作軸的垂線交于兩點，則三、填空題（本大題共3小題）12．已知點在角的終邊上，則.13．若為偶函數(shù)，則實數(shù).14．如圖，橢圓與雙曲線有公共焦點，，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，點P為兩曲線的一個公共點，且，I為的內(nèi)心，，I，G三點共線，且，x軸上點A，B滿足，，則的最小值為；的最小值為.四、解答題（本大題共5小題）15．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓M的圓心在直線上，且與直線相切于坐標(biāo)原點．(1)求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)經(jīng)過點的直線被圓M截得的弦長為，求直線的方程．16．已知三角形的內(nèi)角所對的邊分別為，若，且.(1)若，求；(2)點在邊上且平分，若，求三角形的周長.17．橢圓C：過點P（，1）且離心率為，F(xiàn)為橢圓的右焦點，過F的直線交橢圓C于M，N兩點，定點．(1)求橢圓C的方程；(2)若面積為3，求直線的方程．18．在四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，，，側(cè)面底面ABCD，，且E，F(xiàn)分別為PC，CD的中點，(1)證明：平面PAB；(2)若直線PF與平面PAB所成的角為，①求平面PAB與平面PCD所成銳二面角的余弦值.②平面ADE將四棱錐分成上、下兩部分，求平面ADE以下部分幾何體的體積.19．已知雙曲線的實軸長為4，漸近線方程為.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)雙曲線的左?右頂點分別為，過點作與軸不重合的直線與交于兩點，直線與交于點S，直線與交于點.（i）設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，若，求的值；（ii）求的面積的取值范圍.

答案1．【正確答案】C【詳解】因為，所以，所以，所以復(fù)數(shù)的虛部為.故選.2．【正確答案】D【詳解】將數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列可得11，14，16，17，19，23，27，31，共8個數(shù)據(jù)，又，所以該數(shù)據(jù)的百分之七十五分位數(shù)是第6個和第7個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即.故選.3．【正確答案】C【詳解】延長交于點，則點為的中點，因為，所以，所以，所以，所以，因為，，，所以，故選：C.4．【正確答案】B【分析】因為和互斥,由求出,再由即可得到答案.【詳解】因為和互斥,所以,又,所以,因為,所以.故選:B.5．【正確答案】A【詳解】由題意得，所以，又直線的方向向量為，則，所以，設(shè)直線與直線所成的角為，則，則，所以點到直線的距離為．故選：A．6．【正確答案】A由題意知，設(shè)雙曲線的方程為．故選A．7．【正確答案】A【詳解】根據(jù)題意設(shè)，代入橢圓方程可得；兩式相減可得，整理可得；又因為的中點坐標(biāo)為，可得；因此過兩點的直線斜率為，又和的中點在直線上，所以，即，可得；又易知，且，計算可得；所以橢圓的方程為，代入的中點坐標(biāo)，得，則其在橢圓內(nèi)部，此時直線與橢圓相交兩點.故選A.8．【正確答案】B【詳解】設(shè)的內(nèi)切圓的圓心為，半徑為，則，解得，，又，，，，，則，即線段的長度的取值范圍是.故選：B.9．【正確答案】ACD【分析】檢驗所給定的正方體，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間位置關(guān)系的向量證明判斷ABC；求出點到平面距離判斷D作答.【詳解】在棱長為1的正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，對于A，，顯然，即平行于平面，而平面，因此平面，A正確；對于B，，，即有不垂直于，而平面，因此不垂直于平面，B錯誤；對于C，，而，顯然，，即平面，于是平面，而平面，因此平面平面，C正確；對于D，，，設(shè)平面的一個法向量，則，令，得，又，所以點E到平面的距離，D正確.故選：ACD10．【正確答案】BCD【詳解】A選項：由橢圓方程，所以，，所以，所以的面積為，故A錯誤；B選項：當(dāng)或時為直角三角形，這樣的點有4個，設(shè)橢圓的上下頂點分別為，，則,同理，知，所以當(dāng)位于橢圓的上、下頂點時也為直角三角形，其他位置不滿足，滿足條件的點有6個，故B正確；C選項：由于，所以當(dāng)最小即時，取得最大值，故C正確；D選項：因為，又，則的最大、最小值分別為和，當(dāng)點位于直線與橢圓的交點時取等號，故D正確.故選：BCD11．【正確答案】ACD【分析】對選項A，根據(jù)“雙紐線”定義即可判斷A正確，對選項B，根據(jù)“雙紐線”定義得到，再計算即可判斷B錯誤，對選項C，根據(jù)“雙紐線”定義和橢圓定義即可判斷C正確，對選項D，設(shè)，根據(jù)勾股定理得到，再解方程即可判斷D正確.【詳解】對選項A，因為，由定義知，故A正確；對選項B，點在上，則，化簡得，所以，，故B錯誤；對選項C，橢圓上的焦點坐標(biāo)恰好為與，則，又，所以，故，所以，故C正確；對選項D，設(shè)，則，因為，則，又，所以，化簡得，故，所以，故1，所以，故D正確，故選ACD.12．【正確答案】【詳解】由點在角的終邊上可得，，則，故答案為.13．【正確答案】0【分析】由求出的值，然后再檢驗即可.【詳解】因為定義域為，關(guān)于原點對稱，而函數(shù)為偶函數(shù)，所以由得，解得.當(dāng)時，，符合題意.故答案為.14．【正確答案】【詳解】①依題意，橢圓與雙曲線的焦距均為，橢圓的長軸長為，雙曲線的實軸長為，不妨設(shè)點在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義得：，由橢圓的定義得：，聯(lián)立解得，又，由余弦定理得：，即，整理得：，即，于是，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最小值為；②為的內(nèi)心，則為的角平分線，由，得，同理：，則，即，因此，而，即，則，為的內(nèi)心，三點共線，即為的角平分線，延長射線，連接，由點向作垂線，垂足分別為，由，得，即為的角平分線，則，即為的角平分線，則有，又，于是，即，而，即，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最小值為.故；.15．【正確答案】(1)(2)或【詳解】（1）圓M的圓心在直線上，設(shè)，則，解得，即，圓的半徑為，圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）經(jīng)過點的直線被圓M截得的弦長為，當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時直線被圓M截得的弦長為，不符，舍去；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，即，，解得或，直線的方程為或.16．【正確答案】(1)(2)6【分析】（1）利用正、余弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，即可求B，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）利用面積關(guān)系可得，結(jié)合列式求解即可.【詳解】（1）由正弦定理可知，則.可得，整理可得.由余弦定理知，且，可得，由知.可知為直角三角形，所以.（2）點在邊上且平分，可知，則，即，可得.①又因為，即，可得.②①代入②得到，解得或（舍去），所以的周長為.17．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）由已知可得，解得，所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）當(dāng)直線與軸重合時，不符合題意，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，可得，，設(shè)，由韋達(dá)定理可得，，則，則，解得，所以直線的方程為.18．【正確答案】(1)證明見解析(2)①；②【詳解】（1）取PB中點M，連接AM，EM，為PC的中點，，，又，，，，四邊形ADEM為平行四邊形，，平面PAB，平面PAB，平面PAB；（2）平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，，平面PAB，取AB中點G，連接FG，則，平面PAB，，，，，又，，，①如圖以G為坐標(biāo)原點，GB為x軸，GF為y軸，GP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，設(shè)平面PCD的一個法向量，，則，取，則，平面PAB的一個法向量可取，設(shè)平面PAB與平面PCD所成銳二面角為，，所以平面PAB與平面PCD所成銳二面角的余弦值.②如圖，，從而AD垂直于AM，四邊形AMED為矩形，正三角形PAB中，AM垂直于PB，又AD垂直于PM，從而PM垂直于平面AMED.所以四棱錐體積，又四棱錐的體積為，所以五面體ABCDEM為.19．【正確答案】(1)(2)（i）；（ii