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2024-2025學(xué)年廣西河池市高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題(本大題共8小題)1.已知拋物線的焦點(diǎn)為,拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為()A.1 B.2 C.3 D.42.已知直線,則與的距離為()A.1 B.2 C. D.3.若橢圓焦點(diǎn)在軸上且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),,則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A. B. C. D.4.已知兩個(gè)向量,且,則的值為(
)A.2 B.4 C.6 D.85.已知直線平分圓的周長(zhǎng),則()A.2 B.4 C.6 D.86.已知拋物線的準(zhǔn)線經(jīng)過(guò)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn),則該雙曲線的漸近線方程為()A. B. C. D.7.在直四棱柱中,底面為等腰梯形,,,E為棱的中點(diǎn),則到平面的夾角余弦值為()A. B. C. D.8.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、,,是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn),并且,則的面積等于()A. B. C. D.二、多選題(本大題共1小題)9.已知直線,,則下列說(shuō)法正確的是()A.當(dāng)時(shí),直線的傾斜角為 B.當(dāng)時(shí),C.若,則 D.直線始終過(guò)定點(diǎn)三、單選題(本大題共1小題)10.如圖,正方體的棱長(zhǎng)為1,是上的中點(diǎn),以下說(shuō)法正確的是()
A.的面積是定值 B.與同向的單位向量是C.與夾角的余弦值為 D.平面的一個(gè)法向量是四、多選題(本大題共1小題)11.已知橢圓,上分別為它的左右焦點(diǎn),點(diǎn)A,B分別為它的左右頂點(diǎn),已知定點(diǎn),點(diǎn)M是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),下列結(jié)論中正確的有()A.存在4個(gè)點(diǎn)M,使得 B.直線與直線斜率乘積為定值C.有最小值 D.的取值范圍為五、填空題(本大題共3小題)12.已知直線l過(guò)點(diǎn),傾斜角為,則直線l的縱截距為.13.已知圓與直線相切,則.14.雙曲線的離心率為.六、解答題(本大題共5小題)15.已知的頂點(diǎn)分別為.(1)求邊的中線所在直線的方程;(2)求邊的垂直平分線所在直線的方程.16.已知橢圓C:,M為橢圓上一點(diǎn),,分別為它的左右焦點(diǎn),M到,距離之和為4,離心率.(1)求橢圓C的方程;(2)若直線l:與橢圓交于A,B兩點(diǎn),求|AB|的長(zhǎng)以及三角形AOB面積.17.如圖,在四棱錐中,側(cè)棱底面,,且,,,為中點(diǎn).(1)求點(diǎn)到平面的距離;(2)求平面與平面夾角的正弦值.18.已知圓,圓.(1)證明兩圓相交,并求兩圓公共弦長(zhǎng);(2)已知過(guò)點(diǎn)0,1的直線l與圓交于A,B兩點(diǎn),且,求直線l的斜率.19.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為,已知點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的距離的最大值為2.(1)求拋物線的方程;(2)已知是雙曲線左右焦點(diǎn),過(guò)右焦點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn).證明:.
答案1.【正確答案】C【詳解】解:由焦半徑公式得:.故選:C.2.【正確答案】C【詳解】由題意得,與的距離,故選:C3.【正確答案】B【詳解】橢圓焦點(diǎn)在軸上且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)0,2,所以,又,則,所以橢圓方程為,故選:B.4.【正確答案】A【詳解】因?yàn)?,所以,解得,所?故選:A.5.【正確答案】A【詳解】由,可得圓心為,因?yàn)橹本€平分圓的周長(zhǎng),所以直線過(guò)圓的圓心,則,解得.故選:A6.【正確答案】D【詳解】已知拋物線的準(zhǔn)線為,所以雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為,所以,解得,所以雙曲線的漸近線方程為.故選:D.7.【正確答案】B【詳解】底面ABCD為等腰梯形,,如圖,在底面ABCD中,過(guò)點(diǎn)D作,垂足為H,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.則,可得,,設(shè)平面的法向量為,則,令,則,可得平面的一個(gè)法向量為,設(shè)到平面的夾角為,則,可得,所以到平面的夾角余弦值為.故選:B.8.【正確答案】B【詳解】由雙曲線的對(duì)稱(chēng)性以及,是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)可知,,,三點(diǎn)共線,連接,,,,,則四邊形為矩形,所以,,
由雙曲線可得,,則,所以,所以,又,所以,解得,所以.故選:B.9.【正確答案】ABD【詳解】對(duì)于A,當(dāng)時(shí),直線,斜率,則傾斜角為,故A正確;對(duì)于B,等價(jià)于,解得,故B正確;對(duì)于C,若,則且,故,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,,當(dāng)時(shí),所以直線恒過(guò),故D正確.故選:ABD.10.【正確答案】C【詳解】對(duì)A:在上且,到AC的距離等于到AC的距離,則為定值1,,故A選項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)B:因?yàn)榻⒉煌目臻g直角坐標(biāo)系,與同向的單位向量的表示方法會(huì)不同,所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤;同理,D選項(xiàng)也不對(duì).如圖所示建系,,
對(duì)C:,,故C選項(xiàng)正確;故選:C11.【正確答案】AD【詳解】對(duì)于A中,由橢圓,可得,由,以為圓心,為直徑的圓,與橢圓C有4個(gè)交點(diǎn),所以存在4個(gè)點(diǎn)M,使得,A選項(xiàng)正確;對(duì)于B中,設(shè),則,且,可得,則為定值,所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于C中,由橢圓的定義,可得,則,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),即時(shí)等號(hào)成立,所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于D中,由點(diǎn)N在橢圓外,設(shè)直線與橢圓相交于,如圖所示,則,因?yàn)?,且,可知,即,?dāng)與重合時(shí),等號(hào)成立,所以,所以,所以D選項(xiàng)正確.故選:AD.12.【正確答案】1【詳解】由題意知,斜率為,則直線方程為,令即,直線1的縱截距為1.故1.13.【正確答案】【詳解】由已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,所以圓心為,半徑為,依題意,.故答案為.14.【正確答案】2或【詳解】當(dāng),,所以.當(dāng),故2或.15.【正確答案】(1)(2).【詳解】(1)設(shè)中點(diǎn)的坐標(biāo)為,則,,所以,邊的中線過(guò)點(diǎn)兩點(diǎn),所以,所以所在直線方程為,即;(2)因?yàn)榈男甭剩缘拇怪逼椒志€的斜率,所以的垂直平分線所在直線的方程為,即.16.【正確答案】(1);(2).【詳解】(1)依題意,,則,由離心率,得,得,所以橢圓C的方程為.(2)由消去得,解得,則弦長(zhǎng);原點(diǎn)O到直線l:距離為:,所以三角形AOB面積:17.【正確答案】(1)(2)【詳解】(1)設(shè)與交點(diǎn)為,連接,則,所以平面,所以,,三條直線兩兩互相垂直,以,,所在的直線分別為,,軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,由題意知,,則,,,,,E0,0,1,,,設(shè)平面EAD的法向量為,,可取,又,則點(diǎn)C到平面EAD的距離:;(2),,,,設(shè)平面PBC的法向量為,則,可取,所以,所以平面PBC與平面EAD夾角的余弦值為,所以平面PBC與平面EAD夾角的正弦值為.18.【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析,(2)或.【詳解】(1)如圖:圓化成標(biāo)準(zhǔn)方程為,圓心,半徑,圓化成標(biāo)準(zhǔn)方程為,圓心,半徑,由,所以?xún)蓤A相交,兩圓方程作差得.即公共弦所在直線的方程為.圓的圓心到公共弦所在直線的距離為:,所以公共弦長(zhǎng)為.(2)由題可知,設(shè)Ax1,①當(dāng)直線斜率不存在時(shí),直線與交點(diǎn)在y軸上,顯然不滿足題意.②當(dāng)直線斜率存在時(shí),設(shè)直線l方程為:,將代入,得,整理得,,,由
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