2024-2025學(xué)年廣西南寧市高二上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年廣西南寧市高二上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．設(shè)，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．在等比數(shù)列中，若，，，則公比等于（）A． B． C． D．或3．設(shè)非零向量，滿足，則A．⊥ B．C．∥ D．4．等差數(shù)列中，已知，則該數(shù)列的前9項(xiàng)和為（

）A．54 B．63 C．66 D．725．已知，是兩條不重合的直線，是一個(gè)平面，則下列命題中正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則6．為弘揚(yáng)新時(shí)代的中國(guó)女排精神，甲、乙兩個(gè)女排校隊(duì)舉行一場(chǎng)友誼賽，采用五局三勝制（即某隊(duì)先贏三局即獲勝，比賽隨即結(jié)束），若甲隊(duì)以贏得比賽，則甲隊(duì)輸?shù)舻膬删智『孟噜彽母怕适牵ǎ〢． B． C． D．7．直線被圓截得的弦長(zhǎng)為，則（）A． B． C． D．8．設(shè)橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)為，，是兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，.記橢圓與雙曲線的離心率分別為與，則點(diǎn)到中心距離的最小值為（）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．設(shè)是等比數(shù)列，與分別是它們的前項(xiàng)的和與積，則下列說(shuō)法正確的有（）A．是等比數(shù)列B．若，其中，，則C．若，，則有最大值D．若，，則是等比數(shù)列10．對(duì)于，下列正確的有（）A．若，則關(guān)于直線對(duì)稱B．若，則關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱C．若在上有且僅有4個(gè)根，則D．若在上單調(diào)，則11．已知拋物線，過(guò)點(diǎn)的直線依次交拋物線于，兩點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，記，，，（為軸），直線的斜率為，則下列說(shuō)法正確的是（）A．恒成立 B．若與拋物線相切，則C．時(shí)， D．存在直線，使得三、填空題（本大題共3小題）12．若是奇函數(shù)，則.13．若數(shù)列對(duì)任意正整數(shù)，有（其中，為常數(shù)，且），則稱數(shù)列是以為周期，以為周期公比的“類周期性等比數(shù)列”.若“類周期性等比數(shù)列”的前3項(xiàng)為1，1，2，周期為3，周期公比為2，則數(shù)列的前13項(xiàng)和為.14．長(zhǎng)方體中，，.點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，記面為，直線，則直線與所成角的余弦值為.四、解答題（本大題共5小題）15．在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且.(1)求角的大小；(2)若，外接圓半徑為2，的角平分線與交于點(diǎn).求的長(zhǎng).16．如圖，四棱錐中，平面，，，，.為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且.(1)求證：；(2)求二面角的正弦值；(3)點(diǎn)在上，且.判斷，，，四點(diǎn)是否共面，說(shuō)明理由.17．某校杰出校友為回報(bào)母校，設(shè)立了教育基金，有A和B兩種方案.方案A是在每年校慶日這天向基金賬戶存入100萬(wàn)元.當(dāng)天舉辦儀式獎(jiǎng)勵(lì)優(yōu)秀的教師和品學(xué)兼優(yōu)的學(xué)生共計(jì)40萬(wàn)元，剩余資金用于投資，預(yù)計(jì)可實(shí)現(xiàn)10%的年收益.方案B是今年校慶日一次性給基金賬戶存入1000萬(wàn)元，校慶日獎(jiǎng)勵(lì)為第一年獎(jiǎng)40萬(wàn)，每年增加10萬(wàn)，余下資金同樣進(jìn)行年化10%收益的投資.設(shè)表示第年校慶后基金賬戶上的資金數(shù)（萬(wàn)元）.(1)對(duì)于A、B兩種方案，分別寫出，及與的遞推關(guān)系；(2)按兩種方案基金連續(xù)運(yùn)作10年后，求基金賬戶上資金數(shù)額.（精確到萬(wàn)，參考數(shù)據(jù)：，）18．已知數(shù)列滿足，，設(shè).(1)寫出，，并證明是一個(gè)等比數(shù)列：(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)是否存在正整數(shù)，使得，，成等比數(shù)列？若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.19．已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左?右焦點(diǎn)分別為和，焦距為2.動(dòng)點(diǎn)在橢圓(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)如圖，過(guò)原點(diǎn)作的兩條切線，分別與橢圓交于點(diǎn)和點(diǎn)，直線的斜率分別記為.當(dāng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，①證明：恒為定值，并求出這個(gè)值；②求四邊形面積的最大值.

答案1．【正確答案】A【詳解】因，則，其在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第一象限.故選：A2．【正確答案】C【詳解】數(shù)列是等比數(shù)列，故選：C.3．【正確答案】A【詳解】由平方得，即，則，故選A.本題主要考查了向量垂直的數(shù)量積表示，屬于基礎(chǔ)題.4．【正確答案】A【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，有，故前9項(xiàng)的和為.故選：A.5．【正確答案】D利用空間位置關(guān)系的判斷及性質(zhì)定理進(jìn)行判斷.【詳解】解：選項(xiàng)A中直線，還可能相交或異面，選項(xiàng)B中，還可能異面，選項(xiàng)C，由條件可得或．故選：D.本題主要考查直線與平面平行、垂直的性質(zhì)與判定等基礎(chǔ)知識(shí)；考查空間想象能力、推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題.6．【正確答案】C【詳解】若甲隊(duì)以3:2贏得比賽,則五局的比賽的結(jié)果為:甲甲乙乙甲，（表示第一局甲勝，第二局甲勝,第三局乙勝,第四局乙勝,第五局甲勝,以下類同）甲乙甲乙甲，甲乙乙甲甲，乙甲甲乙甲，乙甲乙甲甲，乙乙甲甲甲，共6種結(jié)果，其中甲隊(duì)輸?shù)舻膬删智『孟噜彽慕Y(jié)果有3種,甲隊(duì)輸?shù)舻膬删智『孟噜彽母怕适?故選:C.7．【正確答案】D【詳解】由題可得圓圓心為，半徑為2，設(shè)到距離為d，因直線被圓所截弦長(zhǎng)為，則，則.故選：D8．【正確答案】A【詳解】設(shè)橢圓方程為，雙曲線方程為，焦距為2c,根據(jù)焦點(diǎn)三角形的面積公式可得即，又，，，，即，因?yàn)辄c(diǎn)到中心距離為，又因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)且

，即，時(shí)等號(hào)成立，所以.故選：A.9．【正確答案】BCD【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，數(shù)列是常數(shù)列，不滿足等比數(shù)列的定義，故A錯(cuò)；對(duì)于選項(xiàng)B，，所以，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，，由于有最小值，且，所以有最大值，故有最大值，故C正確；對(duì)于D，由C可知，所以，因?yàn)椋ǔ?shù)），所以數(shù)列是等比數(shù)列，故D正確.故選：BCD.10．【正確答案】ACD【詳解】對(duì)于AB，若，則，令，得，，所以關(guān)于直線對(duì)稱，故A正確；令，得，，所以關(guān)于，中心對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；對(duì)于CD，當(dāng)時(shí)，，若在上有且僅有4個(gè)根，所以，解得，故C正確；若在上單調(diào)，則，解得，故D正確；故選：ACD.11．【正確答案】ABD【詳解】顯然直線不垂直于坐標(biāo)軸，設(shè)直線的方程為，而，由消去得，，對(duì)于B，由，解得，則，即與拋物線相切時(shí)，，B正確；當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，直線的斜率分別為

對(duì)于A，，A正確；對(duì)于C，，解得，則，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，則，若，則，解得，即存在直線，使得，D正確.故選：ABD12．【正確答案】1【詳解】定義域?yàn)?，又是奇函?shù)，所以，解得；當(dāng)時(shí)，，，故是奇函數(shù).故1.13．【正確答案】【詳解】由題意得數(shù)列的前13項(xiàng)和為，故答案為.14．【正確答案】【詳解】延長(zhǎng)EF，交于G點(diǎn)，因，則G，又，則，則與交點(diǎn)為P.連接BP，因，則直線與所成角等于（該角為銳角）.因點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，則.又，則.又由題可得，則.則.故15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，所?即,即,因?yàn)?，所?（2）.所以，從而，所以，因?yàn)橥饨訄A半徑為，所以外接圓直徑為，由正弦定理得，所以因?yàn)榈慕瞧椒志€為，所以，所以在中，由正弦定理得，即，解得16．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)共面，理由見(jiàn)解析【詳解】（1）因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)?，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?（2）過(guò)作AD的垂線交于點(diǎn)，因?yàn)槠矫?，所以，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則,，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以,，所以，設(shè)平面的法向量為n=x,y,z則即，令,則，于是，又因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛?，所以，由題知，二面角為銳二面角，所以其余弦值為.（3），，，四點(diǎn)共面，理由如下：因?yàn)辄c(diǎn)在上，且，，所以，由（2）知平面的法向量，所以，又因?yàn)辄c(diǎn)平面，所以直線在平面內(nèi)，所以，，，四點(diǎn)共面.17．【正確答案】(1)方案A：；方案B.(2)方案A：萬(wàn)元；方案B：萬(wàn)元.【詳解】（1）方案A：，，由題意得，.方案B：，，由題意得，第年發(fā)放的獎(jiǎng)金為，故.（2）方案A：∵，∴設(shè)，即，故，∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，∴，解得.方案B：∵，∴設(shè)，即，由得，，∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，∴，解得.綜上，按方案A連續(xù)運(yùn)作10年后，基金賬戶上資金數(shù)額約為萬(wàn)元；按方案B連續(xù)運(yùn)作10年后，基金賬戶上資金數(shù)額約為萬(wàn)元.18．【正確答案】(1)，證明見(jiàn)解析；(2)，；(3)不存在，理由見(jiàn)解析.【詳解】（1）由題.注意到，因?yàn)槠鏀?shù)，則，因?yàn)榕紨?shù)，則，則為以為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列；（2）由（1）可知，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，故當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，綜上，，；（3）由（2），，，.若，，成等比數(shù)列，則等式