2024-2025學(xué)年河南省信陽市高二上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年河南省信陽市高二上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的傾斜角是（

）A． B． C． D．2．一組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是（

）A． B． C． D．3．若雙曲線：的虛軸長為8，漸近線方程為，則雙曲線C的方程為（

）A． B．C． D．4．已知等比數(shù)列的前6項(xiàng)和為63，其中偶數(shù)項(xiàng)和是奇數(shù)項(xiàng)和的兩倍，則的值為（）A．1 B．2 C． D．35．已知點(diǎn)，平面，其中，則點(diǎn)到平面的距離是（）A． B．2 C． D．36．公差不為的等差數(shù)列滿足，則的最小值為（）A．1 B． C． D．7．已知一個正四棱錐的側(cè)棱與底面所成角的正弦值為，則該四棱錐側(cè)面與底面所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．8．已知M、N分別是圓與圓上的兩個動點(diǎn)，點(diǎn)P是直線上的任意一點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C．6 D．4二、多選題（本大題共3小題）9．已知直線，直線，則下列結(jié)論正確的是（

）A．在軸上的截距為 B．過點(diǎn)且不垂直x軸C．若，則或 D．若，則10．已知a，b，c為非零實(shí)數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．是a，b，c成等差數(shù)列的充要條件B．是a，b，c成等比數(shù)列的充要條件C．若a，b，c成等比數(shù)列，則，，成等比數(shù)列D．若a，b，c成等差數(shù)列，則，，成等差數(shù)列11．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線交軸于點(diǎn)，直線過且交于不同的兩點(diǎn)，且，下列命題正確的有（

）A．直線的斜率B．若，則C．若，則D．存在使得平分三、填空題（本大題共3小題）12．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則.13．已知，是直線上的兩點(diǎn)，若沿軸將坐標(biāo)平面折成的二面角，則折疊后兩點(diǎn)間的距離是.14．已知橢圓：，過左焦點(diǎn)作直線與圓：相切于點(diǎn)，與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為，且，則橢圓離心率為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知雙曲線過點(diǎn)且它的兩條漸近線方程為與.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與雙曲線右支交于不同兩點(diǎn)，求k的取值范圍．16．某地區(qū)有小學(xué)生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局組織網(wǎng)絡(luò)“防溺水”網(wǎng)絡(luò)知識問答，現(xiàn)用分層抽樣的方法從中抽取220名學(xué)生，對其成績進(jìn)行統(tǒng)計分析，得到如下圖所示的頻率分布直方圖所示的頻率分布直方圖.(1)成績位列前10%的學(xué)生平臺會生成“防溺水達(dá)人”優(yōu)秀證書，試估計獲得“防溺水達(dá)人”的成績至少為多少分；(2)已知落在內(nèi)的平均成績?yōu)?7，方差是9，落在內(nèi)的平均成績是73，方差是29，求落在內(nèi)的平均成績和方差.17．如圖，在三棱柱中，底面是以為斜邊的等腰直角三角形，側(cè)面為菱形，，．

(1)證明：平面平面；(2)若為棱中點(diǎn)，求直線與平面所成角的余弦值．18．已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，.(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求出它的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值；19．折紙又稱“工藝折紙”，是一種把紙張折成各種不同形狀物品的藝術(shù)活動，在我國源遠(yuǎn)流長.某些折紙活動蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)容，例如：用圓形紙片，按如下步驟折紙.步驟1：設(shè)圓心是，在圓內(nèi)不是圓心處取一點(diǎn)，標(biāo)記為；步驟2：把紙片對折，使圓周正好通過點(diǎn)，此時圓周上與點(diǎn)E重合的點(diǎn)標(biāo)記為；步驟3：把紙片展開，于是就留下一條折痕，此時與折痕交于點(diǎn)；步驟4：不斷重復(fù)步驟2和3，能得到越來越多條的折痕和越來越多的交點(diǎn).現(xiàn)取半徑為4的圓形紙片，定點(diǎn)到圓心的距離為2，按上述方法折紙.以線段的中點(diǎn)為原點(diǎn)，線段所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，記動點(diǎn)的軌跡為曲線.(1)求曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線與曲線交于兩點(diǎn)，，且平分，（i）求的中點(diǎn)M到點(diǎn)的最小距離；（ii）若，求的面積.

答案1．【正確答案】C【詳解】由已知直線的斜率不存在，即軸，傾斜角為，故選：C．2．【正確答案】D【詳解】首先，我們把按順序排列，得到，而，故第百分位數(shù)是第個數(shù)，則該組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是，故D正確.故選：D3．【正確答案】C【詳解】由題可得解得，所以雙曲線方程為，故選:C.4．【正確答案】A【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題可知：；又，也即，故.故選：A.5．【正確答案】C【詳解】由平面，得是平面的法向量，點(diǎn)在平面內(nèi)，，所以點(diǎn)到平面的距離是.故選：C6．【正確答案】C【詳解】由題可知，，則，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)且時，即時等號成立，所以的最小值為.故選：C.7．【正確答案】C【詳解】如圖，正四棱錐中，是底面中心，是中點(diǎn)，平面，即是棱錐的高，是斜高，是側(cè)棱與底面所成的角，是四棱錐側(cè)面與底面所成的角，設(shè)底面邊長為，則，因?yàn)檎睦忮F的側(cè)棱與底面所成角的正弦值為，所以，則，即，所以，所以，所以，所以，即該四棱錐側(cè)面與底面所成角的余弦值為.故選：C．8．【正確答案】D求出圓關(guān)于直線對稱圓的方程，N點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在圓上，，，而要取最小，則三點(diǎn)共線即可．的最小值可通過求解．【詳解】圓關(guān)于直線對稱的曲線N點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在圓上，則有，故當(dāng)M，P，三點(diǎn)共線時，距離和最?。畯亩D(zhuǎn)化成求M，兩點(diǎn)距離的最小值．而，故選：D9．【正確答案】ABD【詳解】對于選項(xiàng)A：因?yàn)橹本€，令，解得，所以在軸上的截距為，故A正確；對于選項(xiàng)B：因?yàn)橹本€的斜率，即斜率存在，直線不垂直x軸，且，即直線過點(diǎn)，故B正確；對于選項(xiàng)C：若，則直線、均為，即兩直線重合，不平行，故C錯誤；對于選項(xiàng)D：若，則，解得，故D正確；故選：ABD.10．【正確答案】AC【分析】根據(jù)等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng)對選項(xiàng)一一驗(yàn)證即可得出答案.【詳解】對于選項(xiàng)A：根據(jù)等差中項(xiàng)即可得出是a，b，c成等差數(shù)列的充要條件，故A正確；對于選項(xiàng)B：，即，又a，b，c為非零實(shí)數(shù)，所以根據(jù)等比中項(xiàng)即可證明a，b，c成等比數(shù)列，a，b，c成等比數(shù)列，只能證明，即是a，b，c成等比數(shù)列的充分不必要條件，故B錯誤；對于選項(xiàng)C：若a，b，c成等比數(shù)列，則，則，則，，成等比數(shù)列，故C正確；對于選項(xiàng)D：若a，b，c成等差數(shù)列，則，無法得到，故D錯誤；故選：AC.11．【正確答案】ACD【分析】A選項(xiàng)，由判別式可判斷選項(xiàng)正誤；B選項(xiàng)，由拋物線定義結(jié)合可判斷選項(xiàng)正誤；C選項(xiàng)，如圖，過A，B作準(zhǔn)線垂線，垂足為，由拋物線定義結(jié)合可判斷選項(xiàng)正誤；D選項(xiàng)，方法1，通過證明，可得，即可得坐標(biāo)，后由拋物線定義可求得；方法2，設(shè)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，通過說明三點(diǎn)共線，可得，后同方法1；方法3，由角平分線定理結(jié)合拋物線定義可得，后同方法1；方法4，利用結(jié)合，可得，即可得，后同方法1.【詳解】由題可得，.設(shè)方程為：，，將直線與拋物線方程聯(lián)立：，消去x得.由題：，又由韋達(dá)定理知.A選項(xiàng)，由題可得或，則，故A正確；B選項(xiàng)，由拋物線定義可知：，則，得.故B錯誤；C選項(xiàng)，如圖，過A，B作準(zhǔn)線垂線，垂足為，因，則，又，則.故C正確.選項(xiàng)D，方法1：如圖，過作x軸垂線，垂足為N，M.則，又所以.注意到：，則.則，即存在滿足題意，故D正確；方法2：設(shè)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，則.注意到：，則三點(diǎn)共線，所以，其余同方法1；方法3：若平分，則由角平分線定理可得，所以，又，.即，下同方法1；方法4：只需，即，注意到，，則，解得或3（舍去），后同方法1.故選：ACD關(guān)鍵點(diǎn)睛：應(yīng)難以直接用坐標(biāo)表示角度，故角平分線條件常通過角平分線定理，相似，三角函數(shù)等轉(zhuǎn)化為與長度，特殊角度相關(guān)的條件.12．【正確答案】16【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，所以.所以.故1613．【正確答案】【詳解】過點(diǎn)作軸，點(diǎn)軸，如下圖所示：則，且，，，且，所以.故答案為.14．【正確答案】【詳解】設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為，連接，如下圖所示：由圓：可知圓心，半徑；顯然，且，因此可得，所以，可得；即可得，又易知；由余弦定理可得，解得，再由橢圓定義可得，即，因此離心率.故15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為與,故設(shè)雙曲線方程為：，因?yàn)殡p曲線過，故即，故雙曲線方程為.（2）由可得，因?yàn)橹本€與雙曲線右支交于不同兩點(diǎn)，所以，故.16．【正確答案】(1)(2)平均數(shù)為，方差為.【詳解】（1）前4組的頻率之和為，前5組的頻率之和為，第分位數(shù)落在第5組，設(shè)為x，則，解得.“防溺水達(dá)人”的成績至少為分.（2））的頻率為，）的頻率為，所以的頻率與的頻率之比為的頻率與的頻率之比為設(shè)內(nèi)的平均成績和方差分別為，依題意有，解得，解得，所以內(nèi)的平均成績?yōu)椋讲顬?17．【正確答案】(1)證明見解析(2)．【詳解】（1）取中點(diǎn)，連結(jié)，，，由題意，在中，，，所以為等邊三角形，所以，因?yàn)榈酌媸且詾樾边叺牡妊苯侨切危?，所以，為二面角的平面角，在中，，，，所以，可得，所以，所以，平面平面．?）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為x，y，z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，B1,0,0，，，．所以，，由于為棱中點(diǎn)，故，所以，，設(shè)平面的法向量為，所以，令，，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以，所以，直線與平面所成角的余弦值為．

18．【正確答案】(1)證明見解析，(2)【詳解】（1）由可得，相減可得，因此，由于為正項(xiàng)數(shù)列，所以，因此，故，故數(shù)列為等差數(shù)列，且公差為2，又，所以，故（2），故，由可得，化簡可得，因此，記，則，當(dāng)時，，故，而，當(dāng)時，，，故，故為數(shù)列的最小項(xiàng)，故，故的最大值為19．【正確答