2024-2025學(xué)年黑龍江省綏化市高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年黑龍江省綏化市高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．直線的斜率是（

）．A． B．2 C． D．2．拋物線的準(zhǔn)線方程為（

）A． B．C． D．3．若圓過坐標(biāo)原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．2或1 B．或 C．2 D．4．已知雙曲線，則（

）A．雙曲線C的焦距為 B．雙曲線C的虛軸長是實(shí)軸長的6倍C．雙曲線與雙曲線C的漸近線相同 D．直線與雙曲線C有公共點(diǎn)5．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在橢圓上，當(dāng)?shù)拿娣e為1時，等于（

）A．0 B．1 C．2 D．6．已知雙曲線E：，若拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線E的漸近線的距離為，過焦點(diǎn)傾斜角為的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C．8 D．7．已知直線，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，若直線上存在點(diǎn)滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．8．已知雙曲線=1(a>0，b>0)的左?右焦點(diǎn)分別為F1(﹣c，0)，F(xiàn)2(c，0)，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且滿足，則該雙曲線離心率的取值范圍是（

）A．(2，+∞) B．(1，2) C．(1，) D．(2，)二、多選題（本大題共3小題）9．下列四個命題中真命題有（

）A．直線在軸上的截距為B．經(jīng)過定點(diǎn)的直線都可以用方程表示C．直線必過定點(diǎn)D．已知直線與直線平行，則平行線間的距離是10．如圖，在棱長為1的正方體中，是棱上的動點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）

A．存在點(diǎn)，使得B．存在點(diǎn)，使得C．對于任意點(diǎn)Q，Q到的距離的取值范圍為D．對于任意點(diǎn)，都是鈍角三角形11．橢圓有如下的光學(xué)性質(zhì)，從橢圓的一個焦點(diǎn)出發(fā)的光線射到橢圓鏡面后反射，反射光線經(jīng)過另一個焦點(diǎn).現(xiàn)橢圓的焦點(diǎn)在軸上，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，左，右焦點(diǎn)分別為，.一束光線從射出，經(jīng)橢圓鏡面反射至，若兩段光線總長度為6，且橢圓的離心率為，左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為.則下列說法正確的是（

）A．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為B．若點(diǎn)在橢圓上，則的最大值為C．若點(diǎn)在橢圓上，的最大值為D．過直線上一點(diǎn)分別作橢圓的切線，交橢圓于，兩點(diǎn)，則直線恒過定點(diǎn)三、填空題（本大題共3小題）12．圓上的點(diǎn)到直線的最大距離是．13．已知橢圓的一條弦所在的直線方程是，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是，則橢圓的離心率是．14．如圖，兩個正方形，的邊長都是8，且二面角為，M為對角線AC靠近點(diǎn)A的四等分點(diǎn)，N為對角線DF的中點(diǎn)，則線段．四、解答題（本大題共5小題）15．已知的三個頂點(diǎn)，，，求：(1)邊上的高所在直線的方程；(2)的垂直平分線所在直線的方程．16．已知圓(1)若直線過點(diǎn)，且與圓相切，求直線的方程；(2)若圓的半徑為3，圓心在直線上，且與圓外切，求圓的方程．17．已知橢圓的兩個焦點(diǎn)分別為，，且橢圓過點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若與直線平行的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，當(dāng)時，求的面積.18．如圖，在四棱錐中，已知底面ABCD為矩形，，平面平面ABCD．(1)求證：平面ABCD；(2)若，點(diǎn)在棱PD上，且二面角的大小為．①求證：；②設(shè)是直線CD中點(diǎn)，求直線MQ與平面MAC所成角的正弦值．19．我們約定，如果一個橢圓的長軸和短軸分別是另一條雙曲線的實(shí)軸和虛軸，則稱它們互為“姊妺”圓錐曲線.已知橢圓，雙曲線是橢圓的“姊妺”圓錐曲線，分別為的離心率，且，點(diǎn)分別為橢圓的左?右頂點(diǎn).(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)的動直線交雙曲線右支于兩點(diǎn)，若直線的斜率分別為.（i）試探究與的比值是否為定值，若是定值，求出這個定值；若不是定值，請說明理由；（ii）求的取值范圍.

答案1．【正確答案】A將直線化成斜截式即可求解.【詳解】解：，即，故直線的斜率為.故選：A.2．【正確答案】D【詳解】由得，故拋物線的準(zhǔn)線方程為.故選D.3．【正確答案】C【分析】把代入圓方程計算，注意方程要表示圓．【詳解】表示圓，，．又圓過原點(diǎn)，，或（舍去），．故選：C．4．【正確答案】C【詳解】對A，由雙曲線方程可得，則焦距為，故A錯誤；對B，由雙曲線方程可得，，故實(shí)軸長為2，虛軸長為，故虛軸長是實(shí)軸長的倍，故B錯誤.對C，雙曲線的漸近線為，雙曲線的漸近線為，故C正確；對D，將代入雙曲線方程可得，方程無解，故沒有公共點(diǎn)，故D錯誤.故選：C.5．【正確答案】A【詳解】由題意可得：，則，設(shè)，由題意可得：，解得，代入方程可得，則，又因?yàn)?，則.故選：A.6．【正確答案】A【詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，雙曲線E：其中一條漸近線方程為，所以焦點(diǎn)到漸近線的距離，解得，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)橹本€過焦點(diǎn)且傾斜角為，所以直線方程為，所以拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程與直線方程聯(lián)立消，得，由韋達(dá)定理得，，所以弦長.故選：A7．【正確答案】B【分析】由求出點(diǎn)的軌跡，由直線與此軌跡存在公共點(diǎn)求出的范圍作答.【詳解】依題意，，設(shè)點(diǎn)，則，由，得，即，由已知得，而點(diǎn)既在直線上，又在圓上，因此直線與圓有公共點(diǎn)，又圓的圓心為原點(diǎn)，半徑為，于是，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：B8．【正確答案】D【詳解】，，，，，解得，.故選：D9．【正確答案】CD【分析】利用截距的定義可判斷A選項(xiàng)；取點(diǎn)且垂直于軸的直線，可判斷B選項(xiàng)；求出直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo)，可判斷C選項(xiàng)；利用兩直線平行求出的值，結(jié)合平行線間的距離公式可判斷D選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，直線在軸上的截距為，A錯；對于B選項(xiàng)，過點(diǎn)且垂直于軸的直線方程為，不能用方程表示，B錯；對于C選項(xiàng)，將直線方程變形為，由可得，故直線過定點(diǎn)，C對；對于D選項(xiàng)，若直線與直線平行，則，解得，直線方程可化為，故兩平行直線間的距離為，D對.故選：CD.10．【正確答案】BC【分析】根據(jù)題意，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，對選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】由題知，在正方體中，是棱上的動點(diǎn)，建立以為原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)檩S、軸、軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系．

所以，，，設(shè)，其中，所以，，當(dāng)，即，所以，顯然方程組無解，所以不存在使得，即不存在點(diǎn)，使得，故A項(xiàng)錯誤；當(dāng)時，解得，故B項(xiàng)正確；因?yàn)?，其中，所以點(diǎn)到的距離為，故C項(xiàng)正確；因?yàn)?，，其中，所以，所以三角形為直角三角形或鈍角三角形，故D項(xiàng)錯誤．故選：BC．11．【正確答案】ACD【詳解】一束光線從射出，經(jīng)橢圓鏡面反射至，如下圖所示：所以可得即又橢圓的離心率為，可得，所以，故橢圓方程為，所以正確；由橢圓的定義知，不妨設(shè)，，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時等號成立，此時最大為鈍角設(shè)為，則，故當(dāng)時，的最大值為，故錯誤；易得,設(shè)點(diǎn)，則當(dāng)時，，故正確；易知橢圓在點(diǎn)處的切線方程為，證明如下：當(dāng)切線斜率存在時，設(shè)直線與相切與點(diǎn)，聯(lián)立，所以，整理可得，又易知，即，所以整理可得①；又切點(diǎn)在橢圓上，即，整理可得②，聯(lián)立①②，可得即，所以切線方程為，化簡得，經(jīng)檢驗(yàn)，直線斜率不存在時也符合上式，即橢圓在點(diǎn)處的切線方程為，設(shè)，所以橢圓在點(diǎn)處的切線的方程為，在點(diǎn)處的切線的方程為，兩線相交于點(diǎn)，所以可得，即點(diǎn)滿足方程，所以直線的方程為，整理可得，令，故直線的方程過定點(diǎn)，故正確，

故選12．【正確答案】【詳解】將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得，所以圓的圓心為，半徑，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式可得圓心到直線的距離為，所以可得最大距離為.故13．【正確答案】/【詳解】設(shè)直線與橢圓相交于，由，直線的斜率，由，得，整理得，所以，故橢圓的離心率為.故答案為.14．【正確答案】【詳解】由題意可知，，，所以為的平面角，所以，.因?yàn)?，所以，所以?因?yàn)?，所?所以，，所以，.因?yàn)?，所以，所以?故答案為.15．【正確答案】(1)；(2).【詳解】（1）由斜率公式易知，直線的斜率．又直線過點(diǎn)，代入點(diǎn)斜式得直線的方程為：．（2），．又線段的中點(diǎn)為，所在直線的方程為，整理得所求的直線方程為：．16．【正確答案】(1)，(2)或【詳解】（1）解：由圓，可得原心，半徑為，當(dāng)直線的斜率不存在時，直線方程為，此時直線與圓相切，符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，即，由圓心到直線的距離等于半徑，可得，解得，此時直線的方程為，綜上可得，所求直線的方程為或.（2）解：由圓的半徑為3，圓心在直線上，設(shè)，且圓的圓心，半徑為，由兩圓相外切，可得，即，解得或，所以或，所以所求圓的方程為或.17．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）布列方程組求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線方程為，．將直線的方程代入橢圓的方程并整理得，利用韋達(dá)定理及可得，從而求得.【詳解】（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為，由題意可得解得故橢圓的方程為．（Ⅱ）直線的方程為，設(shè)直線方程為，．將直線的方程代入橢圓的方程并整理得，由，得，，由得，，，，，，得．又，到直線的距離．所以．18．【正確答案】(1)證明見解析(2)①證明見解析；②【詳解】（1）在四棱錐中，因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，所以．因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，平面平面平面ABCD，所以平面因?yàn)槠矫鍼AD，所以，因?yàn)槠矫鍭BCD，且，所以平面ABCD．（2）①以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在棱PD上，所以設(shè)（或顯然不滿足題設(shè)），因?yàn)椋?，所以，設(shè)平面的一個法向量，則，即，取，則，所以又是平面ABC的一個法向量，所以，因?yàn)槎娼堑拇笮椋?，即，解得此時，，又，所以，所以，即②因?yàn)槭侵本€CD的中點(diǎn)，則，由①可得，所以，平面MAC的一個法向量．設(shè)直線MQ與平面MAC所成角為，則，即直線MQ與平面MAC所成角的正弦值為．19．【正確答案】(1).(2)（i）為定值，；（ii）.【詳解】（1）由題意可設(shè)雙曲線，則，解得，所以雙曲線的方程為.（2）（i）設(shè)，直線的方程為，由，消元得，則，且，，

或由韋達(dá)定理可得，即,，即與的比值為定值.（ii）方法一：設(shè)直線，代入雙曲線方程并整理得，由于點(diǎn)為雙曲線的左頂點(diǎn)，所以此方程有一根為，.由韋達(dá)定理得，