2024-2025學(xué)年云南省玉溪市高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年云南省玉溪市高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知全集，集合，，則（）A. B. C. D.2.若，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知，則（）A. B. C. D.4.將一個(gè)上底為2，下底為5，高為2的直角梯形繞著直角腰旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)幾何體，則該幾何體的體積為（）A. B. C. D.5.“”是“直線與直線平行”的（）A.充要條件 B.必要不充分條件 C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件6.已知點(diǎn)，，，，則三棱錐的體積是（）A. B. C. D.7.如圖，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，以線段，為邊作等邊三角形，的兩邊，分別交該橢圓于，兩點(diǎn).若，則該橢圓的離心率為（）A. B. C. D.8.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑸槠婧瘮?shù)，為偶函數(shù)，則（）A.480 B.320 C.640 D.1280二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知向量，滿足，，則下列結(jié)論正確的有（）A. B.若，則C.在方向上的投影向量為 D.若，則在的夾角為10.若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的值可能為（）A.3 B.9 C.12 D.1511.已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是雙曲線上的點(diǎn)，直線，的傾斜角分別為，，則（）A.雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為16B.當(dāng)時(shí)，C.的最小值為3D.當(dāng)取最小值時(shí)，的面積為16三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為__________，準(zhǔn)線方程為___________.13.小洪從某公司購(gòu)進(jìn)6袋白糖，每袋白糖的標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量是500g，為了了解這些白糖的質(zhì)量情況，稱出各袋白糖的質(zhì)量（單位：g）為495，500，500，495，510，500，則這6袋白糖的平均質(zhì)量為________g，這6袋白糖質(zhì)量的標(biāo)準(zhǔn)差為_________g.14.在四棱柱中，平面，，，，，其中，.若與底面所成角的正弦值為，則的最大值是__________.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（13分）銳角的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.已知.（1）求的值；（2）若，的面積為，求的值.16.（15分）如圖，在直三棱柱中，，，為線段的中點(diǎn).（1）證明：平面.（2）求平面與平面的夾角的大小.17.（15分）某場(chǎng)知識(shí)答題活動(dòng)的參賽規(guī)則如下：在規(guī)定時(shí)間內(nèi)每位參賽選手對(duì)兩道不同的題作答，每題只有一次作答機(jī)會(huì)，每道題是否答對(duì)相互獨(dú)立，每位選手作答的題均不相同.已知甲答對(duì)第一道題的概率為，答對(duì)第二道題的概率為；乙答對(duì)第一道題的概率為，答對(duì)第二道題的概率為.甲、乙每次作答正確與否相互獨(dú)立.（1）設(shè).①求甲答對(duì)一道題的概率；②求甲、乙一共答對(duì)三道題的概率.（2）求甲、乙一共答對(duì)三道題的概率的最小值.18.（17分）在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)繞原點(diǎn)按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角，利用公式，可得到點(diǎn).現(xiàn)將雙曲線繞原點(diǎn)按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到雙曲線.（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）以雙曲線的右頂點(diǎn)為圓心作半徑為1的圓，直線與圓相交于，兩點(diǎn)，求；（3）在（2）的條件下，是圓上的動(dòng)點(diǎn)，求面積的取值范圍.19.（17分）已知橢圓的焦距為4，點(diǎn)在上，直線與交于，兩點(diǎn).（1）求的方程.（2）若，求的最大值.（3）若點(diǎn)與重合，過作斜率與互為相反數(shù)的直線，與的另一個(gè)交點(diǎn)為，試問直線的斜率是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.

高二數(shù)學(xué)考答案1.D易得，，則.2.A由題意得，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限.3.B由題意可得，則.4.C由題意可知該幾何體是一個(gè)上底面半徑為2，下底面半徑為5，高為2的圓臺(tái)，則該幾何體的體積為.5.A若直線與直線平行，則，解得或.當(dāng)時(shí)，直線與直線重合，不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，直線與直線平行，符合題意.故“”是“直線與直線平行”的充要條件.6.B易得，，，，則，所以的面積.設(shè)平面的法向量為，則取，所以點(diǎn)到平面的距離，則三棱錐的體積是.7.D連接，則，得.由，得，故該橢圓的離心率為.8.C因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，且.因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，則，所以，，所以，則16是的一個(gè)周期.因?yàn)?，，，，，，，，?9.ABD因?yàn)椋?，A正確.若，則，得，則，所以，B正確.在方向上的投影向量為，C錯(cuò)誤.若，則，所以，故與的夾角為，D正確.10.AB由，得.因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，得.11.BCD易得雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，A錯(cuò)誤.由，得.因?yàn)?，，所以，?dāng)時(shí)，，，B正確.因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，即，時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)的面積為，C，D正確.12.；拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為.13.500；5根據(jù)題意可得這6袋白糖的平均質(zhì)量為，這6袋白糖質(zhì)量的標(biāo)準(zhǔn)差為.14.（或）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，所以，，，，，則.易得是平面的一個(gè)法向量.，即.因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.令，則，解得或（舍去），則，故的最大值為.15.解：（1）因?yàn)椋?又，所以.因?yàn)闉殇J角三角形，所以，則，故，從而.（2）由（1）可知，，則的面積，則.在中，由余弦定理得，則.16.（1）證明：根據(jù)題意易得，則，，，得，，所以，，因?yàn)椋矫?，平面，所以平?（2）解：如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，.由（1）易得平面的一個(gè)法向量為.設(shè)平面的法向量為，則取，則，，即.，所以平面與平面的夾角為.17.解：（1）①設(shè)，則，則甲答對(duì)一道題的概率為.②設(shè)，，，，則；；，，故甲、乙一共答對(duì)三道題的概率為.（2）由題知，.設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，甲、乙一共答對(duì)三道題的概率最小，且最小值為.18.解：（1）設(shè)曲線上任意一點(diǎn)繞原點(diǎn)按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)為，則即得，則，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）圓心到直線的距離，則.（3）圓心到直線的距離，點(diǎn)到直線距離的最大值為，最小值為，所以面積的最大值為，最小值為.故面積的取值范圍為