高中數(shù)學(xué)會(huì)考知識(shí)點(diǎn)總結(jié) (超級(jí)經(jīng)典)

集合中的元素具有確定性、互異性和無(wú)序性；表示一個(gè)集合要用{}。注意：A二B時(shí)，A有兩種情況：A=φ與A≠φ4、補(bǔ)集UAA性質(zhì)：①、AUAABAAB.yyyy二次函數(shù)yx1x1xxO一元二次方程一元二次不等式一元二次不等式有兩相等實(shí)數(shù)根沒(méi)有實(shí)數(shù)根有兩相異實(shí)數(shù)根有兩相等實(shí)數(shù)根沒(méi)有實(shí)數(shù)根R“＞〞取兩邊R不等式解集的邊界值是相應(yīng)方程的解含參數(shù)的不等式ax2＋bx＋c>0恒成立問(wèn)題今含參不等式ax2＋bx＋c>0的解集是R；〔1〕命題：可以判斷真假的語(yǔ)句；邏輯聯(lián)結(jié)簡(jiǎn)單命題：不含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題；復(fù)合命題：由簡(jiǎn)單命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題；p否p否互互否③、利用真值表判斷復(fù)合命題的真假；逆否命題逆否命題么一p么一q.原命題：假設(shè)p那么q；逆命題：假設(shè)q那么p；1、映射：按照某種對(duì)應(yīng)法那么f，集合A中的任何一個(gè)元素，在B中都有唯一確定的元素和它對(duì)應(yīng)，x，集合B中都有唯一確定的數(shù)f〔x〕和它對(duì)應(yīng)，就稱f：A→B為集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y=f〔2〕、函數(shù)的三要素：定義域，值域，對(duì)應(yīng)法那么；自變量x的取值范圍叫函數(shù)的定義域，函數(shù)值f〔x〕的范圍叫函數(shù)的值域，定義域和值域都要用集合或區(qū)間表示；〔5〕、求定義域的一般方法：①、整式：全體實(shí)數(shù)，例一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域?yàn)镽；.④、解方程〔方程組〕：定義在〔-1，0〕∪〔0，1〕的函數(shù)f〔x〕滿足2f(x)—f(x)=x,求f〔x〕假設(shè)x1<x2時(shí)有f(x1)>f(x2)，稱f(x)為D上減函數(shù)?！惨恢聻樵觯煌瑸闇p〕〔3〕、判斷單調(diào)性的一般步驟：①、設(shè)，②、作差，③、變形，④、下結(jié)論f[h(x)]的單調(diào)性：內(nèi)外一致為增，內(nèi)外不同為減；4、反函數(shù)：函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)為y=f—1(x)；函數(shù)y=f(x)和y=f—1(x)互為反函數(shù)；反函數(shù)的性質(zhì)：函數(shù)y=f(x)的定義域、值域分別是其反函數(shù)y=f—1(x)的值域、定義域；函數(shù)y=f(x)的圖象和它的反函數(shù)y=f—1(x*EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up15(m),n)m；負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：n.1,(ar)sb其中a叫底數(shù)，N叫真數(shù)，以10為底叫常用對(duì)數(shù)：記為lgN…為底叫自然對(duì)數(shù)：記為lnN冪的對(duì)數(shù)：logaMn=nlogaM，指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)xxxM aM a方根的對(duì)數(shù)：logannM對(duì)數(shù)函數(shù)yy11定義域值域單調(diào)性變化特征圖象上是增函數(shù)上是減函數(shù)上是增函數(shù)上是減函數(shù)::loga::.值域：數(shù)列本身，對(duì)應(yīng)法那么：數(shù)列的通項(xiàng)公式；〔3〕、遞推公式：數(shù)列{an}的第一項(xiàng)，且任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an-1〔或前幾項(xiàng)〕間的關(guān)系用一個(gè)公式那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示。nnn[說(shuō)明]：在一個(gè)等差數(shù)列中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)〔有窮等差數(shù)列的末項(xiàng)除外〕都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng)；事實(shí)上等差數(shù)列中某一項(xiàng)為哪一項(xiàng)與其等距離的前后兩項(xiàng)的等差中項(xiàng)。EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up16(①),②)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up16(定義法),等差中)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up16(于數(shù)列),對(duì)于數(shù))EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up16(那么數(shù)列),那么數(shù)列)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up16(是等差數(shù)列),是等差數(shù)列)①、等差數(shù)列任意兩項(xiàng)間的關(guān)系：如果an是等差數(shù)列的第n項(xiàng)，am是等差數(shù)列的第m項(xiàng)，且m≤n，公nmpq.EQ\*jc3\*hps39\o\al(\s\up9(a),一2)———一—EQ\*jc3\*hps39\o\al(\s\up3(a),一1)EQ\*jc3\*hps39\o\al(\s\up3(a),一k)EQ\*jc3\*hps39\o\al(\s\up3(a),一2k)④、設(shè)數(shù)列nn那么有：前n項(xiàng)的和那么有：前n項(xiàng)的和q〕nn如果在a與b之間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)。EQ\*jc3\*hps25\o\al(\s\up0(+),n)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up1(2),n)①、等比數(shù)列任意兩項(xiàng)間的關(guān)系：如果an是等比數(shù)列的第n項(xiàng)，am是等比數(shù)列的第m項(xiàng)，且m≤n，.muv一③、假設(shè)數(shù)列{an……。如下圖：EQ\*jc3\*hps39\o\al(\s\up3(a),一2)SEQ\*jc3\*hps39\o\al(\s\up2(a),一1)EQ\*jc3\*hps39\o\al(\s\up2(a),一k)EQ\*jc3\*hps39\o\al(\s\up2(a),一2k)222)+…n)=n=〔3〕、象限的角：在直角坐標(biāo)系內(nèi)，頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，角的終邊落在第幾象限，就是第幾象限的角；角的終邊落在坐標(biāo)軸上，這個(gè)角不屬于任何象限。yy____y+O+_xy+O_x612—2—3422—21321—2010210—兀010兀6123233兀422221兀332123兀21000104、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式〔1〕平方關(guān)系：〔2〕商數(shù)關(guān)系：〔3〕倒數(shù)關(guān)系：.2222222226、兩角和與差的正弦、余弦、正切a2α2α2α2α122.時(shí)，都有：f〔x+T〕=f〔x〕，那么函數(shù)f〔x〕叫周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫這個(gè)函數(shù)的周期；②、如果函數(shù)f〔x〕的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，這個(gè)最小的正數(shù)叫f〔x〕的最小正周期?！?〕、函數(shù)的奇偶性：①、定義：對(duì)于函數(shù)f〔x〕的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有：f〔-x〕=-f〔x〕，那么稱f〔x〕是奇函數(shù)，f〔-x〕=f〔x〕，那么稱f〔x〕是偶函數(shù)②、奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；③、奇函數(shù)，偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；值域值域周期性奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)遞增區(qū)間遞減區(qū)間,2」2yy2-π -oyy2π22x2w.振幅振幅周期f==值域[-A，A]定義域五點(diǎn)法相位初相φ1①①①1①①.(22,1、空間向量：〔1〕定義：既有大小又有方向的量叫做向量，向量都可用同一平面內(nèi)的有向線段表示?！?〕零向量：長(zhǎng)度為0的向量叫零向量，記作0；零向量的方向是任意的?！?〕平行向量：方向相同或相反的非零向量叫平行向量也叫共線向量，記作a//b〔5〕相等向量：長(zhǎng)度相同且方向相同的向量叫相等向量，零向量與零向量相等；任意兩個(gè)相等的非零向量，都可以用同一條有向線段來(lái)表示，并且與有向線段的起點(diǎn)無(wú)關(guān)。abba指向被減數(shù)三角形法那么baba首位連結(jié)平行四邊形法那么aa.3、平面向量基本定理：如果e,e是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)平面內(nèi)的任一向量a，有且EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up8(→),a)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up8(→),a)設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為〔x1，y12-x1,y2-y1).EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up8(→),a)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up8(→),a)(,EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up9(→),a)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up9(→),a)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up9(→),a)00)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up9(→),a)(,EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up9(→),a)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up9(→),a)1x2y2；2y2EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up8(→),a)y221EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up10(→),a)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up10(→),a)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up8(→),a)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up8(→),a)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up8(→),a)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up8(→),a)1x2y2(x-x)2+(y-y)2(x-x)2+(y-y)2.那么定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式，中點(diǎn)坐標(biāo)公式EQ\*jc3\*hps29\o\al(\s\up10(→),a)〔3〕正弦定理，余弦定理2第六章：不等式y(tǒng)n222xxx不滿足相等條件時(shí)，注意應(yīng)用函數(shù)f(x)=x+圖象性質(zhì)〔如圖〕x.那么：叫做n個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，na1a2…an叫做n個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù)；:…;…,:…;〔3〕分析法：執(zhí)果索因，格式：原式〔3〕分析法：執(zhí)果索因，格式：原式〔4〕反證法：從結(jié)論的反面出發(fā)，導(dǎo)出矛盾。含兩個(gè)絕對(duì)值符號(hào)的：零點(diǎn)分段討論法〔注意取“交〞，還是取“并〞〕高次不等式的解法：根軸法〔重根：奇穿偶不穿〕分式不等式的解法：移項(xiàng)、通分、根軸法第七章：直線和圓的方程)②、定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于一條與x軸相交的直線，如果把x軸饒交點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到和直線重合時(shí)的最小正角記為α,那么α叫直線的傾斜角；當(dāng)直線與和x軸平行或重合時(shí)，傾斜角為0o；o2o2當(dāng)k是特殊角的三角函數(shù)值時(shí)，直接寫出角當(dāng)k不是特殊角的三角函數(shù)值時(shí)，可用反三角表示斜率：.所以直線的方向向量或EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(C),B)EQ\*jc3\*hps30\o\al(\s\up9(A),A)EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up2147483647(1),2)EQ\*jc3\*hps30\o\al(\s\up9(B),B)EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up2147483647(1),2)任意曲線的交點(diǎn)就是：曲線方程構(gòu)成的方程組的解夾角范圍：A2+B2〔直線方程必須化為一般式〕〔即一條直線上任一點(diǎn)到另一條直線的距離〕〔直線方程必須化為一般式〕〔即一條直線上任一點(diǎn)到另一條直線的距離〕A2+B2示直角坐標(biāo)系中以直線為分界的直線某一側(cè)的平面區(qū)域?！?〕求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值問(wèn)題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問(wèn)題。滿足線性約束條件的解(x,y)叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域；使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做最優(yōu)解。最優(yōu)解常在區(qū)域的交點(diǎn)或邊界上。（3）具體解題的步驟：畫出圖形，求交點(diǎn)，代入目標(biāo)函數(shù)求值，確定最大值或最小值注意實(shí)際問(wèn)題中的整數(shù)解〔整點(diǎn)〕.②方程F〔x，y〕=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上，那么，方程叫曲線的方程，曲線叫方程的曲線〔3〕方法：直接法：直接把相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程；定義法：常用的是圓、橢圓、雙曲線的定義；代入法：用所求的點(diǎn)的坐標(biāo)表示曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)，代入曲線方程；參數(shù)法：常用的參數(shù)有角、斜率、題中的字母系數(shù)；2-4F>0時(shí)，表示一個(gè)以(-D,-E)為圓心，半徑為1D2+E2-4〔參數(shù)方程的實(shí)質(zhì)是曲線上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)〕②、利用根的判別式：聯(lián)立2=r2消元后得一元二次方程的判別式Δ,相關(guān)問(wèn)題：求弦長(zhǎng)：弦心距，半徑，弦的一半組成RtΔ〔6〕求圓的切線方程：設(shè)點(diǎn)斜式，用圓心到切線的距離等于半徑，求斜率；〔7〕圓中的最值問(wèn)題：數(shù)形結(jié)合，尋求解法第八章：圓錐曲線1、圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、圖象、幾何性質(zhì).平面內(nèi)到定點(diǎn)F和定直線L即：平面內(nèi)到定點(diǎn)F和定直第一定義離之差的絕對(duì)值等于定值2a第二定義x2平面內(nèi)到定點(diǎn)F和定直線L的第二定義x2y2b2標(biāo)準(zhǔn)方程a2x2y2y2b2標(biāo)準(zhǔn)方程a2yyyyy0x0xFyy22x軸e=1x軸e=1c.a222、求離心率e：方法一：用e的定義；法二：得到與a、b、c有關(guān)的方程，解方程，求EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(c),a)；聯(lián)立{l圓錐曲線方程→消元→一元二次方程→判別式Δ-x2)[(x把弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)代入圓錐曲線方程，作差→弦的斜率與中點(diǎn)的關(guān)系；與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線：一相切，二與對(duì)稱軸平行EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up12(x2),2p)AB第九章直線平面簡(jiǎn)單的幾何體AB公理1：如果有一條直線的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)。.那么它們還有其他公共點(diǎn)，這些公共點(diǎn)的集合是一條直線。公理3：不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)平面。(強(qiáng)調(diào)“不共線〞)aPαβ〔三個(gè)推論：1、直線和直線外一點(diǎn)，2、兩條相交直線，3、兩條平行直線，確定一個(gè)平面〕空間圖形的平面表示方法：斜二測(cè)畫法〔水平長(zhǎng)不變，豎直長(zhǎng)減半〕2、兩條直線的位置關(guān)系：平行，相交，異面：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫異面直線②判定：連結(jié)平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，和這個(gè)平面不經(jīng)過(guò)此點(diǎn)的直線是異面直線．〔兩在兩不〔2〕、兩條直線垂直：兩條異面直線所成的角是直角，這兩條直線互相垂直．a(chǎn)A垂直相交〔共面〕、異面垂直，都叫兩條直線互相垂直.Aα直線與平面相交，記作直線與平面相交，記作a∩α=Aa直線與平面平行，記作a//α〔2〕、性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么llα推論：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行與另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線，那么這兩個(gè)平面平行。③夾在兩個(gè)平行平面間的兩條平行線段相等。平行間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系：線線平行線面平行面面平行6、直線和平面垂直：定義：如果一條直線和一個(gè)平面相交，且和這個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，叫.〔2〕、性質(zhì)定理：①過(guò)一點(diǎn)和平面垂直的直線只有一條，過(guò)一點(diǎn)和直線垂直的平面只有一條。②如果兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，另一條也垂直于這個(gè)平面。③線段垂直平分面內(nèi)的任意一點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)距離相等。斜線在平面內(nèi)的射影：過(guò)斜線上斜足外一點(diǎn)，作平面的垂線，過(guò)垂足和斜足的直線叫斜線在平面內(nèi)的射影?！?〕三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線和平面的一條斜線的射影垂直，那么它和這條斜線垂直。逆定理：在平面內(nèi)的一條直線和平面的一條斜線垂直，那么它和這條斜線的射影垂直。aαaαADC7、兩個(gè)平面垂直：定義：平面角是直角的二面角叫直二面角，相交成直二面角的兩個(gè)平面垂直。〔2〕、性質(zhì)定理：兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線，垂直于另一個(gè)平面。垂直間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系：線線垂直線面垂直面面垂直8、空間向量：在空間具有大小和方向的量，空間任意兩個(gè)向量都可用同一平面內(nèi)的有向線段表示。〔3〕、空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a、b、c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在一個(gè)的唯一有.共面向量：平行于同一平面的向量；平面的法向量：和平面垂直的向量。9、空間直角坐標(biāo)系：?jiǎn)挝徽换壮Ｓ脅i,j,k}來(lái)表示?！踩鐖D〕x23EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up2(2),1)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up2(2),2)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up2(2),3)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up2(2),1)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up2(2),2)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up2(2),3)2).〔1〕、等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相同?！?〕、最小角定理：平面的斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的角是這條斜線和這個(gè)平面內(nèi)任一條直線所成的兀2兀2Aαθ2COB兀2①、異面直線所成的角：兩條異面直線a、b，經(jīng)過(guò)2求法一：作平行線；求法二：〔向量〕兩條直線的方向向量的夾如果直線和平面平行或在平面內(nèi)，那么直線和平面所成的角是0。的角。2；求法二：解直角三角形，斜線、斜線的射影、垂線構(gòu)成直角三角形；求法三：向量法：PA為平面α的一條斜線，n為平面α的一個(gè)法向量，過(guò)P作平面α的垂線PO，連結(jié)OA那么上PAO為斜線PA和平面α所成的角為θ,那么2PnAABABβ③、二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫二面角，直線叫二面角的棱；二面角的平面角：垂直于二面角的棱，且與兩個(gè)半平面的交線所成的角。AA‘求法一：三垂線定理及其逆定理作二面角的平面角，再解直角三角形；求法一：向量法：二面角的兩個(gè)半平面的法向量所成的角〔或其補(bǔ)角〕AA‘.On2Pn求法一：解直角三角形；求法二：等積法，利用體積相等；求法三：向量法：如圖點(diǎn)P為平面外一點(diǎn)，點(diǎn)A為平面內(nèi)的任一點(diǎn)，α〔3〕、兩個(gè)平行平面的距離：兩個(gè)平行平面的共垂線段的長(zhǎng)度；求法：轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離來(lái)求。求法三：向量法：先求兩條異面直線的一個(gè)公共法向量，再求兩條異面直線上兩點(diǎn)的連線在公共法向量上n的射影長(zhǎng)。設(shè)E、F分別是兩異面直線上的點(diǎn)，n是公共法向量，那么異面直線之間的距=斜棱柱〔側(cè)棱不垂直底面〕——直棱柱〔側(cè)棱垂直底面〕——正棱柱〔底面是正多邊形的直棱柱〕直棱柱的各個(gè)側(cè)面都是矩形；正棱柱的各個(gè)側(cè)面都是全等的矩形。②、棱柱的兩個(gè)底面與平行于底面的截面是對(duì)應(yīng)邊互相平行的全等的多邊形。a.①、平行六面體的對(duì)角線交于一點(diǎn)，并且在交點(diǎn)處互相平分；③、正方體的對(duì)角線長(zhǎng)l=3a，正方體的面對(duì)角線可構(gòu)成一個(gè)正四面體〔如圖〕。底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心的棱錐叫正棱錐。P②、正棱錐各側(cè)棱相等，斜高相等，各側(cè)面是全等的等腰三角形；A③、正棱錐的高、斜高和斜高在底面的射影組成直角三角形，高、側(cè)棱和側(cè)棱在底面的射影組成直角三角形。CBOB14、正多面體：每個(gè)面都有相同邊數(shù)的正多邊形，每個(gè)頂點(diǎn)都有相同的棱數(shù)。頂點(diǎn)數(shù)V以各面的中心為頂點(diǎn)的正多面體正四面體446四正六面體86八正八面體68六正十二面體正二十面體OP過(guò)球心的截圓叫大圓，過(guò)球面上任意兩點(diǎn)的大圓有一個(gè)或無(wú)數(shù)個(gè)；不過(guò)球心的截圓叫小圓。平