無窮限反常積分斂散性及審斂法則教案

無窮限反常積分斂散性及審斂法則一、教學目標分析在開始本節(jié)課程學習之前，學生已經(jīng)對定積分有所了解，并初步掌握定積分的基本知識，本節(jié)通過介紹反常積分，加深學生對積分的了解，使同學對積分的了解更加系統(tǒng)化，并通過講解讓同學們減輕對積分的迷惑。讓學生反常積分在一些實際問題中的應運。二、學情/學習者特征分析學生通過對前面課程的學習，對積分已經(jīng)有了初步的了解。但對于一些特殊積分或者有關(guān)實際問題的積分還是存在著一定的迷惑。由于本節(jié)內(nèi)容有點枯燥，所以要積極調(diào)動學生的興趣，培養(yǎng)好課堂氣氛，使學生充分掌握本節(jié)課的內(nèi)容。三、學習內(nèi)容分析1.本節(jié)的作用和地位通過對本節(jié)的學習來解決一些不屬于定積分的問題，這些問題通常是一些實際問題。例如：常會遇到積分區(qū)間為無窮區(qū)間，或者被積函數(shù)為無界函數(shù)的積分等問題。2．本節(jié)主要內(nèi)容.無窮限反常積分的定義與計算方法.無窮限反常積分的性質(zhì).無窮限反常積分的比較審斂法則.條件收斂與絕對收斂.重點難點分析教學重點：無窮限反常積分計算，無窮限反常積分的比較審斂法則；教學難點：無窮限反常積分的比較審斂法則。.課時要求：2課時四、教學理念學生在之前就已經(jīng)掌握了一定的知識，通過本節(jié)對學生的教學使學生進一步了解反常積分，尤其是其在一些實際問題中的應運。五、教學策略在教學中主要講清反常積分的定義及其性質(zhì)，并適時舉例講解，引導學生互動，相互討論解決問題。六.教學環(huán)境網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下的多媒體教室與課堂互動。七、教學過程一、無窮限反常積分的定義定義1設(shè)函數(shù)/定義在無窮區(qū)間［」?’上，且在任何有限區(qū)間［.「,］上可積．如果存在極限lim廣f（x］dx-J則稱此極限了為函數(shù)「在［」■’上的無窮限反常積分（簡稱無窮積分，記作’「…"，并稱「…八收斂.如果極限不存在，亦稱發(fā)散.,,r、：， 1 ,, Pf{x}dx-lim/門牙）4尤類似地，可定義’在（上的無窮積分：?對于「在（「’上的無窮積分，它用前面兩種無窮積分來定義：""" 其中為任一實數(shù)，當且僅當右邊兩個無窮積分都收斂時它才是收斂的．注：'："小收斂的幾何意義是：若‘‘.在?上為非負連續(xù)函數(shù)，則介于曲線1二丫，直線1'-以及嘴由之間那一塊向右無限延伸的陰影區(qū)域有面積L

例1例1討論無窮積分' 1',---, '的收斂性.例2討論下列無窮積分的收斂性：'「， ' "二、無窮積分的性質(zhì)由定義知道，無窮積分J" 收斂與否，取決于積分上限函數(shù)J在：一時是否存在極限.因此可由函數(shù)極限的柯西準則導出無窮積分收斂的柯西準則．定理11.1無窮積分J 收斂的充要條件是：任給＞0,存在G〉一只要‘?.二"，便有f(x)dx-1'FfX)小=jf(x)dx<s此外，還可根據(jù)函數(shù)極限的性質(zhì)與定積分的性質(zhì)，導出無窮積分的一些相應性質(zhì)．性質(zhì)1若J 與?"'J都收斂，'J為任意常數(shù)，則L"?二二：二\旌工也收斂，且「…」一心”性質(zhì)2若『在任何有限區(qū)間［日，〃上可積，且有I"胤必收斂，收斂，并有f(x)f(x)小邑j|/(jc)|dx由收斂，根據(jù)柯西準則（必要性，任給「;，存在G＞，，當|“劉|“劉小三J|外幻也.利用定積分的絕對值不等式，又有[f(x}dx「ff刈欣u再由柯西準則（充分性，證得J "收斂又因U：m刈IT‘",令"'?取極限，立刻得到不等式.收再由柯西準則（充分性，證得J "收斂又因U：m刈IT‘",令"'?取極限，立刻得到不等式.收”.圻必收斂時，稱'為絕對收斂.分，它自身也一定收斂．但是它的逆命題不成立為條件收斂．性質(zhì)3指出：絕對收斂的無窮積稱收斂而不絕對收斂的無窮積分性質(zhì)3若''?在任何有限區(qū)間［口」上可積，「"h同斂態(tài)（即同時收斂或同時發(fā)散，且有J ；l,l：A=J；：^1'，'+-1f(x)dx性質(zhì)2相當于定積分的積分區(qū)間可加性，由它又可導出1'j"'收斂的另一充要條件：任給石＞0，存在仃之。，當u＞G時，總有事實上，這可由|f(事實上，這可由|f(=j*片)以+jf(田支代結(jié)合無窮積分的收斂定義而得.三、比較判別法首先給出無窮積分的絕對收斂判別法.由于U首先給出無窮積分的絕對收斂判別法.由于U*刈心關(guān)于上限。是單調(diào)遞增的，因此1 '收斂的充要條件是J 3''存在上界.根據(jù)這一分析，便立即導出下述比較判別法：定理11.2（比較法則設(shè)定義在［?''上的兩個函數(shù)「和:?都在任何有限區(qū)間［.「」上可積，且滿足

因此則當J."收斂時J必收斂(或當J發(fā)散時，J.必發(fā)散．例3討論.1'的收斂性.廣上二三「生。解：由于''I' ，而 為收斂，故 為絕對收斂．當選用I「作為比較對象」,時，比較判別法有如下兩個推論(稱為柯西判別法．推論1設(shè)「定義于［］(■■-"且在任何有限區(qū)間［.…'］上可積，則有：m刈［二［3")m刈［二［3"),八?(i當■ ，且尸?時,j收斂;(ii當卜?且時,1 發(fā)散.推論2設(shè)定義于［?1'?'，在任何有限區(qū)間［；1」上可積，且‘*""’.則有：(i當11 ，時，］收斂；(ii當11 ' '時，」發(fā)散.推論3若「和二都在任何［.,?”上可積c,則有推論3若「和二都在任何［.,?”上可積c,則有(ii當LL時，由I收斂可推知I''''「也收斂;二I""發(fā)散可推知1 也發(fā)散.四、狄利克雷判別法與阿貝爾判別法這里來介紹兩個判別一般無窮積分收斂的判別法．定理11.3（狄利克雷判別法若?"'i.在［?''上有界，在［」-‘：上當''當''■時單調(diào)趨于U，則無窮積分I收斂．定理11.4（定理11.4（阿貝爾（Abel判別法若? a、收斂，二'.'在［?:?'上單調(diào)有界，則無窮積分J 收斂.用積分第二中值定理來證明狄利克雷判別法與阿貝爾判別法．產(chǎn)cosx,y…例5討論」J,—(^)例5討論」與.的收斂性.解：這里只討論前一個無窮積分，后者有完全相同的結(jié)論．下面分兩種情形來討論：（i當、時一sin靠|vI（i當、時一sin靠|vI絕對收斂.這是因為'■而'1?'當”>1時收斂，故由比較法則推知收斂.,sin（ii當I'廠?時I5條件收斂.這是因為對任意:;〉1有，而,當時單調(diào)趨于I"、'，而,當時單調(diào)趨于I"、'',故由狄利克雷判別法推知」-工當」「時總是收斂的.，其中另一方面，由于是收斂的而是發(fā)散的，因此當「廠,時該無窮積分，其中另一方面，由于是收斂的而是發(fā)散的，因此當「廠,時該無窮積分不是絕對收斂的．所以它是條件收斂的．.Ysinxidx,,廣一，一_—qrj八〃人，，， ［sinx2dx,\cos.Ysinxidx例6證明下列無窮積分都是條件收斂的.J 」證：前兩個無窮積分經(jīng)換元；.-?得到小， 2,sini(.?- 2廣'rf{sin(Xr=]—~pdt,lcos內(nèi)斯二I,血由例5知它們是條件收斂的.對于第三個無窮積分，經(jīng)換元；■而得rjtsitix4dx=—[sinJdt'1