無(wú)窮限反常積分?jǐn)可⑿约皩彅糠▌t教案

無(wú)窮限反常積分?jǐn)可⑿约皩彅糠▌t一、教學(xué)目標(biāo)分析在開始本節(jié)課程學(xué)習(xí)之前，學(xué)生已經(jīng)對(duì)定積分有所了解，并初步掌握定積分的基本知識(shí)，本節(jié)通過介紹反常積分，加深學(xué)生對(duì)積分的了解，使同學(xué)對(duì)積分的了解更加系統(tǒng)化，并通過講解讓同學(xué)們減輕對(duì)積分的迷惑。讓學(xué)生反常積分在一些實(shí)際問題中的應(yīng)運(yùn)。二、學(xué)情/學(xué)習(xí)者特征分析學(xué)生通過對(duì)前面課程的學(xué)習(xí)，對(duì)積分已經(jīng)有了初步的了解。但對(duì)于一些特殊積分或者有關(guān)實(shí)際問題的積分還是存在著一定的迷惑。由于本節(jié)內(nèi)容有點(diǎn)枯燥，所以要積極調(diào)動(dòng)學(xué)生的興趣，培養(yǎng)好課堂氣氛，使學(xué)生充分掌握本節(jié)課的內(nèi)容。三、學(xué)習(xí)內(nèi)容分析1.本節(jié)的作用和地位通過對(duì)本節(jié)的學(xué)習(xí)來(lái)解決一些不屬于定積分的問題，這些問題通常是一些實(shí)際問題。例如：常會(huì)遇到積分區(qū)間為無(wú)窮區(qū)間，或者被積函數(shù)為無(wú)界函數(shù)的積分等問題。2．本節(jié)主要內(nèi)容.無(wú)窮限反常積分的定義與計(jì)算方法.無(wú)窮限反常積分的性質(zhì).無(wú)窮限反常積分的比較審斂法則.條件收斂與絕對(duì)收斂.重點(diǎn)難點(diǎn)分析教學(xué)重點(diǎn)：無(wú)窮限反常積分計(jì)算，無(wú)窮限反常積分的比較審斂法則；教學(xué)難點(diǎn)：無(wú)窮限反常積分的比較審斂法則。.課時(shí)要求：2課時(shí)四、教學(xué)理念學(xué)生在之前就已經(jīng)掌握了一定的知識(shí)，通過本節(jié)對(duì)學(xué)生的教學(xué)使學(xué)生進(jìn)一步了解反常積分，尤其是其在一些實(shí)際問題中的應(yīng)運(yùn)。五、教學(xué)策略在教學(xué)中主要講清反常積分的定義及其性質(zhì)，并適時(shí)舉例講解，引導(dǎo)學(xué)生互動(dòng)，相互討論解決問題。六.教學(xué)環(huán)境網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下的多媒體教室與課堂互動(dòng)。七、教學(xué)過程一、無(wú)窮限反常積分的定義定義1設(shè)函數(shù)/定義在無(wú)窮區(qū)間［」?’上，且在任何有限區(qū)間［.「,］上可積．如果存在極限lim廣f（x］dx-J則稱此極限了為函數(shù)「在［」■’上的無(wú)窮限反常積分（簡(jiǎn)稱無(wú)窮積分，記作’「…"，并稱「…八收斂.如果極限不存在，亦稱發(fā)散.,,r、：， 1 ,, Pf{x}dx-lim/門牙）4尤類似地，可定義’在（上的無(wú)窮積分：?對(duì)于「在（「’上的無(wú)窮積分，它用前面兩種無(wú)窮積分來(lái)定義：""" 其中為任一實(shí)數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)右邊兩個(gè)無(wú)窮積分都收斂時(shí)它才是收斂的．注：'："小收斂的幾何意義是：若‘‘.在?上為非負(fù)連續(xù)函數(shù)，則介于曲線1二丫，直線1'-以及嘴由之間那一塊向右無(wú)限延伸的陰影區(qū)域有面積L

例1例1討論無(wú)窮積分' 1',---, '的收斂性.例2討論下列無(wú)窮積分的收斂性：'「， ' "二、無(wú)窮積分的性質(zhì)由定義知道，無(wú)窮積分J" 收斂與否，取決于積分上限函數(shù)J在：一時(shí)是否存在極限.因此可由函數(shù)極限的柯西準(zhǔn)則導(dǎo)出無(wú)窮積分收斂的柯西準(zhǔn)則．定理11.1無(wú)窮積分J 收斂的充要條件是：任給＞0,存在G〉一只要‘?.二"，便有f(x)dx-1'FfX)小=jf(x)dx<s此外，還可根據(jù)函數(shù)極限的性質(zhì)與定積分的性質(zhì)，導(dǎo)出無(wú)窮積分的一些相應(yīng)性質(zhì)．性質(zhì)1若J 與?"'J都收斂，'J為任意常數(shù)，則L"?二二：二\旌工也收斂，且「…」一心”性質(zhì)2若『在任何有限區(qū)間［日，〃上可積，且有I"胤必收斂，收斂，并有f(x)f(x)小邑j|/(jc)|dx由收斂，根據(jù)柯西準(zhǔn)則（必要性，任給「;，存在G＞，，當(dāng)|“劉|“劉小三J|外幻也.利用定積分的絕對(duì)值不等式，又有[f(x}dx「ff刈欣u再由柯西準(zhǔn)則（充分性，證得J "收斂又因U：m刈IT‘",令"'?取極限，立刻得到不等式.收再由柯西準(zhǔn)則（充分性，證得J "收斂又因U：m刈IT‘",令"'?取極限，立刻得到不等式.收”.圻必收斂時(shí)，稱'為絕對(duì)收斂.分，它自身也一定收斂．但是它的逆命題不成立為條件收斂．性質(zhì)3指出：絕對(duì)收斂的無(wú)窮積稱收斂而不絕對(duì)收斂的無(wú)窮積分性質(zhì)3若''?在任何有限區(qū)間［口」上可積，「"h同斂態(tài)（即同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散，且有J ；l,l：A=J；：^1'，'+-1f(x)dx性質(zhì)2相當(dāng)于定積分的積分區(qū)間可加性，由它又可導(dǎo)出1'j"'收斂的另一充要條件：任給石＞0，存在仃之。，當(dāng)u＞G時(shí)，總有事實(shí)上，這可由|f(事實(shí)上，這可由|f(=j*片)以+jf(田支代結(jié)合無(wú)窮積分的收斂定義而得.三、比較判別法首先給出無(wú)窮積分的絕對(duì)收斂判別法.由于U首先給出無(wú)窮積分的絕對(duì)收斂判別法.由于U*刈心關(guān)于上限。是單調(diào)遞增的，因此1 '收斂的充要條件是J 3''存在上界.根據(jù)這一分析，便立即導(dǎo)出下述比較判別法：定理11.2（比較法則設(shè)定義在［?''上的兩個(gè)函數(shù)「和:?都在任何有限區(qū)間［.「」上可積，且滿足

因此則當(dāng)J."收斂時(shí)J必收斂(或當(dāng)J發(fā)散時(shí)，J.必發(fā)散．例3討論.1'的收斂性.廣上二三「生。解：由于''I' ，而 為收斂，故 為絕對(duì)收斂．當(dāng)選用I「作為比較對(duì)象」,時(shí)，比較判別法有如下兩個(gè)推論(稱為柯西判別法．推論1設(shè)「定義于［］(■■-"且在任何有限區(qū)間［.…'］上可積，則有：m刈［二［3")m刈［二［3"),八?(i當(dāng)■ ，且尸?時(shí),j收斂;(ii當(dāng)卜?且時(shí),1 發(fā)散.推論2設(shè)定義于［?1'?'，在任何有限區(qū)間［；1」上可積，且‘*""’.則有：(i當(dāng)11 ，時(shí)，］收斂；(ii當(dāng)11 ' '時(shí)，」發(fā)散.推論3若「和二都在任何［.,?”上可積c,則有推論3若「和二都在任何［.,?”上可積c,則有(ii當(dāng)LL時(shí)，由I收斂可推知I''''「也收斂;二I""發(fā)散可推知1 也發(fā)散.四、狄利克雷判別法與阿貝爾判別法這里來(lái)介紹兩個(gè)判別一般無(wú)窮積分收斂的判別法．定理11.3（狄利克雷判別法若?"'i.在［?''上有界，在［」-‘：上當(dāng)''當(dāng)''■時(shí)單調(diào)趨于U，則無(wú)窮積分I收斂．定理11.4（定理11.4（阿貝爾（Abel判別法若? a、收斂，二'.'在［?:?'上單調(diào)有界，則無(wú)窮積分J 收斂.用積分第二中值定理來(lái)證明狄利克雷判別法與阿貝爾判別法．產(chǎn)cosx,y…例5討論」J,—(^)例5討論」與.的收斂性.解：這里只討論前一個(gè)無(wú)窮積分，后者有完全相同的結(jié)論．下面分兩種情形來(lái)討論：（i當(dāng)、時(shí)一sin靠|vI（i當(dāng)、時(shí)一sin靠|vI絕對(duì)收斂.這是因?yàn)?■而'1?'當(dāng)”>1時(shí)收斂，故由比較法則推知收斂.,sin（ii當(dāng)I'廠?時(shí)I5條件收斂.這是因?yàn)閷?duì)任意:;〉1有，而,當(dāng)時(shí)單調(diào)趨于I"、'，而,當(dāng)時(shí)單調(diào)趨于I"、'',故由狄利克雷判別法推知」-工當(dāng)」「時(shí)總是收斂的.，其中另一方面，由于是收斂的而是發(fā)散的，因此當(dāng)「廠,時(shí)該無(wú)窮積分，其中另一方面，由于是收斂的而是發(fā)散的，因此當(dāng)「廠,時(shí)該無(wú)窮積分不是絕對(duì)收斂的．所以它是條件收斂的．.Ysinxidx,,廣一，一_—qrj八〃人，，， ［sinx2dx,\cos.Ysinxidx例6證明下列無(wú)窮積分都是條件收斂的.J 」證：前兩個(gè)無(wú)窮積分經(jīng)換元；.-?得到小， 2,sini(.?- 2廣'rf{sin(Xr=]—~pdt,lcos內(nèi)斯二I,血由例5知它們是條件收斂的.對(duì)于第三個(gè)無(wú)窮積分，經(jīng)換元；■而得rjtsitix4dx=—[sinJdt'1