第08講 有理數(shù)除法（7種題型）（解析版）

第08講有理數(shù)除法（7種題型）【知識梳理】一、有理數(shù)的除法1.倒數(shù)的意義：乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)．要點詮釋：(1)“互為倒數(shù)”的兩個數(shù)是互相依存的.如-2的倒數(shù)是，-2和是互相依存的；(2)0和任何數(shù)相乘都不等于1，因此0沒有倒數(shù)；(3)倒數(shù)的結(jié)果必須化成最簡形式，使分母中不含小數(shù)和分?jǐn)?shù)；(4)互為倒數(shù)的兩個數(shù)必定同號(同為正數(shù)或同為負(fù)數(shù))．2.有理數(shù)除法法則：法則一：除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)，即.法則二：兩數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除．0除以任何一個不等于0的數(shù)，都得0.要點詮釋：（1）一般在不能整除的情況下應(yīng)用法則一，在能整除時應(yīng)用法則二方便些．（2）因為0沒有倒數(shù)，所以0不能當(dāng)除數(shù)．（3）法則二與有理數(shù)乘法法則相似，兩數(shù)相除時先確定商的符號，再確定商的絕對值．二、有理數(shù)的乘除混合運算由于乘除是同一級運算，應(yīng)按從左往右的順序計算，一般先將除法化成乘法，然后確定積的符號，最后算出結(jié)果．三、有理數(shù)的加減乘除混合運算有理數(shù)的加減乘除混合運算，如無括號，則按照“先乘除，后加減”的順序進(jìn)行，如有括號，則先算括號里面的．【考點剖析】題型一：直接判定商的符號和絕對值進(jìn)行除法運算例1.計算：(1)(－15)÷(－3)；(2)12÷(－eq\f(1,4))；(3)(－0.75)÷(0.25)．解析：采用有理數(shù)的除法：兩數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除解答．解：(1)(－15)÷(－3)＝＋(15÷3)＝5；(2)12÷(－eq\f(1,4))＝－(12÷eq\f(1,4))＝－48；(3)(－0.75)÷(0.25)＝－(0.75÷0.25)＝－3.方法總結(jié)：注意先確定運算的符號．根據(jù)“同號得正，異號得負(fù)”的法則進(jìn)行計算．本題屬于基礎(chǔ)題，考查對有理數(shù)的除法運算法則掌握的程度．題型二：倒數(shù)的概念例2.的倒數(shù)是（）A． B． C． D．3【答案】A【解析】互為倒數(shù)的兩個數(shù)乘積為1，故選A．【變式】﹣（﹣）的相反數(shù)與﹣的倒數(shù)的積為_________．【答案】【解析】解：﹣（﹣）的相反數(shù)是﹣，﹣的倒數(shù)是﹣，﹣（﹣）的相反數(shù)與﹣的倒數(shù)的積是﹣×（﹣）=，故答案為：．題型三：分?jǐn)?shù)的化簡例3.化簡下列分?jǐn)?shù)：(1)eq\f(－21,－7)＝________；(2)eq\f(－3,6)＝________；(3)eq\f(－6,－0.3)＝________；(4)－eq\f(28,－49)＝________．解析：(1)eq\f(－21,－7)＝eq\f(－7×3,－7)＝3；(2)eq\f(－3,6)＝eq\f(－3,（－3）×（－2）)＝－eq\f(1,2)；(3)eq\f(－6,－0.3)＝eq\f(（－0.3）×20,－0.3)＝20；(4)－eq\f(28,－49)＝eq\f(28,49)＝eq\f(4×7,7×7)＝eq\f(4,7).解：(1)3；(2)－eq\f(1,2)；(3)20；(4)eq\f(4,7).方法總結(jié)：化簡分?jǐn)?shù)時要注意分子、分母的符號，同號結(jié)果為正，異號結(jié)果為負(fù)．【變式1】已知a、b、c為不等于零的有理數(shù)，你能求出的值嗎?【思路點撥】先分別確定a、b、c的取值，再代入求值．【答案與解析】解：分四種情況：(1)當(dāng)a、b、c三個數(shù)都為正數(shù)時，；(2)當(dāng)a、b、c三個數(shù)中有兩個為正數(shù)，一個為負(fù)數(shù)時，不妨設(shè)a為負(fù)數(shù)，b、c為正數(shù)，；(3)當(dāng)a、b、c三個數(shù)中有一個為正數(shù)，兩個為負(fù)數(shù)時，不妨設(shè)a為正數(shù)，b、c為負(fù)數(shù)，；(4)當(dāng)a、b、c三個數(shù)都為負(fù)數(shù)時，綜上，的值為：【總結(jié)升華】在含有絕對值的式子中，當(dāng)不知道絕對值里面的數(shù)的正負(fù)時，需分類討論.【變式2】已知a，b，c為非零的實數(shù)，則的可能值的個數(shù)為（）A．4B．5C．6D．7【答案】A【解析】解：①a、b、c三個數(shù)都是正數(shù)時，a＞0，ab＞0，ac＞0，bc＞0，原式=1+1+1+1=4；②a、b、c中有兩個正數(shù)時，設(shè)為a＞0，b＞0，c＜0，則ab＞0，ac＜0，bc＜0，原式=1+1﹣1﹣1=0；設(shè)為a＞0，b＜0，c＞0，則ab＜0，ac＞0，bc＜0，原式=1﹣1+1﹣1=0；設(shè)為a＜0，b＞0，c＞0，則ab＜0，ac＜0，bc＞0，原式=﹣1﹣1﹣1+1=﹣2；③a、b、c有一個正數(shù)時，設(shè)為a＞0，b＜0，c＜0，則ab＜0，ac＜0，bc＞0，原式=1﹣1﹣1+1=0；設(shè)為a＜0，b＞0，c＜0，則ab＜0，ac＞0，bc＜0，原式=﹣1﹣1+1﹣1=﹣2；設(shè)為a＜0，b＜0，c＞0，則ab＞0，ac＜0，bc＜0，原式=﹣1+1﹣1﹣1=﹣2；④a、b、c三個數(shù)都是負(fù)數(shù)時，即a＜0，b＜0，c＜0，則ab＞0，ac＞0，bc＞0，原式=﹣1+1+1+1=2．綜上所述：的可能值的個數(shù)為4．故選A．【變式3】計算的取值.【答案】(1)當(dāng)a＞0、b＞0時，；(2)當(dāng)a＜0、b＜0時，；(3)當(dāng)a＞0，b＜0時，；(4)當(dāng)a＜0，b＞0時，．綜上，的值為：題型四：將除法轉(zhuǎn)化為乘法進(jìn)行計算例4.計算：(1)(－18)÷(－eq\f(2,3))；(2)16÷(－eq\f(4,3))÷(－eq\f(9,8))．解析：本題可采用有理數(shù)的除法：除以一個數(shù)就等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)解答．解：(1)(－18)÷(－eq\f(2,3))＝(－18)×(－eq\f(3,2))＝18×eq\f(3,2)＝27；(2)16÷(－eq\f(4,3))÷(－eq\f(9,8))＝16×(－eq\f(3,4))×(－eq\f(8,9))＝16×eq\f(3,4)×eq\f(8,9)＝eq\f(32,3).方法總結(jié)：此題考查了有理數(shù)的除法運算，有理數(shù)的除法運算通常利用除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)化為乘法運算來求．【變式1】計算：【思路點撥】對于乘除混合運算，首先由負(fù)數(shù)的個數(shù)確定結(jié)果的符號，同時應(yīng)將小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，算式化成連乘積的形式，再進(jìn)行約分．但要注意除法沒有分配律．【答案與解析】解：【總結(jié)升華】進(jìn)行乘除混合運算時，往往先將除法轉(zhuǎn)化為乘法，再確定積的符號，最后求出結(jié)果．【變式2】計算：【答案】原式【變式3】【答案】【變式4】；.【答案】【變式5】【答案】=.例5.計算：【答案與解析】方法1：方法2：所以【總結(jié)升華】除法沒有分配律，在進(jìn)行有理數(shù)的除法運算時，若除數(shù)是和的形式，一般先算括號內(nèi)的，然后再進(jìn)行除法運算，也可以仿照方法2利用倒數(shù)關(guān)系巧妙解決，如果按a÷(b+c)＝a÷b+a÷c進(jìn)行分配就錯了．【變式1】..【答案】【變式2】（1）；（2）.【解析】第（2）題屬于易錯題，因為除法沒有分配律，只有乘法才有分配律，而一些學(xué)生往往因不看清題目而錯誤地運用運算規(guī)律?！敬鸢浮拷猓海?）解法一：解法二：（顯然，解法二中運用了乘法分配律后計算方法很簡單。）（2）錯解：（出錯的原因在于：除法沒有分配律，從而是不能運用的）正確解法一：=正確解法二：∵∴根據(jù)倒數(shù)的定義有：=題型五：根據(jù)eq\f(a,b)，a＋b的符號，判斷a和b的符號例6.如果a＋b＜0，eq\f(a,b)＞0，那么這兩個數(shù)()A．都是正數(shù)B．符號無法確定C．一正一負(fù)D．都是負(fù)數(shù)解析：∵eq\f(a,b)＞0，根據(jù)“兩數(shù)相除，同號得正”可知，a、b同號，又∵a＋b＜0，∴可以判斷a、b均為負(fù)數(shù)．故選D.方法總結(jié)：此題考查了有理數(shù)乘法和加法法則，將二者綜合考查是考試中常見的題型，此題的側(cè)重點在于考查學(xué)生的邏輯推理能力．題型六：有理數(shù)的乘除混合運算例7.計算：(1)－2.5÷eq\f(5,8)×(－eq\f(1,4))；(2)(－eq\f(4,7))÷(－eq\f(3,14))×(－1eq\f(1,2))．解析：(1)把小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，同時把除法變成乘法，再根據(jù)有理數(shù)的乘法法則進(jìn)行計算即可．(2)首先把乘除混合運算統(tǒng)一成乘法，再確定積的符號，然后把絕對值相乘，進(jìn)行計算即可．解：(1)原式＝－eq\f(5,2)×eq\f(8,5)×(－eq\f(1,4))＝eq\f(5,2)×eq\f(8,5)×eq\f(1,4)＝1；(2)原式＝(－eq\f(4,7))×(－eq\f(14,3))×(－eq\f(3,2))＝－(eq\f(4,7)×eq\f(14,3)×eq\f(3,2))＝－4.方法總結(jié)：解題的關(guān)鍵是掌握運算方法，先統(tǒng)一成乘法，再計算．【變式1】計算：【答案與解析】在有理數(shù)的乘除運算中，應(yīng)按從左到右的運算順序進(jìn)行運算.【總結(jié)升華】在有理數(shù)的乘除運算中，可先將除法運算轉(zhuǎn)化為乘法運算．乘除運算是同一級運算，再應(yīng)按從左到右的順序進(jìn)行．【變式2】計算：【答案】題型七、有理數(shù)的加減乘除混合運算例8.【解析】根據(jù)有理數(shù)乘法法則和運算順序即可算出結(jié)果?！敬鸢浮吭?24-2=22【變式】計算（1）（）×（﹣78）（2）（﹣7）×（﹣5）﹣90÷（﹣15）（3）（﹣+）×（﹣36）（4）（﹣）×．【答案】（1）27（2）31；（3）﹣19；（4）0【解析】試題分析：（1）原式利用乘法分配律計算即可得到結(jié)果；（2）原式先計算乘除運算，再計算加減運算即可得到結(jié)果；（3）原式利用乘法分配律計算即可得到結(jié)果；（4）原式利用0乘以任何數(shù)結(jié)果為0計算即可得到結(jié)果．解：（1）原式=﹣12+26+13=27；（2）原式=25+6=31；（3）原式=﹣18+20﹣21=﹣19；（4）原式=0．考點：有理數(shù)的混合運算【過關(guān)檢測】一．選擇題（共6小題）1．（2022秋?仙居縣期末）﹣3的倒數(shù)是（）A．﹣3 B． C． D．3【分析】根據(jù)倒數(shù)的定義即可得到結(jié)論．【解答】解：﹣3的倒數(shù)是﹣，故選：B．【點評】本題考查了倒數(shù)，熟練掌握倒數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．2．（2021秋?錢塘區(qū)期末）下列各組數(shù)中，互為倒數(shù)的是（）A．﹣1與﹣1 B．﹣0.25與 C．﹣0.5與﹣2 D．﹣1與1【分析】根據(jù)倒數(shù)的定義判斷即可．【解答】解：A、﹣1的倒數(shù)是﹣，故該選項不符合題意；B、﹣0.25＝﹣，與﹣4互為倒數(shù)，故該選項不符合題意；C、﹣0.5的倒數(shù)是﹣2，故該選項符合題意；D、﹣1的倒數(shù)是﹣1，故該選項不符合題意；故選：C．【點評】本題考查了倒數(shù)的定義，掌握乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù)是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋?義烏市月考）計算9÷（﹣3）×的結(jié)果為（）A．﹣1 B．1 C．9 D．﹣9【分析】直接利用有理數(shù)的乘除運算法則計算得出答案．【解答】解：原式＝﹣3×＝﹣1．故選：A．【點評】此題主要考查了有理數(shù)的乘除運算，正確掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．4．（2022秋?鄞州區(qū)校級期中）下列各對數(shù)中，互為倒數(shù)的是（）A．1和﹣1 B．﹣2和﹣ C．﹣4和 D．0和0【分析】應(yīng)用倒數(shù)的計算方法進(jìn)行計算即可得出答案．【解答】解：A、﹣1×1＝﹣1，兩數(shù)不是互為倒數(shù)，不符合題意；B、﹣2×＝1，兩數(shù)互為倒數(shù)，符合題意；C、﹣4×＝﹣1，兩數(shù)不是互為倒數(shù)，不合題意；D、0沒有倒數(shù)，不合題意．故選：B．【點評】本題主要考查了倒數(shù)，熟練掌握倒數(shù)的計算方法進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．5．（2022秋?瑞安市期中）計算6÷（﹣3）的結(jié)果是（）A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2【分析】原式利用除法法則計算即可求出值．【解答】解：6÷（﹣3）＝﹣2．故選：D．【點評】此題考查了有理數(shù)的除法，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．6．（2022秋?義烏市校級月考）學(xué)友書店推出售書優(yōu)惠方案：①一次性購書不超過100元，不享受優(yōu)惠；②一次性購書超過100元但不超過200元一律打九折；③一次性購書200元一律打八折．如果王明同學(xué)一次性購書付款162元，那么王明所購書的原價一定為（）A．180元 B．202.5元 C．180元或202.5元 D．180元或200元【分析】不享受優(yōu)惠即原價，打九折即原價×0.9，打八折即原價×0.8．【解答】解：∵200×0.9＝180，200×0.8＝160，160＜162＜180，∴一次性購書付款162元，可能有兩種情況．162÷0.9＝180元；162÷0.8＝202.5元．故王明所購書的原價一定為180元或202.5元．故選：C．【點評】本題考查有理數(shù)的運算在實際生活中的應(yīng)用．注意售書有三種優(yōu)惠方案．二．填空題（共7小題）7．（2022秋?上城區(qū)校級期中）整數(shù)﹣5的倒數(shù)為．【分析】倒數(shù)：乘積是1的兩數(shù)互為倒數(shù)．【解答】解：有理數(shù)﹣5的倒數(shù)是．故答案為：．【點評】本題考查了倒數(shù)，熟記倒數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．8．（2022秋?杭州期中）在2，5，﹣3，﹣5這四個數(shù)中任意取兩個數(shù)相除，所得的商最小為?﹣2.5．【分析】由實數(shù)的大小比較法則，即可求解．【解答】解：∵在2，5，﹣3，﹣5這四個數(shù)中任意取兩個數(shù)相除，所得的商是負(fù)數(shù)，且商的絕對值最大時，此時兩數(shù)商最小，∴在2，5，﹣3，﹣5這四個數(shù)中任意取兩個數(shù)相除，所得的商最小為﹣5÷2＝﹣2.5，故答案為：﹣2.5．【點評】本題考查實數(shù)的大小比較，關(guān)鍵是掌握：兩個負(fù)數(shù)比較大小，絕對值大的數(shù)反而?。?．（2022秋?杭州期中）計算：|﹣6|＝6；﹣6的倒數(shù)是﹣．【分析】利用倒數(shù)和絕對值的性質(zhì)，分別分析得出答案．【解答】解：|﹣6|＝6；﹣6的倒數(shù)是﹣．故答案為：6，﹣．【點評】此題主要考查了倒數(shù)、絕對值，正確把握定義是解題關(guān)鍵．10．（2022秋?長興縣月考）計算：＝﹣3．【分析】利用有理數(shù)的除法法則運算即可．【解答】解：原式＝1×（﹣3）＝﹣3．故答案為：﹣3．【點評】本題主要考查了有理數(shù)的除法法則，正確利用有理數(shù)的除法法則運算是解題的關(guān)鍵．11．（2021秋?溫州期末）計算：（﹣9）÷＝﹣18．【分析】先變除法為乘法后再進(jìn)行乘法計算．【解答】解：（﹣9）÷＝﹣9×2＝﹣18．【點評】此題考查了有理數(shù)的除法計算能力，關(guān)鍵是能按照除法運算法則進(jìn)行準(zhǔn)確計算．12．（2022秋?蒼南縣期中）在﹣2，3，﹣4，12這四個數(shù)中，任意兩個數(shù)相除，所得的商最小是﹣6．【分析】取異號且商絕對值較大兩數(shù)相除便可．【解答】解：根據(jù)題意得，商最小的是：12÷（﹣2）＝﹣6，故答案為：﹣6．【點評】本題有理數(shù)除法，有理數(shù)大小比較，靈活應(yīng)用除法法則解題是關(guān)鍵．13．（2022秋?瑞安市期中）計算：﹣5÷（﹣6）×16＝13．【分析】利用有理數(shù)的除法、乘法運算法則計算即可．【解答】解：算：﹣5÷（﹣6）×16＝﹣5×（﹣）×＝×＝＝13．故答案為：13．【點評】本題考查了有理數(shù)的乘法，除法，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的乘法和除法的法則．三．解答題（共6小題）14．（2022秋?余杭區(qū)校級月考）（1）÷（﹣）÷（﹣0.25）；（2）﹣99×34．【分析】（1）先確定最后結(jié)果的符號，并變除法運算為乘法進(jìn)行求解；（2）先確定結(jié)果的符號，再運用乘法分配律進(jìn)行計算．【解答】解：（1）÷（﹣）÷（﹣0.25）＝×4＝；（2）﹣99×34＝﹣（100﹣）×34＝﹣（100×34﹣×34）＝﹣（3400﹣4）＝﹣3396．【點評】此題考查了有理數(shù)的混合運算能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確確定正確的運算順序和方法．15．（2022秋?杭州月考）（1）；（2）﹣99×34．【分析】（1）原式利用除法法則變形，約分即可得到結(jié)果；（2）原式變形后，利用乘法分配律計算即可求出值．【解答】解：（1）原式＝××4＝；（2）原式＝（﹣100+）×34＝﹣100×34+×34＝﹣3400+4＝﹣3396．【點評】此題考查了有理數(shù)的乘除法，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．16．（2022秋?越城區(qū)期中）閱讀下題解答：計算：．分析：利用倒數(shù)的意義，先求出原式的倒數(shù)，再得原式的值．解：×（﹣24）＝﹣16+18﹣21＝﹣19．所以原式＝﹣．根據(jù)閱讀材料提供的方法，完成下面的計算：．【分析】原式根據(jù)閱讀材料中的計算方法變形，計算即可即可得到結(jié)果．【解答】解：根據(jù)題意得：[﹣++（﹣）2×（﹣6）]÷（﹣）＝[﹣++×（﹣6）]×（﹣42）＝﹣21+14﹣30+112＝75，則原式＝．【點評】此題考查了有理數(shù)的除法，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．17．（2022秋?衢江區(qū)校級月考）若a、b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，m的絕對值為2．（1）直接寫出a+b，cd，m的值；（2）求m+cd+的值．【分析】（1）根據(jù)互