第12講 實(shí)數(shù)（5種題型）（解析版）

第12講實(shí)數(shù)（5種題型）【知識(shí)梳理】一、有理數(shù)與無(wú)理數(shù)有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)都稱為有理數(shù).無(wú)限不循環(huán)小數(shù)又叫無(wú)理數(shù).要點(diǎn)：（1）無(wú)理數(shù)的特征：無(wú)理數(shù)的小數(shù)部分位數(shù)無(wú)限.無(wú)理數(shù)的小數(shù)部分不循環(huán)，不能表示成分?jǐn)?shù)的形式.（2）常見(jiàn)的無(wú)理數(shù)有三種形式：①含類.②看似循環(huán)而實(shí)質(zhì)不循環(huán)的數(shù)，如：1.313113111…….③帶有根號(hào)的數(shù)，但根號(hào)下的數(shù)字開(kāi)方開(kāi)不盡，如.二、實(shí)數(shù)有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù).1.實(shí)數(shù)的分類按定義分：實(shí)數(shù)按與0的大小關(guān)系分：實(shí)數(shù)2.實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的關(guān)系我們嘗試用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示．由前面的學(xué)習(xí)，我們知道兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形可以拼成一個(gè)面積為2的正方形ABCD，它的邊長(zhǎng)為．觀察正方形ABCD，可知它的一邊是一個(gè)直角三角形的斜邊，這個(gè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)都是1．這樣，就在數(shù)軸上確定一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示．要點(diǎn)：每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，而且這些點(diǎn)是唯一的；反過(guò)來(lái)，數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù)．?dāng)?shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)。3.兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大?、儇?fù)數(shù)小于0,0小于正數(shù)；兩個(gè)正數(shù)絕對(duì)值大的數(shù)較大，兩個(gè)負(fù)數(shù)絕對(duì)值大的數(shù)較??；從數(shù)軸上看，右邊的點(diǎn)表示的數(shù)比左邊的大。②數(shù)軸上，如果點(diǎn)A,點(diǎn)B所對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為a，b，那么A,B兩點(diǎn)的距離4.估算：怎樣估算無(wú)理數(shù)(①誤差小于1)？(②誤差小于0.1)？誤差小于0.1就是指估算出來(lái)的值與準(zhǔn)確值之間的差的絕對(duì)值小于0.1.估算無(wú)理數(shù)的方法是： （1）通過(guò)平方運(yùn)算，采用“夾逼法”，確定真正值所在范圍；（2）根據(jù)問(wèn)題中誤差允許的范圍內(nèi)取出近似值。（3）“精確到”與“誤差小于”意義不同。如精確到1m是四舍五入到個(gè)位，答案惟一；誤差小于1m，答案在真正值左右1m都符合題意，答案不惟一。在本章中誤差小于1m就是估算到個(gè)位，誤差小于10m就是估算到十位。記憶常用數(shù)的近似值：≈1.414≈1.732≈2.236【考點(diǎn)剖析】題型一．實(shí)數(shù)例1、指出下列各數(shù)中的有理數(shù)和無(wú)理數(shù)：【思路點(diǎn)撥】對(duì)實(shí)數(shù)進(jìn)行分類時(shí)，應(yīng)先對(duì)某些數(shù)進(jìn)行計(jì)算或化簡(jiǎn)，然后根據(jù)它的最后結(jié)果進(jìn)行分類，不能僅看到根號(hào)表示的數(shù)就認(rèn)為是無(wú)理數(shù).π是無(wú)理數(shù)，化簡(jiǎn)后含π的代數(shù)式也是無(wú)理數(shù).【答案與解析】有理數(shù)有無(wú)理數(shù)有【總結(jié)升華】有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)都稱為有理數(shù).無(wú)限不循環(huán)小數(shù)又叫無(wú)理數(shù).常見(jiàn)的無(wú)理數(shù)有三種形式：①含類.②看似循環(huán)而實(shí)質(zhì)不循環(huán)的數(shù)，如：0.1010010001…….③帶有根號(hào)的數(shù)，但根號(hào)下的數(shù)字開(kāi)方開(kāi)不盡，如，，，.【變式1】（2022?樂(lè)清市開(kāi)學(xué)）給出四個(gè)實(shí)數(shù)，3.14，0，，其中無(wú)理數(shù)是（）A． B．3.14 C．0 D．【分析】根據(jù)無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，可得答案．【解答】解：在實(shí)數(shù)，3.14，0，中，無(wú)理數(shù)是．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了無(wú)理數(shù)的定義，注意帶根號(hào)的要開(kāi)不盡方才是無(wú)理數(shù)，無(wú)限不循環(huán)小數(shù)為無(wú)理數(shù)．如π，，0.8080080008…（每?jī)蓚€(gè)8之間依次多1個(gè)0）等形式．【變式2】在下列語(yǔ)句中：①無(wú)理數(shù)的相反數(shù)是無(wú)理數(shù)；②一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值一定是非負(fù)數(shù)；③有理數(shù)比無(wú)理數(shù)??；④無(wú)限小數(shù)不一定是無(wú)理數(shù)．其中正確的是（）A．②③ B．②③④ C．①②④ D．②④【答案】C；解：①因?yàn)閷?shí)數(shù)包括有理數(shù)和無(wú)理數(shù)，無(wú)理數(shù)的相反數(shù)不可能式有理數(shù)，故本選項(xiàng)正確；②一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值一定≥0，故本選項(xiàng)正確；③數(shù)的大小，和它是有理數(shù)還是無(wú)理數(shù)無(wú)關(guān)，故本選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；④無(wú)限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，故本選項(xiàng)正確．【變式3】把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的集合內(nèi)：，，，，，，，，，，0，0.3737737773……（相鄰兩個(gè)3之間7的個(gè)數(shù)逐次增加1）…有理數(shù)集合…無(wú)理數(shù)集合【答案與解析】有理數(shù)有：，，，，0，無(wú)理數(shù)有：，，，，，，0.3737737773……【總結(jié)升華】有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)都稱為有理數(shù).無(wú)限不循環(huán)小數(shù)又叫無(wú)理數(shù).常見(jiàn)的無(wú)理數(shù)有三種形式：①含類.②看似循環(huán)而實(shí)質(zhì)不循環(huán)的數(shù)，如：0.3737737773……③帶有根號(hào)的數(shù)，但根號(hào)下的數(shù)字開(kāi)方開(kāi)不盡，如，，，，.【變式4】判斷正誤，在后面的括號(hào)里對(duì)的用“√”，錯(cuò)的記“×”表示，并說(shuō)明理由.

(1)無(wú)理數(shù)都是開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù).()

(2)無(wú)理數(shù)都是無(wú)限小數(shù).()

(3)無(wú)限小數(shù)都是無(wú)理數(shù).()

(4)無(wú)理數(shù)包括正無(wú)理數(shù)、零、負(fù)無(wú)理數(shù).()

(5)不帶根號(hào)的數(shù)都是有理數(shù).()

(6)帶根號(hào)的數(shù)都是無(wú)理數(shù).()

(7)有理數(shù)都是有限小數(shù).()

(8)實(shí)數(shù)包括有限小數(shù)和無(wú)限小數(shù).()

【答案】(1)(×)無(wú)理數(shù)不只是開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)，還有，1.020020002…這類的數(shù)也是無(wú)理數(shù).(2)(√)無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，是屬于無(wú)限小數(shù)范圍內(nèi)的數(shù).(3)(×)無(wú)限小數(shù)包括無(wú)限循環(huán)小數(shù)和無(wú)限不循環(huán)小數(shù)兩類數(shù)，其中無(wú)限不循環(huán)小數(shù)才是無(wú)理數(shù).(4)(×)0是有理數(shù).(5)(×)如，雖然不帶根號(hào)，但它是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，所以是無(wú)理數(shù).(6)(×)如，雖然帶根號(hào)，但＝9，這是有理數(shù).(7)(×)有理數(shù)還包括無(wú)限循環(huán)小數(shù).(8)(√)有理數(shù)可以用有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)表示，無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，所以實(shí)數(shù)可以用有限小數(shù)和無(wú)限小數(shù)表示.題型二．實(shí)數(shù)的性質(zhì)例2．若有一個(gè)實(shí)數(shù)為，則它的相反數(shù)為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義化簡(jiǎn)即可得出答案．【解答】解：﹣（3﹣）＝﹣3+＝﹣3，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)的相反數(shù)，掌握一個(gè)數(shù)a的相反數(shù)是﹣a是解題的關(guān)鍵．【變式1】．的相反數(shù)是﹣．【分析】直接根據(jù)相反數(shù)的定義進(jìn)行解答即可．【解答】解：∵與﹣是只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)，∴的相反數(shù)是﹣．故答案為：﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是上實(shí)數(shù)的性質(zhì)，即只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫互為相反數(shù)．【變式2】在電視臺(tái)一檔互動(dòng)節(jié)目中，主持人問(wèn)這樣一道題目：“a是最小的正整數(shù)，b是最大的負(fù)整數(shù)，c是絕對(duì)值最小的實(shí)數(shù)，d是倒數(shù)是它本身的數(shù)，”請(qǐng)問(wèn)：a﹣b+c+d＝3或1．【分析】根據(jù)題意寫(xiě)出a．b，c，d的值，然后分兩種情況分別計(jì)算即可．【解答】解：∵a是最小的正整數(shù)，b是最大的負(fù)整數(shù)，c是絕對(duì)值最小的實(shí)數(shù)，d是倒數(shù)是它本身的數(shù)，∴a＝1，b＝﹣1，c＝0，d＝±1，∴當(dāng)d＝1時(shí)，a﹣b+c+d＝1+1+0+1＝3；當(dāng)d＝﹣1時(shí)，a﹣b+c+d＝1+1+0﹣1＝1；故答案為：3或1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)，絕對(duì)值，倒數(shù)，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，解題的關(guān)鍵是掌握乘積為1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，0沒(méi)有倒數(shù)．【變式3】已知a、b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，|m|＝2，且m＜0；（1）求2a﹣（cd）2018+2b﹣3m的值．（2）若＝m，c＝，求b﹣4d+m的值．【分析】（1）根據(jù)a、b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，|m|＝2，先確定a+b、cd及m的值，再求代數(shù)式的值即可；（2）根據(jù)＝m，c＝可求出a，b，c，d的值，然后代入所求的代數(shù)式即可．【解答】（1）解：∵a，b互為相反數(shù)，∴a+b＝0，∵c、d互為倒數(shù)，∴cd＝1，∵|m|＝2且m＜0，∴m＝﹣2，∴2a﹣（cd）2018+2b﹣3m＝2（a+b）﹣（cd）2018﹣3m＝﹣1+6＝5；（2）∵＝m，∴a＝m3＝﹣8，∴b＝8，∵，∴，∴b﹣4d+m＝＝8﹣2﹣2＝4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的運(yùn)算，掌握“互為相反數(shù)的兩數(shù)和為0”、“互為倒數(shù)的兩數(shù)積為1”是解決本題的關(guān)鍵．題型三、實(shí)數(shù)與數(shù)軸例3．如圖，順次連結(jié)4×4方格四條邊的中點(diǎn)，得到一個(gè)正方形ABCD．設(shè)每一個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為1個(gè)單位．（1）正方形ABCD的邊長(zhǎng)介于哪兩個(gè)相鄰的整數(shù)之間，請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）如果把正方形ABCD放到數(shù)軸上，使得邊AB與數(shù)軸重合，且點(diǎn)A與數(shù)軸的原點(diǎn)重合，數(shù)軸的單位長(zhǎng)度就是小方格的邊長(zhǎng)．請(qǐng)寫(xiě)出點(diǎn)B在數(shù)軸上所表示的數(shù)．【分析】（1）利用大正方形的面積減去四個(gè)直角三角形的面積，求出正方形ABCD的面積，然后再求出邊長(zhǎng)即可；（2）點(diǎn)B在數(shù)軸上的位置有兩種情況，點(diǎn)B在原點(diǎn)左側(cè)，點(diǎn)B在原點(diǎn)右側(cè)．【解答】解：（1）正方形ABCD的邊長(zhǎng)介于兩個(gè)相鄰的整數(shù)2和3之間，理由是：∵正方形ABCD的面積＝4×4﹣4××2×2＝8，∴AB＝＝，∵22＝4，32＝9，∴4＜8＜9，∴，∴2＜＜3，正方形ABCD的邊長(zhǎng)介于兩個(gè)相鄰的整數(shù)2和3之間；（2）分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)B在原點(diǎn)左側(cè)，點(diǎn)B在數(shù)軸上所表示的數(shù)是：，當(dāng)點(diǎn)B在原點(diǎn)右側(cè)，點(diǎn)B在數(shù)軸上所表示的數(shù)是：，∴點(diǎn)B在數(shù)軸上所表示的數(shù)是：±．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，熟練掌握平方數(shù)是解題的關(guān)鍵．【變式1】如圖，面積為5的正方形ABCD的頂點(diǎn)A在數(shù)軸上，且表示的數(shù)為1，若點(diǎn)E在數(shù)軸上，（點(diǎn)E在點(diǎn)A的右側(cè)）且AB＝AE，則E點(diǎn)所表示的數(shù)為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)正方形的邊長(zhǎng)是面積的算術(shù)平方根得AD＝AE＝，結(jié)合A點(diǎn)所表示的數(shù)及AE間距離可得點(diǎn)E所表示的數(shù)．【解答】解：∵正方形ABCD的面積為5，且AD＝AE，∴AD＝AE＝，∵點(diǎn)A表示的數(shù)是1，且點(diǎn)E在點(diǎn)A右側(cè)，∴點(diǎn)E表示的數(shù)為1+．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸及兩點(diǎn)間距離，根據(jù)兩點(diǎn)間距離及點(diǎn)的位置判斷出點(diǎn)所表示的數(shù)是關(guān)鍵．【變式2】如圖，實(shí)數(shù)﹣1在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)可能是（）A．A點(diǎn) B．B點(diǎn) C．C點(diǎn) D．D點(diǎn)【分析】先確定的范圍，再推出的范圍，從而得解．【解答】解：∵，∴，∴在在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)可能是C．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，估算出的大小是解本題的關(guān)鍵．【變式3】定義：有A、B兩只電子跳蚤在同一條數(shù)軸上跳動(dòng)，它們?cè)跀?shù)軸上對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)分別為a、b．若實(shí)數(shù)a、b滿足b＝3a+2時(shí)，則稱A、B處于“和諧位置”，A、B之間的距離為“和諧距離”．（1）當(dāng)A在原點(diǎn)位置，且A、B處于“和諧位置”時(shí)，“和諧距離”為2．（2）當(dāng)A、B之間的“和諧距離”為2022時(shí)，求a、b的值．【分析】（1）將a＝0代入b＝3a+2中得到b＝2，所以和諧距離為2；（2）根據(jù)A，B的和諧距離為2022列出方程即可求解．【解答】解：（1）將a＝0代入b＝3a+2中得到b＝2，所以和諧距離為2；故答案為：2；（2）∵A，B處于和諧位置，∴b＝3a+2，∴|AB|＝|b﹣a|＝|2a+2|＝2022，∴2a+2＝±2022，∴a＝1010，b＝3032或a＝﹣1012，b＝﹣3034．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，新定義，體現(xiàn)了方程思想，根據(jù)A，B的和諧距離為2022列出方程是解題的關(guān)鍵．【變式4】設(shè)a，b在數(shù)軸上表示的實(shí)數(shù)到原點(diǎn)的距離相等，且位于原點(diǎn)的兩側(cè)，c，d互為倒數(shù)，e的絕對(duì)值為3，請(qǐng)求出下列代數(shù)式的值：5a+5b﹣+e．【分析】根據(jù)題意得：a+b＝0，cd＝1，e＝3或e＝﹣3，然后分兩種情況分別代入代數(shù)式求值即可．【解答】解：∵a，b在數(shù)軸上表示的實(shí)數(shù)到原點(diǎn)的距離相等，且位于原點(diǎn)的兩側(cè)，∴a+b＝0，∵c，d互為倒數(shù)，∴cd＝1，∵e的絕對(duì)值為3，∴e＝3或e＝﹣3，當(dāng)e＝3時(shí)，原式＝5（a+b）﹣+e＝0﹣+3＝；當(dāng)e＝﹣3時(shí)，原式＝5（a+b）﹣+e＝0﹣﹣3＝．綜上所述，代數(shù)式的值為或﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，絕對(duì)值，倒數(shù)，實(shí)數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了分類討論的思想，掌握絕對(duì)值等于一個(gè)正數(shù)的數(shù)有2個(gè)是解題的關(guān)鍵，不要漏解．【變式5】數(shù)軸是一個(gè)非常重要的數(shù)學(xué)工具，它使實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)建立起一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，揭示了數(shù)與點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，它是“數(shù)形結(jié)合”的基礎(chǔ)．【閱讀理解】|3﹣1|表示3與1的差的絕對(duì)值，也可理解為3與1兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離；同理|x﹣1|可以理解為x與1兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離，|x+1|＝|x﹣（﹣1）|就表示x在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到﹣1的距離．（1）【嘗試應(yīng)用】①數(shù)軸上表示﹣4和2的兩點(diǎn)之間的距離是6（寫(xiě)出最后結(jié)果）；②若|x﹣（﹣2）|＝3，則x＝1或﹣5；（2）【動(dòng)手探究】小明在草稿紙上畫(huà)了一條數(shù)軸，并折疊紙面，若表示2的點(diǎn)與表示﹣4的點(diǎn)重合．①則表示10的點(diǎn)與表示﹣12的點(diǎn)重合；②這時(shí)如果A，B（A在B的左側(cè)）兩點(diǎn)之間的距離為2022，且A，B兩點(diǎn)經(jīng)過(guò)折疊后重合，則A表示的數(shù)是﹣1012，B表示的數(shù)是1010；③若點(diǎn)A表示的數(shù)為a，點(diǎn)B表示的數(shù)為b（A在B的左側(cè)），且A，B兩點(diǎn)經(jīng)折疊后剛好重合，那么a與b之間的數(shù)量關(guān)系是a+b＝﹣2；（3）【拓展延伸】①當(dāng)x＝1時(shí)，|x+2|+|x﹣1|+|x﹣3|有最小值，最小值是5；②|x+1|﹣|x﹣4|有最大值，最大值是5，|x+1|﹣|x﹣4|有最小值，最小值是﹣5．【分析】（1）①根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得答案；②根據(jù)絕對(duì)值的定義可以解答；（2）①首先求出折疊點(diǎn)是﹣1，列式為﹣1﹣（10+1）可得答案；②根據(jù)折疊點(diǎn)為﹣1可列式解答；③由題意得，（a+b）＝﹣1，整理可得答案；（3）根據(jù)絕對(duì)值的定義和分類討論的數(shù)學(xué)思想可以解答本題．【解答】解：（1）①﹣4和2的兩點(diǎn)之間的距離是：2﹣（﹣4）＝6，故答案為：6；②∵|x﹣（﹣2）|＝3，∴x＝1或﹣5，故答案為：1或﹣5；（2）∵表示2的點(diǎn)與表示﹣4的點(diǎn)重合，∴折疊點(diǎn)是﹣1，①﹣1﹣（10+1）＝﹣12，故答案為：﹣12；②2022÷2＝1011，﹣1﹣1011＝﹣1012，﹣1+1011＝1010，∴則A表示的數(shù)是﹣1012，B表示的數(shù)是1010，故答案為：﹣1012，1010；③由題意得，（a+b）＝﹣1，∴a+b＝﹣2，故答案為：a+b＝﹣2；（3）①當(dāng)x≤﹣2時(shí)，|x+2|+|x﹣1|+|x﹣3|＝﹣x﹣2﹣x+1﹣x+3＝﹣3x+2≥8，當(dāng)﹣2＜x≤1時(shí)，|x+2|+|x﹣1|+|x﹣3|＝x+2﹣x+1﹣x+3＝﹣x+6，5≤﹣x+6＜8，當(dāng)1＜x≤3時(shí)，|x+2|+|x﹣1|+|x﹣3|＝x+2+x﹣1﹣x+3＝x+4，5＜x+4≤7，當(dāng)x＞3時(shí)，|x+2|+|x﹣1|+|x﹣3|＝x+2+x﹣1+x﹣3＝3x﹣2＞7，∴當(dāng)x＝1時(shí)，最小值是5，故答案為：1，5；②當(dāng)x＜﹣1時(shí)，|x+1|﹣|x﹣4|＝﹣x﹣1+x﹣4＝﹣5，當(dāng)﹣1≤x≤4時(shí)，|x+1|﹣|x﹣4|＝x+1+x﹣4＝2x﹣3，﹣5≤2x﹣3≤5，當(dāng)x＞4時(shí)，|x+1|﹣|x﹣4|＝x+1﹣x+4＝5，∴最大值是5，最小值是﹣5，故答案為：5，﹣5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)軸、絕對(duì)值、兩點(diǎn)的距離，解答本題的關(guān)鍵是明確絕對(duì)值的定義，利用絕對(duì)值的知識(shí)和分類討論的數(shù)學(xué)思想解答．題型四、實(shí)數(shù)大小比較例4.實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖所示，則，1，0的大小順序是（）A． B． C． D．0＜1且1和的大小無(wú)法確定【分析】根據(jù)數(shù)軸上a所在的位置可用取特殊值的方法比較個(gè)數(shù)的大?。窘獯稹拷猓骸擤?＜a＜0，∴令a＝﹣，則﹣＝；∵0＜1＜，∴0＜1＜﹣．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸之間對(duì)應(yīng)關(guān)系及實(shí)數(shù)的大小的比較，當(dāng)給出的未知字母的值在一個(gè)確定的范圍內(nèi)時(shí)，可用取特殊值的方法進(jìn)行比較，以簡(jiǎn)化計(jì)算．【變式1】若|x﹣y|﹣|x﹣z|＝|y﹣z|，則實(shí)數(shù)x、y、z之間的大小關(guān)系可能為（）A．x＞y＞z B．z＞y＞x C．y＞x＞z D．x＞z＞y【分析】根據(jù)各選項(xiàng)中x，y，z的大小關(guān)系分別計(jì)算已知等式的左邊和右邊，看是否相等即可判斷．【解答】解：A、當(dāng)x＞y＞z時(shí)，|x﹣y|﹣|x﹣z|＝x﹣y﹣（x﹣z）＝z﹣y，|y﹣z|＝y(tǒng)﹣z，已知等式不成立，不符合題意；B、當(dāng)z＞y＞x時(shí)，|x﹣y|﹣|x﹣z|＝y(tǒng)﹣x﹣（z﹣x）＝y(tǒng)﹣z，|y﹣z|＝z﹣y，已知等式不成立，不符合題意；C、當(dāng)y＞x＞z時(shí)，|x﹣y|﹣|x﹣z|＝y(tǒng)﹣x﹣（x﹣z）＝y(tǒng)+z﹣2x，|y﹣z|＝y(tǒng)﹣z，已知等式不成立，不符合題意；D、當(dāng)x＞z＞y時(shí)，|x﹣y|﹣|x﹣z|＝x﹣y﹣（x﹣z）＝z﹣y，|y﹣z|＝z﹣y，已知等式成立，符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是實(shí)數(shù)的大小和絕對(duì)值的意義，正確根據(jù)字母的大小關(guān)系將絕對(duì)值化去是解本題的關(guān)鍵．【變式2】請(qǐng)用符號(hào)“＜”將下面實(shí)數(shù)﹣32，，﹣3連接起來(lái)﹣32＜﹣3＜．【分析】根據(jù)正數(shù)大于負(fù)數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)比較，絕對(duì)值大的反而小判斷即可．【解答】解：∵﹣32＝﹣9，|﹣9|＝9，|﹣3|＝3，∴9＞3，∴﹣32＜﹣3，∴﹣32＜﹣3＜，故答案為：﹣32＜﹣3＜．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)的大小比較，算術(shù)平方根，熟練掌握兩個(gè)負(fù)數(shù)比較，絕對(duì)值大的反而小是解題的關(guān)鍵．【變式3】已知a，b，c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，且|a|＝|b|；（1）根據(jù)數(shù)軸判斷：a+b＝0，c﹣b＜0．（填＞，＜，＝）（2）|c﹣a|﹣|c﹣b|+|a+b|+|c﹣1|．【分析】（1）根據(jù)絕對(duì)值的意義和點(diǎn)在數(shù)軸上的位置可得結(jié)論；（2）根據(jù)點(diǎn)在直線上的位置，先判斷c﹣a、c﹣b、a+b、c﹣1的正負(fù)，再利用絕對(duì)值的意義去掉絕對(duì)值，最后合并同類項(xiàng)．【解答】解：由題圖知a＜0＜c＜b，（1）∵|a|＝|b|，∴a＝﹣b，c＜b．∴a+b＝0，c﹣b＜0．故答案為：＝，＜．（2）∵a＜0＜c＜b＜1，∴c﹣a＞0，c﹣b＜0，a+b＝0，c﹣1＜0．∴|c﹣a|﹣|c﹣b|+|a+b|+|c﹣1|．＝c﹣a﹣（b﹣c）+（a+b）+1﹣c＝c﹣a﹣b+c+a+b+1﹣c＝1+c．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了絕對(duì)值的意義，根據(jù)數(shù)軸確定兩個(gè)數(shù)的和差與零的關(guān)系及掌握絕對(duì)值的意義是解決本題的關(guān)鍵．題型五、估算無(wú)理數(shù)的大小例5.如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)A，B，C，D，E分別對(duì)應(yīng)的數(shù)是1，2，3，4，5，那么表示的點(diǎn)應(yīng)在（）A．線段AB上 B．線段BC上 C．線段CD上 D．線段DE上【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)平方根的定義估算的大小，再結(jié)合數(shù)軸表示數(shù)的方法得出答案．【解答】解：∵32＝9，42＝16，∴3＜＜4，∵數(shù)軸上的點(diǎn)C，D分別對(duì)應(yīng)的數(shù)是3，4，∴表示的點(diǎn)應(yīng)在線段CD上，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查估算無(wú)理數(shù)的大小，掌握算術(shù)平方根的意義是正確解答的前提，估算出的大小是得出正確答案的關(guān)鍵．【變式1】絕對(duì)值小于的整數(shù)有13個(gè)．【分析】由題意可知，這個(gè)整數(shù)在﹣到之間，再由6＜＜7，即可求解．【解答】解：由題意可知，這個(gè)整數(shù)在﹣到之間，∵6＜＜7，∴滿足的整數(shù)有﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6共13個(gè)，故答案為13．【點(diǎn)評(píng)】本題考查無(wú)理數(shù)的大小；掌握絕對(duì)值的意義，能夠準(zhǔn)確估計(jì)無(wú)理數(shù)的大小是解題的關(guān)鍵．【變式2】的整數(shù)部分是3．【分析】根據(jù)平方根的意義確定的范圍，則整數(shù)部分即可求得．【解答】解：∵9＜13＜16，∴3＜＜4，∴的整數(shù)部分是3．故答案是：3．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了無(wú)理數(shù)的估算，解題關(guān)鍵是確定無(wú)理數(shù)的整數(shù)部分即可解決問(wèn)題．【變式3】如果一個(gè)正方形ABCD的面積為69．（1）求正方形ABCD的邊長(zhǎng)a．（2）正方形ABCD的邊長(zhǎng)滿足m＜a＜n，m，n表示兩個(gè)連續(xù)的正整數(shù)，求m，n的值．【分析】（1）根據(jù)正方形的面積是69即可得出答案；（2）故選的范圍即可求出m，n的值；【解答】解：（1）∵正方形ABCD的面積為69，∴正方形ABCD的邊長(zhǎng)a＝；（2）∵64＜69＜81，∴8＜＜9，∴m＝8，n＝9；【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一．選擇題（共10小題）1．（2022秋?嘉興期末）在實(shí)數(shù)3.14，，，中，屬于無(wú)理數(shù)的是（）A．3.14 B． C． D．【分析】無(wú)理數(shù)就是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)．理解無(wú)理數(shù)的概念，一定要同時(shí)理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱．即有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)．【解答】解：3.14，，是有理數(shù)；是無(wú)理數(shù)．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了無(wú)理數(shù)的識(shí)別，無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫無(wú)理數(shù)，初中范圍內(nèi)常見(jiàn)的無(wú)理數(shù)有三類：①π類，如2π，等；②開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)，如，等；③雖有規(guī)律但卻是無(wú)限不循環(huán)的小數(shù)，如0.1010010001…（兩個(gè)1之間依次增加1個(gè)0），0.2121121112…（兩個(gè)2之間依次增加1個(gè)1）等．2．（2022秋?鄞州區(qū)期末）若整數(shù)a滿足，則整數(shù)a是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】先計(jì)算，，然后看哪個(gè)平方數(shù)在7和15之間即可．【解答】解：∵7＜9＜15，∴＜3＜，∴如果整數(shù)a滿足，則a的值是：3．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了估算無(wú)理數(shù)的大小，熟練掌握平方數(shù)是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋?西湖區(qū)校級(jí)期中）下列結(jié)論正確的是（）A．5的絕對(duì)值是﹣5 B．任何實(shí)數(shù)都有倒數(shù) C．任何實(shí)數(shù)都有相反數(shù) D．﹣2的倒數(shù)是【分析】直接利用絕對(duì)值的性質(zhì)，以及相反數(shù)、倒數(shù)的定義分析得出答案．【解答】解：A、5的絕對(duì)值是5，不符合題意；B、0沒(méi)有倒數(shù)，不符合題意；C、任何實(shí)數(shù)都有相反數(shù)，符合題意；D、﹣2的倒數(shù)是﹣，不符合題意．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了實(shí)數(shù)的性質(zhì)，絕對(duì)值的性質(zhì)，以及相反數(shù)、倒數(shù)的定義，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．4．（2022秋?新昌縣期末）若實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足，則a，b，c，d這四個(gè)實(shí)數(shù)中最大的是（）A．a(chǎn) B．b C．c D．d【分析】根據(jù)題目所給等式進(jìn)行依次變形，然后進(jìn)行比較即可得出答案．【解答】解：∵a﹣1＝b﹣，∴b＝a﹣1+，即b＞a，∵a﹣1＝c+1，∴a＝c+2，∴a＞c，∵c+1＝d+2，∴c＝d+1，即c＞d，∴b＞a＞c＞d，∴b最大．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)的加減及實(shí)數(shù)大小的比較，掌握實(shí)數(shù)大小的比較方法是關(guān)鍵．5．（2022秋?金華期末）若正數(shù)x滿足x2＝18，則下列整數(shù)中與x最接近的是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】估算的大小即可求解．【解答】解：∵正數(shù)x滿足x2＝18，∴，∵42＝16，4.52＝20.25，∴最接近4，∴x最接近的是4．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了無(wú)理數(shù)的估算，正確的估算的大小是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋?南潯區(qū)期末）估算的值大概在（）A．﹣1到0之間 B．0到1之間 C．1到2之間 D．2到3之間【分析】根據(jù)4＜7＜9，可得，即可求解．【解答】解：∵4＜7＜9，∴，∴的值大概在2到3之間．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了無(wú)理數(shù)的估算，熟練掌握無(wú)理數(shù)的估算方法是解題的關(guān)鍵．7．（2021秋?南潯區(qū)期末）下列關(guān)于的說(shuō)法中，正確的是（）A．是有理數(shù) B．是2的算術(shù)平方根 C．不是實(shí)數(shù) D．不是無(wú)理數(shù)【分析】利用實(shí)數(shù)，有理數(shù)無(wú)理數(shù)的定義，算術(shù)平方根判斷即可．【解答】解：是實(shí)數(shù)，是無(wú)理數(shù)，是2的算術(shù)平方根．∴只有B選項(xiàng)正確．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握實(shí)數(shù)，有理數(shù)無(wú)理數(shù)的定義，算術(shù)平方根．8．（2021秋?溫州期中）若有一個(gè)實(shí)數(shù)為，則它的相反數(shù)為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義化簡(jiǎn)即可得出答案．【解答】解：﹣（3﹣）＝﹣3+＝﹣3，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)的相反數(shù)，掌握一個(gè)數(shù)a的相反數(shù)是﹣a是解題的關(guān)鍵．9．（2022秋?拱墅區(qū)期末）如圖，面積為5的正方形ABCD的頂點(diǎn)A在數(shù)軸上，且表示的數(shù)為1，若點(diǎn)E在數(shù)軸上，（點(diǎn)E在點(diǎn)A的右側(cè)）且AB＝AE，則E點(diǎn)所表示的數(shù)為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)正方形的邊長(zhǎng)是面積的算術(shù)平方根得AD＝AE＝，結(jié)合A點(diǎn)所表示的數(shù)及AE間距離可得點(diǎn)E所表示的數(shù)．【解答】解：∵正方形ABCD的面積為5，且AD＝AE，∴AD＝AE＝，∵點(diǎn)A表示的數(shù)是1，且點(diǎn)E在點(diǎn)A右側(cè)，∴點(diǎn)E表示的數(shù)為1+．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸及兩點(diǎn)間距離，根據(jù)兩點(diǎn)間距離及點(diǎn)的位置判斷出點(diǎn)所表示的數(shù)是關(guān)鍵．10．（2020秋?鄞州區(qū)期末）實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示．若實(shí)數(shù)b滿足﹣a＜b＜a，則b的值可以是（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．2【分析】根據(jù)點(diǎn)b在數(shù)軸上的位置可求．【解答】解：將﹣a，b在數(shù)軸上表示出來(lái)如下：∵﹣a＜b＜a．∴b在﹣a和a之間．選項(xiàng)中只有﹣1符合條件．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系．找到﹣a的位置是求解本題的關(guān)鍵．二．填空題（共8小題）11．（2022秋?慈溪市期末）比較大?。海?．（填“＞”，“＝”或“＜”）【分析】直接利用估算無(wú)理數(shù)的大小的方法得出2＜＜3，進(jìn)而比較得出答案．【解答】解：∵2＜＜3，∴+1＞3，∴＞1．故答案為：＞．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了實(shí)數(shù)運(yùn)算，正確估算無(wú)理數(shù)的大小是解題關(guān)鍵．12．（2022秋?義烏市校級(jí)期中）比較大?。海?.5（填“＞”、“＜”或“＝”）．【分析】先比較它們的平方數(shù)，平方大的數(shù)就大．【解答】解：∵（）2＝7，2.52＝6.25，且7＞6.25，∴＞2.5，故答案為：＞．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)的比較，計(jì)算平方數(shù)是解題的關(guān)鍵．13．（2022秋?嘉興期末）如圖，已知數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)﹣1和，則A、B兩點(diǎn)間的距離為+1．【分析】根據(jù)“線段AB的長(zhǎng)＝|點(diǎn)B表示的數(shù)﹣點(diǎn)A表示的數(shù)|”列式計(jì)算即可．【解答】解：A、B兩點(diǎn)間的距離為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，掌握“線段AB的長(zhǎng)＝|點(diǎn)B表示的數(shù)﹣點(diǎn)A表示的數(shù)|”是解答本題的關(guān)鍵．14．（2022秋?杭州期中）＝4，1﹣π的相反數(shù)是π﹣1．【分析】利用算術(shù)平方根，相反數(shù)的意義，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：＝4，1﹣π的相反數(shù)是π﹣1，故答案為：4，π﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)的性質(zhì)，算術(shù)平方根，熟練掌握算術(shù)平方根，相反數(shù)的意義是解題的關(guān)鍵．15．（2023春?宣恩縣校級(jí)期中）比較大?。憨仸校缉?.14（選填“＞”、“＝”、“＜”）．【分析】先比較π和3.14的大小，再根據(jù)“兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小”即可比較﹣π＜﹣3.14的大?。窘獯稹拷猓阂?yàn)棣惺菬o(wú)理數(shù)所以π＞3.14，故﹣π＜﹣3.14．故填空答案：＜．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了實(shí)數(shù)的大小的比較，實(shí)數(shù)大小比較法則：（1）正數(shù)大于0，0大于負(fù)數(shù)，正數(shù)大于負(fù)數(shù)；（2）兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小．16．（2020秋?舟山期中）請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)大于﹣4而小于﹣3的無(wú)理數(shù)﹣（答案不唯一）．【分析】先找出﹣16到﹣9之間的一個(gè)數(shù)，再把其相反數(shù)進(jìn)行開(kāi)方即可求解【解答】解：∵﹣16＜﹣10＜﹣9，∴﹣＜﹣＜﹣，即：﹣4＜﹣＜﹣3．故答案為：﹣（答案不唯一）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是估算無(wú)理數(shù)的大小，屬開(kāi)放性題目，答案不唯一．17．（2022秋?越城區(qū)期中）設(shè)n為正整數(shù)，且，則n的值為8．【分析】估算出的取值范圍即可解答．【解答】解：∵64＜66＜81，∴，∵，∴n＝8．故答案為：8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了估算無(wú)理數(shù)的大小，掌握“夾逼法”，平方和開(kāi)平方互逆運(yùn)算是關(guān)鍵．18．（2022秋?海曙區(qū)校級(jí)期中）已知7+的整數(shù)部分是m，的小數(shù)部分是n，則m+n＝7+．【分析】先根據(jù)的范圍，推出7+的取值范圍，求出m，n的值，再代入求解．【解答】解：∵9＜13＜16，∴3＜＜4，∴10＜7+＜11∴m＝10，n＝﹣3，∴m+n＝10+﹣3＝7+．故答案為：7+．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了估算無(wú)理數(shù)的大?。和耆椒綌?shù)的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共5小題）19．（2022秋?濱江區(qū)校級(jí)期中）在數(shù)軸上表示下列各數(shù)，并把這些數(shù)按從小到大順序進(jìn)行排列，用“＜”連接；π，4，﹣1.5，0，﹣（不要求精確表示）【分析】先求出﹣的近似值，再在數(shù)軸上表示出各數(shù)，并把這些數(shù)按從小到大順序進(jìn)行排列，用“＜”連接起來(lái)即可．【解答】解：﹣≈﹣1.414，如圖，故﹣1.5＜﹣＜0＜π＜4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是有理數(shù)的大小比較，熟知數(shù)軸上右邊的數(shù)比左邊的大是解題的關(guān)鍵．20．（2022秋?北侖區(qū)期中）如圖，一只螞蟻從A點(diǎn)沿?cái)?shù)軸向右直爬2個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)B，點(diǎn)A表示﹣，設(shè)點(diǎn)B所表示的數(shù)為m，（1）求m的值．（