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第一章計數(shù)原理課時作業(yè)1分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理時間:45分鐘——基礎(chǔ)鞏固類——一、選擇題1.從甲地到乙地一天有汽車8班,火車3班,輪船2班.某人從甲地到乙地,他共有不同的走法數(shù)為(A)A.13B.16C.24D.48解析:依據(jù)分類加法計數(shù)原理知,他共有不同的走法數(shù)為8+3+2=13.故選A.2.一個袋子里放有6個球,另一個袋子里放有8個球,每個球各不相同,從兩個袋子里各取1個球,不同取法的種數(shù)為(C)A.182B.14C.48D.91解析:依據(jù)分步乘法計數(shù)原理得,不同取法的種數(shù)為6×8=48,故選C.3.有7名女同學(xué)和9名男同學(xué),組成班級乒乓球混合雙打代表隊,共可組成(D)A.7隊B.8隊C.15隊D.63隊解析:由分步乘法計數(shù)原理,可知共組成7×9=63(隊).4.從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種,分別種在不同土質(zhì)的三塊土地上.其中黃瓜必需種植,不同的種植方法有(B)A.24種B.18種C.12種D.6種解析:解法一:第一步,選出3種蔬菜,由于黃瓜必選,所以選法有3種;其次步,將選出的3種蔬菜種植在3塊土地上,種法有3×2×1=6(種),所以共有種植方法3×6=18(種),所以選擇B.解法二:特別元素優(yōu)先考慮,由于黃瓜必需種植,所以整個種植過程分兩步進(jìn)行.第一步,種黃瓜,有3種方法;其次步,從白菜、油菜、扁豆中選兩種種植在剩下的兩塊土地上,有3×2=6(種).所以共有種植方法3×6=18(種),所以選擇B.解法三:解除法:先計算從4種蔬菜中選3種種在3塊不同的土地上,有4×3×2=24(種)方法;再計算從除黃瓜外3種蔬菜種在3塊不同的土地上有3×2×1=6(種)方法.所以,黃瓜必種的方法有24-6=18(種)方法.5.由數(shù)字1,2,3,4,5組成的無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)的個數(shù)為(C)A.8B.24C.48D.120解析:要完成“組成無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)”這件事,需分以下4步:第一步:確定個位數(shù)字,可以從2和4中選1個,有2種選法.其次步:確定十位數(shù)字,可以從余下的4個數(shù)字中任取1個,有4種選法.第三步:確定百位數(shù)字,可以從余下的3個數(shù)字中任取1個,有3種選法.第四步:確定千位數(shù)字,可以從余下的2個數(shù)字中任取1個,有2種選法.依據(jù)乘法原理,符合題意的四位偶數(shù)共有2×4×3×2=48個.故選C.6.一植物園參觀路徑如圖所示,若要全部參觀并且路途不重復(fù),則不同的參觀路途種類共有(D)A.6種 B.8種C.36種 D.48種解析:參觀路途分步完成:第一步選擇三個“環(huán)形”路途中的一個,有3種方法,再按逆時針或順時針方向參觀有2種方法;其次步選擇余下兩個“環(huán)形”路途中的一個,有2種方法,也按逆時針或順時針方向參觀有2種方法;最終一個“環(huán)形”路途,也按逆時針或順時針方向參觀有2種方法.由分步計數(shù)原理知,共有3×2×2×2×2=48(種)方法.7.如下圖所示的陰影部分由方格紙上3個小方格組成,我們稱這樣的圖案為“L”型(每次旋轉(zhuǎn)90°仍為“L”型圖案),那么在由4×5個小方格組成的方格紙上可以畫出不同位置的“L”型圖案的個數(shù)是(C)A.16B.32C.48D.64解析:每4個小方格(“2×2”型)中有“L”型圖案4個,題中方格紙共有“2×2”型小方格12個,所以共有“L”型圖案4×12=48個.8.有4位老師在同一年級的4個班中各教1個班的數(shù)學(xué).在數(shù)學(xué)檢測時要求每位老師不能在本班監(jiān)考,則監(jiān)考的方法有(B)A.8種B.9種C.10種D.11種解析:設(shè)4位監(jiān)考老師分別為A,B,C,D,所教班分別為a,b,c,d,假設(shè)A監(jiān)考b,則余下3人監(jiān)考剩下的3個班,共有3種不同方法.同理A監(jiān)考c,d時,也分別有3種不同方法.由分類加法計數(shù)原理,監(jiān)考的方法共有3+3+3=9(種).二、填空題9.5位同學(xué)報名參與兩個課外活動小組,每位同學(xué)限報其中的一個小組,則報名方法共有32種.解析:本題關(guān)鍵在于弄清晰要完成的事情是什么,在這里是5位同學(xué)(設(shè)為甲、乙、丙、丁、戊)報名參與兩個課外活動小組,因而完成這件事須要分5步:第一步:甲同學(xué)報名參與課外活動小組,有2種報名方法.其次步:乙同學(xué)報名參與課外活動小組,有2種報名方法.……第五步:戊同學(xué)報名參與課外活動小組,有2種報名方法.依據(jù)乘法原理,滿意條件的報名方法共有2×2×2×2×2=32(種).10.五個工程隊承建某工程的五個不同的子項(xiàng)目,每個工程隊承建1項(xiàng),其中甲工程隊不能承建1號子項(xiàng)目,則不同的承建方案共有96種.解析:分5步.第1步:甲工程隊選一個子項(xiàng)目,有4種選法;第2步:乙工程隊選一個子項(xiàng)目.有4種選法;第3步:丙工程隊選一個子項(xiàng)目,有3種選法;第4步:丁工程隊選一個子項(xiàng)目,有2種選法;第5步:戊工程隊選一個子項(xiàng)目,有1種選法.由分步乘法計數(shù)原理,共有4×4×3×2×1=96種不同的承建方案.11.如下圖,從A→C,有6種不同的走法(假設(shè)不能由B到A).解析:從A→C共分兩類,第一類不過B點(diǎn),有2種方法.其次類過B點(diǎn),有4種方法.由分類加法計數(shù)原理得共有2+4=6種方法.三、解答題12.設(shè)橢圓eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1,其中a,b∈{1,2,3,4,5}.(1)求滿意條件的橢圓的個數(shù);(2)假如橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,求橢圓的個數(shù).解:(1)由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知a≠b,要確定一個橢圓,只要把a(bǔ),b一一確定下來這個橢圓就確定了.∴要確定一個橢圓共分兩步:第一步確定a,有5種方法;其次步確定b,有4種方法,共有5×4=20個橢圓.(2)要使焦點(diǎn)在x軸上,必需a>b,故可以分類:a=2,3,4,5時,b的取值列表如下:a2345b11,21,2,31,2,3,4故共有1+2+3+4=10個橢圓.13.現(xiàn)有5幅不同的國畫,2幅不同的油畫,7幅不同的水彩畫.(1)從中任選一幅畫布置房間,有幾種不同的布置方法?(2)從這些國畫、油畫、水彩畫中各選一幅布置房間,有幾種不同的布置方法?(3)從這些畫中任選兩幅不同種類的畫布置房間,有幾種不同的布置方法?解:(1)分為三類:從國畫中選,有5種不同的方法;從油畫中選,有2種不同的方法;從水彩畫中選,有7種不同的方法.依據(jù)分類加法計數(shù)原理共有5+2+7=14(種)不同的方法.(2)分為三步:國畫、油畫、水彩畫各有5種、2種、7種不同的選法,依據(jù)分步乘法計數(shù)原理,共有5×2×7=70(種)不同的布置方法.(3)分為三類:第一類是一幅選自國畫,一幅選自油畫.由分步乘法計數(shù)原理知,有5×2=10(種)不同的選法.其次類是一幅選自國畫,一幅選自水彩畫,有5×7=35(種)不同的選法.第三類是一幅選自油畫,一幅選自水彩畫,有2×7=14(種)不同的選法,所以共有10+35+14=59(種)不同的布置方法.——實(shí)力提升類——14.如下圖所示,在A,B之間有4個焊接點(diǎn),分別為1,2,3,4.若焊接點(diǎn)脫落,則可能導(dǎo)致線路不通.若A,B之間線路不通,則焊接點(diǎn)脫落的不同狀況有13種.解析:每個焊接點(diǎn)都有脫落與未脫落兩種狀況,A,B之間線路不通可能是1個或多個焊接點(diǎn)脫落,若以此進(jìn)行分類,則問題比較困難.但是A,B之間線路通的狀況只有3種,即焊接點(diǎn)1,4未脫落且焊接點(diǎn)2和3中至少有一個未脫落,因?yàn)槊總€焊接點(diǎn)只有脫落與未脫落兩種狀況,故A,B之間線路不通時,焊接點(diǎn)脫落的不同狀況共有24-3=13種.15.有一項(xiàng)活動,需在3名老師,8名男同學(xué)和5名女同學(xué)中選人參與.(1)若只需一人參與,有多少種不同方法?(2)若需老師、男同學(xué)、女同學(xué)各一人參與,有多少種不同選法?(3)若需一名老師,一名學(xué)生參與,有多少種不同選法?解:(1)有三類選人的方法:3名老師中選一人,有3種方法;8名男同學(xué)中選一人,有8種方法;5名女同學(xué)中選一人,有5種方法.依據(jù)分類加法計數(shù)原理,共有3+8+5=16(種)選法.(2)分三步
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