2024-2025學年高中數(shù)學第一章計數(shù)原理課時作業(yè)11.1分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理含解析北師大版選修2-3

第一章計數(shù)原理課時作業(yè)1分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理時間：45分鐘——基礎鞏固類——一、選擇題1．從甲地到乙地一天有汽車8班，火車3班，輪船2班．某人從甲地到乙地，他共有不同的走法數(shù)為(A)A．13B．16C．24D．48解析：依據(jù)分類加法計數(shù)原理知，他共有不同的走法數(shù)為8＋3＋2＝13.故選A.2．一個袋子里放有6個球，另一個袋子里放有8個球，每個球各不相同，從兩個袋子里各取1個球，不同取法的種數(shù)為(C)A．182B．14C．48D．91解析：依據(jù)分步乘法計數(shù)原理得，不同取法的種數(shù)為6×8＝48，故選C.3．有7名女同學和9名男同學，組成班級乒乓球混合雙打代表隊，共可組成(D)A．7隊B．8隊C．15隊D．63隊解析：由分步乘法計數(shù)原理，可知共組成7×9＝63(隊)．4．從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種，分別種在不同土質的三塊土地上．其中黃瓜必需種植，不同的種植方法有(B)A．24種B．18種C．12種D．6種解析：解法一：第一步，選出3種蔬菜，由于黃瓜必選，所以選法有3種；其次步，將選出的3種蔬菜種植在3塊土地上，種法有3×2×1＝6(種)，所以共有種植方法3×6＝18(種)，所以選擇B.解法二：特別元素優(yōu)先考慮，由于黃瓜必需種植，所以整個種植過程分兩步進行．第一步，種黃瓜，有3種方法；其次步，從白菜、油菜、扁豆中選兩種種植在剩下的兩塊土地上，有3×2＝6(種)．所以共有種植方法3×6＝18(種)，所以選擇B.解法三：解除法：先計算從4種蔬菜中選3種種在3塊不同的土地上，有4×3×2＝24(種)方法；再計算從除黃瓜外3種蔬菜種在3塊不同的土地上有3×2×1＝6(種)方法．所以，黃瓜必種的方法有24－6＝18(種)方法．5．由數(shù)字1,2,3,4,5組成的無重復數(shù)字的四位偶數(shù)的個數(shù)為(C)A．8B．24C．48D．120解析：要完成“組成無重復數(shù)字的四位偶數(shù)”這件事，需分以下4步：第一步：確定個位數(shù)字，可以從2和4中選1個，有2種選法．其次步：確定十位數(shù)字，可以從余下的4個數(shù)字中任取1個，有4種選法．第三步：確定百位數(shù)字，可以從余下的3個數(shù)字中任取1個，有3種選法．第四步：確定千位數(shù)字，可以從余下的2個數(shù)字中任取1個，有2種選法．依據(jù)乘法原理，符合題意的四位偶數(shù)共有2×4×3×2＝48個．故選C.6.一植物園參觀路徑如圖所示，若要全部參觀并且路途不重復，則不同的參觀路途種類共有(D)A．6種 B．8種C．36種 D．48種解析：參觀路途分步完成：第一步選擇三個“環(huán)形”路途中的一個，有3種方法，再按逆時針或順時針方向參觀有2種方法；其次步選擇余下兩個“環(huán)形”路途中的一個，有2種方法，也按逆時針或順時針方向參觀有2種方法；最終一個“環(huán)形”路途，也按逆時針或順時針方向參觀有2種方法．由分步計數(shù)原理知，共有3×2×2×2×2＝48(種)方法．7．如下圖所示的陰影部分由方格紙上3個小方格組成，我們稱這樣的圖案為“L”型(每次旋轉90°仍為“L”型圖案)，那么在由4×5個小方格組成的方格紙上可以畫出不同位置的“L”型圖案的個數(shù)是(C)A．16B．32C．48D．64解析：每4個小方格(“2×2”型)中有“L”型圖案4個，題中方格紙共有“2×2”型小方格12個，所以共有“L”型圖案4×12＝48個．8．有4位老師在同一年級的4個班中各教1個班的數(shù)學．在數(shù)學檢測時要求每位老師不能在本班監(jiān)考，則監(jiān)考的方法有(B)A．8種B．9種C．10種D．11種解析：設4位監(jiān)考老師分別為A，B，C，D，所教班分別為a，b，c，d，假設A監(jiān)考b，則余下3人監(jiān)考剩下的3個班，共有3種不同方法．同理A監(jiān)考c，d時，也分別有3種不同方法．由分類加法計數(shù)原理，監(jiān)考的方法共有3＋3＋3＝9(種)．二、填空題9．5位同學報名參與兩個課外活動小組，每位同學限報其中的一個小組，則報名方法共有32種．解析：本題關鍵在于弄清晰要完成的事情是什么，在這里是5位同學(設為甲、乙、丙、丁、戊)報名參與兩個課外活動小組，因而完成這件事須要分5步：第一步：甲同學報名參與課外活動小組，有2種報名方法．其次步：乙同學報名參與課外活動小組，有2種報名方法．……第五步：戊同學報名參與課外活動小組，有2種報名方法．依據(jù)乘法原理，滿意條件的報名方法共有2×2×2×2×2＝32(種)．10．五個工程隊承建某工程的五個不同的子項目，每個工程隊承建1項，其中甲工程隊不能承建1號子項目，則不同的承建方案共有96種．解析：分5步．第1步：甲工程隊選一個子項目，有4種選法；第2步：乙工程隊選一個子項目．有4種選法；第3步：丙工程隊選一個子項目，有3種選法；第4步：丁工程隊選一個子項目，有2種選法；第5步：戊工程隊選一個子項目，有1種選法．由分步乘法計數(shù)原理，共有4×4×3×2×1＝96種不同的承建方案．11．如下圖，從A→C，有6種不同的走法(假設不能由B到A)．解析：從A→C共分兩類，第一類不過B點，有2種方法．其次類過B點，有4種方法．由分類加法計數(shù)原理得共有2＋4＝6種方法．三、解答題12．設橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，其中a，b∈{1,2,3,4,5}．(1)求滿意條件的橢圓的個數(shù)；(2)假如橢圓的焦點在x軸上，求橢圓的個數(shù)．解：(1)由橢圓的標準方程知a≠b，要確定一個橢圓，只要把a，b一一確定下來這個橢圓就確定了．∴要確定一個橢圓共分兩步：第一步確定a，有5種方法；其次步確定b，有4種方法，共有5×4＝20個橢圓．(2)要使焦點在x軸上，必需a>b，故可以分類：a＝2,3,4,5時，b的取值列表如下：a2345b11,21,2,31,2,3,4故共有1＋2＋3＋4＝10個橢圓．13．現(xiàn)有5幅不同的國畫，2幅不同的油畫，7幅不同的水彩畫．(1)從中任選一幅畫布置房間，有幾種不同的布置方法？(2)從這些國畫、油畫、水彩畫中各選一幅布置房間，有幾種不同的布置方法？(3)從這些畫中任選兩幅不同種類的畫布置房間，有幾種不同的布置方法？解：(1)分為三類：從國畫中選，有5種不同的方法；從油畫中選，有2種不同的方法；從水彩畫中選，有7種不同的方法．依據(jù)分類加法計數(shù)原理共有5＋2＋7＝14(種)不同的方法．(2)分為三步：國畫、油畫、水彩畫各有5種、2種、7種不同的選法，依據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有5×2×7＝70(種)不同的布置方法．(3)分為三類：第一類是一幅選自國畫，一幅選自油畫．由分步乘法計數(shù)原理知，有5×2＝10(種)不同的選法．其次類是一幅選自國畫，一幅選自水彩畫，有5×7＝35(種)不同的選法．第三類是一幅選自油畫，一幅選自水彩畫，有2×7＝14(種)不同的選法，所以共有10＋35＋14＝59(種)不同的布置方法．——實力提升類——14．如下圖所示，在A，B之間有4個焊接點，分別為1,2,3,4.若焊接點脫落，則可能導致線路不通．若A，B之間線路不通，則焊接點脫落的不同狀況有13種．解析：每個焊接點都有脫落與未脫落兩種狀況，A，B之間線路不通可能是1個或多個焊接點脫落，若以此進行分類，則問題比較困難．但是A，B之間線路通的狀況只有3種，即焊接點1,4未脫落且焊接點2和3中至少有一個未脫落，因為每個焊接點只有脫落與未脫落兩種狀況，故A，B之間線路不通時，焊接點脫落的不同狀況共有24－3＝13種．15．有一項活動，需在3名老師，8名男同學和5名女同學中選人參與．(1)若只需一人參與，有多少種不同方法？(2)若需老師、男同學、女同學各一人參與，有多少種不同選法？(3)若需一名老師，一名學生參與，有多少種不同選法？解：(1)有三類選人的方法：3名老師中選一人，有3種方法；8名男同學中選一人，有8種方法；5名女同學中選一人，有5種方法．依據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有3＋8＋5＝16(種)選法．(2)分三步