2025屆高考數學一輪復習第7章空間幾何體的結構及其三視圖和直觀圖第1講空間幾何體的結構及其三視圖和直觀圖創(chuàng)新教學案含解析新人教版

PAGE26-第1講空間幾何體的結構及其三視圖和直觀圖[考綱解讀]1.相識柱、錐、臺、球及其簡潔組合體的結構特征，并能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡潔物體的結構．2．能畫出簡潔空間幾何體的三視圖，并能依據三視圖識別幾何體，會用斜二測畫法畫出它們的直觀圖．(重點、難點)[考向預料]從近三年高考狀況來看，本講始終是高考的重點內容之一．預料2024年會一如既往地進行考查，以三視圖和直觀圖的聯(lián)系與轉化為主要命題方向，考查題型有：①依據三視圖還原幾何體；②依據幾何體求體積．試題以客觀題形式呈現(xiàn)，難度一般不大，屬中檔題.1.多面體的結構特征名稱棱柱棱錐棱臺圖形底面相互eq\o(□,\s\up1(01))平行且eq\o(□,\s\up1(02))相等多邊形相互eq\o(□,\s\up1(03))平行側棱eq\o(□,\s\up1(04))平行且相等相交于eq\o(□,\s\up1(05))一點，但不肯定相等延長線交于eq\o(□,\s\up1(06))一點側面形態(tài)eq\o(□,\s\up1(07))平行四邊形eq\o(□,\s\up1(08))三角形eq\o(□,\s\up1(09))梯形2．旋轉體的結構特征名稱圓柱圓錐圓臺球圖形母線相互平行且相等，eq\o(□,\s\up1(01))垂直于底面相交于eq\o(□,\s\up1(02))一點延長線交于eq\o(□,\s\up1(03))一點—軸截面全等的eq\o(□,\s\up1(04))矩形全等的eq\o(□,\s\up1(05))等腰三角形全等的eq\o(□,\s\up1(06))等腰梯形eq\o(□,\s\up1(07))圓3．直觀圖(1)畫法：常用eq\o(□,\s\up1(01))斜二測畫法．(2)規(guī)則①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸與y′軸的夾角為45°(或135°)，z′軸與x′軸(或y′軸)eq\o(□,\s\up1(02))垂直．②原圖形中平行于坐標軸的線段，直觀圖中仍eq\o(□,\s\up1(03))平行于坐標軸．平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度eq\o(□,\s\up1(04))不變，平行于y軸的線段的長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼膃q\o(□,\s\up1(05))一半．4．三視圖(1)幾何體的三視圖包括eq\o(□,\s\up1(01))正視圖、eq\o(□,\s\up1(02))側視圖、eq\o(□,\s\up1(03))俯視圖，分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方視察幾何體畫出的輪廓線．(2)三視圖的畫法①基本要求：長對正，高平齊，寬相等．②畫法規(guī)則：eq\o(□,\s\up1(04))正側一樣高，eq\o(□,\s\up1(05))正俯一樣長，eq\o(□,\s\up1(06))側俯一樣寬；看不到的線畫虛線．1．概念辨析(1)棱柱的側棱都相等，側面都是全等的平行四邊形．()(2)有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐．()(3)棱臺各側棱的延長線交于一點．()(4)夾在圓柱的兩個平行截面間的幾何體還是旋轉體．()答案(1)×(2)×(3)√(4)×2．小題熱身(1)如圖所示，在三棱臺A′B′C′－ABC中，沿A′BC截去三棱錐A′－ABC，則剩余的部分是()A．三棱錐 B．四棱錐C．三棱柱 D．組合體答案B解析剩余的部分是四棱錐A′－B′C′CB.(2)用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所示的一個正方形，則原來的圖形是()答案A解析由斜二測畫法的原理可知．(3)若一個三棱柱的三視圖如圖所示，其俯視圖為正三角形，則這個三棱柱的高和底面邊長分別為()A．2,2eq\r(3) B．2eq\r(2)，2C．4,2 D．2,4答案D解析由三視圖可知，正三棱柱的高為2，底面正三角形的高為2eq\r(3)，故底面邊長為4，故選D.(4)如圖，長方體ABCD－A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′，則剩下的幾何體是________，截去的幾何體是________．答案五棱柱三棱柱題型一空間幾何體的結構特征下列結論正確的個數是________．①有兩個平面相互平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱；②棱錐的側棱長與底面多邊形的邊長相等，則此棱錐可能是六棱錐；③有兩個平面相互平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺；④直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉一周所形成的幾何體都是圓錐；⑤若在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓柱的母線．答案0解析①③④錯誤，反例見下面三個圖．②錯誤，若六棱錐的全部棱長都相等，則底面多邊形是正六邊形．由幾何圖形知，若以正六邊形為底面，側棱長必定要大于底面邊長．⑤錯誤，平行于軸的連線才是母線．識別空間幾何體的兩種方法(1)定義法：緊扣定義，由已知構建幾何模型，在條件不變的狀況下，變換模型中的線面關系或增加線、面等基本要素，依據定義進行判定．(2)反例法：通過反例對結構特征進行辨析，要說明一個結論是錯誤的，只要舉出一個反例即可．(2024·青島模擬)以下命題：①以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓臺；②圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓面；③一個平面截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺．其中正確命題的個數為()A．0 B．1C．2 D．3答案B解析由圓臺的定義可知①錯誤，②正確．對于命題③，只有平行于圓錐底面的平面截圓錐，才能得到一個圓錐和一個圓臺，③錯誤．

題型二空間幾何體的直觀圖(2024·桂林模擬)已知正三角形ABC的邊長為a，那么△ABC的平面直觀圖△A′B′C′的面積為()A.eq\f(\r(3),4)a2 B.eq\f(\r(3),8)a2C.eq\f(\r(6),8)a2 D.eq\f(\r(6),16)a2答案D解析如圖(1)所示的是△ABC的實際圖形，圖(2)是△ABC的直觀圖．由圖(2)可知A′B′＝AB＝a，O′C′＝eq\f(1,2)OC＝eq\f(\r(3),4)a，在圖(2)中作C′D′⊥A′B′于點D′，則C′D′＝eq\f(\r(2),2)O′C′＝eq\f(\r(6),8)a.∴S△A′B′C′＝eq\f(1,2)A′B′·C′D′＝eq\f(1,2)×a×eq\f(\r(6),8)a＝eq\f(\r(6),16)a2.故選D.條件探究將本例中的條件變?yōu)椤啊鰽BC的直觀圖△A1B1C1是邊長為a的正三角形”，則△ABC答案eq\f(\r(6),2)a2解析如圖(1)所示的是△ABC的直觀圖，圖(2)是△ABC的實際圖形．在圖(1)中作C1D1∥y1軸，交x1軸于點D1，在圖(2)中作CD⊥x軸，交x軸于點D，設C1D1＝x，則CD＝2x.在△A1D1C1中，由正弦定理eq\f(a,sin45°)＝eq\f(x,sin120°)，得x＝eq\f(\r(6),2)a，∴S△ABC＝eq\f(1,2)AB·CD＝eq\f(1,2)×a×eq\r(6)a＝eq\f(\r(6),2)a2.用斜二測畫法畫直觀圖的技巧(1)在原圖形中與x軸或y軸平行的線段在直觀圖中仍舊與x′軸或y′軸平行．(2)原圖中不與坐標軸平行的直線段可以先畫出線段的端點再連線．(3)原圖中的曲線段可以通過取一些關鍵點，作出在直觀圖中的相應點，然后用平滑曲線連接．(2024·福州調研)已知等腰梯形ABCD，上底CD＝1，腰AD＝CB＝eq\r(2)，下底AB＝3，以下底所在直線為x軸，則由斜二測畫法畫出的直觀圖A′B′C′D′的面積為________．答案eq\f(\r(2),2)解析如圖所示，圖(1)是等腰梯形ABCD的實際圖形，O為AB的中點，圖(2)是等腰梯形ABCD的直觀圖．在圖(2)中作E′F⊥x′軸，交x′軸于F，因為OE＝eq\r(\r(2)2－1)＝1，所以O′E′＝eq\f(1,2)，E′F＝eq\f(\r(2),4)，則直觀圖A′B′C′D′的面積S′＝eq\f(1＋3,2)×eq\f(\r(2),4)＝eq\f(\r(2),2).題型三空間幾何體的三視圖角度1已知幾何體識別三視圖1．(2024·全國卷Ⅲ)中國古建筑借助榫卯將木構件連接起來，構件的凸出部分叫榫頭，凹進部分叫卯眼，圖中木構件右邊的小長方體是榫頭．若如圖擺放的木構件與某一帶卯眼的木構件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構件的俯視圖可以是()答案A解析視察圖形易知卯眼處應以虛線畫出，俯視圖為，故選A.角度2已知三視圖還原幾何體2．(2024·全國卷Ⅰ)某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如右圖．圓柱表面上的點M在正視圖上的對應點為A，圓柱表面上的點N在左視圖上的對應點為B，則在此圓柱側面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為()A．2eq\r(17) B．2eq\r(5)C．3 D．2答案B解析依據圓柱的三視圖以及其本身的特征，可以確定點M和點N分別在以圓柱的高為長方形的寬、圓柱底面圓周長的四分之一為長的長方形的對角線的端點處，所以所求的最短路徑的長度為eq\r(42＋22)＝2eq\r(5)，故選B.角度3已知三視圖中的部分視圖，推斷其他視圖3．把邊長為1的正方形ABCD沿對角線BD折起，使得平面ABD⊥平面CBD，形成的三棱錐C－ABD的正視圖與俯視圖如圖所示，則側視圖的面積為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(2),4) D.eq\f(1,4)答案D解析由三棱錐C－ABD的正視圖、俯視圖得三棱錐C－ABD的側視圖為直角邊長是eq\f(\r(2),2)的等腰直角三角形，其形態(tài)如圖所示，所以三棱錐C－ABD的側視圖的面積為eq\f(1,4).三視圖問題的常見類型及解題策略(1)由幾何體的直觀圖求三視圖．留意視察方向，留意能看到的部分用實線表示，不能看到的部分用虛線表示．(2)由幾何體的三視圖還原幾何體的形態(tài)．要熟識柱、錐、臺、球的三視圖，明確三視圖的形成原理，結合空間想象將三視圖還原為實物圖．(3)由幾何體的部分視圖畫出剩余的部分視圖．先依據已知的一部分三視圖，還原、推想直觀圖的可能形態(tài)，然后再找其剩下部分三視圖的可能形態(tài)．當然作為選擇題，也可將選項逐項代入，再看看給出的部分三視圖是否符合．1．如圖1所示，是一個棱長為2的正方體被削去一個角后所得到的幾何體的直觀圖，其中DD1＝1，AB＝BC＝AA1＝2，若此幾何體的俯視圖如圖2所示，則可以作為其正視圖的是()答案C解析由直觀圖和俯視圖知，其正視圖的長應為底面正方形的對角線長，寬應為正方體的棱長，故解除B，D，又正視圖中點D1的射影是B1，側棱BB1是看不見的，在正視圖中用虛線表示，所以正視圖是C中的圖形．故選C.2．(2024·河北衡水中學調研)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱BB1的中點，用過點A，E，C1答案C解析如圖所示，過點A，E，C1的截面為AEC1F3．(2024·北京高考)某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長棱的長度為()A．3eq\r(2) B．2eq\r(3)C．2eq\r(2) D．2答案B解析在正方體中還原該四棱錐，如圖所示，可知SD為該四棱錐的最長棱．由三視圖可知正方體的棱長為2，故SD＝eq\r(22＋22＋22)＝2eq\r(3).故選B.組基礎關1．某幾何體的正視圖和側視圖均為如圖所示的圖形，則在下圖的四個圖中可以作為該幾何體的俯視圖的是()A．①③ B．①④C．②④ D．①②③④答案A解析由正視圖和側視圖知，該幾何體為球與正四棱柱或球與圓柱體的組合體，故①③正確．2．如圖，直觀圖所表示的平面圖形是()A．正三角形B．銳角三角形C．鈍角三角形D．直角三角形答案D解析由直觀圖可知，其表示的平面圖形△ABC中AC⊥BC，所以△ABC是直角三角形．3．日晷是中國古代利用日影測得時刻的一種計時工具，又稱“日規(guī)”．通常由銅制的指針和石制的圓盤組成，銅制的指針叫做“晷針”，垂直地穿過圓盤中心，石制的圓盤叫做“晷面”，它放在石臺上，其原理就是利用太陽的投影方始終測定并劃分時刻．利用日晷計時的方法是人類在天文計時領域的重大獨創(chuàng)，這項獨創(chuàng)被人類沿用達幾千年之久．上圖是一位游客在故宮中拍到的一個日晷照片，假設相機鏡頭正對的方向為正方向，則依據圖片推斷此日晷的側視圖可能為()答案D解析因為相機鏡頭正對的方向為正方向，所以側視圖中圓盤為橢圓，指針上半部分為實線，下半部分為虛線，故選D.4．如圖所示，四面體ABCD的四個頂點是長方體的四個頂點(長方體是虛擬圖形，起協(xié)助作用)，則四面體ABCD的三視圖是(用①②③④⑤⑥代表圖形)()A．①②⑥ B．①②③C．④⑤⑥ D．③④⑤答案B解析正視圖應當是邊長為3和4的矩形，其對角線左下到右上是實線，左上到右下是虛線，因此正視圖是①，側視圖應當是邊長為5和4的矩形，其對角線左上到右下是實線，左下到右上是虛線，因此側視圖是②；俯視圖應當是邊長為3和5的矩形，其對角線左上到右下是實線，左下到右上是虛線，因此俯視圖是③.5.若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的直觀圖可以是()答案D解析由三視圖知該幾何體的上半部分是一個三棱柱，下半部分是一個四棱柱．故選D.6．(2024·四川省南充中學模擬)在正方體中，M，N，P分別為棱DD1，A1D1，A1B1的中點(如圖)，用過點M，N，P的平面截去該正方體的頂點C1所在的部分，則剩余幾何體的正視圖為()答案B解析由已知可知過點M，N，P的截面是過正方體棱BB1，BC，CD的中點的正六邊形，所以剩余幾何體如圖所示，其正視圖應是選項B.7．用若干塊相同的小正方體搭成一個幾何體，該幾何體的三視圖如圖所示，則搭成該幾何體須要的小正方體的塊數是()A．8 B．7C．6 D．5答案C解析畫出直觀圖可知，共須要6塊．8．如圖，點O為正方體ABCD－A′B′C′D′的中心，點E為平面B′BCC′的中心，點F為B′C′的中點，則空間四邊形D′OEF在該正方體的各個面上的投影可能是________(填出全部可能的序號)．答案①②③解析空間四邊形D′OEF在正方體的平面DCC′D′上的投影是①；在平面BCC′B′上的投影是②；在平面ABCD上的投影是③，而不行能出現(xiàn)的投影為④的狀況．9．(2024·福州質檢)如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫的是某幾何體的三視圖，則此幾何體各面中直角三角形的個數是________．答案4解析由三視圖可得該幾何體是如圖所示的四棱錐P－ABCD，由圖易知四個側面都是直角三角形，故此幾何體各面中直角三角形有4個．10．如圖，一立在水平地面上的圓錐形物體的母線長為4m，一只小蟲從圓錐的底面圓上的點P動身，繞圓錐表面爬行一周后回到點P處．若該小蟲爬行的最短路程為4eq\r(2)m，則圓錐底面圓的半徑等于________m.答案1解析把圓錐側面沿過點P的母線綻開成如圖所示的扇形，由題意知OP＝4m，PP′＝4eq\r(2)m，則cos∠POP′＝eq\f(42＋42－4\r(2)2,2×4×4)＝0，且∠POP′是三角形的內角，所以∠POP′＝eq\f(π,2).設底面圓的半徑為rcm，則2πr＝eq\f(π,2)×4，所以r＝1.組實力關1．“牟合方蓋”(如圖1)是我國古代數學家劉徽在探討球的體積的過程中構造的一個和諧美麗的幾何體．它由完全相同的四個曲面構成，相對的兩個曲面在同一個圓柱的側面上，好像兩個扣合(牟合)在一起的方形傘(方蓋)．其直觀圖如圖2所示，圖中四邊形是為體現(xiàn)其直觀性所作的協(xié)助線，其實際直觀圖中四邊形不存在，當其正視圖和側視圖完全相同時，它的正視圖和俯視圖分別可能是()A．a，b B．a，cC．c，b D．b，d答案A解析當正視圖和側視圖均為圓時，有兩種狀況，一種正視圖為a，此時俯視圖為b；另一種狀況的正視圖和俯視圖如下圖所示．故選A.2．一個幾何體的三視圖如圖所示，在該幾何體的各個面中，面積最小的面的面積為()A．8 B．4C．4eq\r(3) D．4eq\r(2)答案D解析由三視圖可知該幾何體的直觀圖如圖所示，由三視圖特征可知，PA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AB＝AC＝4，DB＝2，則易得S△PAC＝S△ABC＝8，S△CPD＝12，S梯形ABDP＝12，S△BCD＝eq\f(1,2)×4eq\r(2)×2＝4eq\r(2)，故選D.3．(2024·江西贛州摸底)某幾何體的正視圖和側視圖如圖1，它的俯視圖的直觀圖是矩形O1A1B1C1，如圖2，其中O1A1＝6，OA．48 B．64C．96 D．128答案C解析由題圖2及斜二測畫法可知原俯視圖為如圖所示的平行四邊形OABC，設CB與y軸的交點為D，則易知CD＝2，OD＝2×2eq\r(2)＝4eq\r(2)，∴CO＝eq\r(CD2＋OD2)＝6＝OA，∴俯視圖是以6為邊長的菱形，由三視圖知幾何體為一個直四棱柱，其高為4，所以該幾何體的側面積為4×6×4＝96.故選C.4.(2024·石家莊質檢)一個三棱錐的正視圖和俯視圖如圖所示，則該三棱錐的側視圖可能為()答案D解析由題圖可知，該幾何體為如圖所示的三棱錐，其中平面ACD⊥平面BCD.所以該三棱錐的側視圖可能為D項．5．(2024·河南鄭州質檢)某三棱錐的三視圖如圖所示，且三個三角形均為直角三角形，則xy的最大值為_____