2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第1章集合與常用邏輯用語1.1集合1.1.3集合的基本運(yùn)算第1課時交集和并集學(xué)案含解析新人教B版必修第一冊

PAGE5-1.1.3集第1課時交集和并集學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.理解兩個集合交集與并集的含義，會求兩個簡潔集合的交集和并集．(重點、難點)2．能運(yùn)用維恩圖、數(shù)軸表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算，體會圖示對理解抽象概念的作用．(難點)1.通過理解集合交集、并集的概念，提升數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng)．2．借助維恩圖培育直觀想象的素養(yǎng)．某班有學(xué)生20人，他們的學(xué)號分別是1，2，3，…，20，有a，b兩本新書，已知學(xué)號是偶數(shù)的讀過新書a，學(xué)號是3的倍數(shù)的讀過新書b.問題(1)同時讀了a，b兩本書的有哪些同學(xué)？(2)問至少讀過一本書的有哪些同學(xué)？1．交集自然語言一般地，給定兩個集合A，B，由既屬于A又屬于B的全部元素(即A和B的公共元素)組成的集合，稱為A與B的交集，記作A∩B，讀作“A交B”符號語言A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}圖形語言eq\a\vs4\al(（1）A與B相交,（有公共元素，,相互不包含）)eq\a\vs4\al(（2）A與B相離,（沒有公共元素，,A∩B＝?）)eq\a\vs4\al(（3）AB，則,A∩B＝A)eq\a\vs4\al(（4）BA，則,A∩B＝B)eq\a\vs4\al(（5）A＝B，則,A∩B＝B＝A)[拓展](1)對于“A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}”，包含以下兩層意思：①A∩B中的任一元素都是A與B的公共元素；②A與B的公共元素都屬于A∩B.這就是文字定義中“全部”二字的含義，如A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，則A∩B＝{2，3}，而不是{2}或{3}．(2)隨意兩個集合并不是總有公共元素，當(dāng)集合A與B沒有公共元素時，不能說A與B沒有交集，而是A∩B＝.(3)當(dāng)A＝B時，A∩B＝A和A∩B＝B同時成立．2．并集自然語言一般地，給定兩個集合A，B，由這兩個集合的全部元素組成的集合，稱為A與B的并集，記作A∪B，讀作“A并B”符號語言A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}圖形語言用維恩圖表示有以下幾種狀況(陰影部分即為A與B的并集)：eq\a\vs4\al(①AB，,A∪B＝B)eq\a\vs4\al(②BA，,A∪B＝A)eq\a\vs4\al(③A＝B，A∪B＝,A且A∪B＝B)eq\a\vs4\al(④A與B有公共元,素，相互不包含)eq\a\vs4\al(⑤A與B無,公共元素)思索：(1)“x∈A或x∈B”包含哪幾種狀況？(2)集合A∪B的元素個數(shù)是否等于集合A與集合B的元素個數(shù)和？[提示](1)“x∈A或x∈B”這一條件包括下列三種狀況：x∈A，但xB；x∈B，但xA；x∈A，且x∈B.用維恩圖表示如圖所示．(2)不肯定．A∪B的元素個數(shù)小于或等于集合A與集合B的元素個數(shù)和．[拓展]對概念中的“全部”的理解，不能認(rèn)為A∪B是由A的全部元素和B的全部元素組成的集合，即簡潔拼湊，還要留意滿意集合中元素的互異性，相同的元素(即A與B的公共元素)只能算作并集中的一個元素．例如，A＝{1，2，4}，B＝{1，4，5，7}，A∪B＝{1，2，4，5，7}，而不能寫成A∪B＝{1，2，4，1，2，4，5，7}．3．并集與交集的運(yùn)算性質(zhì)并集的運(yùn)算性質(zhì)交集的運(yùn)算性質(zhì)A∪B＝B∪AA∩B＝B∩AA∪A＝AA∩A＝AA∪＝AA∩＝1．思索辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)A∪B＝A∪C，則B＝C. ()(2)若A∩B＝，則A，B均為空集． ()(3)A，B中分別有3個元素，則A∪B中必有6個元素． ()(4)若x∈A∩B，則x∈A∪B. ()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材P20習(xí)題1－1A⑥改編)已知集合M＝{0，1，3}，N＝{x|x＝3a，a∈M},則M∪A．{0} B．{0，3}C．{1，3，9} D．{0，1，3，9}D[易知N＝{0，3，9}，故M∪N＝{0，1，3，9}．]3．已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0，1，2}，則A∩B＝()A．{0} B．{1}C．{1，2} D．{0，1，2}C[由題意知，A＝{x|x≥1}，則A∩B＝{1，2}．]4．集合A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0，1，2，4，16}，則a的值為________．4[∵A＝{0，2，a}，B＝{1，a2},A∪B＝{0，1，2，4，16}，∴a＝4，a2＝16或a＝16，a2＝4(舍去)，故a＝4.]交集的概念及其應(yīng)用【例1】(教材P15例1改編)(1)設(shè)集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，則A∩B等于()A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤x≤2}C．{x|0≤x≤4} D．{x|1≤x≤4}(2)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，則集合A∩B中元素的個數(shù)為()A．5 B．4C．3 D．2(1)A(2)D[(1)∵A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，如圖，故A∩B＝{x|0≤x≤2}．故選A.(2)∵8＝3×2＋2，14＝3×4＋2，∴8∈A，14∈A，∴A∩B＝{8，14}，故選D.]1．求集合交集的運(yùn)算的方法(1)定義法，(2)數(shù)形結(jié)合法．2．若A，B是無限連續(xù)的數(shù)集，多利用數(shù)軸來求解．但要留意，利用數(shù)軸表示不等式時，含有端點的值用實心點表示，不含有端點的值用空心點表示．eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．已知集合A＝{0，2}，B＝{－2，－1，0，1，2}，則A∩B＝()A．{0，2} B．{1，2}C．{0} D．{－2，－1，0，1，2}A[由題意知A∩B＝{0，2}．]2．設(shè)集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠，則a的取值范圍是()A．－1<a≤2 B．a(chǎn)>2C．a(chǎn)≥－1 D．a(chǎn)>－1D[因為A∩B≠，所以集合A，B有公共元素，在數(shù)軸上表示出兩個集合，如圖所示，易知a>－1.]并集的概念及其應(yīng)用【例2】(1)設(shè)集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，則M∪N＝()A．{0} B．{0，2}C．{－2，0} D．{－2，0，2}(2)(教材P17例3改編)已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，則M∪N＝()A．{x|x<－5或x>－3}B．{x|－5<x<5}C．{x|－3<x<5}D．{x|x<－3或x>5}(1)D(2)A[M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}＝{0，－2}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}＝{0，2}，故M∪N＝{－2，0，2}，故選D.(2)在數(shù)軸上表示集合M，N，如圖所示，則M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．]求集合并集的方法(1)兩集合用列舉法給出：①依定義，干脆視察求并集；②借助維恩圖寫并集．(2)兩集合用描述法給出：①干脆視察，寫出并集；②借助數(shù)軸，求出并集．(3)一個集合用描述法，另一個用列舉法：①干脆視察，找出并集；②借助圖形，視察寫出并集．eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])3．已知集合A＝{0，2，4}，B＝{0，1，2，3，5}，則A∪B＝________．{0，1，2，3，4，5}[A∪B＝{0，2，4}∪{0，1，2，3，5}＝{0，1，2，3，4，5}．]集合交、并運(yùn)算的性質(zhì)及綜合應(yīng)用[探究問題]1．設(shè)A，B是兩個集合，若A∩B＝A，A∪B＝B，則集合A與B具有什么關(guān)系？[提示]A∩B＝A?A∪B＝B?A?B.2．若A∩B＝A∪B，則集合A，B間存在怎樣的關(guān)系？[提示]若A∩B＝A∪B，則集合A＝B.【例3】已知集合A＝{x|－3<x≤4}，集合B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，且A∪B＝A，試求k的取值范圍．[思路點撥]eq\x(A∪B＝A)eq\o(→,\s\up9(等價轉(zhuǎn)化))eq\x(B?A)eq\o(→,\s\up9(分B＝?和B≠?))eq\x(建立k的不等關(guān)系)eq\o(→,\s\up9(求交集))eq\x(得k的范圍)[解](1)當(dāng)B＝，即k＋1>2k－1時，k<2，滿意A∪B＝A.(2)當(dāng)B≠時，要使A∪B＝A，只需eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3<k＋1，,4≥2k－1，,k＋1≤2k－1，))解得2≤k≤eq\f(5,2).綜合(1)(2)可知k≤eq\f(5,2).1．把本例條件“A∪B＝A”改為“A∩B＝A”，試求k的取值范圍．[解]由A∩B＝A可知A?B.所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3≥k＋1，,2k－1≥4，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k≤－4，,k≥\f(5,2)，))所以k∈.所以k的取值范圍為.2．把本例條件“A∪B＝A”改為“A∪B＝{x|－3<x≤5}”，求k的值．[解]由題意可知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3<k＋1≤4，,2k－1＝5，))解得k＝3.所以k的值為3.,1．集合運(yùn)算常用的性質(zhì)(1)A∪B＝B?A?B.(2)A∩B＝A?A?B.,(3)A∩B＝A∪B?A＝B.2.利用集合交集、并集的性質(zhì)解題的方法及關(guān)注點(1)方法：利用集合的交集、并集性質(zhì)解題時，經(jīng)常遇到A∪B＝B，A∩B＝A等問題，解答時常借助于交集、并集的定義及已知集合間的關(guān)系去轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系求解．(2)關(guān)注點：當(dāng)集合A?B時，若集合A不確定，運(yùn)算時要考慮A＝的狀況，否則易漏解．學(xué)問：1．對并集、交集概念的理解(1)對于并集，要留意其中“或”的意義，“或”與通常所說的“非此即彼”有原則性的區(qū)分，它們是“相容”的．A∪B是由全部至少屬于A，B兩者之一的元素組成的集合．(2)A∩B中的元素是“全部”屬于集合A且屬于集合B的元素，而不是部分．2．集合的交、并運(yùn)算中的留意事項(1)對于元素個數(shù)有限的集合，可干脆依據(jù)集合的“交”“并”定義求解，但要留意集合元素的互異性．(2)對于元素個數(shù)無限的集合，進(jìn)行交、并運(yùn)算時，可借助數(shù)軸，利用數(shù)軸分析法求解，但要留意端點值取到與否．3．通過對交集、并集的運(yùn)算，培育抽象素養(yǎng)，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．方法：數(shù)形結(jié)合法：借助維恩圖或數(shù)軸求交集和并集．1．已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{x|x2≤1}，則A∩B＝()A．{－1，0，1} B．{0，1}C．{－1，1} D．{0，1，2}A[集合B＝{x|－1≤x≤1}，則A∩B＝{－1，0，1}．]2．已知集合M＝{－1，0，1}，P＝{0，1，2，3}，則圖中陰影部分所表示的集合是()A．{0，1} B．{0}C．{－1，2，3} D．{－1，0，1，2，3}D[由維恩圖，可知陰影部分所表示的集合是M∪P，因為M＝{－1，0，1}，P＝{0，1，2，3}，故M∪P＝{－1，0，1，2，3}．故選D.]3．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)＝0，x∈Z}，則A∩B＝()A．{1}B．{2}C．{－1，2}D．{1，2，3}B[∵B＝{x|(x＋1)(x－2)＝0，x∈Z}＝{－1，2}，A＝{1，2，3}，∴A∩B＝{2}．]4．已知集合A＝{1，3，eq\r(m)}，B＝{1，m}，A∪B＝A，則m等于()A．0或eq\r(3) B．0或3C．1或eq\r(3) D．1或3B[法一(利用并集的性質(zhì)及子集的含義求解)∵A∪B＝A，∴B?A.又A＝{1，3，eq\r(m)}，B＝{1，m}，∴m＝3或m＝eq\r(m).由m＝eq\r(m)得m＝0或m＝1.但m＝1不滿意集合中元素的互異性，故舍去，故m＝0或m＝3.法二(利用解除法求解)∵B＝{1，m}，∴m≠1，故可解除選項C、D.又當(dāng)m＝3時，A＝{1，3，eq\r(3)}