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PAGE§4用樣本估計(jì)總體的數(shù)字特征4.1樣本的數(shù)字特征學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.會(huì)求樣本的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差.(重點(diǎn))2.能用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征,并作出合理說(shuō)明和決策.(難點(diǎn))1.通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)特征數(shù)的計(jì)算,培育數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).2.通過(guò)利用數(shù)據(jù)的特征數(shù)估計(jì)總體分布,培育數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).1.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)定義(1)眾數(shù):一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù).(2)中位數(shù):把一組數(shù)據(jù)按從小到大的依次排列,處在中間位置(或中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù))的數(shù)稱為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).(3)平均數(shù):假如n個(gè)數(shù)x1,x2,…,xn,那么eq\x\to(x)=eq\f(1,n)(x1+x2+…+xn)稱為這n個(gè)數(shù)的平均數(shù).2.方差(1)公式:s2=eq\f((x1-\x\to(x))2+(x2-\x\to(x))2+…+(xn-\x\to(x))2,n).(2)意義:方差刻畫的是數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的離散程度.3.標(biāo)準(zhǔn)差s=eq\r(s2)=eq\r(\f((x1-\x\to(x))2+(x2-\x\to(x))2+…+(xn-\x\to(x))2,n)).思索:1.眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)各有什么優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)?提示:三種數(shù)字特征的優(yōu)缺點(diǎn)比較:名稱優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)眾數(shù)①體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn);②簡(jiǎn)潔計(jì)算①它只能表達(dá)樣本數(shù)據(jù)中很少的一部分信息;②無(wú)法客觀地反映總體的特征中位數(shù)①不受少數(shù)幾個(gè)極端數(shù)據(jù)(即排序靠前或靠后的數(shù)據(jù))的影響;②簡(jiǎn)潔計(jì)算,便于利用中間數(shù)據(jù)的信息對(duì)極端值不敏感平均數(shù)代表性較好,是反映數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的量.一般狀況下,可以反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的信息任何一個(gè)數(shù)據(jù)的變更都會(huì)引起平均數(shù)的變更.?dāng)?shù)據(jù)越“離群”,對(duì)平均數(shù)的影響越大2.標(biāo)準(zhǔn)差、方差的意義是什么?提示:標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大?。畼?biāo)準(zhǔn)差、方差越大,數(shù)據(jù)的離散程度越大;標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小,數(shù)據(jù)的離散程度越?。?.10名工人某天生產(chǎn)同一零件,生產(chǎn)的件數(shù)是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,設(shè)其平均數(shù)為a,中位數(shù)為b,眾數(shù)為c,則有()A.a(chǎn)>b>c B.b>c>aC.c>a>b D.c>b>aD[將數(shù)據(jù)從小到大排列為10,12,14,14,15,15,16,17,17,17,則平均數(shù)a=eq\f(1,10)(10+12+14×2+15×2+16+17×3)=14.7,中位數(shù)b=15,眾數(shù)c=17,明顯a<b<c.]2.在教學(xué)調(diào)查中,甲、乙、丙三個(gè)班的數(shù)學(xué)測(cè)試成果分布如圖,假設(shè)三個(gè)班的平均分都是75分,s1,s2,s3分別表示甲、乙、丙三個(gè)班數(shù)學(xué)測(cè)試成果的標(biāo)準(zhǔn)差,則有()甲乙丙A.s3>s1>s2 B.s2>s1>s3C.s1>s2>s3 D.s3>s2>s1D[所給圖是成果分布圖,平均分是75分,在題圖甲中,集中在75分旁邊的數(shù)據(jù)最多,題圖丙中從50分到100分勻稱分布,全部成果不集中在任何一個(gè)數(shù)據(jù)旁邊,題圖乙介于兩者之間.由標(biāo)準(zhǔn)差的意義可得s3>s2>s1.]3.已知一組數(shù)據(jù)4,6,5,8,7,6,那么這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為_(kāi)_______.6[eq\f(4+6+5+8+7+6,6)=6.]眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的簡(jiǎn)潔運(yùn)用【例1】下面是某快餐店全部職位一周的收入表:老板大廚二廚選購(gòu) 員雜工服務(wù)生會(huì)計(jì)6000元900元700元800元640元640元820元(1)計(jì)算全部職位的周平均收入;(2)這個(gè)平均收入能反映全部職位的周收入的一般水平嗎?為什么?(3)去掉老板的收入后,再計(jì)算平均收入,這能代表該店職位的周收入的水平嗎?[解](1)周平均收入eq\x\to(x)1=eq\f(1,7)(6000+900+700+800+640+640+820)=1500(元).(2)這個(gè)平均收入不能反映全部職位的周收入水平,可以看出打工人員的收入都低于平均收入,因?yàn)槔习迨杖胩厥飧?,這是一個(gè)異樣值,對(duì)平均收入產(chǎn)生了較大的影響,并且他不是打工人員.(3)去掉老板的收入后的周平均收入eq\x\to(x)2=eq\f(1,6)(900+700+800+640+640+820)=750(元).這能代表該店職位的周收入水平.利用樣本數(shù)字特征進(jìn)行決策時(shí)的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)平均數(shù)與每一個(gè)數(shù)據(jù)都有關(guān),可以反映更多的總體信息,但受極端值的影響大;中位數(shù)是樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線,不受幾個(gè)極端值的影響;眾數(shù)只能體現(xiàn)數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn),無(wú)法客觀反映總體特征.(2)當(dāng)平均數(shù)大于中位數(shù)時(shí),說(shuō)明數(shù)據(jù)中存在很多較大的極端值;反之,說(shuō)明數(shù)據(jù)中存在很多較小的極端值.eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])1.在一次中學(xué)生田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)上,參與男子跳高的17名運(yùn)動(dòng)員的成果如表所示:成果(單位:m)1.501.601.651.701.751.801.851.90人數(shù)23234111分別求這些運(yùn)動(dòng)員成果的眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù).[解]在17個(gè)數(shù)據(jù)中,1.75出現(xiàn)了4次,出現(xiàn)的次數(shù)最多,即這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是1.75.題表里的17個(gè)數(shù)據(jù)可看成是按從小到大的依次排列的,其中第9個(gè)數(shù)據(jù)1.70是最中間的一個(gè)數(shù)據(jù),即這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是1.70;這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是eq\x\to(x)=eq\f(1,17)(1.50×2+1.60×3+…+1.90×1)=eq\f(28.75,17)≈1.69(m).所以17名運(yùn)動(dòng)員成果的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)依次為1.75m,1.70m,1.69m.標(biāo)準(zhǔn)差、方差的計(jì)算及簡(jiǎn)潔應(yīng)用【例2】甲、乙兩機(jī)床同時(shí)加工直徑為100cm的零件,為檢驗(yàn)質(zhì)量,各從中抽取6件測(cè)量,甲:9910098100100103乙:9910010299100100(1)分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差;(2)依據(jù)計(jì)算結(jié)果推斷哪臺(tái)機(jī)床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定.[解](1)eq\x\to(x)甲=eq\f(1,6)(99+100+98+100+100+103)=100,eq\x\to(x)乙=eq\f(1,6)(99+100+102+99+100+100)=100.seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(甲))=eq\f(1,6)[(99-100)2+(100-100)2+(98-100)2+(100-100)2+(100-100)2+(103-100)2]=eq\f(7,3),seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(乙))=eq\f(1,6)[(99-100)2+(100-100)2+(102-100)2+(99-100)2+(100-100)2+(100-100)2]=1.(2)兩臺(tái)機(jī)床所加工零件的直徑的平均值相同,又seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(甲))>seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(乙)),所以乙機(jī)床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定.標(biāo)準(zhǔn)差、方差的意義(1)標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小.標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大,數(shù)據(jù)的離散程度越大;標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小,數(shù)據(jù)的離散程度越小,標(biāo)準(zhǔn)差的大小不會(huì)超過(guò)極差.(2)標(biāo)準(zhǔn)差、方差的取值范圍:[0,+∞).標(biāo)準(zhǔn)差、方差為0時(shí),樣本各數(shù)據(jù)相等,說(shuō)明數(shù)據(jù)沒(méi)有波動(dòng)幅度,數(shù)據(jù)沒(méi)有離散性.eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])2.如圖,樣本A和B分別取自兩個(gè)不同的總體,它們的樣本平均數(shù)分別為eq\x\to(x)A和eq\x\to(x)B,樣本標(biāo)準(zhǔn)差分別為sA和sB,則()A.eq\x\to(x)A>eq\x\to(x)B,sA>sB B.eq\x\to(x)A<eq\x\to(x)B,sA>sBC.eq\x\to(x)A>eq\x\to(x)B,sA<sB D.eq\x\to(x)A<eq\x\to(x)B,sA<sBB[eq\x\to(x)A=eq\f(1,6)(2.5+10+5+7.5+2.5+10)=6.25,eq\x\to(x)B=eq\f(1,6)(15+10+12.5+10+12.5+10)=eq\f(35,3)≈11.67.seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(A))=eq\f(1,6)[(2.5-6.25)2+(10-6.25)2+(5-6.25)2+(7.5-6.25)2+(2.5-6.25)2+(10-6.25)2]≈9.90,seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(B))=eq\f(1,6)[(15-eq\f(35,3))2+(10-eq\f(35,3))2+(eq\f(25,2)-eq\f(35,3))2+(10-eq\f(35,3))2+(eq\f(25,2)-eq\f(35,3))2+(10-eq\f(35,3))2]≈3.47.故eq\x\to(x)A<eq\x\to(x)B,sA>sB.]數(shù)據(jù)的數(shù)字特征的綜合應(yīng)用[探究問(wèn)題]1.對(duì)一組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,應(yīng)當(dāng)從哪幾個(gè)方面進(jìn)行?提示:平均數(shù)反映數(shù)據(jù)的平均水平,用眾數(shù)反映數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn),用中位數(shù)反映數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)和一般水平,用標(biāo)準(zhǔn)差或方差反映數(shù)據(jù)的離散程度.2.對(duì)比兩組數(shù)據(jù)時(shí),要從哪幾個(gè)方面進(jìn)行?提示:從眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)和方差等幾個(gè)方面.【例3】在一次科技學(xué)問(wèn)競(jìng)賽中,某學(xué)校的兩組學(xué)生的成果如下表:分?jǐn)?shù)5060708090100人數(shù)甲組251013146乙組441621212請(qǐng)依據(jù)你所學(xué)過(guò)的統(tǒng)計(jì)學(xué)問(wèn),推斷這兩個(gè)組在這次競(jìng)賽中的成果誰(shuí)優(yōu)誰(shuí)劣,并說(shuō)明理由.[思路點(diǎn)撥]分別求出這兩組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)和方差,從這幾個(gè)方面進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析.[解](1)甲組成果的眾數(shù)為90,乙組成果的眾數(shù)為70,從成果的眾數(shù)比較看,甲組成果好些.(2)eq\x\to(x)甲=eq\f(1,2+5+10+13+14+6)(50×2+60×5+70×10+80×13+90×14+100×6)=eq\f(1,50)×4000=80,eq\x\to(x)乙=eq\f(1,4+4+16+2+12+12)(50×4+60×4+70×16+80×2+90×12+100×12)=eq\f(1,50)×4000=80.seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(甲))=eq\f(1,2+5+10+13+14+6)[2×(50-80)2+5×(60-80)2+10×(70-80)2+13×(80-80)2+14×(90-80)2+6×(100-80)2]=172,seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(乙))=eq\f(1,4+4+16+2+12+12)[4×(50-80)2+4×(60-80)2+16×(70-80)2+2×(80-80)2+12×(90-80)2+12×(100-80)2]=256.∵eq\x\to(x)甲=eq\x\to(x)乙,seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(甲))<seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(乙)),∴甲組成果較乙組成果穩(wěn)定,故甲組好些.(3)甲、乙兩組成果的中位數(shù)、平均數(shù)都是80分.其中,甲組成果在80分以上(包括80分)的有33人,乙組成果在80分以上(包括80分)的有26人.從這一角度看,甲組的成果較好.(4)從成果統(tǒng)計(jì)表看,甲組成果大于等于90分的有20人,乙組成果大于等于90分的有24人,所以乙組成果集中在高分段的人數(shù)多.同時(shí),乙組得滿分的人數(shù)比甲組得滿分的人數(shù)多6人.從這一角度看,乙組的成果較好.1.假如從甲、乙兩組學(xué)生中選擇一組代表學(xué)校外出參與全市的科技學(xué)問(wèn)競(jìng)賽,依據(jù)往年的競(jìng)賽成果,該學(xué)校的競(jìng)賽水平均高于其它參賽學(xué)校,假如你是競(jìng)賽教練員,請(qǐng)問(wèn)你選擇哪一組學(xué)生代表學(xué)校參與競(jìng)賽?為什么?[解]選擇甲組學(xué)生代表學(xué)校參與競(jìng)賽.因?yàn)榧住⒁覂山M的學(xué)生的平均成果相同,都是80,且往年的競(jìng)賽成果,該學(xué)校的競(jìng)賽水平均高于其它參賽學(xué)校,所以要想穩(wěn)拿冠軍,就須要參賽學(xué)生穩(wěn)定發(fā)揮就可以了,因?yàn)閟eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(甲))<seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(乙)),所以甲組成果較乙組成果穩(wěn)定,故選擇甲組.2.假如從甲、乙兩組學(xué)生中選擇一組代表學(xué)校外出參與全市的科技學(xué)問(wèn)競(jìng)賽,依據(jù)往年的競(jìng)賽成果,該學(xué)校的競(jìng)賽水平均不如其它參賽學(xué)校,假如你是競(jìng)賽教練員,請(qǐng)問(wèn)你選擇哪一組學(xué)生代表學(xué)校參與競(jìng)賽?為什么?[解]選擇乙組學(xué)生代表學(xué)校參與競(jìng)賽.因?yàn)榧住⒁覂山M的學(xué)生的平均成果相同,都是80,且照往年的競(jìng)賽成果,該學(xué)校的競(jìng)賽水平均不如其它參賽學(xué)校,要想獲得冠軍只有選擇發(fā)揮不很穩(wěn)定的一組參與競(jìng)賽才有可能,因?yàn)閟eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(甲))<seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(乙)),所以乙組成果不穩(wěn)定,又乙組中高分人數(shù)較多,所以選擇乙組.?dāng)?shù)據(jù)分析的要點(diǎn)(1)要正確處理此類問(wèn)題,首先要抓住問(wèn)題中的關(guān)鍵詞語(yǔ),全方位地進(jìn)行必要的計(jì)算、分析,而不能習(xí)慣性地僅從樣本方差的大小去確定哪一組的成果好,像這樣的實(shí)際問(wèn)題還得從實(shí)際的角度去分析,如本例的“滿分人數(shù)”;其次要在恰當(dāng)?shù)卦u(píng)估后,組織好正確的語(yǔ)言作出結(jié)論.(2)在進(jìn)行數(shù)據(jù)分析時(shí),不同的標(biāo)準(zhǔn)沒(méi)有對(duì)和錯(cuò)的問(wèn)題,也不存在唯一解的問(wèn)題,而是依據(jù)須要來(lái)選擇“好”的決策,至于決策的好壞,是依據(jù)提出的標(biāo)準(zhǔn)而定的.1.現(xiàn)實(shí)中的總體所包含的個(gè)體數(shù)往往很多,總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差是未知的,我們通常用樣本的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差,但要求樣本有較好的代表性.2.在抽樣過(guò)程中,抽取的樣本是具有隨機(jī)性的,因此樣本的數(shù)字特征也有隨機(jī)性,用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征,是一種統(tǒng)計(jì)思想,沒(méi)有唯一答案.1.思索辨析(正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)(1)一個(gè)樣本的眾數(shù)、平均數(shù)和中位數(shù)都是唯一的. ()(2)樣本的平均數(shù)是頻率分布直方圖中最高長(zhǎng)方形的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù). ()(3)若變更一組數(shù)據(jù)中其中的一個(gè)數(shù),則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都會(huì)發(fā)生變更. ()[提示](1)錯(cuò)誤.一個(gè)樣本的平均數(shù)和中位數(shù)是唯一的.若數(shù)據(jù)中有兩個(gè)或兩個(gè)以上出現(xiàn)得最多,且出現(xiàn)次數(shù)一樣多,則這些數(shù)據(jù)都叫眾數(shù),若一組數(shù)據(jù)中每個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)一樣多,則沒(méi)有眾數(shù),可見(jiàn)一個(gè)樣本的眾數(shù)可能多個(gè),也可能沒(méi)有.(2)錯(cuò)誤.樣本的平均
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