2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第6章統(tǒng)計4用樣本估計總體數(shù)字特征4.1樣本的數(shù)字特征學(xué)案含解析北師大版必修第一冊

PAGE§4用樣本估計總體的數(shù)字特征4.1樣本的數(shù)字特征學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.會求樣本的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差．(重點)2．能用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征，并作出合理說明和決策．(難點)1．通過對數(shù)據(jù)特征數(shù)的計算，培育數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．2．通過利用數(shù)據(jù)的特征數(shù)估計總體分布，培育數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)．1．眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)定義(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)．(2)中位數(shù)：把一組數(shù)據(jù)按從小到大的依次排列，處在中間位置(或中間兩個數(shù)的平均數(shù))的數(shù)稱為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．(3)平均數(shù)：假如n個數(shù)x1，x2，…，xn，那么eq\x\to(x)＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)稱為這n個數(shù)的平均數(shù)．2．方差(1)公式：s2＝eq\f(（x1－\x\to(x)）2＋（x2－\x\to(x)）2＋…＋（xn－\x\to(x)）2,n)．(2)意義：方差刻畫的是數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的離散程度．3．標(biāo)準(zhǔn)差s＝eq\r(s2)＝eq\r(\f(（x1－\x\to(x)）2＋（x2－\x\to(x)）2＋…＋（xn－\x\to(x)）2,n))．思索：1.眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)各有什么優(yōu)點和缺點？提示：三種數(shù)字特征的優(yōu)缺點比較：名稱優(yōu)點缺點眾數(shù)①體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點；②簡潔計算①它只能表達(dá)樣本數(shù)據(jù)中很少的一部分信息；②無法客觀地反映總體的特征中位數(shù)①不受少數(shù)幾個極端數(shù)據(jù)(即排序靠前或靠后的數(shù)據(jù))的影響；②簡潔計算，便于利用中間數(shù)據(jù)的信息對極端值不敏感平均數(shù)代表性較好，是反映數(shù)據(jù)集中趨勢的量．一般狀況下，可以反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的信息任何一個數(shù)據(jù)的變更都會引起平均數(shù)的變更．?dāng)?shù)據(jù)越“離群”，對平均數(shù)的影響越大2．標(biāo)準(zhǔn)差、方差的意義是什么？提示：標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大?。畼?biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越?。?．10名工人某天生產(chǎn)同一零件，生產(chǎn)的件數(shù)是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，設(shè)其平均數(shù)為a，中位數(shù)為b，眾數(shù)為c，則有()A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞c＞aC．c＞a＞b D．c＞b＞aD[將數(shù)據(jù)從小到大排列為10，12，14，14，15，15，16，17，17，17，則平均數(shù)a＝eq\f(1,10)(10＋12＋14×2＋15×2＋16＋17×3)＝14.7，中位數(shù)b＝15，眾數(shù)c＝17，明顯a＜b＜c.]2．在教學(xué)調(diào)查中，甲、乙、丙三個班的數(shù)學(xué)測試成果分布如圖，假設(shè)三個班的平均分都是75分，s1，s2，s3分別表示甲、乙、丙三個班數(shù)學(xué)測試成果的標(biāo)準(zhǔn)差，則有()甲乙丙A．s3＞s1＞s2 B．s2＞s1＞s3C．s1＞s2＞s3 D．s3＞s2＞s1D[所給圖是成果分布圖，平均分是75分，在題圖甲中，集中在75分旁邊的數(shù)據(jù)最多，題圖丙中從50分到100分勻稱分布，全部成果不集中在任何一個數(shù)據(jù)旁邊，題圖乙介于兩者之間．由標(biāo)準(zhǔn)差的意義可得s3＞s2＞s1.]3．已知一組數(shù)據(jù)4，6，5，8，7，6，那么這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為________．6[eq\f(4＋6＋5＋8＋7＋6,6)＝6.]眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的簡潔運用【例1】下面是某快餐店全部職位一周的收入表：老板大廚二廚選購 員雜工服務(wù)生會計6000元900元700元800元640元640元820元(1)計算全部職位的周平均收入；(2)這個平均收入能反映全部職位的周收入的一般水平嗎？為什么？(3)去掉老板的收入后，再計算平均收入，這能代表該店職位的周收入的水平嗎？[解](1)周平均收入eq\x\to(x)1＝eq\f(1,7)(6000＋900＋700＋800＋640＋640＋820)＝1500(元).(2)這個平均收入不能反映全部職位的周收入水平，可以看出打工人員的收入都低于平均收入，因為老板收入特殊高，這是一個異樣值，對平均收入產(chǎn)生了較大的影響，并且他不是打工人員．(3)去掉老板的收入后的周平均收入eq\x\to(x)2＝eq\f(1,6)(900＋700＋800＋640＋640＋820)＝750(元).這能代表該店職位的周收入水平．利用樣本數(shù)字特征進(jìn)行決策時的兩個關(guān)注點(1)平均數(shù)與每一個數(shù)據(jù)都有關(guān)，可以反映更多的總體信息，但受極端值的影響大；中位數(shù)是樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線，不受幾個極端值的影響；眾數(shù)只能體現(xiàn)數(shù)據(jù)的最大集中點，無法客觀反映總體特征．(2)當(dāng)平均數(shù)大于中位數(shù)時，說明數(shù)據(jù)中存在很多較大的極端值；反之，說明數(shù)據(jù)中存在很多較小的極端值．eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．在一次中學(xué)生田徑運動會上，參與男子跳高的17名運動員的成果如表所示：成果(單位：m)1.501.601.651.701.751.801.851.90人數(shù)23234111分別求這些運動員成果的眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)．[解]在17個數(shù)據(jù)中，1.75出現(xiàn)了4次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，即這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是1.75.題表里的17個數(shù)據(jù)可看成是按從小到大的依次排列的，其中第9個數(shù)據(jù)1.70是最中間的一個數(shù)據(jù)，即這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是1.70；這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是eq\x\to(x)＝eq\f(1,17)(1.50×2＋1.60×3＋…＋1.90×1)＝eq\f(28.75,17)≈1.69(m).所以17名運動員成果的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)依次為1.75m，1.70m，1.69m．標(biāo)準(zhǔn)差、方差的計算及簡潔應(yīng)用【例2】甲、乙兩機床同時加工直徑為100cm的零件，為檢驗質(zhì)量，各從中抽取6件測量，甲：9910098100100103乙：9910010299100100(1)分別計算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差；(2)依據(jù)計算結(jié)果推斷哪臺機床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定．[解](1)eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,6)(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,6)(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(甲))＝eq\f(1,6)[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝eq\f(7,3)，seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(乙))＝eq\f(1,6)[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.(2)兩臺機床所加工零件的直徑的平均值相同，又seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(甲))＞seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(乙))，所以乙機床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定．標(biāo)準(zhǔn)差、方差的意義(1)標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小．標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，標(biāo)準(zhǔn)差的大小不會超過極差．(2)標(biāo)準(zhǔn)差、方差的取值范圍：[0，＋∞).標(biāo)準(zhǔn)差、方差為0時，樣本各數(shù)據(jù)相等，說明數(shù)據(jù)沒有波動幅度，數(shù)據(jù)沒有離散性．eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．如圖，樣本A和B分別取自兩個不同的總體，它們的樣本平均數(shù)分別為eq\x\to(x)A和eq\x\to(x)B，樣本標(biāo)準(zhǔn)差分別為sA和sB，則()A．eq\x\to(x)A>eq\x\to(x)B，sA>sB B．eq\x\to(x)A<eq\x\to(x)B，sA>sBC．eq\x\to(x)A>eq\x\to(x)B，sA<sB D．eq\x\to(x)A<eq\x\to(x)B，sA<sBB[eq\x\to(x)A＝eq\f(1,6)(2.5＋10＋5＋7.5＋2.5＋10)＝6.25，eq\x\to(x)B＝eq\f(1,6)(15＋10＋12.5＋10＋12.5＋10)＝eq\f(35,3)≈11.67.seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(A))＝eq\f(1,6)[(2.5－6.25)2＋(10－6.25)2＋(5－6.25)2＋(7.5－6.25)2＋(2.5－6.25)2＋(10－6.25)2]≈9.90，seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(B))＝eq\f(1,6)[(15－eq\f(35,3))2＋(10－eq\f(35,3))2＋(eq\f(25,2)－eq\f(35,3))2＋(10－eq\f(35,3))2＋(eq\f(25,2)－eq\f(35,3))2＋(10－eq\f(35,3))2]≈3.47.故eq\x\to(x)A＜eq\x\to(x)B，sA＞sB.]數(shù)據(jù)的數(shù)字特征的綜合應(yīng)用[探究問題]1．對一組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計分析，應(yīng)當(dāng)從哪幾個方面進(jìn)行？提示：平均數(shù)反映數(shù)據(jù)的平均水平，用眾數(shù)反映數(shù)據(jù)的最大集中點，用中位數(shù)反映數(shù)據(jù)的集中趨勢和一般水平，用標(biāo)準(zhǔn)差或方差反映數(shù)據(jù)的離散程度．2．對比兩組數(shù)據(jù)時，要從哪幾個方面進(jìn)行？提示：從眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)和方差等幾個方面．【例3】在一次科技學(xué)問競賽中，某學(xué)校的兩組學(xué)生的成果如下表：分?jǐn)?shù)5060708090100人數(shù)甲組251013146乙組441621212請依據(jù)你所學(xué)過的統(tǒng)計學(xué)問，推斷這兩個組在這次競賽中的成果誰優(yōu)誰劣，并說明理由．[思路點撥]分別求出這兩組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)和方差，從這幾個方面進(jìn)行統(tǒng)計分析．[解](1)甲組成果的眾數(shù)為90，乙組成果的眾數(shù)為70，從成果的眾數(shù)比較看，甲組成果好些．(2)eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,2＋5＋10＋13＋14＋6)(50×2＋60×5＋70×10＋80×13＋90×14＋100×6)＝eq\f(1,50)×4000＝80，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,4＋4＋16＋2＋12＋12)(50×4＋60×4＋70×16＋80×2＋90×12＋100×12)＝eq\f(1,50)×4000＝80.seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(甲))＝eq\f(1,2＋5＋10＋13＋14＋6)[2×(50－80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2＋13×(80－80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝172，seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(乙))＝eq\f(1,4＋4＋16＋2＋12＋12)[4×(50－80)2＋4×(60－80)2＋16×(70－80)2＋2×(80－80)2＋12×(90－80)2＋12×(100－80)2]＝256.∵eq\x\to(x)甲＝eq\x\to(x)乙，seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(甲))<seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(乙))，∴甲組成果較乙組成果穩(wěn)定，故甲組好些．(3)甲、乙兩組成果的中位數(shù)、平均數(shù)都是80分．其中，甲組成果在80分以上(包括80分)的有33人，乙組成果在80分以上(包括80分)的有26人．從這一角度看，甲組的成果較好．(4)從成果統(tǒng)計表看，甲組成果大于等于90分的有20人，乙組成果大于等于90分的有24人，所以乙組成果集中在高分段的人數(shù)多．同時，乙組得滿分的人數(shù)比甲組得滿分的人數(shù)多6人．從這一角度看，乙組的成果較好．1．假如從甲、乙兩組學(xué)生中選擇一組代表學(xué)校外出參與全市的科技學(xué)問競賽，依據(jù)往年的競賽成果，該學(xué)校的競賽水平均高于其它參賽學(xué)校，假如你是競賽教練員，請問你選擇哪一組學(xué)生代表學(xué)校參與競賽？為什么？[解]選擇甲組學(xué)生代表學(xué)校參與競賽．因為甲、乙兩組的學(xué)生的平均成果相同，都是80，且往年的競賽成果，該學(xué)校的競賽水平均高于其它參賽學(xué)校，所以要想穩(wěn)拿冠軍，就須要參賽學(xué)生穩(wěn)定發(fā)揮就可以了，因為seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(甲))<seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(乙))，所以甲組成果較乙組成果穩(wěn)定，故選擇甲組．2．假如從甲、乙兩組學(xué)生中選擇一組代表學(xué)校外出參與全市的科技學(xué)問競賽，依據(jù)往年的競賽成果，該學(xué)校的競賽水平均不如其它參賽學(xué)校，假如你是競賽教練員，請問你選擇哪一組學(xué)生代表學(xué)校參與競賽？為什么？[解]選擇乙組學(xué)生代表學(xué)校參與競賽．因為甲、乙兩組的學(xué)生的平均成果相同，都是80，且照往年的競賽成果，該學(xué)校的競賽水平均不如其它參賽學(xué)校，要想獲得冠軍只有選擇發(fā)揮不很穩(wěn)定的一組參與競賽才有可能，因為seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(甲))<seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(乙))，所以乙組成果不穩(wěn)定，又乙組中高分人數(shù)較多，所以選擇乙組．?dāng)?shù)據(jù)分析的要點(1)要正確處理此類問題，首先要抓住問題中的關(guān)鍵詞語，全方位地進(jìn)行必要的計算、分析，而不能習(xí)慣性地僅從樣本方差的大小去確定哪一組的成果好，像這樣的實際問題還得從實際的角度去分析，如本例的“滿分人數(shù)”；其次要在恰當(dāng)?shù)卦u估后，組織好正確的語言作出結(jié)論．(2)在進(jìn)行數(shù)據(jù)分析時，不同的標(biāo)準(zhǔn)沒有對和錯的問題，也不存在唯一解的問題，而是依據(jù)須要來選擇“好”的決策，至于決策的好壞，是依據(jù)提出的標(biāo)準(zhǔn)而定的．1．現(xiàn)實中的總體所包含的個體數(shù)往往很多，總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差是未知的，我們通常用樣本的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差去估計總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差，但要求樣本有較好的代表性．2．在抽樣過程中，抽取的樣本是具有隨機性的，因此樣本的數(shù)字特征也有隨機性，用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征，是一種統(tǒng)計思想，沒有唯一答案．1．思索辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)一個樣本的眾數(shù)、平均數(shù)和中位數(shù)都是唯一的． ()(2)樣本的平均數(shù)是頻率分布直方圖中最高長方形的中點對應(yīng)的數(shù)據(jù)． ()(3)若變更一組數(shù)據(jù)中其中的一個數(shù)，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都會發(fā)生變更． ()[提示](1)錯誤．一個樣本的平均數(shù)和中位數(shù)是唯一的．若數(shù)據(jù)中有兩個或兩個以上出現(xiàn)得最多，且出現(xiàn)次數(shù)一樣多，則這些數(shù)據(jù)都叫眾數(shù)，若一組數(shù)據(jù)中每個數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)一樣多，則沒有眾數(shù)，可見一個樣本的眾數(shù)可能多個，也可能沒有．(2)錯誤．樣本的平均