專題28 解直角三角形模型之實(shí)際應(yīng)用模型解讀與提分精練（全國）

專題28解直角三角形模型之實(shí)際應(yīng)用模型解直角三角形是中考的重要內(nèi)容之一（也可理解為相似三角形的一種特殊情況），直角三角形邊、角關(guān)系的知識是解直角三角形的基礎(chǔ)。將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是關(guān)鍵，通常是通過作高線或垂線轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題，在解直角三角形時要注意三角函數(shù)的選取，避免計算復(fù)雜。在解題中，若求解的邊、角不在直角三角形中，應(yīng)先添加輔助線,構(gòu)造直角三角形。為了提高解題和得分能力，本專題重點(diǎn)講解解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用模型。TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1.背靠背模型 2模型2.母子模型 6模型3.擁抱模型 12 17【知識儲備】圖1圖2圖3圖4圖5如圖1，30°-60°-90°三邊比值；如圖2，45°-45°-90°三邊比值如圖3，30°-30°-120°三邊比值；如圖4，30°-45°-105°三邊比值如圖5，45°-60°-75°三邊比值。上面五個結(jié)論在于運(yùn)用勾股定理和方程，當(dāng)然也可用三角函數(shù)。其實(shí)三角函數(shù)相關(guān)題目的輔助線也是類似，即作垂線，把角放在直角三角形中來研究。希望同學(xué)能夠自己動手計算并研究記憶這些特殊角度三角形的三邊比值，這些結(jié)論在選填題特別好用。模型1.背靠背模型背靠背模型：如圖，若三角形中有已知角時，則通過在三角形內(nèi)作高CD，構(gòu)造出兩個直角三角形求解，其中公共邊（高）CD是解題的關(guān)鍵。圖1圖2圖3圖4圖5重要等量關(guān)系：如圖1，CD為公共邊，則AD+BD=AB；如圖2，CE=DA，CD=EA，則CE+BD=AB；如圖3，CD=EF，CE=DF，則AD+CE+BF=AB；如圖4，DE=BF，BD=EF，則AE+EF=AF；如圖5，BE=CF，CE=BF，則AE+EB=AB。例1．（2024·黑龍江綏化·中考真題）如圖，用熱氣球的探測器測一棟樓的高度，從熱氣球上的點(diǎn)測得該樓頂部點(diǎn)的仰角為，測得底部點(diǎn)的俯角為，點(diǎn)與樓的水平距離，則這棟樓的高度為m（結(jié)果保留根號）．例2．（2024·山東泰安·中考真題）在綜合實(shí)踐課上，數(shù)學(xué)興趣小組用所學(xué)數(shù)學(xué)知識測量大汶河某河段的寬度，他們在河岸一側(cè)的瞭望臺上放飛一只無人機(jī)，如圖，無人機(jī)在河上方距水面高60米的點(diǎn)處測得瞭望臺正對岸A處的俯角為，測得瞭望臺頂端處的俯角為，已知瞭望臺高12米（圖中點(diǎn)，，，在同一平面內(nèi)），那么大汶河此河段的寬為米．（參考數(shù)據(jù)：，，，）例3．（2023·遼寧大連·模擬預(yù)測）如圖，是某市在城區(qū)河道上新建成的一座大橋，學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組在一次數(shù)學(xué)實(shí)踐活動中對橋墩的高度進(jìn)行了測量，測得斜坡長為50米，，在斜坡頂端C處水平地面上以的速度行走半分鐘到達(dá)點(diǎn)D，在點(diǎn)D處測得橋墩最高點(diǎn)A的仰角為．(1)水平地面長為米；(2)求橋墩的高（結(jié)果保留1位小數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：，，，）例4．（2024·山東青島·中考真題）“滑滑梯”是同學(xué)們小時候經(jīng)常玩的游戲，滑梯的坡角越小，安全性越高．從安全性及適用性出發(fā)，小亮同學(xué)對所在小區(qū)的一處滑梯進(jìn)行調(diào)研，制定了如下改造方案，請你幫小亮解決方案中的問題．方案名稱滑梯安全改造測量工具測角儀、皮尺等方案設(shè)計如圖，將滑梯頂端拓寬為，使，并將原來的滑梯改為，（圖中所有點(diǎn)均在同一平面內(nèi)，點(diǎn)在同一直線上，點(diǎn)在同一直線上）測量數(shù)據(jù)【步驟一】利用皮尺測量滑梯的高度；【步驟二】在點(diǎn)處用測角儀測得；【步驟三】在點(diǎn)處用測角儀測得．解決問題調(diào)整后的滑梯會多占多長一段地面？（即求的長）（參考數(shù)據(jù)：）模型2.母子模型圖1圖2圖3圖4母子模型：若三角形中有已知角，通過在三角形外作高BC，構(gòu)造有公共直角的兩個三角形求解，其中公共邊BC是解題的關(guān)鍵。重要等量關(guān)系：如圖1，BC為公共邊，AD+DC=AC；如圖2，BC為公共邊，DC-BC=DB；如圖3，DF=EC，DE=FC，BF+DE=BC，AE+DF=AC；如圖4，AF=CE，AC=FE，BC+AF=BE。圖5圖6圖7圖8圖9如圖5，BE+EC=BC；如圖6，EC-BC=BE；如圖7，AC=FG，AF=CG，AD+DC=FG，BC+AF=BG；如圖8，BC=FG，BF=CG，AC+BF=AG，EF+BC=EG；如圖9，BC=FG，BF=CG，EF+BC=EG，BD+DF=BF，AC+BD+DF=AG。例1．（2024·廣東廣州·中考真題）2024年6月2日，嫦娥六號著陸器和上升器組合體（簡稱為“著上組合體”）成功著陸在月球背面．某校綜合實(shí)踐小組制作了一個“著上組合體”的模擬裝置，在一次試驗(yàn)中，如圖，該模擬裝置在緩速下降階段從點(diǎn)垂直下降到點(diǎn)，再垂直下降到著陸點(diǎn)，從點(diǎn)測得地面點(diǎn)的俯角為，米，米．(1)求的長；(2)若模擬裝置從點(diǎn)以每秒2米的速度勻速下降到點(diǎn)，求模擬裝置從點(diǎn)下降到點(diǎn)的時間．（參考數(shù)據(jù)：，，）例2．（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測）某校研究性學(xué)習(xí)小組測量學(xué)校旗桿的高度，如圖在教學(xué)樓一樓C處測得旗桿頂部的仰角為，在教學(xué)樓五樓D處測得旗桿頂部的仰角為，旗桿底部與教學(xué)樓一樓在同一水平線上，已知米，求旗桿的高度．

例3．（2024·山東日照·中考真題）潮汐塔是萬平口區(qū)域內(nèi)的標(biāo)志性建筑，在其塔頂可俯視景區(qū)全貌．某數(shù)學(xué)興趣小組用無人機(jī)測量潮汐塔的高度，測量方案如圖所示：無人機(jī)在距水平地面的點(diǎn)M處測得潮汐塔頂端A的俯角為，再將無人機(jī)沿水平方向飛行到達(dá)點(diǎn)N，測得潮汐塔底端B的俯角為（點(diǎn)在同一平面內(nèi)），則潮汐塔的高度為（

）（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：）A． B． C． D．例4．（2024·山西大同·模擬預(yù)測）在新農(nóng)村建設(shè)中，某村依托當(dāng)?shù)貐^(qū)位條件，資源特色和市場需求，圍繞體驗(yàn)性、參與性和互動性，打造一批休閑農(nóng)業(yè)類旅游景點(diǎn)，如圖是景區(qū)五個景點(diǎn)A，B，C，D，E的平面示意圖，B，A在C的正西方向，D在C的正北方向，D，E在B的北偏東方向上，E在A的東北方向上，C，D相距，E在的中點(diǎn)處．則景點(diǎn)B，A之間的距離是．（結(jié)果保留根號）

例5．（2024·江西南昌·模擬預(yù)測）如圖1，是南昌八一起義紀(jì)念塔，象征著革命的勝利．某校數(shù)學(xué)社團(tuán)的同學(xué)們欲測量塔的高度．如圖2，他們在第一層看臺上架設(shè)測角儀，從處測得塔的最高點(diǎn)的仰角為，測出，臺階可抽象為線段，，臺階的坡角為，測角儀的高度為，塔身可抽象成線段．(1)求測角儀與塔身的水平距離；(2)求塔身的高度．（結(jié)果精確到）（參考數(shù)據(jù)：，，，）例6.（2024·江蘇徐州·模擬預(yù)測）如圖1，徐州云龍山是國家5A級景區(qū)，它既有自然風(fēng)光，又有人文景觀．小明沿圖2所示的路線圖登頂云龍山，他從山腳A出發(fā)；沿AB行走166米到達(dá)點(diǎn)B，再沿到山頂點(diǎn)C．已知山高CD為142米，從點(diǎn)A看點(diǎn)B的仰角為，從點(diǎn)B看點(diǎn)C的仰角為．求小明從山腳點(diǎn)A到達(dá)山頂點(diǎn)C共走了多少米？（結(jié)果精確到1米）．（參考數(shù)據(jù)：，，）模型3.擁抱模型擁抱模型：如圖，分別解兩個直角三角形，其中公共邊BC是解題的關(guān)鍵。圖1圖2圖3圖4重要等量關(guān)系：如圖1，BC為公共邊；如圖2，BF+FC+CE=BE；如圖3，BC+CE=BE；如圖4，AB=GE，AG=BE，BC+CE=AG,DG+AB=DE。例1．（2024·四川·?？家荒＃┤鐖D，電視塔是西安市的標(biāo)志性建筑之一，學(xué)習(xí)測量后，小強(qiáng)想測量其高度如圖，他先在電視塔附近一樓房的底端點(diǎn)處觀測電視塔頂點(diǎn)處的仰角是，然后爬到該樓房頂端點(diǎn)處觀測電視塔底部處的俯角恰好是，已知樓房高為米，根據(jù)以上觀測數(shù)據(jù)，請你求出電視塔的高度（結(jié)果精確到米）（參考數(shù)據(jù)：，，，）例2．（23-24九年級上·福建漳州·期末）某校數(shù)學(xué)興趣小組測量校園內(nèi)旗桿的高度，活動記錄如下：活動任務(wù)：測量旗桿的高度【步驟一】設(shè)計測量方案小組成員討論后，畫出兩種測量方案的圖形，如圖1，圖2．【步驟二】準(zhǔn)備測量工具：筷子，皮尺和測傾器，如圖3．皮尺的功能是直接測此任意可達(dá)到的兩點(diǎn)間的距離；測傾器（由度盤，鉛錘和支桿組成）的功能是測量目標(biāo)物的仰角或俯角【步驟三】實(shí)地測量并記錄數(shù)據(jù)方案一：利用鏡子的反射（測量時，所使用的平面鏡的大小和厚度均忽略不計，根據(jù)光的反射定律，反射角等于入射角，法線，），如圖1，小明利用鏡子和皮尺測出了旗桿的高度，其測量和求解過程如下：測量過程：小明將鏡子放在距離旗桿底部的點(diǎn)C處，然后看若鏡子沿直線來回移動，直至看到旗桿頂端B在鏡子中的像與點(diǎn)C重合，此時小明站在點(diǎn)D處，測得，小明的眼睛離地面的高度．求解過程：由測量知，，，．法線，，①______，．，即．②______（）．故旗桿的高度為③______．方案二：如圖2，小亮在測點(diǎn)D處安置測傾器，測得旗桿頂端B的仰角．量出測點(diǎn)D到旗桿的距離，量出測傾器的高度．(1)補(bǔ)全小明求解過程中①②③所缺的內(nèi)容；(2)請你根據(jù)方案二求出旗桿的高度（結(jié)果精確到）．（參考數(shù)據(jù)：，，）例3．（2024·四川巴中·中考真題）某興趣小組開展了測量電線塔高度的實(shí)踐活動．如圖所示，斜坡的坡度，，在處測得電線塔頂部的仰角為，在處測得電線塔頂部的仰角為．(1)求點(diǎn)離水平地面的高度．(2)求電線塔的高度（結(jié)果保留根號）．1．（2024·四川雅安·中考真題）在數(shù)學(xué)課外實(shí)踐活動中，某小組測量一棟樓房的高度（如圖），他們在A處仰望樓頂，測得仰角為，再往樓的方向前進(jìn)50米至B處，測得仰角為，那么這棟樓的高度為（人的身高忽略不計）（

）A．米 B．25米 C．米 D．50米2．（2024·廣東深圳·中考真題）如圖，為了測量某電子廠的高度，小明用高的測量儀測得的仰角為，小軍在小明的前面處用高的測量儀測得的仰角為，則電子廠的高度為（

）（參考數(shù)據(jù)：，，）A． B． C． D．3．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）如圖，一小孩在蕩秋千，秋千的纖繩長為2米，當(dāng)小孩在最低位置時，秋千底部距離地面米，當(dāng)小孩達(dá)到最大高度時，秋千底部距離地面米，那么小孩從最低位置達(dá)到最高位置秋千底部所經(jīng)過的路徑長為（

）．A．2米 B．π米 C．米 D．米4．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，甲船從A處向正北方向的C島航行，同時，乙船在C島正東方向80海里的D處向正東方向航行，此時甲船觀察到乙船在北偏東45°方向，甲船正北方向航行30海里后在B處觀察到乙船在北偏東70°方向的E處，則乙船向正東方向航行了海里．（精確到1海里，參考數(shù)據(jù)：，，）5．（2024·江蘇鹽城·中考真題）如圖，小明用無人機(jī)測量教學(xué)樓的高度，將無人機(jī)垂直上升距地面的點(diǎn)P處，測得教學(xué)樓底端點(diǎn)A的俯角為，再將無人機(jī)沿教學(xué)樓方向水平飛行至點(diǎn)Q處，測得教學(xué)樓頂端點(diǎn)B的俯角為，則教學(xué)樓的高度約為m．（精確到，參考數(shù)據(jù)：，，）

6．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，斜坡的坡度，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大樹，當(dāng)太陽光與水平面的夾角為時，大樹在斜坡上的影子長為10米，則大樹的高為米．7．（2024·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）在“綜合與實(shí)踐”活動課上，活動小組測量一棵楊樹的高度．如圖，從C點(diǎn)測得楊樹底端B點(diǎn)的仰角是，長6米，在距離C點(diǎn)4米處的點(diǎn)測得楊樹頂端A點(diǎn)的仰角為，求楊樹的高度（精確到米，，，在同一平面內(nèi)，點(diǎn)C，D在同一水平線上．參考數(shù)據(jù)：．8．（2024·河北·中考真題）中國的探月工程激發(fā)了同學(xué)們對太空的興趣．某晚，淇淇在家透過窗戶的最高點(diǎn)P恰好看到一顆星星，此時淇淇距窗戶的水平距離，仰角為；淇淇向前走了后到達(dá)點(diǎn)D，透過點(diǎn)P恰好看到月亮，仰角為，如圖是示意圖．已知，淇淇的眼睛與水平地面的距離，點(diǎn)P到的距離，的延長線交于點(diǎn)E．（注：圖中所有點(diǎn)均在同一平面）(1)求的大小及的值；(2)求的長及的值．9．（2024·四川樂山·中考真題）我國明朝數(shù)學(xué)家程大位寫過一本數(shù)學(xué)著作《直指算法統(tǒng)宗》，其中有一道與蕩秋千有關(guān)的數(shù)學(xué)問題是使用《西江月》詞牌寫的：平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步與人齊，五尺人高曾記．仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉．良工高士素好奇，算出索長有幾？詞寫得很優(yōu)美，翻譯成現(xiàn)代漢語的大意是：有一架秋千，當(dāng)它靜止時，踏板離地1尺，將它往前推進(jìn)10尺（5尺為一步），秋千的踏板就和某人一樣高，這個人的身高為5尺．（假設(shè)秋千的繩索拉的很直）(1)如圖1，請你根據(jù)詞意計算秋千繩索的長度；(2)如圖2，將秋千從與豎直方向夾角為α的位置釋放，秋千擺動到另一側(cè)與豎直方向夾角為β的地方，兩次位置的高度差．根據(jù)上述條件能否求出秋千繩索的長度？如果能，請用含α、β和h的式子表示；如果不能，請說明理由．10．（2024·江蘇蘇州·中考真題）圖①是某種可調(diào)節(jié)支撐架，為水平固定桿，豎直固定桿，活動桿可繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，為液壓可伸縮支撐桿，已知，，．(1)如圖②，當(dāng)活動桿處于水平狀態(tài)時，求可伸縮支撐桿的長度（結(jié)果保留根號）；(2)如圖③，當(dāng)活動桿繞點(diǎn)A由水平狀態(tài)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角度，且（為銳角），求此時可伸縮支撐桿的長度（結(jié)果保留根號）．11．（2024·四川廣安·中考真題）風(fēng)電項(xiàng)目對于調(diào)整能源結(jié)構(gòu)和轉(zhuǎn)變經(jīng)濟(jì)發(fā)展方式具有重要意義．某電力部門在某地安裝了一批風(fēng)力發(fā)電機(jī)，如圖（1）某校實(shí)踐活動小組對其中一架風(fēng)力發(fā)電機(jī)的塔桿高度進(jìn)行了測量，圖（2）為測量示意圖（點(diǎn)，，，均在同一平面內(nèi)，）．已知斜坡長為20米，斜坡的坡角為，在斜坡頂部處測得風(fēng)力發(fā)電機(jī)塔桿頂端點(diǎn)的仰角為，坡底與塔桿底的距離米，求該風(fēng)力發(fā)電機(jī)塔桿的高度．（結(jié)果精確到個位；參考數(shù)據(jù)：，，，）

12．（2024·重慶·中考真題）如圖，，，，分別是某公園四個景點(diǎn)，在的正東方向，在的正北方向，且在的北偏西方向，在的北偏東方向，且在的北偏西方向，千米．（參考數(shù)據(jù)：，，）。(1)求的長度（結(jié)果精確到千米）；(2)甲、乙兩人從景點(diǎn)出發(fā)去景點(diǎn)，甲選擇的路線為：，乙選擇的路線為：．請計算說明誰選擇的路線較近？

13．（2024·四川達(dá)州·中考真題）“三匯彩婷會”是達(dá)州市渠縣三匯鎮(zhèn)獨(dú)有的傳統(tǒng)民俗文化活動、起源于漢代、融數(shù)學(xué)，力學(xué)，鍛造，綁扎，運(yùn)載于一體，如圖1，在一次展演活動中，某數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐小組將彩婷抽象成如圖2的示意圖，是彩婷的中軸、甲同學(xué)站在處．借助測角儀觀察，發(fā)現(xiàn)中軸上的點(diǎn)的仰角是，他與彩婷中軸的距離米．乙同學(xué)在觀測點(diǎn)處借助無人機(jī)技術(shù)進(jìn)行測量，測得平行于水平線，中軸上的點(diǎn)的仰角，點(diǎn)、之間的距離是米，已知彩婷的中軸米，甲同學(xué)的眼睛到地面的距離米，請根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求中軸上的長度．（結(jié)果精確到米，參考數(shù)據(jù)，）

14．（2024·重慶·中考真題）如圖，甲、乙兩艘貨輪同時從港出發(fā)，分別向，兩港運(yùn)送物資，最后到達(dá)港正東方向的港裝運(yùn)新的物資．甲貨輪沿港的東南方向航行海里后到達(dá)港，再沿北偏東方向航行一定距離到達(dá)港．乙貨輪沿港的北偏東方向航行一定距離到達(dá)港，再沿南偏東方向航行一定距離到達(dá)港．（參考數(shù)據(jù)：，，）(1)求，兩港之間的距離（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）；(2)若甲、乙兩艘貨輪的速度相同（?？?、兩港的時間相同），哪艘貨輪先到達(dá)港？請通過計算說明．15．（2024·海南·中考真題）木蘭燈塔是亞洲最高、世界第二高的航標(biāo)燈塔，位于海南島的最北端，是海南島東北部最重要的航標(biāo)．某天，一艘漁船自西向東（沿方向）以每小時10海里的速度在瓊州海峽航行，如圖所示．

航行記錄記錄一：上午8時，漁船到達(dá)木蘭燈塔P北偏西方向上的A處．記錄二：上午8時30分，漁船到達(dá)木蘭燈塔P北偏西方向上的B處．記錄三：根據(jù)氣象觀測，當(dāng)天凌晨4時到上午9時，受天文大潮和天氣影響，瓊州海峽C點(diǎn)周圍5海里內(nèi)，會出現(xiàn)異常海況，點(diǎn)C位于木蘭燈塔P北偏東方向．請你根據(jù)以上信息解決下列問題：(1)填空：________，________，________海里；(2)若該漁船不改變航線與速度，是否會進(jìn)入“海況異?！眳^(qū)，請計算說明．（參考數(shù)據(jù)：）16．（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）實(shí)驗(yàn)是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的重要途徑．如圖是小亮同學(xué)安裝的化學(xué)實(shí)驗(yàn)裝置，安裝要求為試管口略向下傾斜，鐵夾應(yīng)固定在距試管口的三分之一處．現(xiàn)將左側(cè)的實(shí)驗(yàn)裝置圖抽象成右側(cè)示意圖，已知試管，試管傾斜角為．(1)求試管口B與鐵桿的水平距離的長度；（結(jié)果用含非特殊角的三角函數(shù)表示）(2)實(shí)驗(yàn)時，導(dǎo)氣管緊靠水槽壁，延長交的延長線于點(diǎn)F，且于點(diǎn)N（點(diǎn)C，D，N，F(xiàn)在一條直線上），經(jīng)測得：，求線段的長度．（結(jié)果用含非特殊角的三角函數(shù)表示）17．（2024·山東濰坊·中考真題）在光伏發(fā)電系統(tǒng)運(yùn)行時，太陽能板（如圖1）與水平地面的夾角會對太陽輻射的接收產(chǎn)生直接影響．某地區(qū)工作人員對日平均太陽輻射量（單位：）和太陽能板與水平地面的夾角進(jìn)行統(tǒng)計，繪制了如圖2所示的散點(diǎn)圖，已知該散點(diǎn)圖可用二次函數(shù)刻畫．(1)求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；(2)該地區(qū)太陽能板與水平地面的夾角為多少度時，日平均太陽輻射量最大？(3)圖3是該地區(qū)太陽能板安裝后的示意圖（此時，太陽能板與水平地面的夾角使得日平均太陽輻射量最大），為太陽能板與水平地面的夾角，為支撐桿．已知，是的中點(diǎn)，．在延長線上選取一點(diǎn)，在兩點(diǎn)間選取一點(diǎn)，測得，在兩點(diǎn)處分別用測角儀測得太陽能板頂端的仰角為，，該測角儀支架的高為1m．求支撐桿的長．（精確到m，參考數(shù)據(jù)：，）18．（2024·