專題13 等腰（等邊）三角形中的重要模型之維維尼亞模型解讀與提分精練（全國）

專題13等腰（等邊）三角形中的重要模型之維維尼亞模型維維亞尼定理（Viviani'stheorem）：在\t"/item/%E7%BB%B4%E7%BB%B4%E4%BA%9A%E5%B0%BC%E5%AE%9A%E7%90%86/_blank"等邊三角形內(nèi)任意一點(diǎn)P到三邊的\t"/item/%E7%BB%B4%E7%BB%B4%E4%BA%9A%E5%B0%BC%E5%AE%9A%E7%90%86/_blank"垂直距離之和，等于該等邊\t"/item/%E7%BB%B4%E7%BB%B4%E4%BA%9A%E5%B0%BC%E5%AE%9A%E7%90%86/_blank"三角形的高。這個(gè)定理可一般化為：等角\t"/item/%E7%BB%B4%E7%BB%B4%E4%BA%9A%E5%B0%BC%E5%AE%9A%E7%90%86/_blank"多邊形內(nèi)任意一點(diǎn)P跟各邊的垂直距離之和，是不變的，跟該點(diǎn)的位置無關(guān)。它以溫琴佐·維維亞尼命名。而今天我們要學(xué)習(xí)的維維亞尼模型就是維維亞尼定理及其拓展，它的證明主要利用了等面積法，消去相等底邊后得到高之間的關(guān)系，因此等腰三角形的維維亞尼模型動點(diǎn)只能在底邊所在直線上運(yùn)動，此時(shí)連接點(diǎn)和底邊所對頂點(diǎn)，能江原圖分割成兩個(gè)底相等的三角形。TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1.等邊三角形中維維尼亞模型 2模型2.等腰三角形中維維尼亞模型 7 14模型1.等邊三角形中維維尼亞模型條件：在等邊中，P是平面上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE⊥AC，PF⊥BC，PD⊥AB，過點(diǎn)A作AM⊥BC。結(jié)論：①如圖1，若動點(diǎn)P在三角形ABC內(nèi)時(shí)，則PD+PE+PF=AM；②如圖2，若動點(diǎn)P在三角形ABC外時(shí)，則PD+PE-PF=AM。（當(dāng)點(diǎn)P在三角形ABC外時(shí)，受P的位置影響，不同的位置結(jié)論稍有不同，但都可以使用等面積法證明）。

圖1圖2證明：①如圖1，連結(jié)AP，BP，CP?！呤堑冗吶切?，∴AB=BC=AC，則，∵；∴PD+PE+PF=AM。②如圖3，連結(jié)AP，BP，CP?！呤堑冗吶切?，∴AB=BC=CA，則，∵；∴PD+PE-PF=AM。例1．（2024·河北·二模）如圖，P為邊長為2的等邊三角形ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連接PA、PB、PC，過P點(diǎn)分別作BC、AC、AB邊的垂線，垂足分別為D、E、F，則PD+PE+PF等于（）A． B． C．2 D．例2．（2024八年級·廣東·培優(yōu)）如圖，點(diǎn)P為等邊外一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P到三邊的距離，且，則的面積等于（

）

A． B． C． D．例3．（23-24八年級上·浙江寧波·期中）如圖，P是等邊三角形內(nèi)一點(diǎn)，且，，，以下3個(gè)結(jié)論：①；②；③；④若點(diǎn)P到三邊的距離分別為，，，則有，其中正確的有（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)例4．（23-24八年級上·云南昆明·期末）如圖（1），已知在中，且過A作于點(diǎn)P，點(diǎn)M是直線上一動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)M到兩邊、的距離分別為m，n，的高為h．

(1)當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動到什么位置時(shí)，，并說明理由．(2)如圖（2），試判斷m、n、h之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．(3)如圖（3），當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動到的延長線上時(shí)，求證：模型2.等腰三角形中維維尼亞模型條件：如圖，等腰（AB=AC）中，點(diǎn)P在BC上運(yùn)動，過點(diǎn)P作PD⊥AB，PH⊥AC，CE⊥AB，結(jié)論：①如圖1，若動點(diǎn)P在邊BC上時(shí)，則PE+PD=CF。②如圖2，若動點(diǎn)P在BC延長線上時(shí)，則|PF-PE|=CD。圖1圖2證明：①如圖1，連結(jié)AP；∵是等邊三角形，∴AB=AC，則，∵；∴PE+PD=CF。①如圖2，連結(jié)AP；∵是等邊三角形，∴AB=AC，則，∵；∴PF-PE=CD。例1．（23-24八年級上·廣西百色·期末）如圖，已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，點(diǎn)O是BC上任意一點(diǎn)，OE⊥AB，OF⊥AC，等腰三角形的腰長為4，面積為4，則OE+OF的值為()A．1.5 B．2 C．2.5 D．3例2．（23-24九年級下·四川成都·階段練習(xí)）如圖，將矩形沿EF折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)B處，P為折痕上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作，垂足分別為G，H，若，，則．例3．（23-24八年級下·江西吉安·階段練習(xí)）數(shù)學(xué)課上，老師畫出一等腰并標(biāo)注：，，然后讓同學(xué)們提出有效問題并解決請你結(jié)合同學(xué)們提出的問題給予解答．

(1)甲同學(xué)提出：______度；(2)乙同學(xué)提出：的面積為：______；(3)丙同學(xué)提出：點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)，，，垂足為E、F，請求出的值；(4)丁同學(xué)說受丙同學(xué)啟發(fā)，點(diǎn)D為邊上任一點(diǎn)，，，，垂足為E、F、H，則有．請你為丁同學(xué)說明理由．例4．（23-24山西八年級上期中）（1）如圖（1），已知在等腰三角形中，，點(diǎn)是底邊上的一點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)．求證：為定長．（2）如圖（2），已知在等腰三角形中，，點(diǎn)是底邊的延長線上的一點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)．求證：為定長．（3）如圖（3），已知：點(diǎn)為等邊三角形內(nèi)任意一點(diǎn)，過分別作三邊的垂線，分別交三邊與、、．求證：為定長．例5．（2024·江西·一模）我們定義：有一組鄰角相等的凸四邊形叫做“等鄰角四邊形”，例如：如圖1，∠B＝∠C，則四邊形ABCD為等鄰角四邊形．(1)定義理解：已知四邊形ABCD為等鄰角四邊形，且∠A＝130°，∠B＝120°，則∠D＝______度．(2)變式應(yīng)用：如圖2，在五邊形ABCDE中，ED∥BC，對角線BD平分∠ABC．①求證：四邊形ABDE為等鄰角四邊形；②若∠A+∠C+∠E＝300°，∠BDC＝∠C，請判斷△BCD的形狀，并明理由．(3)深入探究：如圖3，在等鄰角四邊形ABCD中，∠B＝∠BCD，CE⊥AB，垂足為E，點(diǎn)P為邊BC上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥AB，PN⊥CD，垂足分別為M，N．在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中，判斷PM+PN與CE的數(shù)量關(guān)系？請說明理由．(4)遷移拓展：如圖4，是一個(gè)航模的截面示意圖．四邊形ABCD是等鄰角四邊形，∠A＝∠ABC，E為AB邊上的一點(diǎn)，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分別為D、C，AB＝2dm，AD＝3dm，BD＝dm．M、N分別為AE、BE的中點(diǎn)，連接DM、CN，求△DEM與△CEN的周長之和．1．（23-24八年級上·浙江寧波·期末）如圖，在等腰△中，，，是△外一點(diǎn)，到三邊的垂線段分別為，，，且，則的長度為（

）A．5 B．6 C． D．2．（23-24九年級上·重慶·期中）如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，tanC＝2，BD⊥AC于點(diǎn)D，點(diǎn)G是底邊BC上一點(diǎn)，過點(diǎn)G向兩腰作垂線段，垂足分別為E、F，若BD＝4，GE＝1.5，則BF的長度為（

）

A．0.75 B．0.8 C．1.25 D．1.353．（23-24八年級下·福建泉州·期中）如圖，是三角形內(nèi)一點(diǎn)，，若，且是等邊三角形，則的周長為（）

A．12 B．18 C．24 D．304．（23-24八年級上·江蘇常州·階段練習(xí)）如圖，為等邊三角形，點(diǎn)是邊上異于B，的任意一點(diǎn)，于點(diǎn)E．于點(diǎn)F．若邊上的高線，則．5．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）如圖，在中，，，，點(diǎn)為此三角形內(nèi)部（包含三角形的邊）的一點(diǎn)且到三角形三邊的距離和為7，則的最小值為．6．（2024八年級·廣東·培優(yōu)）如圖，中，，點(diǎn)P是邊上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q是延長線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，過點(diǎn)Q分別作于點(diǎn)F，于點(diǎn)G，則．（填“>”“<”或“=”）7．（23-24九年級上·山東青島·期末）如圖，將矩形沿折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)B上，點(diǎn)C落在點(diǎn)處，點(diǎn)Р為折痕上的任一點(diǎn)，過點(diǎn)Р作，垂足分別為G、H，若，，則下列結(jié)論正確的有（填正確結(jié)論的序號）①②的面積是③④．8．（2024八年級·廣東·培優(yōu)）如圖，在中，線段AD為中線，點(diǎn)O為線段AD的中點(diǎn)，直線l經(jīng)過點(diǎn)O，且B，C兩點(diǎn)在l的同側(cè)，過點(diǎn)B，C，D，A作直線l的垂線，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，H，G．則下列說法一定正確的有．

①；②；③；④若點(diǎn)B，C位于l異側(cè)，有．9．（2023·四川內(nèi)江·中考真題）出入相補(bǔ)原理是我國古代數(shù)學(xué)的重要成就之一，最早是由三國時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)建．“將一個(gè)幾何圖形，任意切成多塊小圖形，幾何圖形的總面積保持不變，等于所分割成的小圖形的面積之和”是該原理的重要內(nèi)容之一、如圖，在矩形中，，，對角線與交于點(diǎn)O，點(diǎn)E為邊上的一個(gè)動點(diǎn)，，，垂足分別為點(diǎn)F，G，則．

10．（23-24九年級上·江蘇無錫·期末）如圖，已知等腰中，，，P為三角形內(nèi)（含邊）一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作、、的垂線，垂足分別為D、E、F．若，則長為；若，則點(diǎn)P運(yùn)動的路徑長為．11.（23-24八年級下·河南南陽·期中）在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)P為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)過點(diǎn)P分別作PE∥AC交AB于點(diǎn)E，PF∥AB交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)F．（1）觀察猜想:如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P、D重合，試猜想PD，PE，PF與AB的數(shù)量關(guān)系：．（2）類比探究:如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在△ABC內(nèi)時(shí)，過點(diǎn)P作MN∥BC交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N，試寫出PD，PE，PF與AB的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．（3）解決問題:如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在△ABC外時(shí)，若AB＝6，PD＝1，請直接寫出平行四邊形PEAF的周長．12．（23-24泰州八年級上期中）從特殊出發(fā)：如圖1，在ABC中，AB=AC，點(diǎn)P為邊BC上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別為D、E，過點(diǎn)C作CF⊥AB，垂足為F，求證：PD+PE=CF．小明的證明思路：如圖2，連接AP，由ABP與ACP面積之和等于ABC的面積可以證得PD+PE=CF（不需寫出證明過程）．變化一下：（1）如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在BC的延長線上時(shí)，其余條件不變，請運(yùn)用上述解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和方法，猜想PD、PE和CF的關(guān)系，并證明．從幾何到函數(shù)：如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中有兩條直線l1、l2，分別是函數(shù)和的圖像，l1、l2與x軸的交點(diǎn)分別為A、B．（2）兩條直線恰好相交于y軸上的點(diǎn)C，點(diǎn)C的坐標(biāo)是；（3）說明ABC是等腰三角形；（4）若l2上的一點(diǎn)M到l1的距離是1，運(yùn)用上面的結(jié)論，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．13.（23-24九年級上·四川成都·期中）教材再現(xiàn)：面積法是常用的求長度法，如例圖中，等腰中，．即，∵，∴是個(gè)固定值．(1)如圖1，在矩形中，與交于O，，P是上不與A和D重合的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作和的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，則的值為_________．知識應(yīng)用：(2)如圖2，在矩形中，點(diǎn)M，N分別在邊，上，將矩形沿直線折疊，使點(diǎn)D恰好與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C落在點(diǎn)處．點(diǎn)P為線段上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)M，N重合），過點(diǎn)P分別作直線，的垂線，垂足分別為E和F，以，為鄰邊作平行四邊形，若的周長是否為定值？若是，請求出的周長；若不是，請說明理由．(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)P是等邊．外一點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)P分別作直線、、的垂線、垂足分別為點(diǎn)E、D、F．若，請直接寫出的面積_________．14．（23-24八年級下·四川宜賓·階段練習(xí)）閱讀材料：如圖，中，，為底邊上任意一點(diǎn)，點(diǎn)到兩腰的距離分別為，腰上的高為，連接，則，即：，∴（定值）．(1)理解與應(yīng)用：如圖，在邊長為的正方形中，點(diǎn)E為對角線上的一點(diǎn)，且，為上一點(diǎn)，于，于，試?yán)蒙鲜鼋Y(jié)論求出的長．(2)類比與推理：如果把“等腰三角形”改成“等邊三角形”，那么的位置可以由“在底邊上任一點(diǎn)”放寬為“在三角形內(nèi)任一點(diǎn)”，即：已知等邊內(nèi)任意一點(diǎn)到各邊的距離分別為，等邊的高為，試證明（定值）．(3)拓展與延伸：若正邊形，內(nèi)部任意一點(diǎn)到各邊的距離為，請問是否為定值？如果是，請合理猜測出這個(gè)定值．

15．（2022·黑龍江綏化·中考真題）我們可以通過面積運(yùn)算的方法，得到等腰三角形底邊上的任意一點(diǎn)到兩腰的距離之和與一腰上的高之間的數(shù)量關(guān)系，并利用這個(gè)關(guān)系解決相關(guān)問題．(1)如圖一，在等腰中，，邊上有一點(diǎn)D，過點(diǎn)D作于E，于F，過點(diǎn)C作于G.利用面積證明：．(2)如圖二，將矩形沿著折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，點(diǎn)B落在處，點(diǎn)G為折痕上一點(diǎn)，過點(diǎn)G作于M，于N.若，，求的長．(3)如圖三，在四邊形中，E為線段上的一點(diǎn)，，，連接，且，，，，求的長．16．（2023·陜西渭南·二模）（1）【問題提出】如圖1，在等腰中，，P是底邊上的任一點(diǎn)（不與B、C重合），于E，于F，于D．求證：；（2）【問題探究】如圖2，和是兩個(gè)含的直角三角形，其中，，連接、，，求的長；（3）【問題解決】如圖3，四邊形是某農(nóng)業(yè)觀光園的部分平面示意圖，是一條灌溉水渠，E為入口，E在線段上，管理人員計(jì)劃從入口E處沿、分別修兩條筆直的小路，將園區(qū)分割為、和三個(gè)區(qū)域，用來種植不同的農(nóng)作物．根據(jù)設(shè)計(jì)要求，，，且，米，米，米，已知修建小路、每米的造價(jià)為50元，求所修小路的總費(fèi)用．

17．（23-24八年級下·貴州遵義·期末）學(xué)完三角形的高后，小明對三角形與高線做了如下研究：如圖，D是中BC邊上的一點(diǎn)，過點(diǎn)D、A分別作、、，，垂足分別為點(diǎn)E、F、G，由與的面積之和等于的面積，有等量關(guān)系式：．像這種利用同一平面圖形的兩種面積計(jì)算途徑可以得出相關(guān)線段的數(shù)量關(guān)系式，從而用于解決數(shù)學(xué)問題的方法稱為“等積法”，下面請嘗試用這種方法解決下列問題．(1)