專題13 等腰（等邊）三角形中的重要模型之維維尼亞模型解讀與提分精練（全國）

專題13等腰（等邊）三角形中的重要模型之維維尼亞模型維維亞尼定理（Viviani'stheorem）：在\t"/item/%E7%BB%B4%E7%BB%B4%E4%BA%9A%E5%B0%BC%E5%AE%9A%E7%90%86/_blank"等邊三角形內任意一點P到三邊的\t"/item/%E7%BB%B4%E7%BB%B4%E4%BA%9A%E5%B0%BC%E5%AE%9A%E7%90%86/_blank"垂直距離之和，等于該等邊\t"/item/%E7%BB%B4%E7%BB%B4%E4%BA%9A%E5%B0%BC%E5%AE%9A%E7%90%86/_blank"三角形的高。這個定理可一般化為：等角\t"/item/%E7%BB%B4%E7%BB%B4%E4%BA%9A%E5%B0%BC%E5%AE%9A%E7%90%86/_blank"多邊形內任意一點P跟各邊的垂直距離之和，是不變的，跟該點的位置無關。它以溫琴佐·維維亞尼命名。而今天我們要學習的維維亞尼模型就是維維亞尼定理及其拓展，它的證明主要利用了等面積法，消去相等底邊后得到高之間的關系，因此等腰三角形的維維亞尼模型動點只能在底邊所在直線上運動，此時連接點和底邊所對頂點，能江原圖分割成兩個底相等的三角形。TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1.等邊三角形中維維尼亞模型 2模型2.等腰三角形中維維尼亞模型 7 14模型1.等邊三角形中維維尼亞模型條件：在等邊中，P是平面上一動點，過點P作PE⊥AC，PF⊥BC，PD⊥AB，過點A作AM⊥BC。結論：①如圖1，若動點P在三角形ABC內時，則PD+PE+PF=AM；②如圖2，若動點P在三角形ABC外時，則PD+PE-PF=AM。（當點P在三角形ABC外時，受P的位置影響，不同的位置結論稍有不同，但都可以使用等面積法證明）。

圖1圖2證明：①如圖1，連結AP，BP，CP?！呤堑冗吶切?，∴AB=BC=AC，則，∵；∴PD+PE+PF=AM。②如圖3，連結AP，BP，CP?！呤堑冗吶切?，∴AB=BC=CA，則，∵；∴PD+PE-PF=AM。例1．（2024·河北·二模）如圖，P為邊長為2的等邊三角形ABC內任意一點，連接PA、PB、PC，過P點分別作BC、AC、AB邊的垂線，垂足分別為D、E、F，則PD+PE+PF等于（）A． B． C．2 D．例2．（2024八年級·廣東·培優(yōu)）如圖，點P為等邊外一點，設點P到三邊的距離，且，則的面積等于（

）

A． B． C． D．例3．（23-24八年級上·浙江寧波·期中）如圖，P是等邊三角形內一點，且，，，以下3個結論：①；②；③；④若點P到三邊的距離分別為，，，則有，其中正確的有（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個例4．（23-24八年級上·云南昆明·期末）如圖（1），已知在中，且過A作于點P，點M是直線上一動點，設點M到兩邊、的距離分別為m，n，的高為h．

(1)當點M運動到什么位置時，，并說明理由．(2)如圖（2），試判斷m、n、h之間的關系，并證明你的結論．(3)如圖（3），當點M運動到的延長線上時，求證：模型2.等腰三角形中維維尼亞模型條件：如圖，等腰（AB=AC）中，點P在BC上運動，過點P作PD⊥AB，PH⊥AC，CE⊥AB，結論：①如圖1，若動點P在邊BC上時，則PE+PD=CF。②如圖2，若動點P在BC延長線上時，則|PF-PE|=CD。圖1圖2證明：①如圖1，連結AP；∵是等邊三角形，∴AB=AC，則，∵；∴PE+PD=CF。①如圖2，連結AP；∵是等邊三角形，∴AB=AC，則，∵；∴PF-PE=CD。例1．（23-24八年級上·廣西百色·期末）如圖，已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，點O是BC上任意一點，OE⊥AB，OF⊥AC，等腰三角形的腰長為4，面積為4，則OE+OF的值為()A．1.5 B．2 C．2.5 D．3例2．（23-24九年級下·四川成都·階段練習）如圖，將矩形沿EF折疊，使點D落在點B處，P為折痕上的任意一點，過點P作，垂足分別為G，H，若，，則．例3．（23-24八年級下·江西吉安·階段練習）數(shù)學課上，老師畫出一等腰并標注：，，然后讓同學們提出有效問題并解決請你結合同學們提出的問題給予解答．

(1)甲同學提出：______度；(2)乙同學提出：的面積為：______；(3)丙同學提出：點D為邊的中點，，，垂足為E、F，請求出的值；(4)丁同學說受丙同學啟發(fā)，點D為邊上任一點，，，，垂足為E、F、H，則有．請你為丁同學說明理由．例4．（23-24山西八年級上期中）（1）如圖（1），已知在等腰三角形中，，點是底邊上的一點，，垂足為點，，垂足為點．求證：為定長．（2）如圖（2），已知在等腰三角形中，，點是底邊的延長線上的一點，，垂足為點，，垂足為點．求證：為定長．（3）如圖（3），已知：點為等邊三角形內任意一點，過分別作三邊的垂線，分別交三邊與、、．求證：為定長．例5．（2024·江西·一模）我們定義：有一組鄰角相等的凸四邊形叫做“等鄰角四邊形”，例如：如圖1，∠B＝∠C，則四邊形ABCD為等鄰角四邊形．(1)定義理解：已知四邊形ABCD為等鄰角四邊形，且∠A＝130°，∠B＝120°，則∠D＝______度．(2)變式應用：如圖2，在五邊形ABCDE中，ED∥BC，對角線BD平分∠ABC．①求證：四邊形ABDE為等鄰角四邊形；②若∠A+∠C+∠E＝300°，∠BDC＝∠C，請判斷△BCD的形狀，并明理由．(3)深入探究：如圖3，在等鄰角四邊形ABCD中，∠B＝∠BCD，CE⊥AB，垂足為E，點P為邊BC上的一動點，過點P作PM⊥AB，PN⊥CD，垂足分別為M，N．在點P的運動過程中，判斷PM+PN與CE的數(shù)量關系？請說明理由．(4)遷移拓展：如圖4，是一個航模的截面示意圖．四邊形ABCD是等鄰角四邊形，∠A＝∠ABC，E為AB邊上的一點，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分別為D、C，AB＝2dm，AD＝3dm，BD＝dm．M、N分別為AE、BE的中點，連接DM、CN，求△DEM與△CEN的周長之和．1．（23-24八年級上·浙江寧波·期末）如圖，在等腰△中，，，是△外一點，到三邊的垂線段分別為，，，且，則的長度為（

）A．5 B．6 C． D．2．（23-24九年級上·重慶·期中）如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，tanC＝2，BD⊥AC于點D，點G是底邊BC上一點，過點G向兩腰作垂線段，垂足分別為E、F，若BD＝4，GE＝1.5，則BF的長度為（

）

A．0.75 B．0.8 C．1.25 D．1.353．（23-24八年級下·福建泉州·期中）如圖，是三角形內一點，，若，且是等邊三角形，則的周長為（）

A．12 B．18 C．24 D．304．（23-24八年級上·江蘇常州·階段練習）如圖，為等邊三角形，點是邊上異于B，的任意一點，于點E．于點F．若邊上的高線，則．5．（2024·四川成都·模擬預測）如圖，在中，，，，點為此三角形內部（包含三角形的邊）的一點且到三角形三邊的距離和為7，則的最小值為．6．（2024八年級·廣東·培優(yōu)）如圖，中，，點P是邊上任意一點，點Q是延長線上任意一點，過點P分別作于點D，于點E，過點Q分別作于點F，于點G，則．（填“>”“<”或“=”）7．（23-24九年級上·山東青島·期末）如圖，將矩形沿折疊，使點D落在點B上，點C落在點處，點Р為折痕上的任一點，過點Р作，垂足分別為G、H，若，，則下列結論正確的有（填正確結論的序號）①②的面積是③④．8．（2024八年級·廣東·培優(yōu)）如圖，在中，線段AD為中線，點O為線段AD的中點，直線l經過點O，且B，C兩點在l的同側，過點B，C，D，A作直線l的垂線，垂足分別為點E，F(xiàn)，H，G．則下列說法一定正確的有．

①；②；③；④若點B，C位于l異側，有．9．（2023·四川內江·中考真題）出入相補原理是我國古代數(shù)學的重要成就之一，最早是由三國時期數(shù)學家劉徽創(chuàng)建．“將一個幾何圖形，任意切成多塊小圖形，幾何圖形的總面積保持不變，等于所分割成的小圖形的面積之和”是該原理的重要內容之一、如圖，在矩形中，，，對角線與交于點O，點E為邊上的一個動點，，，垂足分別為點F，G，則．

10．（23-24九年級上·江蘇無錫·期末）如圖，已知等腰中，，，P為三角形內（含邊）一點，過點P分別作、、的垂線，垂足分別為D、E、F．若，則長為；若，則點P運動的路徑長為．11.（23-24八年級下·河南南陽·期中）在△ABC中，AB＝AC，點P為△ABC所在平面內一點過點P分別作PE∥AC交AB于點E，PF∥AB交BC于點D，交AC于點F．（1）觀察猜想:如圖1，當點P在BC邊上時，此時點P、D重合，試猜想PD，PE，PF與AB的數(shù)量關系：．（2）類比探究:如圖2，當點P在△ABC內時，過點P作MN∥BC交AB于點M，交AC于點N，試寫出PD，PE，PF與AB的數(shù)量關系，并加以證明．（3）解決問題:如圖3，當點P在△ABC外時，若AB＝6，PD＝1，請直接寫出平行四邊形PEAF的周長．12．（23-24泰州八年級上期中）從特殊出發(fā)：如圖1，在ABC中，AB=AC，點P為邊BC上的任意一點，過點P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別為D、E，過點C作CF⊥AB，垂足為F，求證：PD+PE=CF．小明的證明思路：如圖2，連接AP，由ABP與ACP面積之和等于ABC的面積可以證得PD+PE=CF（不需寫出證明過程）．變化一下：（1）如圖3，當點P在BC的延長線上時，其余條件不變，請運用上述解答中所積累的經驗和方法，猜想PD、PE和CF的關系，并證明．從幾何到函數(shù)：如圖4，在平面直角坐標系中有兩條直線l1、l2，分別是函數(shù)和的圖像，l1、l2與x軸的交點分別為A、B．（2）兩條直線恰好相交于y軸上的點C，點C的坐標是；（3）說明ABC是等腰三角形；（4）若l2上的一點M到l1的距離是1，運用上面的結論，求點M的坐標．13.（23-24九年級上·四川成都·期中）教材再現(xiàn)：面積法是常用的求長度法，如例圖中，等腰中，．即，∵，∴是個固定值．(1)如圖1，在矩形中，與交于O，，P是上不與A和D重合的一個動點，過點P分別作和的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，則的值為_________．知識應用：(2)如圖2，在矩形中，點M，N分別在邊，上，將矩形沿直線折疊，使點D恰好與點B重合，點C落在點處．點P為線段上一動點（不與點M，N重合），過點P分別作直線，的垂線，垂足分別為E和F，以，為鄰邊作平行四邊形，若的周長是否為定值？若是，請求出的周長；若不是，請說明理由．(3)如圖3，當點P是等邊．外一點時，過點P分別作直線、、的垂線、垂足分別為點E、D、F．若，請直接寫出的面積_________．14．（23-24八年級下·四川宜賓·階段練習）閱讀材料：如圖，中，，為底邊上任意一點，點到兩腰的距離分別為，腰上的高為，連接，則，即：，∴（定值）．(1)理解與應用：如圖，在邊長為的正方形中，點E為對角線上的一點，且，為上一點，于，于，試利用上述結論求出的長．(2)類比與推理：如果把“等腰三角形”改成“等邊三角形”，那么的位置可以由“在底邊上任一點”放寬為“在三角形內任一點”，即：已知等邊內任意一點到各邊的距離分別為，等邊的高為，試證明（定值）．(3)拓展與延伸：若正邊形，內部任意一點到各邊的距離為，請問是否為定值？如果是，請合理猜測出這個定值．

15．（2022·黑龍江綏化·中考真題）我們可以通過面積運算的方法，得到等腰三角形底邊上的任意一點到兩腰的距離之和與一腰上的高之間的數(shù)量關系，并利用這個關系解決相關問題．(1)如圖一，在等腰中，，邊上有一點D，過點D作于E，于F，過點C作于G.利用面積證明：．(2)如圖二，將矩形沿著折疊，使點A與點C重合，點B落在處，點G為折痕上一點，過點G作于M，于N.若，，求的長．(3)如圖三，在四邊形中，E為線段上的一點，，，連接，且，，，，求的長．16．（2023·陜西渭南·二模）（1）【問題提出】如圖1，在等腰中，，P是底邊上的任一點（不與B、C重合），于E，于F，于D．求證：；（2）【問題探究】如圖2，和是兩個含的直角三角形，其中，，連接、，，求的長；（3）【問題解決】如圖3，四邊形是某農業(yè)觀光園的部分平面示意圖，是一條灌溉水渠，E為入口，E在線段上，管理人員計劃從入口E處沿、分別修兩條筆直的小路，將園區(qū)分割為、和三個區(qū)域，用來種植不同的農作物．根據(jù)設計要求，，，且，米，米，米，已知修建小路、每米的造價為50元，求所修小路的總費用．

17．（23-24八年級下·貴州遵義·期末）學完三角形的高后，小明對三角形與高線做了如下研究：如圖，D是中BC邊上的一點，過點D、A分別作、、，，垂足分別為點E、F、G，由與的面積之和等于的面積，有等量關系式：．像這種利用同一平面圖形的兩種面積計算途徑可以得出相關線段的數(shù)量關系式，從而用于解決數(shù)學問題的方法稱為“等積法”，下面請嘗試用這種方法解決下列問題．(1)