專題26 相似模型之梅涅勞斯（定理）模型與塞瓦（定理）模型解讀與提分精練（全國(guó)）（解析版）

專題26相似模型之梅涅勞斯（定理）模型與塞瓦（定理）模型梅涅勞斯（Menelaus，公元98年左右），是希臘數(shù)學(xué)家兼天文學(xué)家，梅涅勞斯定理是平面幾何中的一個(gè)重要定理。塞瓦（G·Gevo1647-1734）是意大利數(shù)學(xué)家兼水利工程師．他在1678年發(fā)表了一個(gè)著名的定理，后世以他的名字來命名，叫做塞瓦定理。使用梅涅勞斯和塞瓦定理可以進(jìn)行直線形中線段長(zhǎng)度比例的計(jì)算，其逆定理還可以用來進(jìn)行三點(diǎn)共線、三線共點(diǎn)等問題的判定方法，是平面幾何學(xué)以及射影幾何學(xué)中的一項(xiàng)基本定理，具有重要的作用．TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.梅涅勞斯（定理）模型及其逆定理 1模型2.塞瓦（定理）模型 7 12模型1.梅涅勞斯（定理）模型及其逆定理梅涅勞斯（定理）模型：如圖1，如果一條直線與的三邊AB、BC、CA或其延長(zhǎng)線交于F、D、E點(diǎn)，那么。其中：這條直線叫的梅氏線，叫梅氏三角形。注意：梅涅勞斯（定理）特征是三點(diǎn)共線；我們用梅涅勞斯（定理）解決的大部分問題，也可添加輔助線后用平行線分線段成比例和相似來解決。1）梅涅勞斯（定理）模型：如圖1，如果一條直線與的三邊AB、BC、CA或其延長(zhǎng)線交于F、D、E點(diǎn)，那么。其中：這條直線叫的梅氏線，叫梅氏三角形。圖1圖2證明：證明：如圖2，過點(diǎn)A作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，易證：，∴，；．2）梅涅勞斯定理的逆定理模型：如圖1，若F、D、E分別是的三邊AB、BC、CA或其延長(zhǎng)線的三點(diǎn)，如果，則F、D、E三點(diǎn)共線．證明：先假設(shè)F、D、E三點(diǎn)不共線，直線DF與AC交于P，由\t"/item/%E6%A2%85%E6%B6%85%E5%8A%B3%E6%96%AF%E9%80%86%E5%AE%9A%E7%90%86/_blank"梅涅勞斯定理的定理得?！?，∴，∴

，∴?！郈P=CE；即P與E重合，∴D、E、F三點(diǎn)共線。例1．（23-24九年級(jí)上·福建泉州·階段練習(xí)）如圖，已知，是的中線，是的中點(diǎn)，則．【答案】【分析】法1：這道題是梅氏定理的直接應(yīng)用，難點(diǎn)在于找梅氏線：直線FEB。法2：過點(diǎn)作，交于，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到，，根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)得到，得到，，計(jì)算即可．本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【詳解】法1：∵直線EBF是的梅氏線，∴．∵是的中線，∴，∵是的中點(diǎn)，∴，∴，．故答案為：．法2：過點(diǎn)作交于，則，是的中線，是的中點(diǎn)，，，，．故答案為：．例2.（23-24八年級(jí)下·廣東潮州·期中）中，D為中點(diǎn)，E為中點(diǎn)，直線交于F，求證：．【答案】見解析【分析】法1：這道題是梅氏定理的直接應(yīng)用，難點(diǎn)在于找梅氏線：直線FEB。法2：本題考查了三角形中位線的性質(zhì)及平行線分線段成比例定理，作的中點(diǎn)G，連接，證明，即可得出，進(jìn)而可證明，即可得出．【詳解】法1：∵直線EBF是的梅氏線，∴．∵D為中點(diǎn)，，∴，∵是的中點(diǎn)，∴，∴，．．法2：作的中點(diǎn)G，連接，則，∵，∴，∴，∵，∴，∴．例3.如圖，在中，D為BC的中點(diǎn)，．求．【解析】∵HFC是的梅氏線，∴，∵D為BC的中點(diǎn)，，∴，．∴，∴．∵GEC是的梅氏線，∴，∴，∴．∴．∴．【點(diǎn)睛】這道題主要考查多個(gè)梅氏定理的應(yīng)用，考查相對(duì)綜合．例4.（24-25重慶九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2，F(xiàn)為AB中點(diǎn)，延長(zhǎng)BC至D，使CD＝BC，連接FD交AC于E，則四邊形BCEF的面積為．【解析】∵DEF是△ABC的梅氏線，∴由梅涅勞斯定理得，，即，則，連FC，S△BCF＝S△ABC，S△CEF＝S△ABC，于是SBCEF＝S△BCF+S△CEF＝S△ABC＝××2×2sin60°＝×＝．故答案為．例5.如圖，CD、BE、AF分別為（不是等邊三角形）的三個(gè)外角平分線，分別交AB、AC、BC于D、E、F．證明：D、E、F三點(diǎn)共線．【解析】過C作BE的平行線，則，所以是等腰三角形．則．則有：．同理；．所以．所以D、E、F共線．【點(diǎn)睛】這道題主要是考查梅氏定理逆定理判定三點(diǎn)共線．例6．（24-25·廣東·九年級(jí)校聯(lián)考期中）梅涅勞斯（Menelaus）是古希臘數(shù)學(xué)家，他首先證明了梅涅勞斯定理，定理的內(nèi)容是：如圖1，如果一條直線與的三邊或它們的延長(zhǎng)線交于三點(diǎn)，那么一定有．下面是利用相似三角形的有關(guān)知識(shí)證明該定理的部分過程：證明：如圖2，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則有，，∴，．請(qǐng)用上述定理的證明方法解決以下問題：

（1）如圖3，三邊的延長(zhǎng)線分別交直線于三點(diǎn)，證明：．請(qǐng)用上述定理的證明方法或結(jié)論解決以下問題：（2）如圖4，等邊的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且與交于點(diǎn)，試求的長(zhǎng)．（3）如圖5，的面積為4，F(xiàn)為中點(diǎn)，延長(zhǎng)至，使，連接交于，求四邊形的面積．【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）【分析】(1)過點(diǎn)作交于點(diǎn)，根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例，化簡(jiǎn)計(jì)算即可．(2)根據(jù)定理，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)解答即可．(3)根據(jù)定理，計(jì)算比值，后解答即可．【詳解】（1）證明：如圖，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則．故：．

（2）解：如圖，根據(jù)梅涅勞斯定理得：．又，∴，．在等邊中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，．由勾股定理知：．（3）解：線段是的梅氏線，由梅涅勞斯定理得，，即，則．如圖，連接，，于是．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，三角形面積的計(jì)算，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵．模型2.塞瓦（定理）模型塞瓦（定理）模型：塞瓦定理是指在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)O，延長(zhǎng)AO、BO、CO分別交對(duì)邊于D、E、F，如圖3，則。注意：塞瓦（定理）的特征是三線共點(diǎn)，我們用塞瓦（定理）解決的大部分問題，也可添加輔助線后用平行線分線段成比例和相似來解決。塞瓦（定理）模型：塞瓦定理是指在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)O，延長(zhǎng)AO、BO、CO分別交對(duì)邊于D、E、F，如圖3，則。塞瓦（定理）證明：法1：可利用梅涅勞斯定理證明：在△中，割線∴①在△中，割線，∴②，由②÷①：即得：。法2：∵；∴①；同理：②；③；由①×②×③得：。塞瓦定理的逆定理：如果有三點(diǎn)分別在△的三邊上，且滿足，那么三線交于一點(diǎn)。塞瓦定理的逆定理證明：設(shè)、交于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)并延長(zhǎng)交于；根據(jù)塞瓦定理：?！?，∴，∴，∴與重合，即證。注意：利用塞瓦定理的逆定理可判定三線共點(diǎn)，如證明三角形三條中線交于一點(diǎn)；三角形三條角平分線必交于一點(diǎn)；三角形三條高線交于一點(diǎn)等。例1.如圖，設(shè)M為△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，BM與AC交于點(diǎn)E，CM與AB交于點(diǎn)F，若AM通過BC的中點(diǎn)，求證：EF//BC?！驹斀狻孔C明：在中，∵點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，∴．對(duì)△ABC和點(diǎn)M應(yīng)用賽瓦定理可得：．∴，∴．即EF//BC；點(diǎn)評(píng)：本題考查了賽瓦定理，要熟練掌握定理的內(nèi)容，是解此題的關(guān)鍵．例2.如圖，在銳角△ABC中，AD是BC邊上的高線，H是線段AD內(nèi)任一點(diǎn)，BH和CH的延長(zhǎng)線分別交AC、AB于E、F，求證：∠EDH=∠FDH。【詳解】證明：過點(diǎn)A作PQ//BC，與DF，DE的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)P、Q，則DA⊥PQ。對(duì)△ABC和點(diǎn)H應(yīng)用賽瓦定理可得：．∵PQ//BC，∴,∴,∴AP=AQ根據(jù)垂直平分線，∴PD=QD，∴△PQD是等腰三角形，∴∠EDH=∠FDH。點(diǎn)評(píng)：本題考查了賽瓦定理，要熟練掌握定理的內(nèi)容，是解此題的關(guān)鍵．例3.如圖，四邊形ABCD的對(duì)邊AB和CD，AD、BC分別相交于L、K，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)M，直線KL與BD，AC分別交于F、G，求證：.對(duì)△DKL和點(diǎn)B應(yīng)用賽瓦定理可得：．①對(duì)和截線，由梅氏定理得：②由①②得：點(diǎn)評(píng)：本題考查了賽瓦定理，要熟練掌握定理的內(nèi)容，是解此題的關(guān)鍵．例4.已知：內(nèi)角平分線、、與對(duì)邊分別交于點(diǎn)、、。求證：三角形三條內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)。（用塞瓦定理的逆定理證明）證明：由角平分線定理知因此由塞瓦定理逆定理得交于一點(diǎn)。例5．（2022·山西晉中·統(tǒng)考一模）請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)任務(wù)：塞瓦定理：塞瓦定理載于1678年發(fā)表的《直線論》，是意大利數(shù)學(xué)家塞瓦的重大發(fā)現(xiàn)．塞瓦是意大利偉大的水利工程師，數(shù)學(xué)家．定理內(nèi)容：如圖1，塞瓦定理是指在內(nèi)任取一點(diǎn)，延長(zhǎng)AO，BO，CO分別交對(duì)邊于D，E，F(xiàn)，則．?dāng)?shù)學(xué)意義：使用塞瓦定理可以進(jìn)行直線形中線段長(zhǎng)度比例的計(jì)算，其逆定理還可以用來進(jìn)行三點(diǎn)共線、三線共點(diǎn)等問題的判定方法，是平面幾何學(xué)以及射影幾何學(xué)中的一項(xiàng)基本定理，具有重要的作用．任務(wù)解決：(1)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D，E分別為邊BC，AC的中點(diǎn)時(shí)，求證：點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)；(2)若為等邊三角形（圖3），，，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，求BF的長(zhǎng)，并直接寫出的面積．【答案】(1)證明見解析(2)；的面積為【分析】（1）根據(jù)塞瓦定和中點(diǎn)的性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)塞瓦定和等邊三角形的性質(zhì)即可求出BF，然后過點(diǎn)F作FG⊥BC于G，證明，可求出OD，從而求出△BOC的面積，然后根據(jù)可求△BCF的面積，從而得解．【詳解】（1）證明：在中，∵點(diǎn)D，E分別為邊BC，AC的中點(diǎn)，∴，．由賽瓦定理可得：．∴，∴．即點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)；（2）解：∵為等邊三角形，，∴∵點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，∴，∵，∴．由賽瓦定理可得：；過點(diǎn)F作FG⊥BC于G，∴，，∴CG=BC-BG=8，∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∴，∴，∴，即，∴，∴，∵AB=12，BF=8，∴AF=AB-BF=4，∴，∴又，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、中點(diǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，讀懂題意，學(xué)會(huì)運(yùn)用塞瓦定理是解題的關(guān)鍵．1．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·二模）如圖，是的中線，點(diǎn)在上，交于點(diǎn)，若，則為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】法1：這道題是梅氏定理的直接應(yīng)用，難點(diǎn)在于找梅氏線：直線EFB。法2：本題考查了構(gòu)造平行線并利用平行線分線段成比例進(jìn)行解決問題，正確構(gòu)造平行線是解題的關(guān)鍵．過點(diǎn)作交于點(diǎn)，利用，得，再利用平行線分線段成比例可得，再利用比例的性質(zhì)即可求解．【詳解】法1：∵直線EFB是的梅氏線，∴。∵是的中線，∴，∵，∴，，∴，故選：B．法2：過點(diǎn)作交于點(diǎn)，如圖，∵是的中線，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故選：B．2．（23-24上·上海閔行·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，、、內(nèi)分正的三邊、、均為兩部分，、、相交成的的面積是的面積的（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】法1：利用梅氏定理和等積模型求解即可。法2：如圖，過作交于設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為：結(jié)合題意可得：證明證明設(shè)等邊三角形的面積為：可得從而可得答案.【解析】法1：∵，∴，對(duì)和截線，由梅氏定理得：，即，∴，∴，∴.∵，∴,同理：，，故.法2：如圖，過作交于設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為：結(jié)合題意可得：同理：設(shè)等邊三角形的面積為：，的面積是的面積的故選D【點(diǎn)睛】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積問題，掌握“作出適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)建相似三角形”是解題的關(guān)鍵.3．（24-25九年級(jí)上·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）如圖，中，是邊上的點(diǎn)，且，是邊上的點(diǎn)，且，分別交于，則等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查的是平行線分線段成比例定理，相似三角形的判定及性質(zhì)，作交于點(diǎn)F，作交于點(diǎn)G，設(shè)，則，，設(shè)，則，根據(jù)平行線分線段成比例定理，推導(dǎo)出與之間的數(shù)量關(guān)系，即可求解．【詳解】解：作交于點(diǎn)F，作交于點(diǎn)G，，設(shè)，則，，同理，設(shè)，則，，∴，，，，，則，，則，，，，，，，，，，，，故選D．4．（2024廣東?？家荒＃┤鐖D，為的直徑，C為上一點(diǎn)，的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，E為的中點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．若，，則的長(zhǎng)為．【答案】/【分析】法1：連接BC，先根據(jù)梅氏定理求出CD的長(zhǎng)度，再射影定理求得的長(zhǎng)度即可。法2：連接OC，BC，根據(jù)為的直徑，可得∠ACB=∠BCD=90°，再由E為的中點(diǎn)，可得CE=BE=DE，從而得到∠BCE=∠CBE，然后根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠ABD=90°，再由OC=OB，可得∠OCF=90°，然后根據(jù)，可得△OBC是等邊三角形，進(jìn)而得到∠A=30°，∠CBD=30°，最后根據(jù)銳角三角函數(shù)，即可求解．【詳解】法1：∵CEF是的梅氏線，由CEF截可得，∵E為的中點(diǎn)，∴BE=DE，∵，∴AF:FB=3:1，∵AC=4，∴，即，∴，由射影定理：∴.法2：如圖，連接OC，BC，∵為的直徑，∴∠ACB=∠BCD=90°，∵E為的中點(diǎn)，∴CE=BE=DE，∴∠BCE=∠CBE，∵是的切線，∴∠ABD=90°，即∠CBD+∠OBC=90°，∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∴∠OCB+∠BCE=∠OBC+∠CBD=90°，即∠OCF=90°，∵，∴BC=OB=OC，∴△OBC是等邊三角形，∴∠BOC=∠OBC=60°，∴∠A=30°，∠CBD=30°，∵，∴，∴，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理、切線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、解直角三角形，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．5．（24-25·江蘇·九年級(jí)期中）如圖，的面積為，、分別是，上的點(diǎn)，且,．連接,交于點(diǎn),連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．則四邊形的面積為．【答案】.【分析】法1：對(duì)△ABC和點(diǎn)F應(yīng)用賽瓦定理得到，再利用面積關(guān)系求解即可。法2：先畫出圖形,再作DJ∥EC交AB于J,交AH于K，作DG∥BC交AH于G，由題推出EF:FC=1:3，BH:CH=1:2，求出△BEF,△BFH的面積即可．【詳解】證明：在中，∵,．對(duì)△ABC和點(diǎn)F應(yīng)用賽瓦定理可得：．∴，∴．∵，∴，∵；設(shè)，則，，故，，∵的面積為；∴，∴，∴S四邊形BEFH=，法2：根據(jù)題意畫出圖形:作DJ∥EC交AB于J,交AH于K作DG∥BC交AH于G，∵DJ∥EC,AD=DC，∴AJ=JE,AK=KF，∴EF=2JK,DJ=2EF,CF=2DK，設(shè)JK=m,則EF=2m,DJ=4m,DK=3m,CF=6m，∴EF:CF=1:3，∵AE=2BE，∴BE=EJ，∵EF∥DJ，∴BF=DF，∵GD∥BH，∴∠GDF=∠FBH，∵∠GFD=∠HFB,BF=DF，∴△DFG≌△BFH（ASA），∴DG=BH，∵DG∥CH,AD=DC，∴AG=GH，∴CH=2DG，∴BH=2CH，∵BE=AB，∴S△BEC=S△ABC=，∵EG=EC，∴S△BEF=S△BEC=,S△BFC=，∵BH=BC，∴S△BHF=×=，∴S四邊形BEFH=+=．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的全等及輔助線的做法,關(guān)鍵在于通過輔助線將面積分成兩個(gè)三角形面積求證．6.（24-25·成都·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，中，D、E分別是BC、CA上的點(diǎn)，且BD：DC=m：1，CE：EA=n：1，AD與BE交于F，求的值?！窘馕觥俊連D：DC=m：1，∴，對(duì)和截線，由梅氏定理得：，即，∴，∴.∴.另解：此題也可過點(diǎn)E或D作平行線，利用平行線分線段成比例或相似求解?！军c(diǎn)睛】這道題主要考查梅氏定理和面積問題．7．如圖：P，Q，R分別是△ABC的BC，CA，AB邊上的點(diǎn)．若AP，BQ，CR相交于一點(diǎn)M，求證：．證明：如圖，由三角形面積的性質(zhì)，∵①；同理：②；③；由①×②×③得：。8.如圖，在△中，分別在邊上，且,設(shè)與交于點(diǎn)，求證：通過的中點(diǎn).證明：連結(jié)∵∴∵∴∴三線共點(diǎn)，∵與交于點(diǎn)∴通過的中點(diǎn).9.已知：銳角三邊上的高線、、與對(duì)邊分別交于點(diǎn)、、。求證：三角形三條高線交于一點(diǎn)。（用塞瓦定理的逆定理證明）證明：在銳角三角形中，易證△∽△，即;同理可證所以。即。由于三角形的三條高線不可能平行，由塞瓦定理逆定理得交于一點(diǎn)。10．（24-25九年級(jí)上·甘肅蘭州·期中）請(qǐng)閱讀下列材料，完成任務(wù)．梅涅勞斯（Menelaus）是公元1世紀(jì)時(shí)的希臘數(shù)學(xué)家兼天文學(xué)家，著有幾何學(xué)和三角學(xué)方面的許多書籍．梅涅勞斯發(fā)現(xiàn)，若一條直線與三角形的三邊或其延長(zhǎng)線相交（交點(diǎn)不能是三角形的頂點(diǎn)），可以得到六條線段，三條不連續(xù)線段的乘積等于剩下三條線段的乘積．該定理被稱為梅涅勞斯定理，簡(jiǎn)稱梅氏定理．如圖1，直線交線段于點(diǎn)，交線段于點(diǎn)，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，可截得六條線段，則這六條線段滿足，下面是該定理的一部分證明過程：證明：如圖2，過點(diǎn)作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則有（依據(jù)），…(1)上述過程中的“依據(jù)”指的是；(2)請(qǐng)將該定理的證明過程補(bǔ)充完整．【答案】(1)平行線分線段成比例(2)見解析【分析】本題考查了平行線分線段成比例質(zhì)．（1）根據(jù)題意，上述過程中的依據(jù)指的是：平行線分線段成比例，兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例；（2）根據(jù)平行線分線段成比例，得到，進(jìn)而得到，得證．【詳解】（1）解：上述過程中的依據(jù)指的是：平行線分線段成比例；故答案為：平行線分線段成比例；（2）解：該定理的證明過程補(bǔ)充完整如下：，，，，即．11．（2023上·山西臨汾·九年級(jí)統(tǒng)考期末）梅涅勞斯定理梅涅勞斯（）是古希臘數(shù)學(xué)家，他首先證明了梅涅勞斯定理，定理的內(nèi)容是：如圖（1），如果一條直線與的三邊AB，BC，CA或它們的延長(zhǎng)線交于F、D、E三點(diǎn)，那么一定有．下面是利用相似三角形的有關(guān)知識(shí)證明該定理的部分過程：證明：如圖（2），過點(diǎn)A作，交DF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，則有．任務(wù)：（1）請(qǐng)你將上述材料中的剩余的證明過程補(bǔ)充完整；（2）如圖（3），在中，，，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在AB上，且，CF與AD交于點(diǎn)E，則________．【答案】（1）見解析；（2）6【分析】（1）由題意可得，然后根據(jù)比例的性質(zhì)可進(jìn)行求證；（2）由（1）可得，進(jìn)而由題意易得，，然后可得，則由勾股定理可得，最后問題可求解．【詳解】解：（1）補(bǔ)充的證明過程如下：，，；（2）根據(jù)梅涅勞斯定理得，∵點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，，，，，∵，，∴AD⊥BC，BD=5，∴在中，，．故答案為6．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．12．（2024·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)．塞瓦（GiovanniCeva，1648～1734）意大利水利工程師，數(shù)學(xué)家，塞瓦定理載于1678年發(fā)表的《直線論》一書，塞瓦定理是指如圖1，在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)O，延長(zhǎng)AO，BO，CO分別交對(duì)邊于D，F(xiàn)，E，則．下面是該定理的部分證明過程：如圖2，過點(diǎn)A作BC的平行線分別交BE，CF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，N．則∠N＝∠FCB，∠NAF＝∠FBC．∴△NAF∽△CBF．∴①．同理可得△NOA∽△COD．∴②．任務(wù)一：(1)請(qǐng)分別寫出與△MOA，△MEA相似的三角形；(2)寫出由（1）得到的比例線段；任務(wù)二：結(jié)合①②和（2），完成該定理的證明；任務(wù)三：如圖3，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，CD⊥AB，垂足為D，點(diǎn)E為DC的中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)F，連接BE并延長(zhǎng)，交AC于點(diǎn)G．小明同學(xué)自學(xué)了上面定理之后解決了如圖3所示的問題，并且他用所學(xué)知識(shí)已經(jīng)求出了BF與FC的比是25：16，請(qǐng)你直接寫出△ECG與△EAG面積的比．【答案】(1)△MOA∽△BOD；△MEA∽△BEC；(2)；．任務(wù)二：證明見解析；任務(wù)三：．【分析】任務(wù)一：可直接通過“8”字型相似得出答案；任務(wù)二：通過相似之間的對(duì)應(yīng)邊比例轉(zhuǎn)換得出結(jié)論；任務(wù)三：由任務(wù)一和任務(wù)二得出1，可得出的值，再由△ECG和△EAG為同高，故面積比就等于底邊CG和GA之比．【詳解】（1）解：任務(wù)一：∵M(jìn)N//BC∴△MOA∽△BOD；△MEA∽△BEC；（2）；任務(wù)二：證明：如圖所示：由任務(wù)一可得：；同理可得△OAN∽△ODC；△AFN∽△BFC；∴；∴；∴．任務(wù)三：由任務(wù)一和任務(wù)二可得：在△ABC中，1；∵Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，∴AB；∴cos∠BAC；∴；∴AD；∴BD＝AB﹣AD；∵1；∴1；解得；過點(diǎn)E作EH⊥AC于H；∴【點(diǎn)睛】本題主要是根據(jù)“8”字型的相似得出對(duì)應(yīng)的邊之比，任務(wù)二的重難點(diǎn)在于各邊比例之間的轉(zhuǎn)換，任務(wù)三中兩個(gè)三角形同高，故面積比等于底邊比；本題屬于中等偏.上類題．13．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·校考一模）如圖1，在中，D是邊上的一點(diǎn)，過點(diǎn)D的直線分別與、的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M、N．問題引入：若點(diǎn)D是的中點(diǎn)，，求的值；如圖2，可以過點(diǎn)C作，交于點(diǎn)P；如圖3，也可以過點(diǎn)A作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q．探索研究：（1）如圖4，若點(diǎn)D為上任意一點(diǎn)，求證：．

拓展應(yīng)用：（2）如圖5，P是內(nèi)任意一點(diǎn)，，則_______，____．【答案】（1）見詳解；（2），【分析】（1）過點(diǎn)C作CP∥AB交MN于點(diǎn)P，由題意易得，，則有，，然后問題可求證；（2）過點(diǎn)D分別作DG∥AB，DH∥AC，由題意易得，，，，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可進(jìn)行求解．【詳解】（1）證明：過點(diǎn)C作CP∥AB交MN于點(diǎn)P，如圖所示：∴，，∴，，∴；（2）過點(diǎn)D分別作DG∥AB，DH∥AC，如圖所示：∴，，∴，，∵，∴，，∴，∴；∵DH∥AC，∴，，∴，，∴，∴；故答案為，．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．14．（2023·江蘇鹽城·二模）【回歸課本】我們?cè)鴮W(xué)習(xí)過一個(gè)基本事實(shí)：兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．【初步體驗(yàn)】（1）如圖1，在中，點(diǎn)D在上，．若，，，則，；（2）已知，如圖1，在中，且．求證：．證明：過點(diǎn)E作的平行線交于點(diǎn)F．………………請(qǐng)依據(jù)相似三角形的定義（如果兩個(gè)三角形各角分別相等，且各邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似）和上面的基本事實(shí)，補(bǔ)充上面的證明過程；【深入探究】（3）如圖2，如果一條直線與的三邊或其延長(zhǎng)線交于D、F、E點(diǎn)，那是否為定值？若是；若不是，請(qǐng)說明理由；（4）如圖3，在中，D為的中點(diǎn)，，則．【答案】（1）3，；（2）見解析（3）是，定值為1；（4）【分析】（1）根據(jù)平行線分線段成比例，直接代入即可；（2）過點(diǎn)E作的平行線交于點(diǎn)F，利用平行線的性質(zhì)得，，，再證明四邊形是平行四邊形，即可證明結(jié)論；（3）作，交于G，利用平行線分線段成比例定理得，，代入計(jì)算即可；（4）過點(diǎn)D作，交于Q，交于P，首先得出，再根據(jù)點(diǎn)D為的中點(diǎn)，，得，，分別表示出，與的關(guān)系即可．本題是相似形綜合題，主要考查了平行線分線段成比例定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，作平行線利用平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】(1)∵，，，，∴，∴，∴，∴，故答案為：3，；(2)過點(diǎn)E作的平行線交于點(diǎn)F，∵，∴，，∵，∴，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴；(3)為定值，作，交于G，∴，，∴，∴為定值；(4)過點(diǎn)D作，交于Q，交于點(diǎn)P，∵，∴，∵，∴，∵點(diǎn)D為的中點(diǎn)，，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，故答案為：．15．（23-24九年級(jí)上·山西運(yùn)城·期中）請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．梅涅勞斯（）是公元1世紀(jì)時(shí)的希臘數(shù)學(xué)家兼天文學(xué)家，著有幾何學(xué)和三角學(xué)方面的許多書籍．梅涅勞斯發(fā)現(xiàn)，若一條直線與三角形的三邊或其延長(zhǎng)線相交（交點(diǎn)不能是三角形的頂點(diǎn)），可以得到六條線段，三條不連續(xù)線段的乘積等于剩下三條線段的乘積．該定理被稱為梅涅勞斯定理，簡(jiǎn)稱梅氏定理．如圖1，直線交線段于點(diǎn)，交線段于點(diǎn)，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，可截得六條線段、、、、、，則這六條線段滿足．下面是該定理的一部分證明過程：證明：如圖2，過點(diǎn)作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)則有（依據(jù)），…(1)上述過程中的依據(jù)指的是________；(2)請(qǐng)將該定理的證明過程補(bǔ)充完整．(3)在圖1中，若點(diǎn)是的中點(diǎn)，，則的值為________；(4)在圖1中，若，，則的值為________．【答案】(1)平行線分線段成比例(2)證明過程補(bǔ)充見解析(3)(4)【分析】本題考查了平行線分線段成比例，相似三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意，上述過程中的依據(jù)指的是：平行線分線段成比例，兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例；（2）根據(jù)平行線分線段