專題31 最值模型之將軍飲馬模型解讀與提分精練（全國）

專題31最值模型之將軍飲馬模型“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，這是唐代詩人李頎《古從軍行》里的一句詩，由此卻引申出一系列非常有趣的數(shù)學(xué)問題，通常稱為“將軍飲馬”。將軍飲馬問題從本質(zhì)上來看是由軸對(duì)稱衍生而來，同時(shí)還需掌握平移型將軍飲馬（即將軍遛馬、造橋或過橋），主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想。在各類考試中都以中高檔題為主，本專題就特殊的平行四邊形背景下的將軍飲馬問題進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.將軍飲馬模型（雙線段和的最小值） 1模型2.將軍飲馬模型（雙線段差的最大值） 6模型3.將軍飲馬模型（多線段和的最值） 9 15模型1.將軍飲馬模型（雙線段和的最小值）條件：A，B為定點(diǎn)，m為定直線，P為直線m上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求AP+BP的最小值。模型（1）點(diǎn)A、B在直線m兩側(cè)：模型（2）點(diǎn)A、B在直線同側(cè)：模型（1）點(diǎn)A、B在直線m兩側(cè)：模型（2）點(diǎn)A、B在直線同側(cè)：圖（1）圖（2）模型（1）：如圖（1），連結(jié)AB,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，AP+BP的最小值即為：線段AB的長度。模型（2）：如圖（2），作點(diǎn)A關(guān)于定直線m的對(duì)稱點(diǎn)A’,連結(jié)A’B,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，AP+BP的最小值即為：線段A’B的長度。例1．（2024·陜西西安·一模）如圖，在四邊形中，，，，，，E是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)，則的最小值為．例2．（2024·四川廣安·中考真題）如圖，在中，，，，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．例3．（2024·廣東·二模）如圖，菱形的一條對(duì)角線，，P是對(duì)角線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為邊，的中點(diǎn)，則的最小值是（

）A．2 B． C．4 D．例4．（2024·河南洛陽·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在扇形中，，平分交于點(diǎn)，點(diǎn)為半徑上一動(dòng)點(diǎn)．若陰影部分周長的最小值為，則扇形的半徑的長為．

模型2.將軍飲馬模型（雙線段差的最大值）條件：A，B為定點(diǎn)，m為定直線，P為直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求|AP-BP|的最大值。模型（1）：點(diǎn)A、B在直線m同側(cè)：模型（2）：點(diǎn)A、B在直線m異側(cè)：圖（1）圖（2）模型（1）：如圖（1），延長AB交直線m于點(diǎn)P，當(dāng)A、B、P不共線時(shí)，根據(jù)三角形三邊關(guān)系，有：|P’A-P’B|＜AB，當(dāng)A、B、P共線時(shí)，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即為：線段AB的長度。模型（2）：如圖（2），作點(diǎn)B作關(guān)于直線m的對(duì)稱點(diǎn)B’，連接AB’交直線m于點(diǎn)P，此時(shí)PB=PB’。當(dāng)A、B、P不共線時(shí)，根據(jù)三角形三邊關(guān)系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’，當(dāng)A、B、P共線時(shí)，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即為：線段AB’的長度。例1．（2024·河南南陽·一模）如圖，已知△ABC為等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P為直線CD上的動(dòng)點(diǎn)，則|PA－PB|的最大值為____．例2．（2024·陜西渭南·二模）如圖，在菱形中，為邊中點(diǎn)，而點(diǎn)在邊上，為對(duì)角線所在直線上一動(dòng)點(diǎn)，已知，，且，則的最大值為．例3．（23-24八年級(jí)下·山東聊城·期中）如圖，在正方形中，，與交于點(diǎn)，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且為對(duì)角線上一點(diǎn)，則的最大值為．

模型3.將軍飲馬（多線段和的最值模型）模型（1）：兩定點(diǎn)+兩動(dòng)點(diǎn)條件：A，B為定點(diǎn)，在直線m、n上分別找兩點(diǎn)P、Q，使PA+PQ+QB最小。兩個(gè)點(diǎn)都在直線外側(cè)（圖1-1）；內(nèi)外側(cè)各一點(diǎn)（圖1-2）；兩個(gè)點(diǎn)都在內(nèi)側(cè)（圖1-3）圖1-1圖1-1圖1-1圖2模型（2）：一定點(diǎn)+兩動(dòng)點(diǎn)條件：如圖2，A為定點(diǎn)，在直線m、n上分別找兩點(diǎn)P、Q，使三角形APQ的周長（AP+PQ+QA）最小。圖1-1圖1-1圖1-1圖2模型（1-1）（兩點(diǎn)都在直線外側(cè)型）如圖（1-1），連結(jié)AB,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，PA+PQ+QB的最小值即為：線段AB的長度。模型（1-2）（直線內(nèi)外側(cè)各一點(diǎn)型）如圖（1-2），作點(diǎn)B關(guān)于定直線n的對(duì)稱點(diǎn)B’,連結(jié)AB’,根據(jù)對(duì)稱得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，PA+PQ+QB的最小值即為：線段AB’的長度。模型（1-3）（兩點(diǎn)都在直線內(nèi)側(cè)型）如圖（1-3），作點(diǎn)B關(guān)于定直線n的對(duì)稱點(diǎn)B’,作點(diǎn)A關(guān)于定直線m的對(duì)稱點(diǎn)A’,連結(jié)A’B’,根據(jù)對(duì)稱得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，PA+PQ+QB的最小值即為：線段A’B’的長度。模型（2）：如圖（2），作點(diǎn)A分別關(guān)于定直線m、n的對(duì)稱點(diǎn)A’、A’’,連結(jié)A’B,根據(jù)對(duì)稱得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’，再利用“兩點(diǎn)之間線段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即為：線段A’A’’的長度。例1．（2023·四川廣元·一模）如圖，已知正方形邊長為3，點(diǎn)E在邊上且，點(diǎn)P，Q分別是邊，的動(dòng)點(diǎn)（均不與頂點(diǎn)重合），當(dāng)四邊形的周長取最小值時(shí)，四邊形的面積是（

）A． B． C． D．例2．（2022·山東泰安·中考真題）如圖，，點(diǎn)M、N分別在邊上，且，點(diǎn)P、Q分別在邊上，則的最小值是（

）A． B． C． D．例3．（23-24九年級(jí)上·陜西漢中·期中）（1）如圖①，在中，．若點(diǎn)P是邊上一點(diǎn)．則的最小值為．（2）如圖②，在中，，，點(diǎn)E是的中點(diǎn)．若點(diǎn)P是邊上一點(diǎn)，求的最小值．（3）公園內(nèi)有一條四邊形型環(huán)湖路，如圖③．若米，米，．為滿足市民健身需求，現(xiàn)要修一條由，連接而成的步行景觀道，其中點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊，上．為了節(jié)省成本，要使所修的這條步行景觀道最短，即的值最小，求此時(shí)的長．（路面寬度忽略不計(jì)）

1．（2024·河南周口·一模）如圖，正方形中，點(diǎn)M，N分別為，上的動(dòng)點(diǎn)，且，，交于點(diǎn)E，點(diǎn)F為的中點(diǎn)，點(diǎn)P為上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，．若，則的最小值為（

）A． B． C．5 D．2．（2024·山東泰安·二模）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)E是邊的點(diǎn)，，點(diǎn)F是線段上一點(diǎn)，連接，以為直角邊作等腰直角，為斜邊，連接，則的最小值為（

）A．6 B． C． D．3．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形，點(diǎn)、、、均在坐標(biāo)軸上，，點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）A．3 B．5 C． D．4．（2023·遼寧盤錦·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形是矩形，，，點(diǎn)P是邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，D重合），連接．點(diǎn)M，N分別是的中點(diǎn)，連接，，，點(diǎn)E在邊上，，則的最小值是（

）

A． B．3 C． D．5．（2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）如圖，是線段上一點(diǎn)，和是位于直線同側(cè)的兩個(gè)等邊三角形，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)．若，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）

A．的最小值為 B．的最小值為C．周長的最小值為6 D．四邊形面積的最小值為6．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形的邊長為4，點(diǎn)E在邊上，且，F(xiàn)為對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，，則的最小值為．

7．（2024·陜西寶雞·二模）如圖，點(diǎn)是矩形的對(duì)稱中心，點(diǎn)，分別在邊，上，且經(jīng)過點(diǎn)，，，，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)．則周長的最小值為．8．（2024·陜西渭南·二模）如圖，在四邊形中，，，，連接、交于點(diǎn)，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，連接，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接、，則的最小值為．9．（2024·陜西商洛·三模）如圖，點(diǎn)為正方形的對(duì)稱中心，點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接，作交于點(diǎn)，連接，為的中點(diǎn)，為邊上一點(diǎn)，且，連接，，則的最小值為．10．（2023·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）如圖，中，，，，I為的內(nèi)心，若M、N分別是斜邊和直角邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接，則的最小值為．11．（2024·海南·三模）如圖，矩形中，，，、分別是直線、上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，沿翻折形成，連接、，則，的最小值是.

12．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，連接，，的垂直平分線交于E，交于F，P是線段上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為的中點(diǎn)．若，的面積是24，則的最小值為．13．（2024·山東淄博·一模）如圖，線段與相交于點(diǎn)E，保持，已知，，則的最小值是．14．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）如圖，是邊長為的等邊三角形，點(diǎn)為高上的動(dòng)點(diǎn)．連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到．連接，，，則周長的最小值是．

15．（2023上·江蘇常州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，是的直徑，點(diǎn)A是半圓上的三等分點(diǎn)，B是弧的中點(diǎn)，P點(diǎn)為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的最小值為.

16．（2023·湖北黃岡·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在菱形中，，，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，點(diǎn)F在上，且，點(diǎn)G為直線上一動(dòng)點(diǎn)，的最大值是___________．

17．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，四邊形中，，，，，，點(diǎn)為直線左側(cè)平面上一點(diǎn)，的面積為，則的最大值為______．18．（2024·陜西榆林·二模）【問題提出】（1）如圖1，在四邊形中，，，，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，點(diǎn)F為BC上一點(diǎn)，連接EF，，則的長為________；【問題探究】（2）如圖2，菱形的邊長為8，且，E是的中點(diǎn)，F(xiàn)為對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，求周長的最小值；【問題解決】（3）某校為了開展勞動(dòng)教育，開辟出一塊四邊形空地，其平面示意圖如圖3中四邊形所示，經(jīng)測(cè)量，米，米，，并沿著對(duì)角線修建一條隔墻（厚度不計(jì)）將該空地分成和兩個(gè)區(qū)域，其中區(qū)域?yàn)橛酌缗嘤齾^(qū)，區(qū)域?yàn)樽魑镉^察區(qū)，的中點(diǎn)P處有一扇門，現(xiàn)計(jì)劃在上取點(diǎn)E、F（點(diǎn)E在點(diǎn)F左側(cè)），并沿修建一面結(jié)果記錄墻（厚度不計(jì)），根據(jù)規(guī)劃要求，米，且與的長度之和最小，請(qǐng)問的值是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．19．（23-24九年級(jí)上·河南周口·期末）唐朝詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——將軍飲馬問題：如圖1所示，詩中將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點(diǎn)出發(fā)，走到河旁邊的P點(diǎn)飲馬后再到B點(diǎn)宿營．請(qǐng)問怎樣走才能使總的路程最短？作法如下：如圖1，從出發(fā)向河岸引垂線，垂足為，在的延長線上，取關(guān)于河岸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，與河岸線相交于，則點(diǎn)就是飲馬的地方，將軍只要從A出發(fā)，沿直線走到，飲馬之后，再由沿直線走到，所走的路程就是最短的．

(1)觀察發(fā)現(xiàn)如圖2，在等腰梯形中，，點(diǎn)、是底邊與的中點(diǎn)，連接，在線段上找一點(diǎn)，使最短．作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，恰好與點(diǎn)重合，連接交于一點(diǎn)，則這點(diǎn)就是所求的點(diǎn)，故的最小值為_______．(2)實(shí)踐運(yùn)用如圖3，已知的直徑，點(diǎn)A在圓上，且的度數(shù)為，點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，點(diǎn)在直徑上運(yùn)動(dòng)，求的最小值．(3)拓展遷移如圖，已知拋物線的對(duì)稱軸為，且拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)，與軸交于另一點(diǎn)．①求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；②在拋物線的對(duì)稱軸直線上找到一點(diǎn)，使周長最小，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)與周長最小值．20．（2024·甘肅蘭州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點(diǎn)．(1)求此反比例函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)在y軸上存在點(diǎn)，使得的值最小，求的最小值．21．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)，并交x軸于另一點(diǎn)B，點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，直線AM與軸交于點(diǎn)D．

(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)H是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，分別連接MH，DH，求的最小值；22．（2023·陜西西安·九年級(jí)校考階段練習(xí)）【問題提出】(1)如圖1，，在內(nèi)部有一點(diǎn)P，M、N分別是、上的動(dòng)點(diǎn)，分別作點(diǎn)P關(guān)于邊、的對(duì)稱點(diǎn)，，連接，與、相交于M、N，則此時(shí)的周長最小，且順次連接O，，后的形狀是等腰直角