飛機(jī)空氣動(dòng)力學(xué)課件：真實(shí)氣體的考慮

真實(shí)氣體的考慮《飛機(jī)空氣動(dòng)力學(xué)》目錄4.1引言4.4黏性流的特性4.5伯努利方程式的修正4.3穩(wěn)態(tài)一維的不可壓縮流4.2氣流的壓縮性4.1

引言4.1

引言所謂理想流體(Ideal

fluid)的假設(shè)是將流體流動(dòng)時(shí)的密度變化與黏性忽略不

計(jì)，也就是假設(shè)流動(dòng)時(shí)，流體的密度p=

constant與黏度=0簡(jiǎn)單地說(shuō)，理想流體的假設(shè)必須同時(shí)滿足前面內(nèi)容提及的“不可壓縮流體”與“非黏性流體”假設(shè)。雖然此假設(shè)可以大幅地簡(jiǎn)化某些低速空氣動(dòng)力學(xué)問題研究難度，且能夠得到極小的誤差，但是實(shí)際研究中發(fā)現(xiàn)，氣體的壓縮性與黏性對(duì)航空器飛行與物體運(yùn)動(dòng)造成的影響經(jīng)常不能忽略。例如1752年法國(guó)物理學(xué)家達(dá)朗伯特根據(jù)勢(shì)流理論(Potentialflowtheory，也即非黏性流理論)，推導(dǎo)出球體運(yùn)動(dòng)時(shí)所受的空氣阻力為0。這一個(gè)推導(dǎo)的結(jié)果與一般人的認(rèn)知有差異，也與實(shí)際測(cè)量結(jié)果產(chǎn)生矛盾，所以此推論稱為達(dá)朗伯特悖論。4.1

引言達(dá)朗伯特悖論是理想流體與實(shí)測(cè)結(jié)果產(chǎn)生矛盾最有名例子。除此之外，如果我們忽略了空氣的壓縮性，也就是不考慮氣體流動(dòng)時(shí)的密度變化

，就無(wú)法解釋激波對(duì)

飛機(jī)飛行造成的影響。如果忽略了空氣的黏性，我們就不可能用理論來(lái)發(fā)現(xiàn)飛機(jī)飛行常見的現(xiàn)象，例如飛機(jī)失速問題。所以理想流體的假設(shè)雖然可以說(shuō)是簡(jiǎn)化空氣動(dòng)力學(xué)計(jì)算難度的一大利器，但是此假設(shè)常常對(duì)計(jì)算結(jié)果的精確度造成嚴(yán)重的影響，甚至可能出現(xiàn)推論的結(jié)果與真實(shí)現(xiàn)象不一致的情況。因此理想流體的假設(shè)通常只能用于處理某些簡(jiǎn)單的低速流體流

動(dòng)問題4.2

氣流的壓縮性4.2

氣流的壓縮性氣體的流速高于0.3馬赫(Ma)時(shí)，由于速度的變化對(duì)氣流的壓力與

密度造成的影響較大

，

氣體流速對(duì)氣體密度變化的影響不得不考慮，這就是氣流壓縮性的考慮。人們?cè)谔接憵饬髁魉賹?duì)氣體密度造成的影響時(shí)討論的重點(diǎn)多放在理想

氣體的特性、氣體壓縮性的定義、聲速與馬赫數(shù)的計(jì)算、氣體流速對(duì)流場(chǎng)形態(tài)的影響與可逆絕熱過(guò)程等方面4.2

氣流的壓縮性1

．理想氣體理想氣體(Ideal

gas)又稱為完全氣體(Perfect

gas)。一般而言，探討氣體的壓縮性時(shí)，氣體的流速高于0.3馬赫(Ma)。除非特別說(shuō)明，通常都將氣體的密度隨著溫度的變化關(guān)系用理想

氣體方程式來(lái)表示，也就是將氣體的行為當(dāng)成理想氣體來(lái)描述。(1)

定義氣體的壓力P、密度p與溫度T是主要的氣體狀態(tài)參數(shù)，三者之間互相影響。所謂理想氣體是假設(shè)氣體在高溫、低壓以及分子量非常小的情況下，氣體的壓力P、密度p與溫度T的關(guān)系可以用理想氣體方程式(Ideal

gas

equation)來(lái)表示，即

P

=pRT其中，R為氣體常數(shù)，空氣的氣體常數(shù)R

=287m2

/(s2

K)必須注意的是，氣體的壓力與溫度要用絕對(duì)壓力與絕對(duì)溫度4.2

氣流的壓縮性【例4-1】如果室外空氣的溫度為10

oC，壓力為100

kPa，R

=

287

m2

/(s2

K)

空氣密度是多少？【解答】室外空氣的溫度為10oC

，所以絕對(duì)溫度為(273.15＋10)

K，從而P

100103

3RT

287(273.15

+10)P

=pRT

p

==

=1.23(kg/m)4.2

氣流的壓縮性(2)

計(jì)算公式常用的理想氣體方程式有P

=

pRT

、Pv

=RT

以及PV

=mRT

，這三種公式看起來(lái)似乎形式不同，其實(shí)只是密度p、比容v、體積V與質(zhì)量m之間的定義關(guān)系轉(zhuǎn)換這三種形式的計(jì)算公式表達(dá)的物理意義是相同的。(3)

適用條件一般而言，如果氣體的流速低于5倍聲速，研究氣體的壓力P、密度與溫度T的性質(zhì)變化關(guān)系一般就是采用理想氣體方程式，也就是將氣體的行為當(dāng)成理想氣體來(lái)描述。此時(shí)利用理想氣體方程式計(jì)算，其結(jié)果和真實(shí)情況相差不大。所以在氣體的流速高于5馬赫

(Ma)

時(shí)

，才有必要考慮真實(shí)氣體的狀態(tài)方程式，如范德華方程4.2

氣流的壓縮性2

．流體壓縮性的定義流體的壓縮性(Compressibility)是指流體的密度受壓力影響改變的程度，我們一般用壓縮系數(shù)或體積彈性系數(shù)E來(lái)量度流體的壓縮性：=

式中，表示流體的密度隨壓力改變的程度，越小，則表示流體的可壓縮性越小，流體越不容易壓縮。體積彈性系數(shù)E為壓縮系數(shù)的倒數(shù)，也就是E

=

1

=pdP

所以體積彈性系數(shù)E越大，流體的可壓縮性越小

，流體越不容易壓縮。3

．氣體的壓縮性與溫度之間的關(guān)系由于空氣的弱壓縮過(guò)程可以視為一個(gè)可逆絕熱過(guò)程(Reversibleadiabaticprocess)，也就是等熵過(guò)程(Isentropic

process)，而且氣體的狀態(tài)行為能夠用理想氣體方程式來(lái)描述，因此我們將等熵方程式P

=

CpY

與理想氣體方程式P

=pRT

代入中，可以得出

=

YRT

。從而知道，氣體的溫度越高，其壓縮性越小

，氣體越不容易壓縮。這點(diǎn)可以從日常生活經(jīng)驗(yàn)中得到證明，例如，皮球被太陽(yáng)曬過(guò)后，相較沒有被太陽(yáng)曬過(guò)時(shí)，我們需要施加更多的壓力才會(huì)使皮球變形

dp4.2

氣流的壓縮性【例4-2】試證明氣體在等熵過(guò)程中

=

RT【解答】dp(2)將理想氣體方程式P

=pRT

代入dP

P=

dp

p，即可得=

RT(1)因?yàn)?/p>

P

=

Cp

dP

=

C

p

?1

又因?yàn)?/p>

P

=Cp

C

=P

所以

dP

=

Pp

，

dp

pdPdp

，4.2

氣流的壓縮性4．聲速與馬赫數(shù)(1)聲速的定義如果對(duì)彈性介質(zhì)(包括流體和固體)施加一個(gè)小擾動(dòng)，介質(zhì)中某些參數(shù)(例如壓力和密度)會(huì)產(chǎn)生微小的變化，而且這種變化還將以振動(dòng)的形式向四周傳播。對(duì)于氣體而言，如果物體在氣體的流場(chǎng)內(nèi)運(yùn)動(dòng)會(huì)造成流場(chǎng)內(nèi)的壓力、密度和溫度等流動(dòng)性質(zhì)發(fā)生變化，我們稱這種現(xiàn)象為氣體受到擾動(dòng)(Disturbance)，而由于運(yùn)動(dòng)的物體是造成氣體擾動(dòng)的根源，所以其又稱為擾動(dòng)源

(Disturbance

source)。擾動(dòng)有強(qiáng)弱之分，如果擾動(dòng)導(dǎo)致的氣體流動(dòng)性質(zhì)的變化量非常小，則該擾動(dòng)稱為弱擾動(dòng)(Weak

disturbance)，例如鼓膜、聲帶振動(dòng)引起的擾動(dòng)。如果擾動(dòng)導(dǎo)致的氣體流動(dòng)性質(zhì)的變化量非常大，則該擾動(dòng)稱為強(qiáng)擾動(dòng)(Strong

disturbance)，例如激波與爆炸波。由于弱擾動(dòng)的傳播速度只取決于氣體的性質(zhì)與狀態(tài)參數(shù)，

與擾動(dòng)的種類與成因無(wú)關(guān)，而聲波的傳播是人們最常也最容易感覺到的一種微弱擾動(dòng)的傳播，所以習(xí)慣上將弱擾動(dòng)在氣體中的傳播速度稱為聲速(Sound

velocity)或音速(Sonic

velocity)，用符號(hào)a來(lái)表示4.2

氣流的壓縮性(2)

聲速的計(jì)算，，a

=dP

dp。聲音的傳播過(guò)程可以視為一個(gè)等熵過(guò)程，而我們前面已經(jīng)推導(dǎo)出

，在等熵過(guò)程中氣體的行為滿足關(guān)系式=RT

，因此可以獲得聲速a與溫度T的關(guān)系計(jì)算式a

=

RT式中，為等熵指數(shù)、R為空氣的氣體常數(shù)，T為絕對(duì)溫度。從關(guān)系式中可以推得，氣體的溫度越高，聲速越快；反之溫度越低，聲速也就越慢。由于在11km以下，也就是對(duì)流層內(nèi)，大氣的溫

度隨著高度增加而逐漸降低，所以聲速也隨之變慢。航空領(lǐng)域經(jīng)常使用的聲速有兩個(gè)：一個(gè)是地面的聲速，其值約為340m/s；另一個(gè)是海平面10km高度，也就是現(xiàn)代大型民航客機(jī)的巡航高度處，聲速值為300m/s聲速是指聲音或弱擾動(dòng)在氣體中傳播的速度理論推導(dǎo)中我們發(fā)現(xiàn)其數(shù)學(xué)定義可以表示為a2

=

dP即dp4.2

氣流的壓縮性【例4-3】若飛機(jī)在壓力P

=450kPa、29.2oC的情況下飛行，聲速是多少？【解答】T

=(29.2+273)K

=302.2K，a

=

RT所以聲速a

=

RT=

1.40.2871000302.2=348(m/s)因?yàn)榇髿獾臏囟榷?.2

氣流的壓縮性(3)馬赫數(shù)與流場(chǎng)的分類馬赫數(shù)(Mach

number)是空氣動(dòng)力學(xué)中一個(gè)很重要的參數(shù)，其物理定義為物體的運(yùn)動(dòng)速度或氣體的流速對(duì)聲速的比值，數(shù)學(xué)定義可用Ma

=表示。式中，Ma指馬赫數(shù)，V指物體的運(yùn)動(dòng)速度或氣體的流速，a為聲速。依據(jù)馬赫數(shù)的不同，我們可以將氣體流場(chǎng)分成不可壓縮流場(chǎng)、亞聲速流場(chǎng)、聲速流場(chǎng)以及超聲

速流場(chǎng)四種形式。①不可壓縮流場(chǎng)。如果氣體的流速均小于0.3馬赫(Ma)，此時(shí)不會(huì)考慮氣體流速對(duì)其密度造成的影響，通常將氣體的密度當(dāng)成一個(gè)常數(shù)，即p

=

constant

氣體的流動(dòng)就稱為不可壓縮流 (Incompressible

flow)，流場(chǎng)即稱為不可壓縮流場(chǎng)(Incompressible

flow

field)。p4.2

氣流的壓縮性②亞聲速流場(chǎng)：如果流場(chǎng)內(nèi)氣體的流速均大于0.3馬赫

(Ma)

且小于1.0馬赫

(Ma)，則該氣體的流動(dòng)稱為亞聲速流(Subsonic

flow)，而流場(chǎng)即稱為亞聲速流場(chǎng)(Subsonic

flow

field)。

該流場(chǎng)內(nèi)氣體的流速均大于0.3馬赫且小于當(dāng)?shù)氐穆曀?，我們不可以將流?chǎng)內(nèi)氣體密度變化忽略不計(jì)，通常使用理想氣體方程式P

=pRT描述氣體流動(dòng)性質(zhì)的變化。當(dāng)然亦有部分學(xué)者把不可壓縮流場(chǎng)視為亞聲速流場(chǎng)，即氣體流速為0~1.0馬赫(Ma)。③聲速流場(chǎng)：如果流場(chǎng)內(nèi)氣體流速均等于當(dāng)?shù)氐穆曀伲瑒t該氣體的流動(dòng)稱為聲速流(Sonicflow)，流場(chǎng)即稱為聲速流場(chǎng)(Sonicflow

field)。實(shí)驗(yàn)證明，當(dāng)氣體的流速等于聲速時(shí)，激波開

始出現(xiàn)。由此可知，聲速是氣體開始產(chǎn)生激波(Shock

wave)的臨界速度(Criticalvelocity)，當(dāng)氣體流速大于或等于1.0馬赫(Ma≥1.0)時(shí)，必須考慮激波對(duì)氣體的流場(chǎng)造成的影響。④超聲速流場(chǎng)：如果流場(chǎng)內(nèi)氣體流速均大于當(dāng)?shù)氐穆曀?，則該氣體的流動(dòng)稱為超聲速流(Supersonic

flow)，流場(chǎng)即稱為超聲速流場(chǎng)(Supersonic

flow

field)。流場(chǎng)為超聲速時(shí)，必須考慮激波對(duì)流場(chǎng)內(nèi)的氣體流動(dòng)性質(zhì)與流速造成的影響。4.2

氣流的壓縮性【例4-4】一架飛機(jī)以700

km/h的速度在高度為10

km的空中巡航飛行，若機(jī)身外面空氣的溫度為223.26

K，試計(jì)算聲速以及馬赫數(shù)【解答】(1)

a

=RT

=1.4287223.6=299.7(m/s)(2)因?yàn)轱w機(jī)的巡航速度V

=700km/h

=7001000/3600m/s所以馬赫數(shù)Ma

=

V

=

194.4

=

0.65a299.74.2

氣流的壓縮性5

．等熵過(guò)程在研究氣體的弱擾動(dòng)過(guò)程(Weak

disturbance

process)或者高速氣體在管道內(nèi)的流動(dòng)問題時(shí)，我們通常將氣體狀態(tài)改變過(guò)程視為等熵過(guò)程并配以理想氣體方程式計(jì)算。(1)

定義所謂等熵過(guò)程(Isentropic

process)又稱為可逆絕熱過(guò)程(Reversible

adiabatic

process)，是指過(guò)程在進(jìn)行時(shí)必須同時(shí)滿足可逆與絕熱兩種過(guò)程的成立條件，所以其定義為“如果一個(gè)過(guò)程在

進(jìn)行時(shí)

，系統(tǒng)與外界沒有熱量交換

，而且在過(guò)程進(jìn)行后，系統(tǒng)與外界兩者能夠以任何的方式

，依照

能量守恒的原則

，回到過(guò)程進(jìn)行前的狀態(tài)，則該過(guò)程就稱為等熵過(guò)程”(2)

計(jì)算公式在等熵也就是可逆絕熱過(guò)程中，氣體的壓力與密度之間的關(guān)系可以使用計(jì)算公式P

=Cp來(lái)描述，此公式即為等熵方程式(Isentropic

equation)。式中，P與p分別表示氣體的壓力與密度，為等熵指數(shù)，其值為1.33~1.4，C為某一個(gè)特定的常數(shù)4.2

氣流的壓縮性(3)壓力、溫度與密度變化的關(guān)系根據(jù)等熵方程式P

=

Cp

與理想氣體狀態(tài)方程P

=

pRT

，我們可以得到等熵過(guò)程中壓力、溫度與密度的關(guān)系：=

=式中，P1

與P2

、T1

與T2以及p1

與p2分別表示在等熵過(guò)程中狀態(tài)1與狀態(tài)2的壓力、溫度與密度。(4)滯止參數(shù)的定義及其與馬赫數(shù)的關(guān)系所謂滯止參數(shù)(Stagnation

parameter)是探討在穩(wěn)態(tài)、一維與等熵流動(dòng)時(shí)，氣體處于滯止?fàn)?/p>

態(tài)的氣流參數(shù)，通常也將滯止參數(shù)稱為總參數(shù)(Total

parameter)。有關(guān)滯止參數(shù)或總參數(shù)方面

的研究重點(diǎn)放在等熵流動(dòng)時(shí)氣體的滯止溫度、滯止壓力以及滯止密度等參數(shù)上，而在工程實(shí)踐中用得最多的是探討滯止參數(shù)與馬赫數(shù)的關(guān)系。

?1

?1

?1

?1

?1

?1

?1

?1

?1

4.2

氣流的壓縮性①

滯止溫度滯止溫度(Stagnation

temperature)是指在穩(wěn)態(tài)一維流場(chǎng)內(nèi)，氣體的流動(dòng)速度

V

=

0

時(shí)的溫度，

也稱氣流的總溫度(Total

temperature)。將理想氣體等壓比熱的定義h

=CP

T

代入穩(wěn)態(tài)、一維等熵流動(dòng)能量守恒方程h

+

=

ht

中即得CP

T

+

=CP

Tt式中CP

、T、V與Tt

分別為氣體在流場(chǎng)內(nèi)的等壓比熱、溫度、速度與滯止溫度?？梢钥闯隽魉贋?時(shí)，氣體的溫度即為滯止溫度。而氣體流速不為0時(shí)，可以根據(jù)聲速的計(jì)算公式a

=、馬赫數(shù)的定義Ma

=

以及理想氣體等壓比熱公式CP

=

R

將滯止溫度的計(jì)算公式做進(jìn)一步的推導(dǎo)，從而得到氣體的滯止溫度(總溫)、流速V時(shí)的溫度T和馬赫數(shù)Ma之間的關(guān)系：

=

1

+

Ma2式中，是等熵指數(shù)，一般為1.33~1.4。4.2

氣流的壓縮性②滯止壓力：滯止壓力(Stagnation

pressure)是指在穩(wěn)態(tài)一維流場(chǎng)內(nèi)，

氣體的流動(dòng)速度

V

=0

時(shí)的壓力，

也稱氣流總壓力(Total

pressure)。根據(jù)=

1

+

Ma2

以及=

，能夠進(jìn)一步推

導(dǎo)出氣體的滯止壓力(總壓)Pt

、流速V時(shí)的壓力P和馬赫數(shù)Ma之間的關(guān)系：=

1

+

1

Ma2

③滯止密度：和滯止溫度與滯止壓力一樣，滯止密度(Stagnation

density)

定義為氣體在穩(wěn)態(tài)一維流場(chǎng)內(nèi)且其流動(dòng)速度時(shí)的密度，也稱為氣流總密度(Total

pressure)。氣體的滯止密1度pt、流速為V時(shí)的密度p

與馬赫數(shù)Ma之間的計(jì)算公式為=

1

+

Ma

④滯止參數(shù)的變化規(guī)律：等熵過(guò)程又稱為可逆絕熱過(guò)程，氣體與外界環(huán)境彼此之間沒有能量的損耗與熱量的交換。因此可知，在等熵過(guò)程中，氣流的滯止溫度(總溫)Tt

、滯止壓力(總壓)Pt

與滯止密度(總密度)pt

會(huì)保持不變，各自保持在某一個(gè)特定常數(shù)。工程計(jì)算中，氣流的滯止溫度Tt

、滯止壓力Pt

、滯止密度pt與氣流的溫度T

、壓力P

和密度p以及馬赫數(shù)Ma之間的關(guān)系分別為

=

1

+

Ma2

、

=

1

+

Ma2

和

=

1

+

Ma2

?1

?1

?1

?1

?1

?11

22

?1

?1

?1

?12

?1

?1

?1

?12?PPt

?1

?1

?1

?1

?1

?14.2

氣流的壓縮性【例4-5】如圖4-1所示，如果氣體的流動(dòng)視為可逆絕熱過(guò)程，駐點(diǎn)A的溫度為40oC，氣體的溫度為15

oC

，試求馬赫數(shù)Ma、速度V、滯止壓力Pt

和氣流壓力P的比值。(

的

值為1.4)圖4-1例4-5圖示4.2

氣流的壓縮性【解答】所謂駐點(diǎn)P的溫度就是指氣流的滯止溫度(總溫)Tt

。T?12(

Tt

2(273+40

=

1

+

2

Ma

2

，

?1T

)

1.4

273+15)因?yàn)閂

=Ma

a

，故V

=Ma

a

=Ma

RT=0.6581.4287(273+15)=222(m/s)根據(jù)

Pt

=

1

+

?1Ma2

?1，可以求得

1.4Pt

=

1

+

?1Ma2

1

+

1.4

?1

0.6582

1.34因此可以求出氣流的馬赫數(shù)為P

2

)

2

)=

|

?

|=

||=P

2

)因?yàn)?.658

Ma14.2

氣流的壓縮性【例4-6】空氣流過(guò)管道時(shí)，

在

A

=6.5cm2

的截面上，V

=300m/s，Ma

=0.6質(zhì)量流率m&=1.2kg/s試求該截面上空氣的靜壓和總壓。【解答】①氣體的流速大于0.3馬赫，所以必須考慮空氣的密度變化。②因?yàn)镻

=

pRT

、m&=

pAV

以及Ma

=

=

不

Ma2

=

，所以P

=

RT

=

〉=〉③

靜壓

P

=

〉

=

=

1.098

9〉104

(Pa)④

因?yàn)殪o壓與總壓的關(guān)系式為

=1+Ma2

，所以

Pt

=

P

1

+

Ma

2

=

1.098

9

〉

1

+

〉0.62

=

1.401

7〉104

(Pa)⑤壓力、溫度以及密度和馬赫數(shù)的關(guān)系。由于氣體在等熵流動(dòng)的過(guò)程中，滯止壓力(總壓力)Pt

、滯止溫度(總溫度)Tt

與滯止密度(總密度)pt

會(huì)保持不變，而且其與氣流的馬赫數(shù)Ma之間的關(guān)系式為

=1+Ma2

、

=

1

+

a

2

與

=

1

+

Ma2

因此進(jìn)一步地導(dǎo)出

=

、

=

、

=

y?1y?1y?1y?1y?1y?1y?1y?1y?1y?1y?1y?1y?1y?1y?1y?1y?1y?1y?1y?1y?1y?1y?1y?1y?1y?1yM1yr?1r?1r?1r?1r?1r?1r?1r?1r?1r?1r?1r?1r?1r?1r?1r?1r?1r?11.4?11.4?11.4?1r?1r?1r?1

r

1.44.2

氣流的壓縮性【例4-7】假設(shè)空氣在管道中流動(dòng)是等熵可壓縮過(guò)程，

=1.4，管道進(jìn)口處馬赫數(shù)為

M1

=

0.3截面面積為

A1

=0.001m2

，溫度為

T1

=62。C與絕對(duì)壓力為P1

=

650

kPa

，管道出

口處馬赫數(shù)

M2

=0.8，試求管道出口處溫度

T2

與絕對(duì)壓力

P2

的值4.2

氣流的壓縮性【解答】(1)因?yàn)樵诘褥乜蓧嚎s流動(dòng)過(guò)程中，空氣在管道出口處的絕對(duì)溫度T2

、絕對(duì)壓力P2

與管道進(jìn)口處絕對(duì)溫度T1

=

62

oC

=

(62

+

273)

K

、絕對(duì)壓力P1

的關(guān)系計(jì)算公式為

T2

=

1

+

Ma

、P2

=

1

+

Ma

所以

，

T1

1

+

M

21+0.20.82

1.128從而得出管道出口處溫度

T2

=

0.902

T1

=

0.902

(62

+

273)

K

=

302.2

K

=

29.2

oC(2)因?yàn)?/p>

P2

=

1

+

M

=

0.9023.5

=

0.7

P

1

+

M

1所以管道出口處絕對(duì)壓力為P2

=

0.7650kPa

=455kPa

?1

?1

?1

?1

?1

?11

?1

?1

?1221222.01.01.01=2.3.32=

.011P1220

1P10222?

?1

?1

?1

?112124.2

氣流的壓縮性【例4-8】假設(shè)空氣在管道中流動(dòng)是等熵可壓縮流，

=1.4，管道進(jìn)口處馬赫數(shù)為

M1

=0.3

、

溫度為

T1

=62。C，管道出口處馬赫數(shù)為

M2

=0.8，試求管道出口處溫度

T2

、速度

V2

和聲速4.2

氣流的壓縮性【解答】①因?yàn)樵诘褥乜蓧嚎s流動(dòng)過(guò)程中，空氣在管道出口處的絕對(duì)溫度T2

與管道進(jìn)口處絕對(duì)溫度

K

關(guān)系式為

=

，所以

=

=

=

=

0.902

，從而T2

=0.902T1

=0.902(62+273)K

=302.2

K=29.2oC②因?yàn)槁曀俚挠?jì)算公式為

a

=

RT，所以管道出口處聲速為a

=

RT

=

1.40.2871000302.2=348m

/s③由于V

=Ma

a

，所以管道出口處速度值為2

2

(m/s)得得度+273)溫2處(6出口oC

=道62管=出T1V

=M

a

=0.8348=278.44.3

穩(wěn)態(tài)一維的不可壓縮流4.3

穩(wěn)態(tài)一維的不可壓縮流對(duì)于液體流動(dòng)和流速不高、壓力變化較小的空氣流動(dòng)，除少數(shù)問題(例如液體流動(dòng)發(fā)生空蝕現(xiàn)象)外，我們都假定流體為不可壓縮。事實(shí)證明對(duì)于低于0.3馬赫的流動(dòng)，這樣的簡(jiǎn)化是可行的。但是對(duì)于高速流動(dòng)氣體問題，也就是高于0.3馬赫(Ma)的流動(dòng)問題，工程計(jì)算不得不考慮氣體的壓縮性。對(duì)于高亞聲速氣流，也就是速度范圍為0.3~1.0馬赫(Ma)的管道流動(dòng)，通常使用等熵假設(shè)，將氣體在等熵流動(dòng)過(guò)程中的性質(zhì)和馬赫數(shù)之間的關(guān)系式P

=

pRT

、Ma

=a

、a

=RT

、m&=

pAV

=

C氣體在管道流動(dòng)時(shí)的氣體性質(zhì)與流速的變化。例如氣體流經(jīng)發(fā)動(dòng)機(jī)進(jìn)氣道與噴管的流動(dòng)問題，就是用此方法來(lái)計(jì)算進(jìn)出口處壓力、溫度、密度與流速的變化等公式結(jié)合使用，用于求解高速與V4.4

黏性流的特性4.4

黏性流的特性事實(shí)上，流體流動(dòng)一定會(huì)有黏性，空氣既是流體的一種，自然也不例外。黏性

的存在使得流體運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)描述和處理變得十分困難。對(duì)于一些黏性較小的流體(例如水與空氣等)或者黏性作用不占主導(dǎo)的流動(dòng)問題，往往使用黏性的假設(shè)模擬真實(shí)流動(dòng)問題。但是對(duì)于某些黏性作用占據(jù)主導(dǎo)的問題，如果忽略流體黏性造成的影響，將會(huì)得到完全不符合實(shí)際情況的結(jié)果，例如前面的內(nèi)容提及的達(dá)朗伯特悖論就是一個(gè)典型例子4.4

黏性流的特性1．流體黏性的概念流體在流動(dòng)或者物體在流體中運(yùn)動(dòng)的時(shí)候，流體本身會(huì)產(chǎn)生一個(gè)阻滯流動(dòng)或物體在流體中運(yùn)動(dòng)的力量，此屬性稱為流體的黏性(Viscidity)，而流體黏性對(duì)流動(dòng)與物體運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的阻滯效應(yīng)稱為流體的黏滯效應(yīng)。流體的黏滯效應(yīng)就好像物體在地面運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體與地面接觸表面的摩擦效應(yīng)。研究指出，流體的黏性主要受流體分子與分子之間的吸引力(流體的內(nèi)聚力)以及流體分子的運(yùn)動(dòng)力等因素影響。流體的黏性受溫度的影響甚劇。對(duì)于氣體而言，內(nèi)部分子的運(yùn)動(dòng)力是影響?zhàn)ば缘闹饕蛩?，且依?jù)氣體分子動(dòng)力理論，當(dāng)溫度升高，氣體內(nèi)部的動(dòng)能增加，分子的運(yùn)動(dòng)力也隨之增加，所以溫度升高，氣體黏性增加。反之，如果溫度降低，氣體的黏性減少。實(shí)驗(yàn)與研究發(fā)現(xiàn)，氣體的黏性與液體的黏性受溫度的反應(yīng)趨勢(shì)剛好相反。另外，流體的黏性受壓力的影響通常不大，一般在工程計(jì)算中不加以考慮4.4

黏性流的特性2．無(wú)滑流現(xiàn)象因?yàn)榫哂叙ば?，所以流體流經(jīng)物體表面時(shí)，流體分子與物體接觸表面會(huì)因?yàn)楸?/p>

此之間的相互作用，達(dá)到動(dòng)量平衡，因此流體和接觸物體表面的速度相同，此現(xiàn)象稱為無(wú)滑流現(xiàn)象(No-slipping

condition)。同理，和物體表面接觸的流體分子在物體表面達(dá)到能量的平衡，所以流體與接

觸物體表面的溫度相同，此現(xiàn)象稱為無(wú)溫度跳動(dòng)現(xiàn)象(Notemperaturejumpcondition)。無(wú)滑流現(xiàn)象與無(wú)溫度跳動(dòng)現(xiàn)象主要當(dāng)作黏性流體在接觸表面的速度與溫度決定原則4.4

黏性流的特性3．牛頓流體的意義一般而言，除非特別說(shuō)明，流體都當(dāng)成牛頓流體，氣體自然也不例外。所謂牛頓流體(Newtonian

fluid)是指定溫及定壓條件下，流體所受剪應(yīng)力與流體速度梯度du呈正比關(guān)系，也就是滿足牛頓黏性定律T

=

dy式中，T是流體所受剪應(yīng)力(Shear

stress)，也就是流體在單位面積上所受黏滯力；為流體的動(dòng)力黏性系數(shù)(Dynamic

viscosity

coefficient)，流體的黏性一般用動(dòng)力黏性系數(shù)來(lái)表示，它又簡(jiǎn)稱為流體的黏度(Viscosity)或動(dòng)力黏度(Dynamic

viscosity)，與流體種類和溫度有關(guān)。在許多空氣動(dòng)力學(xué)問題研究中，慣性力總是和黏性力同時(shí)并存的，流體的黏度和密度p的

比值起著重要作用，因此，我們定義v

=

p即為運(yùn)動(dòng)黏性系數(shù)(Kinematic

viscosity

coefficient)或動(dòng)黏度(Kinematic

viscosity)4.4

黏性流的特性4．邊界層的概念流經(jīng)物體表面時(shí)，

液體或氣體在物體表面附近的流場(chǎng)形成所謂的邊界層，雖然它是一個(gè)假想的概念，卻非常有用且是不可或缺的處理模式。邊界層(Boundary

layer)的概念在1904年由普朗特提出，雷諾數(shù)Re較大的黏性流動(dòng)可以看成由兩種不同形態(tài)組成：一種是固體邊界(接觸物體表面)附近的流動(dòng)，也就是邊界層內(nèi)流體的流動(dòng)。邊界層內(nèi)流動(dòng)

的流體由于黏性產(chǎn)生的黏滯作用不可忽略，必須視為黏性流體。另一種形態(tài)是邊界層以外的流動(dòng)，邊界層外流體產(chǎn)生的黏滯效應(yīng)可以忽略不計(jì)，我們稱其為無(wú)(非)黏性流體。這種處理黏性流體流動(dòng)的方法為近代流體力學(xué)的發(fā)展開辟了新的途徑4.4

空黏氣性動(dòng)流力的學(xué)特的性應(yīng)用領(lǐng)域(1)

現(xiàn)象說(shuō)明如圖4-2所示，以空氣流經(jīng)平板為例

，虛線代表邊界層，在邊界層的內(nèi)部，我們必須考慮流場(chǎng)的黏性，而在邊界層的外部，可以將黏性忽略不計(jì)?？諝馀c平板之間形成的邊

界層隨著空氣流經(jīng)平板的距離增加而逐漸增

厚，這是因?yàn)榭諝饬鹘?jīng)平板的距離越長(zhǎng)

，

空

氣受到黏性影響越大圖4-2邊界層概念4.4

空黏氣性動(dòng)流力的學(xué)特的性應(yīng)用領(lǐng)域(2)

邊界層厚度的定義為了區(qū)分黏性流區(qū)域與無(wú)(非)黏性流區(qū)，我們必須了解邊界層厚度(Boundary

layerthickness)的定義。如圖4-3所示，如果邊界層內(nèi)流速為u(y)，y

為流體流場(chǎng)與固定表面的垂直距離，u0

為不受

流體黏性影響的自由流速度。當(dāng)流速達(dá)到99%u0

時(shí)，y

軸的位置6

即稱為邊界層厚度。垂直距離y大于或等于邊界層厚度6時(shí)，都會(huì)假設(shè)流速不受流體黏性的影響，也就是假設(shè)u(6)=

u0圖4-3邊界層厚度定義、4.4

黏性流的特性從圖中可以發(fā)現(xiàn)，流體流動(dòng)因?yàn)檫吔鐚有?yīng)的影響而造成外圍流線有微小位

移，我們稱之為位移厚度(Displace

thickness)。由于邊界層非常稀薄，也就

是邊界層厚度非常小，邊界層效應(yīng)產(chǎn)生的流線位移，一般可以忽略不計(jì)。 (3)不適用情況對(duì)于雷諾數(shù)Re很小的流場(chǎng)，由于黏性流區(qū)域與無(wú)黏性流區(qū)之間的相互作用相當(dāng)強(qiáng)烈，而且其中變化趨勢(shì)呈非線性，所以邊界層理論可能不適用。在氣體發(fā)生分離現(xiàn)象時(shí)，邊界層理論也不適用4.4

空黏氣性動(dòng)流力的學(xué)特的性應(yīng)用領(lǐng)域5

．流體分離的概念流體分離是空氣動(dòng)力學(xué)黏性問題中一個(gè)重要課題，例如飛機(jī)在亞聲速飛行時(shí)，氣流產(chǎn)生分離的現(xiàn)象會(huì)引起升力急速下降，導(dǎo)致飛機(jī)失速而造成飛行安全事件。(1)正負(fù)壓力梯度的概念當(dāng)空氣流經(jīng)物體曲面，例如翼型上表面，從前緣開始，流速逐漸加快，壓力逐漸地減小

，其壓力變化的趨勢(shì)是負(fù)壓力梯度<

0

當(dāng)達(dá)到某一點(diǎn)E時(shí)，氣流的流管最細(xì)，氣流的流速最快，此時(shí)為零壓力梯(?P

度

|?x

=

0)|。

當(dāng)氣流流經(jīng)E點(diǎn)

氣

的流管又逐漸地變粗

，流速逐漸減慢

，

壓力又逐漸地增大

，

其壓力變

化的趨勢(shì)將轉(zhuǎn)為正壓力梯度

|?x

>

0)|，

如圖4-4所示

當(dāng)機(jī)翼后緣的正壓力梯差到達(dá)某一定值時(shí)

，流體分離的現(xiàn)象會(huì)導(dǎo)致失速的發(fā)生圖4-4流經(jīng)機(jī)翼翼型上表面氣流壓力變化

流P，(

?后4.4

空黏氣性動(dòng)流力的學(xué)特的性應(yīng)用領(lǐng)域(2)流體分離的定義所謂流體分離(Flow

separation)是指沿著物體表面邊界層內(nèi)氣流由于黏性的作用消耗了動(dòng)

能，

在壓力沿著流動(dòng)方向增高的區(qū)域中，無(wú)法繼續(xù)沿著物體表面流動(dòng)，以至產(chǎn)生氣體倒(回)

流，

進(jìn)而離開物體表面的現(xiàn)象。如圖4-5所示為氣體流經(jīng)平板問題的示意圖。邊界層的厚度非常小，壓力沿著流動(dòng)方向幾乎保持不變，也就是壓力梯度幾乎為0，即0

。所以當(dāng)氣體流經(jīng)平板時(shí)不會(huì)有流體分離的現(xiàn)象發(fā)生，只有氣體流經(jīng)彎曲壁面時(shí)才可能發(fā)生流體分離的現(xiàn)象圖4-5氣體流經(jīng)平板問題4.4

空黏氣性動(dòng)流力的學(xué)特的性應(yīng)用領(lǐng)域(3)現(xiàn)象描述如圖4-6所示，氣體沿著彎曲壁面流動(dòng)，開始在彎曲壁面前方的自由流(Free

flow)，也就是未受黏性

效應(yīng)影響的氣流，即無(wú)黏性流(Inviscid

flow)的流速U因?yàn)闅饬鞯牧鞴苤饾u變細(xì)而加速，一直到B點(diǎn)。氣流到達(dá)B點(diǎn)后繼續(xù)流動(dòng)，氣體的流速因?yàn)闅饬鞯牧鞴苤饾u變粗逐漸減速。由此可以推知，B點(diǎn)之前是負(fù)壓力梯度，也就是0

；而B點(diǎn)之后是正壓力梯度，也就是0。至于在B點(diǎn)，就是

=

0

，且氣體流速最大。氣流到達(dá)B點(diǎn)后繼續(xù)沿著彎曲壁流動(dòng)，正壓力梯度逐漸地增加，當(dāng)正壓力梯度達(dá)到某一定值時(shí)，氣流因?yàn)榍胺降膲毫^(guò)大而逐漸地?zé)o法繼續(xù)流動(dòng)，開始發(fā)生氣體回流的現(xiàn)象，所以沿著物體表面邊界層內(nèi)的氣體發(fā)生流動(dòng)分離的現(xiàn)象，如圖4-6所示D點(diǎn)與E點(diǎn)圖4-6流體分離現(xiàn)象4.4

空黏氣性動(dòng)流力的學(xué)特的性應(yīng)用領(lǐng)域(4)現(xiàn)象分析前述中能夠?qū)⒘黧w分離現(xiàn)象歸納成一個(gè)簡(jiǎn)單的規(guī)律，就是負(fù)壓力梯度發(fā)生流體分離，只有正壓力梯度

0

才可能有流體分離的現(xiàn)象。但是微小的正壓力梯度不會(huì)產(chǎn)生流體分離，只有正壓力梯度大到某一個(gè)程度時(shí)才可能發(fā)生流體分離，如圖4-7所示(a)A點(diǎn)負(fù)壓力梯度沒有流體分離圖4-7流體分離現(xiàn)象分析(e)E點(diǎn)過(guò)大正壓力梯度?U

0；?P

0?x

?x流體分離(d)D點(diǎn)臨界正壓力梯度?U

0；?P

0?x

?x開始流體分離(b)B點(diǎn)零壓力梯度?U

=

0；?P

=

0?x

?x沒有流體分離

0

與零壓力梯度

=

0不會(huì)(c)C點(diǎn)微小正壓力梯度?U

0；?P

0?x

?x?U

0；?P

0?x

?x沒有流體分離4.4

黏性流的特性A點(diǎn)與B點(diǎn)由于≤0，所以不會(huì)發(fā)生流體分離；C點(diǎn)雖然壓力梯度大于0，但是正壓力梯度過(guò)小，所以也不會(huì)發(fā)生流體分離。當(dāng)氣體沿著曲面繼續(xù)流動(dòng)，隨著壓力梯度逐漸增加，流至曲面D點(diǎn)時(shí)，流場(chǎng)開始產(chǎn)生流體分離，D點(diǎn)的壓力梯度稱為臨界正壓力梯度(Criticalpositivepressure

gradient)，而D點(diǎn)稱為分離點(diǎn)(Separation

point)。根據(jù)流體分離的定義，

D點(diǎn)的壁面剪應(yīng)力為0(Tw

=

0

)。如果繼續(xù)再沿著曲面推進(jìn)，氣體會(huì)因?yàn)閴毫μ荻戎饾u增加而導(dǎo)致無(wú)法再繼續(xù)沿著曲面流動(dòng)，從而產(chǎn)生氣流回流(Airflow

reflux)的現(xiàn)象，造成流體分離。實(shí)驗(yàn)證明，流動(dòng)時(shí)的正壓力梯度和黏性是氣流產(chǎn)生分離的根本原因，而湍流流場(chǎng)因?yàn)檫吔鐚觾?nèi)流體的平均動(dòng)量大，在相同正壓力梯度情況下向前推進(jìn)的能力較強(qiáng)，因此其分離點(diǎn)比層流流場(chǎng)的分離點(diǎn)稍微靠后一些，這也是高爾夫球?yàn)楹我龀砂纪共黄降脑?P?x4.4

黏性流的特性【例4-9】如圖4-8所示，

O點(diǎn)為分離點(diǎn)(邊界層內(nèi)的氣流開始發(fā)生流體分離現(xiàn)象的臨界點(diǎn))u(y)為邊界層內(nèi)氣流的速度分布，

6為邊界層的厚度，假設(shè)物體為靜止?fàn)顟B(tài)，在物體表面(

y

=

0

)，

O點(diǎn)的

u(6)、

u(0)與

?u

是多少y

=0圖4-8例4-9圖示?y4.4

黏性流的特性【解答】(1)根據(jù)邊界層厚度的定義，u(6)

=

0.99U

，為簡(jiǎn)化問題，我們采用u(6)

=U(2)因?yàn)闊o(wú)滑流現(xiàn)象，和接觸面接觸的氣體分子與接觸面的速度相同，所以u(píng)(0)=0(3)根據(jù)分離點(diǎn)的存在條件，流體分離的臨界情況出現(xiàn)在壁面剪應(yīng)力等于0的位置(

Tw

=0)，所以壁面(

y

=

0

)的

=

0

，也就是

=00=yy

=

04.5

伯努利方程式的修正4.5

伯努利方程式的修正

伯努利方程式是工程實(shí)踐中應(yīng)用非常多的一個(gè)方程式，其使用的條件是假設(shè)流動(dòng)是穩(wěn)態(tài)、一維、

不可壓縮與非黏性的。但是當(dāng)氣體的流速高于0.3馬赫(Ma)時(shí)，我們不得不考慮氣體的壓縮性，也不可能完全無(wú)視氣體黏性造成的影響1．可壓縮非黏性流體當(dāng)氣體的流速低于0.3馬赫(Ma)時(shí)，將動(dòng)量守恒微分方程式dP

+

pVdV

=

0

的兩邊積分，可以得到理想流體假設(shè)下P

+

pV2

=

constant

，這就是伯努利方程式。但是對(duì)于0.3馬赫(Ma)以上氣體流動(dòng)

問題，密度不視為固定常數(shù)，而且其壓力P隨著密度改變。只需將等熵方程式P

=Cp

代入穩(wěn)態(tài)一維可壓縮無(wú)黏性流體的動(dòng)量守恒微分方程式+

VdV

=

0

，并對(duì)方程式的兩邊進(jìn)行積分，即得到穩(wěn)態(tài)一維可壓縮無(wú)黏性流體在等熵過(guò)程中的關(guān)系式為P

+

pV

=

constant這也是可壓縮流體在穩(wěn)態(tài)一維等熵過(guò)程中的伯努利方程修正式。在工程計(jì)算中，

我們可以使用伯努利方程的修正式結(jié)合理想氣體的狀態(tài)方程式、馬赫數(shù)與聲速的計(jì)算公式和質(zhì)量流率守恒方程式等來(lái)求解高速氣體的流動(dòng)問題224.5

伯努利方程式的修正

2．不可壓縮黏性流體當(dāng)流體在低速流動(dòng)時(shí)，通常伯努利方程式的計(jì)算結(jié)果和實(shí)際測(cè)量壓力與速度值之間的誤差不大，但是對(duì)于精確度要求較高的工程問題，例如，低速流體在非常長(zhǎng)的工業(yè)管道中傳送，或者傳送管道管壁過(guò)于粗糙