四川省資陽市安岳縣石羊中學(xué)2025屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷含解析

四川省資陽市安岳縣石羊中學(xué)2025屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．空氣質(zhì)量指數(shù)是反映空氣狀況的指數(shù)，指數(shù)值趨小，表明空氣質(zhì)量越好，下圖是某市10月1日-20日指數(shù)變化趨勢，下列敘述錯誤的是（）A．這20天中指數(shù)值的中位數(shù)略高于100B．這20天中的中度污染及以上（指數(shù)）的天數(shù)占C．該市10月的前半個月的空氣質(zhì)量越來越好D．總體來說，該市10月上旬的空氣質(zhì)量比中旬的空氣質(zhì)量好2．如圖，在平面四邊形中，滿足，且，沿著把折起，使點到達點的位置，且使，則三棱錐體積的最大值為（）A．12 B． C． D．3．某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的體積為（）A． B．1 C． D．4．已知直線y＝k（x﹣1）與拋物線C：y2＝4x交于A，B兩點，直線y＝2k（x﹣2）與拋物線D：y2＝8x交于M，N兩點，設(shè)λ＝|AB|﹣2|MN|，則（）A．λ＜﹣16 B．λ＝﹣16 C．﹣12＜λ＜0 D．λ＝﹣125．一個組合體的三視圖如圖所示（圖中網(wǎng)格小正方形的邊長為1），則該幾何體的體積是（）A． B． C． D．6．ΔABC中，如果lgcosA=lgsinA．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形7．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（）A．1 B．-1 C． D．8．已知集合，則=（）A． B． C． D．9．設(shè)等比數(shù)列的前項和為，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件10．在中，，，，則在方向上的投影是（）A．4 B．3 C．-4 D．-311．已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（）A． B．C． D．12．在正方體中，點、分別為、的中點，過點作平面使平面，平面若直線平面，則的值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中，若，則的范圍為________.14．若向量滿足，則實數(shù)的取值范圍是____________.15．已知直角坐標系中起點為坐標原點的向量滿足，且，，，存在，對于任意的實數(shù)，不等式，則實數(shù)的取值范圍是______.16．在中，角，，的對邊長分別為，，，滿足，，則的面積為__．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)的最大值為，其中.（1）求實數(shù)的值；（2）若求證:.18．（12分）記無窮數(shù)列的前項中最大值為，最小值為，令，則稱是“極差數(shù)列”.（1）若，求的前項和；（2）證明：的“極差數(shù)列”仍是；（3）求證：若數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列也是等差數(shù)列.19．（12分）市民小張計劃貸款60萬元用于購買一套商品住房，銀行給小張?zhí)峁┝藘煞N貸款方式.①等額本金：每月的還款額呈遞減趨勢，且從第二個還款月開始，每月還款額與上月還款額的差均相同；②等額本息：每個月的還款額均相同.銀行規(guī)定，在貸款到賬日的次月當天開始首次還款（若2019年7月7日貸款到賬，則2019年8月7日首次還款）.已知小張該筆貸款年限為20年，月利率為0.004.（1）若小張采取等額本金的還款方式，現(xiàn)已得知第一個還款月應(yīng)還4900元，最后一個還款月應(yīng)還2510元，試計算小張該筆貸款的總利息；（2）若小張采取等額本息的還款方式，銀行規(guī)定，每月還款額不得超過家庭平均月收入的一半，已知小張家庭平均月收入為1萬元，判斷小張該筆貸款是否能夠獲批（不考慮其他因素）；（3）對比兩種還款方式，從經(jīng)濟利益的角度來考慮，小張應(yīng)選擇哪種還款方式.參考數(shù)據(jù)：.20．（12分）[選修45：不等式選講]已知都是正實數(shù)，且，求證:．21．（12分）在平面直角坐標系中，直線與拋物線：交于，兩點，且當時，.（1）求的值；（2）設(shè)線段的中點為，拋物線在點處的切線與的準線交于點，證明：軸.22．（10分）某大型公司為了切實保障員工的健康安全，貫徹好衛(wèi)生防疫工作的相關(guān)要求，決定在全公司范圍內(nèi)舉行一次普查，為此需要抽驗1000人的血樣進行化驗，由于人數(shù)較多，檢疫部門制定了下列兩種可供選擇的方案.方案①：將每個人的血分別化驗，這時需要驗1000次.方案②：按個人一組進行隨機分組，把從每組個人抽來的血混合在一起進行檢驗，如果每個人的血均為陰性，則驗出的結(jié)果呈陰性，這個人的血只需檢驗一次（這時認為每個人的血化驗次）；否則，若呈陽性，則需對這個人的血樣再分別進行一次化驗，這樣，該組個人的血總共需要化驗次.假設(shè)此次普查中每個人的血樣化驗呈陽性的概率為，且這些人之間的試驗反應(yīng)相互獨立.（1）設(shè)方案②中，某組個人的每個人的血化驗次數(shù)為，求的分布列；（2）設(shè)，試比較方案②中，分別取2，3，4時，各需化驗的平均總次數(shù)；并指出在這三種分組情況下，相比方案①，化驗次數(shù)最多可以平均減少多少次？（最后結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

結(jié)合題意，根據(jù)題目中的天的指數(shù)值，判斷選項中的命題是否正確.【詳解】對于，由圖可知天的指數(shù)值中有個低于，個高于，其中第個接近，第個高于，所以中位數(shù)略高于，故正確.對于，由圖可知天的指數(shù)值中高于的天數(shù)為，即占總天數(shù)的，故正確.對于，由圖可知該市月的前天的空氣質(zhì)量越來越好，從第天到第天空氣質(zhì)量越來越差，故錯誤.對于，由圖可知該市月上旬大部分指數(shù)在以下，中旬大部分指數(shù)在以上，所以該市月上旬的空氣質(zhì)量比中旬的空氣質(zhì)量好，故正確.故選：【點睛】本題考查了對折線圖數(shù)據(jù)的分析，讀懂題意是解題關(guān)鍵，并能運用所學(xué)知識對命題進行判斷，本題較為基礎(chǔ).2、C【解析】

過作于，連接，易知，，從而可證平面，進而可知，當最大時，取得最大值，取的中點，可得，再由，求出的最大值即可.【詳解】在和中，，所以，則，過作于，連接，顯然，則，且，又因為，所以平面，所以，當最大時，取得最大值，取的中點，則，所以，因為，所以點在以為焦點的橢圓上（不在左右頂點），其中長軸長為10，焦距長為8，所以的最大值為橢圓的短軸長的一半，故最大值為，所以最大值為，故的最大值為.故選：C.【點睛】本題考查三棱錐體積的最大值，考查學(xué)生的空間想象能力與計算求解能力，屬于中檔題.3、C【解析】該幾何體為三棱錐，其直觀圖如圖所示，體積．故選.4、D【解析】

分別聯(lián)立直線與拋物線的方程，利用韋達定理，可得，，然后計算，可得結(jié)果.【詳解】設(shè)，聯(lián)立則，因為直線經(jīng)過C的焦點，所以.同理可得，所以故選：D.【點睛】本題考查的是直線與拋物線的交點問題，運用拋物線的焦點弦求參數(shù)，屬基礎(chǔ)題。5、C【解析】

根據(jù)組合幾何體的三視圖還原出幾何體，幾何體是圓柱中挖去一個三棱柱，從而解得幾何體的體積.【詳解】由幾何體的三視圖可得，幾何體的結(jié)構(gòu)是在一個底面半徑為1的圓、高為2的圓柱中挖去一個底面腰長為的等腰直角三角形、高為2的棱柱，故此幾何體的體積為圓柱的體積減去三棱柱的體積，即，故選C.【點睛】本題考查了幾何體的三視圖問題、組合幾何體的體積問題，解題的關(guān)鍵是要能由三視圖還原出組合幾何體，然后根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)求出其體積.6、B【解析】

化簡得lgcosA＝lgsinCsinB＝﹣lg2，即cosA=sinCsinB=12，結(jié)合0<A<π，可求A=π【詳解】由lgcosA=lgsinC-lgsinB=-lg2，可得lgcosA＝∵0<A<π，∴A=π3，B+C=2π3，∴sinC＝12sinB＝12sin2π3-C＝34cosC+故選：B【點睛】本題主要考查了對數(shù)的運算性質(zhì)的應(yīng)用，兩角差的正弦公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是靈活利用基本公式，屬于基礎(chǔ)題．7、B【解析】

利用復(fù)數(shù)的四則運算即可求解.【詳解】由.故選：B【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的四則運算，需掌握復(fù)數(shù)的運算法則，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】

先求出集合A，B，再求集合B的補集，然后求【詳解】，所以.故選：D【點睛】此題考查的是集合的并集、補集運算，屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】

根據(jù)等比數(shù)列的前項和公式，判斷出正確選項.【詳解】由于數(shù)列是等比數(shù)列，所以，由于，所以，故“”是“”的充分必要條件.故選：C【點睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷，考查等比數(shù)列前項和公式，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】分析：根據(jù)平面向量的數(shù)量積可得，再結(jié)合圖形求出與方向上的投影即可.詳解：如圖所示：，，，又，，在方向上的投影是：，故選D.點睛：本題考查了平面向量的數(shù)量積以及投影的應(yīng)用問題，也考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用問題.11、A【解析】試題分析：由題意，得，解得，故選A．考點：函數(shù)的定義域．12、B【解析】

作出圖形，設(shè)平面分別交、于點、，連接、、，取的中點，連接、，連接交于點，推導(dǎo)出，由線面平行的性質(zhì)定理可得出，可得出點為的中點，同理可得出點為的中點，結(jié)合中位線的性質(zhì)可求得的值.【詳解】如下圖所示：設(shè)平面分別交、于點、，連接、、，取的中點，連接、，連接交于點，四邊形為正方形，、分別為、的中點，則且，四邊形為平行四邊形，且，且，且，則四邊形為平行四邊形，，平面，則存在直線平面，使得，若平面，則平面，又平面，則平面，此時，平面為平面，直線不可能與平面平行，所以，平面，，平面，平面，平面平面，，，所以，四邊形為平行四邊形，可得，為的中點，同理可證為的中點，，，因此，.故選：B.【點睛】本題考查線段長度比值的計算，涉及線面平行性質(zhì)的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵就是找出平面與正方體各棱的交點位置，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

借助正切的和角公式可求得，即則通過降冪擴角公式和輔助角公式可化簡,由，借助正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可解得所求.【詳解】，所以，.因為，所以，所以.故答案為:.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的化簡,重點考查學(xué)生的計算能力,難度一般.14、【解析】

根據(jù)題意計算，解得答案.【詳解】，故，解得.故答案為：.【點睛】本題考查了向量的數(shù)量積，意在考查學(xué)生的計算能力.15、【解析】

由題意可設(shè)，，，由向量的坐標運算，以及恒成立思想可設(shè)，的最小值即為點，到直線的距離，求得，可得不大于．【詳解】解：，且，可設(shè)，，，，可得，可得的終點均在直線上，由于為任意實數(shù)，可得時，的最小值即為點到直線的距離，可得，對于任意的實數(shù)，不等式，可得，故答案為：．【點睛】本題主要考查向量的模的求法，以及兩點的距離的運用，考查直線方程的運用，以及點到直線的距離，考查運算能力，屬于中檔題．16、．【解析】

由二次方程有解的條件，結(jié)合輔助角公式和正弦函數(shù)的值域可求，進而可求，然后結(jié)合余弦定理可求，代入，計算可得所求．【詳解】解：把看成關(guān)于的二次方程，則，即，即為，化為，而，則，由于，可得，可得，即，代入方程可得，，，由余弦定理可得，，解得：（負的舍去），．故答案為．【點睛】本題主要考查一元二次方程的根的存在條件及輔助角公式及余弦定理和三角形的面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）1；（2）證明見解析.【解析】

（1）利用零點分段法將表示為分段函數(shù)的形式，由此求得的最大值，進而求得的值.（2）利用（1）的結(jié)論，將轉(zhuǎn)化為，求得的取值范圍，利用換元法，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，證得，由此證得不等式成立.【詳解】（1）當時，取得最大值.（2）證明:由（1）得，，，當且僅當時等號成立，令，則在上單調(diào)遞減當時，.【點睛】本小題主要考查含有絕對值的函數(shù)的最值的求法，考查利用基本不等式進行證明，屬于中檔題.18、（1）（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】

（1）由是遞增數(shù)列，得，由此能求出的前項和.（2）推導(dǎo)出，，由此能證明的“極差數(shù)列”仍是.（3）證當數(shù)列是等差數(shù)列時，設(shè)其公差為，，是一個單調(diào)遞增數(shù)列，從而，，由，，，分類討論，能證明若數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列也是等差數(shù)列.【詳解】（1）解：∵無窮數(shù)列的前項中最大值為，最小值為，，，是遞增數(shù)列，∴，∴的前項和.（2）證明：∵，，∴，∴，∵，∴，∴的“極差數(shù)列”仍是（3）證明：當數(shù)列是等差數(shù)列時，設(shè)其公差為，，根據(jù)，的定義，得：，，且兩個不等式中至少有一個取等號，當時，必有，∴，∴是一個單調(diào)遞增數(shù)列，∴，，∴，∴，∴是等差數(shù)列，當時，則必有，∴，∴是一個單調(diào)遞減數(shù)列，∴，，∴，∴.∴是等差數(shù)列，當時，，∵，中必有一個為0，根據(jù)上式，一個為0，為一個必為0，∴，，∴數(shù)列是常數(shù)數(shù)列，則數(shù)列是等差數(shù)列.綜上，若數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列也是等差數(shù)列.【點睛】本小題主要考查新定義數(shù)列的理解和運用，考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的單調(diào)性，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.19、（1）289200元；（2）能夠獲批；（3）應(yīng)選擇等額本金還款方式【解析】

（1）由題意可知，等額本金還款方式中，每月的還款額構(gòu)成一個等差數(shù)列，即可由等差數(shù)列的前n項和公式求得其還款總額，減去本金即為還款的利息；（2）根據(jù)題意，采取等額本息的還款方式，每月還款額為一等比數(shù)列，設(shè)小張每月還款額為元，由等比數(shù)列求和公式及參考數(shù)據(jù)，即可求得其還款額，與收入的一半比較即可判斷；（3）計算出等額本息還款方式時所付出的總利息，兩個利息比較即可判斷.【詳解】（1）由題意可知，等額本金還款方式中，每月的還款額構(gòu)成一個等差數(shù)列，記為，表示數(shù)列的前項和，則，，則，故小張該筆貸款的總利息為元.（2）設(shè)小張每月還款額為元，采取等額本息的還款方式，每月還款額為一等比數(shù)列，則，所以，即，因為，所以小張該筆貸款能夠獲批.（3）小張采取等額本息貸款方式的總利息為：，因為，所以從經(jīng)濟利益的角度來考慮，小張應(yīng)選擇等額本金還款方式.【點睛】本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列求和公式的綜合應(yīng)用，數(shù)列在實際問題中的應(yīng)用，理解題意是解決問題的關(guān)鍵