專(zhuān)題二-遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)

萬(wàn)二中第三章數(shù)列專(zhuān)題之——通項(xiàng)的求法PAGEPAGE1專(zhuān)題二數(shù)列的通項(xiàng)遞推數(shù)列的題型多樣，求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法也非常靈活，往往可以通過(guò)適當(dāng)?shù)牟呗詫?wèn)題化歸為等差數(shù)列或等比數(shù)列問(wèn)題加以解決（即構(gòu)造等差、等比的輔助數(shù)列），因而求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式問(wèn)題成為了高考命題中頗受青睞的考查內(nèi)容。常見(jiàn)的求法有：公式法：由等差，等比定義，寫(xiě)出通項(xiàng)公式（一般求，再用通項(xiàng)或變形公式）累加法：型；累乘法：型；迭代法3、待定系數(shù)法：型；型（為常數(shù)，且）特別提醒：一階遞推,我們通常將其化為{bn}的等比數(shù)列（?？疾椋?、不動(dòng)點(diǎn)法：與的遞推公式中，不含。5、特征根的方法：（其中p，q均為常數(shù)）。6、對(duì)數(shù)變換法：7、換元法：對(duì)含an與Sn的題，利用消去，轉(zhuǎn)換為的推公式，再用前面的方法特別提醒：對(duì)含an與Sn的題，在求和的問(wèn)題時(shí)，也可以用這樣的方法消去，得到關(guān)于的遞推公式，同樣采用上述求通項(xiàng)地方法求出8、周期數(shù)列：9、數(shù)學(xué)歸納法：（以后學(xué)）說(shuō)明：①仔細(xì)辨析遞推關(guān)系式的特征，準(zhǔn)確選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ茄杆偾蟪鐾?xiàng)公式的關(guān)鍵。②其中方法3、4、5、6、7都屬于構(gòu)造輔助數(shù)列：構(gòu)造為等差（等比）數(shù)列，求出，然后就可以求出了。③重點(diǎn)掌握：公式法、累加（乘）法、型、型、型、周期數(shù)列求法。一、公式法：（略）要求：【熟練運(yùn)用】二、類(lèi)型1、累加法：【熟練運(yùn)用】解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累加法(逐差相加法)求解。例1:已知數(shù)列滿(mǎn)足，，求。解：由條件知：分別令，代入上式得個(gè)等式累加之，即所以，評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式。練習(xí)1：已知數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。練習(xí)2：已知數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。類(lèi)型2、累乘法：【熟練運(yùn)用】解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例2:已知數(shù)列滿(mǎn)足，，求。解：由條件知，分別令，代入上式得個(gè)等式累乘之，即又，練習(xí):已知，，求。解：。三、待定系數(shù)法：類(lèi)型1（其中p，q均為常數(shù)，）?！臼炀氝\(yùn)用】解法：（待定系數(shù)法）：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：，其中，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。例3:已知數(shù)列中，，，求.解：設(shè)遞推公式可以轉(zhuǎn)化為即.故遞推公式為,令，則,.所以是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則,所以.練習(xí):（2006，重慶,文,14）在數(shù)列中，若，則該數(shù)列的通項(xiàng)類(lèi)型2，【不重點(diǎn)掌握】解法：方法和類(lèi)型1相似，把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。例4:已知數(shù)列中，，，求.解：設(shè)遞推公式可以轉(zhuǎn)化為即.故遞推公式為,令，則,.所以是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則,所以.練習(xí):已知數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。類(lèi)型3、（其中p，q均為常數(shù)，）。（或,其中p，q,r均為常數(shù)）【不重點(diǎn)掌握】解法：一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：引入輔助數(shù)列（其中），得：再待定系數(shù)法解決。例5:已知數(shù)列中，,，求。解：在兩邊乘以得：令，則,解之得：所以練習(xí):已知數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。五、?？碱}型：型【熟練運(yùn)用】解法：這種類(lèi)型一般是等式兩邊取倒數(shù)后換元轉(zhuǎn)化為。例6：已知數(shù)列｛an｝滿(mǎn)足：，求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式。解：取倒數(shù)：是等差數(shù)列，變式1:（2006，江西,理,22）已知數(shù)列｛an｝滿(mǎn)足：a1＝，且an＝求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；解：（1）將條件變?yōu)椋?－＝，因此｛1－｝為一個(gè)等比數(shù)列，其首項(xiàng)為1－＝，公比，從而1－＝，據(jù)此得an＝（n1）練習(xí)：已知數(shù)列中=，。不動(dòng)點(diǎn)法：由型變形【不需要掌握】?jī)H作了解例7、已知數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：令，得，則是函數(shù)的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。因?yàn)?。，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，故，則。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是先求出函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，即方程的兩個(gè)根，進(jìn)而可推出，從而可知數(shù)列為等比數(shù)列，再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。例8已知數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：令，得，則x=1是函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)。因?yàn)?，所以，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，則，故。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是先求出函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，即方程的根，進(jìn)而可推出，從而可知數(shù)列為等差數(shù)列，再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。五、特征根法：【不需要掌握】遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）。解(特征根法)：對(duì)于由遞推公式，給出的數(shù)列，方程，叫做數(shù)列的特征方程。若是特征方程的兩個(gè)根，當(dāng)時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關(guān)于A(yíng)、B的方程組）；當(dāng)時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關(guān)于A(yíng)、B的方程組）。例9:數(shù)列：，,求解（特征根法）：的特征方程是：。,。又由，于是故練習(xí)1:已知數(shù)列中，,,，求。練習(xí)2:（2006，福建,文,22）已知數(shù)列滿(mǎn)足求數(shù)列的通項(xiàng)公式；解：六、對(duì)數(shù)變換法：【不重點(diǎn)掌握】解法：這種類(lèi)型一般是等式兩邊取對(duì)數(shù)后轉(zhuǎn)化為，再利用待定系數(shù)法求解。例10：已知數(shù)列｛｝中，，求數(shù)列解：由兩邊取對(duì)數(shù)得，令，則，再利用待定系數(shù)法解得：。七、換元法：遞推公式為與的關(guān)系式。(或)【熟練運(yùn)用】解法：利用與消去或與消去進(jìn)行求解。例11：數(shù)列前n項(xiàng)和.（1）求與的關(guān)系；（2）求通項(xiàng)公式.解：（1）由得：于是所以.（2）應(yīng)用待定系數(shù)法（（其中p，q均為常數(shù)，））的方法，上式兩邊同乘以得：由.于是數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以特別提醒：若求，除了因，采用錯(cuò)位相減法求以外，還可以對(duì)消去，得到，變?yōu)樵儆们懊娴拇ㄏ禂?shù)法（類(lèi)型3）例12：（2004，全國(guó)I,理15．）已知數(shù)列{an}，滿(mǎn)足a1=1，(n≥2)，則{an}的通項(xiàng)解：由已知，得，用此式減去已知式，得當(dāng)時(shí)，，即，又，，由n個(gè)式子相乘，得注