第12講 破解離心率問題之內(nèi)切圓問題（解析版）

一．選擇題（共20小題）1．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，△PFF2的內(nèi)切圓的圓心為則雙曲線的離心率為()【解答】解：過點(diǎn)C作F1F2的垂線，垂足為設(shè)圓C與x軸切于點(diǎn)D(x0，0)，D與雙曲線的右頂點(diǎn)重合，2F2:c2=22故選：B.2．如圖，已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，|F1F2|=4，P是雙曲線右支上的一點(diǎn)，PF1丄PF2，直線F2P與y軸交于點(diǎn)A，ΔAPF1的內(nèi)切圓半徑為1，則雙曲線的離心率是()【解答】解：:PF1丄PF2，ΔAPF1的內(nèi)切圓可得:由圖形的對稱性知：|AF2|=|AF1|，:a=1.:c=2，故選：D.重心為G．若△PF1F2的內(nèi)切圓H的直徑等于|，且GH//則橢圓E的離心率【解答】解：因?yàn)椤鱌F1F2的重心為G，所以G在PO上且PG:GO=2:1，PM是△PF1F2邊F1F2上的高，HN是△PF1F2的內(nèi)切圓H的半徑，GH//F1F2，所以PM=3HN，所以2a=4c，所以離心率為，故選：D.4．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，A，B是雙曲線右支上兩點(diǎn)，且，設(shè)△A的內(nèi)切圓圓心為I1，△AF1F2的內(nèi)切圓圓心為I2，直線I1I2與線段F1F2交于點(diǎn)則雙曲線C的離心率為()【解答】解：如右圖所示：由題意知I2為上F1AF2的角平分線，由角平分線的性質(zhì)得由勾股定理逆定理可得F1A丄F2A22故選：B.的外接圓和內(nèi)切圓的半徑分別為R，r，當(dāng)R=3r時(shí)，橢圓的離心率為()根據(jù)正弦定理可得=2c，:R=c，r=:mn=2a2一2c2，故選：B.6．已知點(diǎn)P是橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓C的左、右焦 點(diǎn)，若△PF1F2的內(nèi)切圓半徑的最大值為a—c，則橢圓C的離心率為()【解答】解：設(shè)△PF1F2的內(nèi)切圓的半徑為r，則S△P|.|yP|≤.2c.b=bc，所以(a+c)r≤bc，所以r≤,2，即a故選：B.C的右支交于A、B兩點(diǎn)(A在第一象限），若△AF1F2與△BF1F2內(nèi)切圓半徑之比為3:2，則雙曲線離心率的取值范圍為()【解答】解：如圖，由題意設(shè)△AF1F2與△BF1F2內(nèi)切圓圓心分別為M，N，對應(yīng)的切點(diǎn)分，NH=H.tan結(jié)合得所以tanθ=2，則要使直線AB與雙曲線右支交于兩點(diǎn)，只需漸近線斜率滿足<tanθ=2，所以故選：A.8．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過右焦點(diǎn)作平行于其中一條漸近線的直線交雙曲線于點(diǎn)A，若△AF1F2的內(nèi)切圓半徑為，則雙曲線的離心率為(【解答】解：設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)，F(xiàn)1(—c,0)，F(xiàn)2(c,0)，設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為，可得直線AF2的方程聯(lián)立雙曲線可得由三角形的面積的等積法可得，在三角形中，nsinθ=(θ為直線AF2的傾斜角可得sinθ=可得所以離心率故選：B.9．已知雙曲線是該雙曲線右支上的一點(diǎn)．點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別為 則C的離心率為()【解答】解：由雙曲線的方程知，c2=4，:c=2， :a=·3，:離心率故選：D.F1PF2的外接圓和內(nèi)切圓的半徑分別為R，r，當(dāng)R=4r時(shí)，橢圓的離心率為()根據(jù)正弦定理可得故選：B.11．過雙曲線的右焦點(diǎn)F2的直線在第一、第四象限交兩漸近線分別于P，Q兩點(diǎn)，且上OPQ=90O，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若ΔOPQ內(nèi)切圓的半徑為，則該雙曲線的離心率為()【解答】解：如圖，設(shè)ΔOPQ的內(nèi)切圓圓心為M，則M在x軸上，過點(diǎn)M分別作MN丄OP于N，MT丄PQ于T，丄OP得，四邊形MTPN為正方形，bcbc:焦點(diǎn)F2(c,0)到漸近線x的距離|P|2:離心率故選：B.12．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，△PF1F2的內(nèi)切圓的圓心為則雙曲線的離心率為()【解答】解：如圖，=a，則D(a,0)，且， :雙曲線的離心率為.故選：B.在三角形中，cos解得b2，則S△P|PF1||P又由三角形PF1F2的內(nèi)切圓半徑為r，由等面積法可得則，所以橢圓的離心率故選：D.14．已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M是C右支上 的一點(diǎn)．直線MF1與y軸交于點(diǎn)P，ΔMPF2的內(nèi)切圓在邊PF2上的切點(diǎn)為Q，若|PQ|=23，則C的離心率為()+16a2設(shè)ΔMPF2的內(nèi)切圓在邊MP上的切點(diǎn)為A，在邊MF2上的切點(diǎn)為B， 所以故選：D.15．已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)P與△PF1F2的內(nèi)切圓圓心I的直線交x軸于點(diǎn)Q，且PI=2IQ，則該橢圓的離心率為【解答】：△PF1F2內(nèi)切圓的圓心I，則I是三角形的角平分線的交點(diǎn)，由角平分線定理可得所以離心率故選：A.16．點(diǎn)P是雙曲線右支上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)I是△PF1F2的內(nèi)切圓圓心，記ΔIPF1，ΔIPF2，△IF1F2的面積分別為S1，S2，S3，若S1S2≤S3恒成立，則雙曲線的離心率的取值范圍為() F2故選：B.17．點(diǎn)P是雙曲線右支上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)I是△PF1F2的內(nèi)切圓圓心，記ΔIPF1，ΔIPF2，△IF1F2的面積分別為S1，S2，S3，若S1S2恒成立，則雙曲線的離心率為()【解答】解：設(shè)△PF1F2的內(nèi)切圓半徑為r，2F2故選：C.18．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P是雙曲線①上PF2外接圓與內(nèi)切圓的半徑之比為8:1，則雙曲線①的離心率為()【解答】解：設(shè)△F1PF2外接圓半徑為R，內(nèi)切圓的半徑為r，設(shè)F2又4c2=m22mn2(c2a2)，△F:R=8r，平方得即16c44a2c2=108c4288a2c2+192a4，92c4284a2c2+192a4=0，故選：B.19．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若C上存在一點(diǎn)P，使PF2PF2內(nèi)切圓的半徑大于a，則C的離心率的取值范圍是()|=2a，所以在三角形PF1F2中，|PF2|PF2， 故選：C.20．已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為C上一點(diǎn)，PF2(|PF|PF則4c22|PF2. 故選：D.二．多選題（共2小題）21．過雙曲線C:=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)F作直線l，直線線垂直，垂A足為A，直線l與另一條漸近線交于點(diǎn)B(A，B在y軸同側(cè)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有()B．若雙曲線C的一條漸近線的斜率為，則雙曲線C的離心率等于2 C．若|FB|=2|FA|，則雙曲線C的D．若ΔOAB的內(nèi)切圓的半徑為32一1a，則雙曲線C2c|OA|2a2222222，而直線AB的方程為與漸近線x聯(lián)立可得222，整理可得：D中，若A，B在y軸同側(cè)，不妨設(shè)A在第一象限.如圖，設(shè)ΔOAB內(nèi)切圓的圓心為M，則M在上AOB的平分線Ox上，過點(diǎn)M分別作MN丄OA于N，MT丄AB于T，由FA丄OA得四邊形MTAN為正方形，由焦點(diǎn)到漸近線的距離為b得|FA|=b，又|OF|=c，故選：AD.22．已知雙曲線的左．右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F2的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，A在第一象限，若ΔABF1為等邊三角形，則下列結(jié)論一定正確的是()A．雙曲線C的離心率為3B.△AF1F2的面積為23a2 【解答】解：對于D，設(shè)△BF1F2的內(nèi)心為I，過I作BF1，BF2，F(xiàn)1F2的垂線，垂足分別為正確；因?yàn)棣BF1為等邊三角形，當(dāng)A，B都在同一支上時(shí)，則AB垂直于x軸，可得A(c，22a2設(shè)△AF1F2內(nèi)切圓的半徑為r，則由等面積法可得3a2，:r=當(dāng)A，B都在雙曲線的左，右兩支上時(shí)，設(shè)AB=BFAF2而不論什么情況下△AF1F2的面積為2·a2，故B正確.故選：BD.三．填空題（共16小題）23．橢圓E:的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過點(diǎn)F1的直線交橢圓E于A、圓的面積為兀，則橢圓E的離心率為【解答】解1）由性質(zhì)可知△AF1B的周長為4a，內(nèi)切圓半徑為1， 故答案為：.24．雙曲線=1的離心率是，點(diǎn)F1，F(xiàn)2是該雙曲線的兩焦點(diǎn)，P在雙曲線上，且PF1丄x軸，則△PF1F2的內(nèi)切圓和外接圓半徑之比 2a2·i21)a，△PF1F2的外接圓半徑為所以△PF1F2的內(nèi)切圓和外接圓半徑之比故答案為25．過雙曲線C:=1(a>0,b>0)右焦點(diǎn)F作直線l，且直線線垂直，垂足為A，直線l與另一條漸近線交于點(diǎn)B．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若ΔOAB的內(nèi)切圓的半徑為321a，則雙曲線C的離心率為或2.【解答】解1）若A，B在y軸同側(cè)，不妨設(shè)A在第一象限.如圖，設(shè)ΔOAB內(nèi)切圓的圓心為M，則M在上AOB的平分線Ox上，過點(diǎn)M分別作MN丄OA于N，MT丄AB于T，由FA丄OA得四邊形MTAN為正方形，由焦點(diǎn)到漸近線的距離為b得|FA|=b，又|OF|=c， 2a 2323（2）若A，B在y軸異側(cè)，不妨設(shè)A在第一象限如圖，易知|FA|=b，|OF|=c，|OA|=a， 綜上，雙曲線C的離心率為或2. 故答案為：2或.26．已知點(diǎn)P是橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓C的左、右焦點(diǎn)，若△PF1F2的內(nèi)切圓半徑的最大值為a【解答】解：設(shè)△PF1F2的內(nèi)切圓半徑為r，則，所以的最大值為 bc,由題意可得a-c=2所以橢圓的離心率故答案為：.27．已知點(diǎn)F1、F2是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上位于第一象限則該橢圓的離心率取值范圍為【解答】解：△PF1F2內(nèi)切圓的圓心I，則I是三角形的角平分線的交點(diǎn)，由角平分線定理可得即，故答案為.28．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P為橢圓上的一點(diǎn)，PF2與橢圓交于Q．若△PF1Q的內(nèi)切圓與線段PF1在其中點(diǎn)M處相切，與PQ切于F2，則橢圓 的離心率為.【解答】解：:M為PF1的中點(diǎn)，:△PF1Q的內(nèi)切圓與線段PF1在其中點(diǎn)M處相切，與PQ切于F2，:由內(nèi)切圓的性質(zhì)可得，|PM|=|PF2|，:P為橢圓上的一點(diǎn)，:|PM|=a，|Pa，|P設(shè)△PF1Q的內(nèi)切圓與F1Q切于C，結(jié)合內(nèi)切圓的性質(zhì)可得，F(xiàn)C=:PF2與橢圓交于Q，:C，F(xiàn)2為切點(diǎn)，:由內(nèi)切圓的性質(zhì)可得，|QC|=|QF2|，:△PF1Q為等邊三角形， 故答案為：.29．如圖，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P是橢圓上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，且直線F2P與y軸的正半軸交于A點(diǎn)，ΔAPF1的內(nèi)切圓在邊PF1上【解答】解：設(shè)ΔAPF1的內(nèi)切圓的圓心為M，AF1、AF2與圓M的切點(diǎn)分別為E、F，連結(jié)ME、MF、MQ，:a=4，所以30．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C:的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2.x軸垂直的直線l經(jīng)過F2，交2 則C的離心率為.【解答】解：不妨設(shè)A在第一象限，則直線OA方程為，把x=c代入y=x可得故22c2，可得4e2=1:橢圓的離心率.故答案為：.31．已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，直線l過點(diǎn)F1與y軸交于點(diǎn)M，與雙曲線C的右支交于點(diǎn)P，ΔPMF2的內(nèi)切圓與邊MF2切于點(diǎn)N，若 |F【解答】解：根據(jù)題意畫圖：設(shè)G，K分別為ΔPMF2內(nèi)切圓與PM，PF2的切點(diǎn)，|)=MN+MFNF=MN+MFNF 所以， 故答案為：3.32．橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)相連構(gòu)成一個(gè)三角形．若該三角形內(nèi)切圓的半徑為，則該橢圓的離心率為【解答】解：由橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)相連構(gòu)成的三角形面所以33．已知點(diǎn)F為雙曲線一的左焦點(diǎn)，A為該雙曲線漸近線在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，過原點(diǎn)O作OA的垂線交FA于點(diǎn)B，若B恰為線段AF的中點(diǎn)，且ΔABO的內(nèi)切圓半徑為則該雙曲線的離心率為.由題意知，點(diǎn)A在漸近線x上，點(diǎn)B在漸近線:A(n，n)，B(一m，m)，:B為線段AF的中點(diǎn)，且F(一c,0)，2a2a224,:ΔABO的內(nèi)切圓半徑為ba，化簡得，b2=5a2，:離心率.兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．若ΔAOB的內(nèi)切圓的周長為兀，則內(nèi)切圓的圓心坐標(biāo)為雙曲線C的離心率為.【解答】解：由