考研：線性代數(shù)（基礎(chǔ)篇）

代

四目錄

第一章行列式

模塊一行列式....................................3

第二章矩陣

模塊二矩陣的定義及運算.........................19

模塊三逆矩陣...................................31

模塊四初等矩陣.................................39

模塊五矩陣的秩.................................44

第三章向量和線性方程組

模塊六線性方程組...............................51

模塊七向量的線性相關(guān)與線性表出................59

■

模塊八向量組的秩...............................69

模塊九線性方程組解的結(jié)構(gòu).......................75

第四章特征值和特征向量

模塊+特征值、特征向量.........................88

模塊十一矩陣的相似.............................98

模塊十二實對稱矩陣............................107

第五章二次型

模塊十三二次型及其合同標(biāo)準(zhǔn)形.................114

模塊十四慣性指數(shù)與合同規(guī)范形................T123

模塊十五正定二次型...................................................128

第一章行列式

歷年考頻

數(shù)學(xué)一

年份19871988198919901991199219931994

題數(shù)01000001

分值040000010

年份19951996199719981999200020012002

題數(shù)11001000

分值104004000

年份20032004200520062007200820092010

收數(shù)01110000

分值04440000

年份20112012201320142015201620172018

題數(shù)00.5111100

分值05444400

數(shù)學(xué)二

年份19871988198919901991199219931994

題數(shù)00000000

分值,00000000

年份19951996199719981999200020012002

題數(shù)00001000

分值00004000

年份20032004200520062007200820092010

■ft01110001

分值04440004

年份20112012201320142015201620172018

的數(shù)00.5111100

分值05444400

2基礎(chǔ)線代講義

數(shù)學(xué)三

落模塊一行列式

【考點框架】

定義:不同行不同列〃項元素乘積的代數(shù)和

［行列式的行和列互換后，行列式的值不變

性質(zhì)］某行（或某列）有公倍數(shù)3可以將k提出

［某行（或某列）的A倍加至另一行（或列），行列式的值不變

件14+曲&+—+華4.=0.（阜4）

按行展開，W

,A*\0.1Al+〃A+…=\A\,（i=A）

展開定艱

。14小+/八柒+…+七4?=0,6當(dāng)）

按列展開，s

1

a\Au+…+o1tA.=\A,（：=4）

|A|=|Ar|.|M|=^|AMAB|=|A||B|=|a4|

行

列心=I4T，IA?|=IA|I

式常見

,ACA0oB.x.cB.x.

公式=|AB|,=（-1）-IAIIBI

OBCB4x?C

特征值：MI=TU

i-i

矩陣A可逆0|川Ko

A4-=A-A=|A|E

,e4“r=b有唯一解QlAlXO

應(yīng)用

n維向垃組q，…,a.線性無關(guān)Ola，…,a1X0

計算矩陣A的特征值,您一川=0

實對稱矩陣正定的充要條件:順序主子式全為正

基礎(chǔ)線代講義

【考點精析】

一、必備知識點

1.基本概念

【定義1.U由〃個自然數(shù)1,2,3…5組成的無重復(fù)有序?qū)崝?shù)組3,1…,i.稱為一個〃

級排列.；

【定義1.2］在一個〃級排列中，如果一個較大數(shù)排在一個較小數(shù)前面，我們就稱這兩個

數(shù)構(gòu)成一個逆序.我們稱一個n級排列i>H，…,i.中逆序的總數(shù)為此〃級排列的逆序數(shù).記

作T(i|til?????!.).

如果〃級排列…七的逆序數(shù)是偶數(shù)，則稱正足，…為偶排列；如果〃級排列

。山，…a的逆序數(shù)是奇數(shù),則稱&由一??,力為奇排列.

a幻???唯

【定義1.3】〃階行列式是一種運算法則，它是行列式中所有取自不

????????????

a.ia國…%.

同行不同列〃項元素乘積的代數(shù)和.它由n!項組成，其中每一項都是行列式中不同行不同

列〃項元素的乘積?將這月項的行數(shù)按照自然順序排列，假設(shè)此時其列數(shù)為h，“，…h(huán)?當(dāng)

iiui.-t.為偶排列時，符號為正，當(dāng)h，k，???i.為奇排列時，符號為負(fù)，也即，

ana\i…aXm

M而a”d,L-

=X(T)此“?嗎…a，?

..........................—

a.ia4???a?

行列式的本質(zhì)是一個運算法則,其計算結(jié)果是一個數(shù)字，我們對其定義大段的描述實質(zhì)上

是在解釋該運算法則.我們可以這樣來理解該運算法則：從n階行列式/個數(shù)中去除n

不，這〃《必須是不同行不同列的，將這〃不按照行指標(biāo)從1到〃的自然■亭排列起來.

根據(jù)此時列指標(biāo)的排列XJ序是奇排列還是偶排列決定加上負(fù)號還是正號，最后，將所有這

樣的〃子桌積加起來?所得到的計算結(jié)果蛻是行列大的值.

【定義L4】將〃階行列式中元素%所在的行和列劃掉之后得到1階行列式?稱之為

元素劭的余子式，記作M.,

第一章行列式

fillan?**A!(/-1>as”…au

an?**…au

??????????????????

MQ=

<2(H-l>(/-?-1)…a《rHh?

?????????????????????

-a.

a.i0a2?**??</-1>

給余子式加上符號則成為代數(shù)余子式，記作A.=（-1

rai

余子式也是行列式，階數(shù)比原先的行列式臭低一階.

2.基本性質(zhì)

性質(zhì)一將行列式的行和列互換后，行列式的值不變?也即

???

anai.Oila：ia.i

??????

anana12an電

????????????????????????

???

心ai.aua-

【注】

嫉性質(zhì)告訴我們行列式中行和列是等價的.因此，我們在討論行列式的性質(zhì)時，只要說到

行，那么杞相美性質(zhì)中的行成成列也是成立的.

性質(zhì)二將行列式的任意兩行（或兩列）互換位置后，行列式改變符號.

推論1如果行列式有兩行（或兩列）相同，則行列式的值為0.

性質(zhì)三將行列式的某一行（或某一列）乘以一個常數(shù)k后，行列式的值變?yōu)樵瓉淼?/p>

4倍.

推論2如果一個行列式的某一行（或某一列）全為0,則行列式的值等于0.

推論3如果一個行列式的某兩行（或某兩列）元素對應(yīng)成比例,則行列式的值等于0.

性質(zhì)四如果行列式某一行（或某一列）的所有元素都可以寫成兩個元素的和，則該行

列式可以寫成兩個行列式的和，這兩個行列式的這一行（或列）分別為對應(yīng)兩個加數(shù).其余行

（或列）與原行列式相等,即

???

anan5.anan…anoit-

???

ananOn3???a-即an???

????????????????????????????????????

十

41+6,1999以?+

6.a.iaababa,*?b.

????????????????????????????????????

???

a3a-a.ias…a.a.ia4a。

二量工乳基礎(chǔ)線代講義

推論4將行列式的一行（或列）的k倍加到另一行（或另一列）上，行列式的值不變.

3.常用公式定理

1）常見的計算公式

a）低階行列式的計算公式

ab

=ad-bc.

aia：4

b\bi63a1與門+。2與c】+。3仇0-a361cl-a261c3-563。

ci

b）上三角或下三角行列式

anan00

00

工。“。然…a

????????????

00

???囚?0???0

???

?一100

????????????

??????

00*1??

c）范健?行列式

111???

??????

???1(勺-a)

???

d）拉普拉斯展開定理

已知A為m階矩陣,B為〃階矩陣?則

AOA?

D==|A||B|,D==(-l)-x-|A||B|.

*BOBB

2）行列式的展開定理

行列式的值等于其任何一行（或列）所有元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和?

(t=L2?-?n)

\A\=at\Aa+a2An+…+a.A.

—QUA1/+。沙&+???+。3,(j=1.2,…，〃)

推論行列式的一行（或列）所有元素與另一行（或列）對應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積之

和為零,即

第一通行列式7

==a“Au+a,；A*2

_?

.a”A/—=U|HA|*+。"“+…+aj\.=O?(iXA).

二、典型例題

1.對逆序的考查

［例1］計算下列排列的逆序數(shù).

(Dr《4.5?2.3.1)1,2,…?〃-1)

(3)r(?.n-1?????1)

【思路分析】

直接計算每個敕后面有f少個比自己小的.再求和.

2.對行列式定義的考查

【例2】卬―為四階行列式中的一項?符號為負(fù)?試求i.j.

【例3】試用定義推導(dǎo)二階行列式與三階行列式的計算公式.

a”"i?<iu

以“a\t

(1)(2)??an

"21"32

“JI?U

【思路分析】

直接代人定義?注意不同行不同列的限制以及符號的計算.

18基礎(chǔ)線代講義

anan外?

0an???Q&

【例4］試用定義推導(dǎo)上三角行列式的計算公式.

????????????

00a.

3.低階行列式的計算

［例5］計算行列式

123ai+仇勿|一仇4al+5仇

(1)99201302(2)Q?+比2a2f4az+5優(yōu)

1244+⑤2aLS4aj+56j

【思路分析】

觀察行列式的數(shù)據(jù)檢點?先利用行列式的性質(zhì)進(jìn)行簡化再代入計算公式.

?小結(jié)：

1.三階行列式可以直接計算.但一般可以根據(jù)行列式性盾Si化計算發(fā)展開為二階行列式

之后再進(jìn)行計算，

2.日階行列式需要先展開，再計算,整個計算過程可以小結(jié)為：找1?化0,展開.

第一盲行列式J[9

【例6】計算行列式

仇

1一仇仇

1-九

i0

【思路分析】

所需要計算的行列式彩式都與上三角行列式比稅接近.故可以考慮先“三角化”再計算.

?小結(jié)：

本題（2）的計算方法可以推廣.考生用類似的方法不難計算彩4,

1%a.1

的行列式.我們把這種集里的行列式形象地稱為“爪型'?行列式?它修的計算方法都是把

對用線以上或以下的元素全化為0?成為上三用或下三角行列式,也即所謂的“三角化二

，高階行列式的計算

【例7】計算行列式

【思路分析】

通過現(xiàn)寒?不難發(fā)現(xiàn)行列式元卡排布的兩個料點：每行及每列所有元素之和均為〃+a；大

多數(shù)元素（對角點以外）均為1.利用這兩個特點?結(jié)合行列式的性質(zhì).可以得到本題的求

解思路.

B礎(chǔ)線代講義

1+a1

22+a

【例8】計算

?小結(jié):

1.如果行列式的每行或每列的和一樣,可以考慮本題的方法一:將所有行（列）加到第一行

（列），再將公借數(shù)提出.

2.對該行列式的進(jìn)一步分解，本題的矩陣實質(zhì)上是由一個秋為1的矩陣（各行和列相同或

1+a1???

22+a

成比例）將對角矩陣的元素變化之后得到的.例如妊障可以看

11???1

22—2

成姮陣把對角段上的元素各加0所得.考試中這種堤型的矩陣很多，

考生要熟練掌握其轉(zhuǎn)征.我們可以把這種行列式稱為“對角線型”的行列式,計算這料行列

式,最通用的方法是方法二，即利用各行（列）的比例關(guān)系將其中一行（列）的若干倍加到其

它行（列）將其化為“瓜型”行列式，再進(jìn)行計算.

bia2.0

［例9］計算行列式

第一章行列式M11

【例1?！坑嬎阈辛惺?/p>

b.?ba26;8+工

?小結(jié)：

在推導(dǎo)遞推公式時,要注意觀察行列式的抬構(gòu)?找出數(shù)據(jù)排列的規(guī)律，從而將到口?或

D.r的表達(dá)式.

5.范德蒙行列式

【例11】計算行列式

1]1???1

1234

22225…2”

1223242

(1)(2)33:33…3'

1233se

????????????

5432

nn:〃，???n"

【思路分析】

本期的兩個行列式從形式上都與范徒蒙行列式比較接近.但又不能直接利用公式?故可以

考慮先利用行列式的性質(zhì)進(jìn)行變冊?變成篦德蒙行列式的形式?再進(jìn)行計算.

J2j|基礎(chǔ)線代講義

6.拉普拉斯展開定理

0a60

a00b

【例皿【20MT234分的列式。一

0

cQQd

(A)(ad-加)'(C)a^-^c2(D)"/一"/

?小結(jié)：；

本題用到了分塊矩陣行列式的計算公式，也即拉普拉斯展開式.它在行列式計算中的作用

與行列式的展開定理臭似,都是將行列式降階?進(jìn)而降低計算難度.而通常情況下，它降階

的速度往往比及開定理更快.一般來說,當(dāng)行列式中有校多的零時，就可以考慮利用行列

式的性質(zhì)將羋集中起來,組成分塊矩陣再進(jìn)行計算.

7.有關(guān)代數(shù)余子式的計算

1-235

3421

【例13］設(shè)|4|=,,

1-123

1211

(1)試求A"-2A勿+3A、+5Ax,(2)求M”+M(+M0.

【思路分析】

注意計算行列式的余子式時都要將該元素所在的行劃掉.

8.克拉默法則

X|+r：-X3=l

【例14)方程組J2為+4+5=2的解是

i\-r：+3xs=0

第一章行列式J[13

【課后作業(yè)】

I.計算下列行列式

2+工222

103100204

(1)199200395

301300600

2.計算下列行列式

基礎(chǔ)線代講義

3.計其下列行列式

00-010ba0???00

00-20006a???00

??????????

(1)??????(2)??????

20090—000000???6a

00—002010<200???06

111???Oo

??

???

(3)D=a?-21,(q#0.i=l,2,3,…?加

第一章行列式3<1<熨壬嘯鬲

【模塊總結(jié)】

1.低階行列式的計算方法

二階和三階行列式有計算公式?可以直接計算,三階以上的行列式，一般可以運用行列

式按行或按列的展開定理展開為低階的行列式再進(jìn)行計算,對于較復(fù)雜的三階行列式，也可

以考慮先進(jìn)行展開.

在運用展開定理時，一般需要先利用行列式的性質(zhì)將行列式化為某行或某列只有一個

非零元的形式，再進(jìn)行展開.

特殊的低階行列式可以直接利用行列式的性質(zhì)求解.

2.高階行列式的計其方法

基本思路有兩個8—是利用行列式的性質(zhì)進(jìn)行“三角化”，也即將行列式化為上三角或下

三角行列式，二是運用按行或按列的展開定理.其中運用展開定理的行列式一般要求有某行

或某列的僅有一個或兩個非零元?如果展開之后仍沒有降低計算睢度?則可以觀察是否能得

到遞推公式,再進(jìn)行計算.

考試對高階行列式的要求不高,只要掌握幾種常見情形的計算方法即可.

3.范德蒙行列式的應(yīng)用

如果要計算的行列式與范德蒙行列式有類似的結(jié)構(gòu)，則可以考慮使用公式.一般來說,

我們需要先對行列式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?才能利用范德蒙行列式進(jìn)行計算.

4.克拉默法則

〃個未知量〃個方程的線性方程組?在系數(shù)行列式不等于零時的行列式解法，通常稱為

克拉BUCBI"）法則.

定理（克拉默法則）設(shè)線性非齊次方程組

qg4-allxt+-+fliez.=6|，

anxi+aaxt+-+al（rrw=62，

.（?）

+?"+Q—?=b.，

,

或簡記為X與“尸4，3=12.

j-i

anai.

_d2\<222?**fl2a

其系數(shù)行列式D=...#0，

?????

a.ia”….?

則方程組（*）有唯一解巧=將,產(chǎn)1,2,…，兒

其中。是用常數(shù)項伍出，…,6?替換D中第，列所成的行列式.

基礎(chǔ)線代講義

例邈參考答案

..**-—-一一

1.【例1】(D8(2)n-l(3)必尹.

2.【例2】i=2,j=4.

3.【例3】⑴5]砧一

(2)?！?。22。)3+a12at3。31+。13°21。12一0"。23。1：—012^21^X3-<2|3^?^31?

anan???at.

0an,,,Qu

4.[例4]-Q“5??a??

????????????

00a.

5.【例5】(1)3(2)0(3)-9.

6.【例6】(1)1(2)(四一工一工一工)收64.

\at4/

7.【例7】(n+a)a--1.

8.【例8】?+a

9.[例9]a]。]…a.+(-1)…6也…

10.[例10]^+d-電+d期+式以+…+動1+仇?

11.【例11](1)-72(2)n!(n-D!(n-2)!-l!.

12.IM12]B

13.[?131(1)0(2)-3.

14.[例14]?=).12=1,工3=4*.

44

第二章矩陣

歷年考頻

數(shù)學(xué)一

年份19871988198919901991199219931994

■數(shù)10112111

分值10041014444

年份19951996199719981999200020012002

■數(shù)22210110

分值81414401040

年份20032004200520062007200820092010

s?01111211

分值044441444

年份20112012201320142015201620172018

總數(shù)12001022

分值480040814

數(shù)學(xué)二

年份19871988198919901991199219931994

■ft00000000

分值00000000

年份19951996199719981999200020012002

00121111

分值0010141041010

年份20032004200520062007200820092010

胭數(shù)21111120

144444480

年份20112012201320142015201620172018

?數(shù)12002002

5Ht4800140014

18J基礎(chǔ)線代講義

數(shù)學(xué)三

年份1987198819891990199119921993199：

■故222)1112

分值M81110444K

年份19951996>99719981999200020012002

?tt11221020

分值441184080

年份2(X)32004200520062007200820092010

題數(shù)21L511120

分值84944480

年份20112012201320H2015201620172018

圖數(shù)12002022

分值480014014

模塊二矩陣的定義及運算

【考點框架】

基本概念:mXr,的數(shù)表

?內(nèi)容:A+B.y'AB

定義及運

矩陣的運算.云JABKB4

西''AB=O時?不一定有A=O或5=0

【考點精析】

一、必備知識點

1.基本概念

1)矩陣

【定義2.1］由mX〃個數(shù)a?(i=l,2,…=.…，n)排成的m行力列數(shù)表

研…01?

21?”稱為mXri矩陣,簡記為A=(4)?x??當(dāng)桁=〃時?也稱A為力階方陣,

????????????

*1…展

|4|稱為4的行列式.

兩個矩陣A=(%)?x?，B=(d),x「如果m=s,〃=A,則稱它們?yōu)橥途仃?

如果兩個同型矩陣4=(%)“.，8=(d)皿對應(yīng)的元素相等，即Q.=6.G=1,…，皿

j=l,則稱矩陣A與矩陣B相等，記作A=B.

raj

要注意區(qū)分矩陣與行列式.首先，從概念上講，行列式是一個運算法則，其運算結(jié)果是一個

數(shù)字，而矩陣是一個數(shù)裊?二者從本質(zhì)上是不一樣的，其次，從形式上講?行列式中行數(shù)和

列數(shù)必須相同(必須是正方形的)，而矩陣的行數(shù)和列數(shù)可以是任意的.

秒”基礎(chǔ)線代講義

2）特殊的矩陣

零矩陣mXri個元素全為零的矩陣稱為零矩陣?記作0?

方陣當(dāng)時?稱A為〃階矩陣（或n階方陣）.

單位矩陣主對角線元素全為1,其余元素全為零的〃階矩陣,稱為n階單位矩陣（簡稱

單位陣），記作L或I或E,即

a

1

**

1

數(shù)量矩陣主對角線元素全為非零數(shù)人其余元素全為零的n階矩陣，稱為n階數(shù)量矩

陣，記作H■或H或AE,即

1\!

對角陣除主對角線上的元素之外，其余元素皆為零的n階矩陣,稱為n階對角矩陣

（簡稱對角陣），記作人即

上、下三角矩陣〃階矩陣A=Q3.x.,當(dāng)時,％=0。=1.2「??切-1）的矩陣稱為

上三角矩陣，當(dāng)i<J時,4=0。=1,2,…歷一1）的矩陣稱為下三角矩陣.即

是一個n階矩陣，如果勺=。*0,，=1,2」??,#,則稱A為對稱矩陣；如果a.=一4（人

j=l,2,…,〃），則稱A為反對稱矩陣.

第二章矩陣J［外

2）矩陣的運算

矩陣運算包括:矩陣加減法、矩陣數(shù)乘、矩陣乘法以及矩陣轉(zhuǎn)置運算.

【定義2?2】設(shè)4=（4）,8=（九）是兩個mX〃矩陣，定義矩陣C=（o）=Q,+d）為矩

陣A與矩陣B的和，記作C=A+S.

rai

相加的兩個矩陣必須是同型的.

【定義2.3】設(shè)A=（%）是一個mX/r矩陣/為任意實數(shù)，則定義乂=（乂。）（i=1.2,

…,=稱之為矩陣的數(shù)乘.

【定義2.4］設(shè)A=Q&）?x..B=（d）.“（注意A的列數(shù)和B的行數(shù)相等），定義矩陣C=

（Q.…其中陽M+…S。也，稱為矩陣A與矩陣5的乘積，記作

C=AB.

如果矩陣A為方陣，則定義*=A-A…A為矩陣A的n次幕.

【注】

不是任意兩個矩陣A與B都能相臬的，必須有A的列數(shù)和b的行數(shù)相等.矩陣染法AB

才能進(jìn)行.姮降A(chǔ)與8相臬的結(jié)果仍然是矩陣，其第i行第j列的元盤.是由矩陣A的第

i行元素與矩陣B第，列的元素對應(yīng)相泉再相加的結(jié)果?也即尚,+陽與+…+*

【定義2.5］設(shè)4=（即）是一個mX〃矩陣，定義〃Xm矩陣B=（%）=QQ（i=1.2，….

〃“=】,2,…,m）為矩陣A的轉(zhuǎn)置,記作B=Ar.

簡單地說?轉(zhuǎn)置就是將矩陣原先的行換為對應(yīng)的列之后得到的矩陣.

4

例如：5

45

6

3）分塊矩陣

【定義2.6】用水平和垂直的直線將矩陣A分成很多小塊?每一塊稱之為A的一個子矩

陣，則A稱為以這些子矩陣為元素的分塊矩陣.

①大多數(shù)情況下，我們只需要掌握分成4塊的分塊矩陣就可以了，即如下形式的矩

-AB-

陣:

CD一

對分塊矩陣也有相應(yīng)的加法?數(shù)乘等運算

-AB--A：Bin「A〕+ABI4~B-j-AB->「￡4kB-

,CDJLC,D|J-LCI+CDI+DJ*LCDJLkCkD.

基礎(chǔ)線代講義

~AB-rA>B\-i「AAi+BC]AHI+BDL「AB]T_pVCT-

S+DD」'〔CD_LBTDT.

.CDJLC,D「1S+DG

【注】

一般來說，當(dāng)A,B.C.D中至少有一塊為本矩陣時?對短陣進(jìn)行分塊可以起到簡化計算的

作用.例如：假設(shè)A與B,C與D均為同階方陣?則有

②另一種常見的分塊方式?是將矩陣投行或按列分塊，

聘11

氏

也即將矩陣A寫成A=（a,。2,…，a）或4='其中a：，a,…,a.和%也，…,A分

A

別代表矩陣A的列向ft和行向量.

這種情況下的加法、數(shù)乘和轉(zhuǎn)置運算和前面類似?我們著重濟一下乘法:

設(shè)A=（a].<124??,（1.）,假設(shè)B=（bq）為nXm矩陣，則

BA=B（ai?a??-?aJ=（Bai-

仇ibX2…仇.

btibn…必

AB=（ai，妣，…，。.）

???

=（仇1。］+慶1圖+~+6.1。（,,如。1+如a+…+6垃（1?，…+^wrz+…+6”?）

2.常用公式定理

1.加法與數(shù)集

G）交換律:A+B=B+A,

Gi）結(jié)合律式4+B）+C=A+（B+Ch

（位）數(shù)量乘法/（“）=（〃）Ad（A+b）=M+4?柒

2.乘法

1）成立的運算法則

（D結(jié)合律：（AB）C=A（BO?

（"）分配律8c（4+5）=04+。，（4+8）0=%。+阮.（乂）8=4（必）="45）.

2）不成立的運算法則

G）不滿足交換律:ABWbA,

（”）不滿足消去律:AB=64A=O或B=O.

第二章矩陣23

3）方幕

AEA-=/V*r.(A-).=Ae

3.轉(zhuǎn)置

(A-FB)T=Ar+B7\(M)7

4.分塊矩陣

AOyB()O

()CDOc-

5.方陣的行列式

1）設(shè)為〃階方陣，且A為一實數(shù)，則有

2）拉普拉斯展開定理

ACAB()

-Ml?l.=I4HI-工(-1尸A||Ii.

()BCB

女中A.6分別為加階?〃階方陣.

二、典型例題

1.對矩陣運算法則的考查

【例1】設(shè)A.8均為對稱矩陣,求A8仍為對稱矩陣的充要條件.

【思路分析】

矩陣AB為時林矩陣的充要條件是（從小了=AB.

【例2】設(shè)A為〃階矩陣.試證明，

（1）A+A,為對稱矩陣,A一4.為反對稱拉陣；

（2）/1可以表示成一個對稱矩陣與一個反對稱矩陣之和.

【思路分析】

（】）利用定義檢險M2）利用（1）的結(jié)論.

24J|基礎(chǔ)線代講義

121

【例3】設(shè)a為3維列向狀?aa-212.求aa.

121

【思路分析】

設(shè)出a,代人矩陣乘法的定義/L抽檢臉.

【例4】設(shè)。（川.<<?????〃.）'.0（〃?/）?…?并假設(shè)afi

求a4

?小結(jié):

假設(shè)a./J均為〃維列向量（〃工1矩陣）.根據(jù)矩陣乘法.a尸與即為〃?〃矩陣.而af與

flla則為實數(shù).二者雖然形式上比較接近.但去質(zhì)上卻是別很大.備要考生注意.不要?足

灣.而通過【例3】與【例I】我們還可以得到一個常用的結(jié)論:aP與即為矩陣a/T與

伙J時向線元步的和.該結(jié)論在后面解題中還會發(fā)理史要作用?考生可以記住.

2?方陣〃次幕的計算

【例