專題1 選擇題壓軸題多結論問題（解析版）

專題1選擇題的壓軸題多結論問題2022中考真題專項訓練（解析版）

類型一四邊形中的多結論問題

1．（2022?恩施州）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝10cm，BC＝8cm，點P從點D出發(fā)，

以1cm/s的速度向點A運動，點M從點B同時出發(fā)，以相同的速度向點C運動，當其中一個動點到達端

點時，兩個動點同時停止運動．設點P的運動時間為t（單位：s），下列結論正確的是（）

A．當t＝4s時，四邊形ABMP為矩形

B．當t＝5s時，四邊形CDPM為平行四邊形

C．當CD＝PM時，t＝4s

D．當CD＝PM時，t＝4s或6s

思路引領：根據(jù)題意，表示出DP，BM，AP和CM的長，當四邊形ABMP為矩形時，根據(jù)AP＝BM，列

方程求解即可；當四邊形CDPM為平行四邊形，根據(jù)DP＝CM，列方程求解即可；當CD＝PM時，分

兩種情況：①四邊形CDPM是平行四邊形，②四邊形CDPM是等腰梯形，分別列方程求解即可．

解：根據(jù)題意，可得DP＝tcm，BM＝tcm，

∵AD＝10cm，BC＝8cm，

∴AP＝（10﹣t）cm，CM＝（8﹣t）cm，

當四邊形ABMP為矩形時，AP＝BM，

即10﹣t＝t，

解得t＝5，

故A選項不符合題意；

當四邊形CDPM為平行四邊形，DP＝CM，

即t＝8﹣t，

解得t＝4，

故B選項不符合題意；

當CD＝PM時，分兩種情況：

①四邊形CDPM是平行四邊形，

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此時CM＝PD，

即8﹣t＝t，

解得t＝4，

②四邊形CDPM是等腰梯形，

過點M作MG⊥AD于點G，過點C作CH⊥AD于點H，如圖所示：

則∠MGP＝∠CHD＝90°，

∵PM＝CD，GM＝HC，

∴△MGP≌△CHD（HL），

∴GP＝HD，

∵AG＝AP+GP＝10﹣t，

??(8??)

又∵BM＝t，+2

∴10﹣tt，

??(8??)

解得t＝+6，2=

綜上，當CD＝PM時，t＝4s或6s，

故C選項不符合題意，D選項符合題意，

故選：D．

總結提升：本題考查了矩形的判定，平行四邊形的判定，全等三角形的判定和性質，涉及動點問題，用

含t的代數(shù)式表示出各線段的長是解題的關鍵．

2．（2022?攀枝花）如圖，以△ABC的三邊為邊在BC上方分別作等邊△ACD、△ABE、△BCF．且點A在

△BCF內部．給出以下結論：①四邊形ADFE是平行四邊形；②當∠BAC＝150°時，四邊形ADFE是

矩形；③當AB＝AC時，四邊形ADFE是菱形；④當AB＝AC，且∠BAC＝150°時，四邊形ADFE是

正方形．其中正確結論有（填上所有正確結論的序號）．

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思路引領：①利用SAS證明△EFB≌△ACB，得出EF＝AC＝AD；同理由△CDF≌△CAB，得DF＝AB

＝AE；根據(jù)兩邊分別相等的四邊形是平行四邊形得出四邊形ADFE是平行四邊形，即可判斷結論①正確；

②當∠BAC＝150°時，求出∠EAD＝90°，根據(jù)有一個角是90°的平行四邊形是矩形即可判斷結論②

正確；

③先證明AE＝AD，根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可判斷結論③正確；

④根據(jù)正方形的判定：既是菱形，又是矩形的四邊形是正方形即可判斷結論④正確．

解：①∵△ABE、△CBF是等邊三角形，

∴BE＝AB，BF＝CB，∠EBA＝∠FBC＝60°；

∴∠EBF＝∠ABC＝60°﹣∠ABF；

∴△EFB≌△ACB（SAS）；

∴EF＝AC＝AD；

同理由△CDF≌△CAB，得DF＝AB＝AE；

由AE＝DF，AD＝EF即可得出四邊形ADFE是平行四邊形，故結論①正確；

②當∠BAC＝150°時，∠EAD＝360°﹣∠BAE﹣∠BAC﹣∠CAD＝360°﹣60°﹣150°﹣60°＝90°，

由①知四邊形AEFD是平行四邊形，

∴平行四邊形ADFE是矩形，故結論②正確；

③由①知AB＝AE，AC＝AD，四邊形AEFD是平行四邊形，

∴當AB＝AC時，AE＝AD，

∴平行四邊形AEFD是菱形，故結論③正確；

④綜合②③的結論知：當AB＝AC，且∠BAC＝150°時，四邊形AEFD既是菱形，又是矩形，

∴四邊形AEFD是正方形，故結論④正確．

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故答案為：①②③④．

總結提升：本題考查了平行四邊形及矩形、菱形、正方形的判定，等邊三角形的性質，全等三角形的判

定與性質，熟練掌握特殊四邊形的判定方法和性質是解答此題的關鍵．

類型二一次函數(shù)中的多結論問題

3．（2022?攀枝花）中國人逢山開路，遇水架橋，靠自己勤勞的雙手創(chuàng)造了世界奇跡．雅西高速是連接雅安

和西昌的高速公路，被國內外專家學者公認為全世界自然環(huán)境最惡劣、工程難度最大、科技含量最高的

山區(qū)高速公路之一，全長240km．一輛貨車和一輛轎車先后從西昌出發(fā)駛向雅安，如圖，線段OM表示

貨車離西昌距離y1（km）與時間x（h）之間的函數(shù)關系：折線OABN表示轎車離西昌距離y2（km）與

時間x（h）之間的函數(shù)關系，則以下結論錯誤的是（）

A．貨車出發(fā)1.8小時后與轎車相遇

B．貨車從西昌到雅安的速度為60km/h

C．轎車從西昌到雅安的速度為110km/h

D．轎車到雅安20分鐘后，貨車離雅安還有20km

思路引領：根據(jù)“速度＝路程÷時間”分別求出兩車的速度，進而得出轎車出發(fā)的時間，再對各個選項

逐一判斷即可．

解：由題意可知，

貨車從西昌到雅安的速度為：240÷4＝60（km/h），故選項B不合題意；

轎車從西昌到雅安的速度為：（240﹣75）÷（3﹣1.5）＝110（km/h），故選項C不合題意；

轎車從西昌到雅安所用時間為：240÷110（小時），

2

=211

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3（小時），

29

設?貨21車1出=發(fā)11x小時后與轎車相遇，根據(jù)題意得：

，

9

解60得?=x＝1110.8(，??11)

∴貨車出發(fā)1.8小時后與轎車相遇，故選項A不合題意；

轎車到雅安20分鐘后，貨車離雅安還有6040（km），故選項D符合題意．

60?20

故選：D．×60=

總結提升：此題為一次函數(shù)的應用，解答一次函數(shù)的應用問題中，要注意自變量的取值范圍還必須使實

際問題有意義．

4．（2022?赤峰）已知王強家、體育場、學校在同一直線上，下面的圖象反映的過程是：某天早晨，王強從

家跑步去體育場鍛煉，鍛煉結束后，步行回家吃早餐，飯后騎自行車到學校．圖中x表示時間，y表示王

強離家的距離．則下列結論正確的是①③④．（填寫所有正確結論的序號）

①體育場離王強家2.5km

②王強在體育場鍛煉了30min

③王強吃早餐用了20min

④王強騎自行車的平均速度是0.2km/min

思路引領：利用圖象中的信息對每個結論進行逐一判斷即可．

解：由圖象中的折線中的第一段可知：王強家距離體育場2.5千米，用時15分鐘跑步到達，

∴①的結論正確；

由圖象中的折線中的第二段可知：王強從第15分鐘開始鍛煉，第30分鐘結束，

∴王強鍛煉的時間為：30﹣15＝15（分鐘），

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∴②的結論不正確；

由圖象中的折線中的第三段可知：王強從第30中開始回家，第67分鐘到家；

由圖象中的折線中的第四段可知：王強從第67分鐘開始吃早餐，第87分鐘結束，

∴王強吃早餐用時：87﹣67＝20（分鐘），

∴③的結論正確；

由圖象中的折線中的第五段可知：王強從第87分鐘開始騎車去往3千米外的學校，第102分鐘到達學校，

∴王強騎自行車用時為：102﹣87＝15（分鐘），

∴王強騎自行車的平均速度是：3÷15＝0.2（km/min）

∴④的結論正確．

綜上，結論正確的有：①③④，

故答案為：①③④．

總結提升：本題主要考查了函數(shù)的圖象，從函數(shù)的圖象中正確的獲取信息是解題的關鍵．

類型三二次函數(shù)中的多結論問題

5．（2022?內蒙古）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸的一個交點坐標為（﹣1，0），拋物線的對稱

軸為直線x＝1，下列結論：①abc＜0；②3a+c＝0；③當y＞0時，x的取值范圍是﹣1≤x＜3；④點（﹣

2，y1），（2，y2）都在拋物線上，則有y1＜0＜y2.其中結論正確的個數(shù)是（）

A．1個B．2個C．3個D．4個

思路引領：由拋物線的開口方向判斷a與0的關系，由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關系，然后根

據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結論進行判斷．

解：根據(jù)函數(shù)的對稱性，拋物線與x軸的另外一個交點的坐標為（3，0）；

①函數(shù)對稱軸在y軸右側，則ab＜0，而c已經(jīng)修改＞0，故abc＜0，

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故①正確，符合題意；

②∵x1，即b＝﹣2a，

?

而x＝﹣=?1時2?，=y＝0，即a﹣b+c＝0，

∴a+2a+c＝0，

∴3a+c＝0．

∴②正確，符合題意；

③由圖象知，當y＞0時，x的取值范圍是﹣1＜x＜3，

∴③錯誤，不符合題意；

④從圖象看，當x＝﹣2時，y1＜0，

當x＝2時，y2＞0，

∴有y1＜0＜y2，

故④正確，符合題意；

故選：C．

總結提升：本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系：對于二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0），二次項系數(shù)a

決定拋物線的開口方向和大?。寒攁＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口；一次項系

數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；當a與b

異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右；常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點位置：拋物線與y軸交于（0，c）；

拋物線與x軸交點個數(shù)由△決定：Δ＝b2﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；Δ＝b2﹣4ac＝0時，

拋物線與x軸有1個交點；Δ＝b2﹣4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．

6．（2022?巴中）函數(shù)y＝|ax2+bx+c|（a＞0，b2﹣4ac＞0）的圖象是由函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＞0，b2﹣4ac＞0）

的圖象x軸上方部分不變，下方部分沿x軸向上翻折而成，如圖所示，則下列結論正確的是（）

①2a+b＝0；

②c＝3；

③abc＞0；

④將圖象向上平移1個單位后與直線y＝5有3個交點．

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A．①②B．①③C．②③④D．①③④

思路引領：根據(jù)函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標求出對稱軸為，進而可得2a+b＝0，由圖象可得

?

拋物線y＝ax2+bx+c與y軸交點在x軸下方，由拋物線y＝ax2?+b2x?+=c的1開口方向，對稱軸位置和拋物線與

y軸交點位置可得abc的符號，求出二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的頂點式，可得圖象向上平移1個單位后與直

線y＝5有3個交點

解：∵圖象經(jīng)過（﹣1，0），（3，0），

∴拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸為直線x＝1，

∴1，

?

∴b?＝2?﹣=2a，即2a+b＝0，①正確．

由圖象可得拋物線y＝ax2+bx+c與y軸交點在x軸下方，

∴c＜0，②錯誤．

由拋物線y＝ax2+bx+c的開口向上可得a＞0，

∴b＝﹣2a＜0，

∴abc＞0，③正確．

設拋物線y＝ax2+bx+c的解析式為y＝a（x+1）（x﹣3），

代入（0，3）得：3＝﹣3a，

解得：a＝﹣1，

∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，

∴頂點坐標為（1，4），

∵點（1，4）向上平移1個單位后的坐標為（1，5），

∴將圖象向上平移1個單位后與直線y＝5有3個交點，故④正確；

故選：D．

總結提升：本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質，掌握二次函數(shù)的對稱軸公式，頂點坐標的求法是解題的

關鍵．

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7．（2022?資陽）如圖是二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象，其對稱軸為直線x＝﹣1，且過點（0，1）．有以下

四個結論：①abc＞0，②a﹣b+c＞1，③3a+c＜0，④若頂點坐標為（﹣1，2），當m≤x≤1時，y有最

大值為2、最小值為﹣2，此時m的取值范圍是﹣3≤m≤﹣1．其中正確結論的個數(shù)是（）

A．4個B．3個C．2個D．1個

思路引領：①：根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸，c＝1，即可判斷出abc＞0；

?

②：結合圖象發(fā)現(xiàn)，當x＝﹣1時，函數(shù)?值2大?=于?11，代入即可判斷；

③：結合圖象發(fā)現(xiàn)，當x＝1時，函數(shù)值小于0，代入即可判斷；

④：運用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式，再利用二次函數(shù)的對稱性即可判斷．

解：∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象，其對稱軸為直線x＝﹣1，且過點（0，1），

∴，c＝1，

?

∴a?b2＞?0=，?1

∴abc＞0，故①正確；

從圖中可以看出，當x＝﹣1時，函數(shù)值大于1，

因此將＝﹣代入得，（﹣）2（﹣）＞，

x11?a+1?b+c1

即a﹣b+c＞1，故②正確；

∵，

?

∴b?＝2?2a=，?1

從圖中可以看出，當x＝1時，函數(shù)值小于0，

∴a+b+c＜0，

∴3a+c＜0，故③正確；

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∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的頂點坐標為（﹣1，2），

∴設二次函數(shù)的解析式為y＝a（x+1）2+2，

將（0，1）代入得，1＝a+2，

解得a＝﹣1，

∴二次函數(shù)的解析式為y＝﹣（x+1）2+2，

∴當x＝1時，y＝﹣2；

∴根據(jù)二次函數(shù)的對稱性，得到﹣3≤m≤﹣1，故④正確；

綜上所述，①②③④均正確，故有4個正確結論，

故選A．

總結提升：本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式等，熟練掌握二次函數(shù)的

圖象和性質是本題的關鍵．

8．（2022?丹東）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點A（5，0），與y軸交于點C，其對稱軸

為直線x＝2，結合圖象分析如下結論：①abc＞0；②b+3a＜0；③當x＞0時，y隨x的增大而增大；

④若一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象經(jīng)過點A，則點E（k，b）在第四象限；⑤點M是拋物線的頂點，

若CM⊥AM，則a．其中正確的有（）

6

=6

A．1個B．2個C．3個D．4個

思路引領：①正確，根據(jù)拋物線的位置判斷即可；

②正確，利用對稱軸公式，可得b＝﹣4a，可得結論；

③錯誤，應該是x＞2時，y隨x的增大而增大；

④正確，判斷出k＞0，可得結論；

⑤正確，設拋物線的解析式為y＝a（x+1）（x﹣5）＝a（x﹣2）2﹣9a，可得M（2，﹣9a），C（0，﹣5a），

過點M作MH⊥y軸于點H，設對稱軸交x軸于點K．利用相似三角形的性質，構建方程求出a即可．

解：∵拋物線開口向上，

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∴a＞0，

∵對稱軸是直線x＝2，

∴2，

?

∴b?＝2?﹣=4a＜0

∵拋物線交y軸的負半軸，

∴c＜0，

∴abc＞0，故①正確，

∵b＝﹣4a，a＞0，

∴b+3a＝﹣a＜0，故②正確，

觀察圖象可知，當0＜x≤2時，y隨x的增大而減小，故③錯誤，

一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象經(jīng)過點A，

∵b＜0，

∴k＞0，此時E（k，b）在第四象限，故④正確．

∵拋物線經(jīng)過（﹣1，0），（5，0），

∴可以假設拋物線的解析式為y＝a（x+1）（x﹣5）＝a（x﹣2）2﹣9a，

∴M（2，﹣9a），C（0，﹣5a），

過點M作MH⊥y軸于點H，設對稱軸交x軸于點K．

∵AM⊥CM，

∴∠AMC＝∠KMH＝90°，

∴∠CMH＝∠KMA，

∵∠MHC＝∠MKA＝90°，

∴△MHC∽△MKA，

∴，

????

=

∴????，

24?

=

∴a92?，3

1

∵a＞=06，

∴a，故⑤正確，

6

=6

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故選：D．

總結提升：本題考查二次函數(shù)的性質，相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會利用參數(shù)構

建方程解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．

9．（2022?日照）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖所示，對稱軸為x，且經(jīng)過點（﹣1，

3

=2

0）．下列結論：①3a+b＝0；②若點（，y1），（3，y2）是拋物線上的兩點，則y1＜y2；③10b﹣3c＝0；

1

④若y≤c，則0≤x≤3．其中正確的有2（）

A．1個B．2個C．3個D．4個

思路引領：由對稱軸為x即可判斷①；根據(jù)點（，y1），（3，y2）到對稱軸的距離即可判斷②；由拋

31

=

物線經(jīng)過點（﹣1，0），得出2a﹣b+c＝0，對稱軸x2，得出ab，代入即可判斷③；根據(jù)二

?31

次函數(shù)的性質以及拋物線的對稱性即可判斷④．=?2?=2=?3

解：∵對稱軸x，

?3

∴b＝﹣3a，=?2?=2

∴3a+b＝0，①正確；

∵拋物線開口向上，點（，y1）到對稱軸的距離小于點（3，y2）的距離，

1

2

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∴y1＜y2，故②正確；

∵經(jīng)過點（﹣1，0），

∴a﹣b+c＝0，

∵對稱軸x，

?3

=?=

∴ab，2?2

1

=?

∴b﹣3b+c＝0，

1

∴3?c＝34b，

∴4b﹣3c＝0，故③錯誤；

∵對稱軸x，

3

∴點（0，c=）2的對稱點為（3，c），

∵開口向上，

∴y≤c時，0≤x≤3．故④正確；

故選：C．

總結提升：本題考查了二次函數(shù)的性質及二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，熟知二次函數(shù)的性質是解題的

關鍵．

2

10．（2022?荊門）拋物線y＝ax+bx+c（a，b，c為常數(shù)）的對稱軸為x＝﹣2，過點（1，﹣2）和點（x0，

2

y0），且c＞0．有下列結論：①a＜0；②對任意實數(shù)m都有：am+bm≥4a﹣2b；③16a+c＞4b；④若

x0＞﹣4，則y0＞c．其中正確結論的個數(shù)為（）

A．1個B．2個C．3個D．4個

思路引領：根據(jù)拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)）的對稱軸為x＝﹣2，過點（1，﹣2）且c＞0，即

可判斷開口向下，即可判斷①；根據(jù)二次函數(shù)的性質即可判斷②；根據(jù)拋物線的對稱性即可判斷③；

根據(jù)拋物線的對稱性以及二次函數(shù)的性質即可判斷④．

解：∵拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)）的對稱軸為x＝﹣2，過點（1，﹣2），且c＞0，

∴拋物線開口向下，則a＜0，故①正確；

∵拋物線開口向下，對稱軸為x＝﹣2，

∴函數(shù)的最大值為4a﹣2b+c，

∴對任意實數(shù)m都有：am2+bm+c≤4a﹣2b+c，即am2+bm≤4a﹣2b，故②錯誤；

∵對稱軸為x＝﹣2，c＞0．

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∴當x＝﹣4時的函數(shù)值大于0，即16a﹣4b+c＞0，

∴16a+c＞4b，故③正確；

∵對稱軸為x＝﹣2，點（0，c）的對稱點為（﹣4，c），

∵拋物線開口向下，

∴若﹣4＜x0＜0，則y0＞c，故④錯誤；

故選：B．

總結提升：本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，解題關鍵是掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關系，掌

握二次函數(shù)的性質．

11．（2022?牡丹江）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸是直線x＝﹣2，并與x軸交于A，B兩點，

若OA＝5OB，則下列結論中：①abc＞0；②（a+c）2﹣b2＝0；③9a+4c＜0；④若m為任意實數(shù)，則

am2+bm+2b≥4a，正確的個數(shù)是（）

A．1B．2C．3D．4

思路引領：根據(jù)函數(shù)圖象的開口方向、對稱軸、圖象與y軸的交點即可判斷①；根據(jù)對稱軸x＝﹣2，

OA＝5OB，可得OA＝5，OB＝1，點A（﹣5，0），點B（1，0），當x＝1時，y＝0即可判斷②；根據(jù)

對稱軸x＝﹣2，以及，a+b+c＝0得a與c的關系，即可判斷③；根據(jù)函數(shù)的最小值是當x＝﹣2時，y

＝4a﹣2b+c，即可判斷④；

解：①觀察圖象可知：a＞0，b＞0，c＜0，

∴abc＜0，故①錯誤；

②∵對稱軸為直線x＝﹣2，OA＝5OB，

可得OA＝5，OB＝1，

∴點A（﹣5，0），點B（1，0），

∴當x＝1時，y＝0，即a+b+c＝0，

∴（a+c）2﹣b2＝（a+b+c）（a+c﹣b）＝0，故②正確；

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③拋物線的對稱軸為直線x＝﹣2，即2，

?

∴b＝4a，?2?=?

∵a+b+c＝0，

∴5a+c＝0，

∴c＝﹣5a，

∴9a+4c＝﹣11a，

∵a＞0，

∴9a+4c＜0，故③正確；

④當x＝﹣2時，函數(shù)有最小值y＝4a﹣2b+c，

由am2+bm+c≥4a﹣2b+c，可得am2+bm+2b≥4a，

∴若m為任意實數(shù)，則am2+bm+2b≥4a，故④正確；

故選：C．

總結提升：本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解決本題的關鍵是

掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系．

12．（2022?煙臺）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖所示，其對稱軸為直線x，且與x軸

1

的一個交點坐標為（﹣2，0）．下列結論：①abc＞0；②a＝b；③2a+c＝0；④關于x=的?一2元二次方程

ax2+bx+c﹣1＝0有兩個相等的實數(shù)根．其中正確結論的序號是（）

A．①③B．②④C．③④D．②③

思路引領：根據(jù)對稱軸、開口方向、與y軸的交點位置即可判斷a、b、c與0的大小關系，然后將由對

稱軸可知a＝b．圖象過（﹣2，0）代入二次函數(shù)中可得4a﹣2b+c＝0．再由二次函數(shù)最小值小于0，從

而可判斷ax2+bx+c＝1有兩個不相同的解．

解：①由圖可知：a＞0，c＜0，＜0，

?

∴b＞0，?2?

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∴abc＜0，故①不符合題意．

②由題意可知：，

?1

∴b＝a，故②符?合2題?意=．?2

③將（﹣2，0）代入y＝ax2+bx+c，

∴4a﹣2b+c＝0，

∵a＝b，

∴2a+c＝0，故③符合題意．

④由圖象可知：二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的最小值小于0，

令y＝1代入y＝ax2+bx+c，

∴ax2+bx+c＝1有兩個不相同的解，故④不符合題意．

故選：D．

總結提升：本題考查二次函數(shù)的圖像與系數(shù)的關系，解題的關鍵是正確地由圖象得出a、b、c的數(shù)量關

系，本題屬于基礎題型．

13．（2022?齊齊哈爾）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與y軸的交點在（0，1）與（0，2）之

間，對稱軸為x＝﹣1，函數(shù)最大值為4，結合圖象給出下列結論：①b＝2a；②﹣3＜a＜﹣2；③4ac

﹣b2＜0；④若關于x的一元二次方程ax2+bx+a＝m﹣4（a≠0）有兩個不相等的實數(shù)根，則m＞4；⑤當

x＜0時，y隨x的增大而減小．其中正確的結論有（）

A．2個B．3個C．4個D．5個

思路引領：由拋物線對稱軸為直線x＝﹣1可判斷①，由拋物線頂點坐標可得a與c的關系，由拋物線

與y軸交點位置可判斷c的取值范圍，從而判斷②，由拋物線與x軸交點個數(shù)可判斷③，由拋物線與直

線y＝m交點個數(shù)判斷④，由圖象可得x＜﹣1時，y隨x增大而增大，從而判斷⑤．

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解：∵拋物線對稱軸為直線x1，

?

∴b＝2a，①正確．=?2?=?

∵拋物線經(jīng)過（﹣1，4），

∴a﹣b+c＝﹣a+c＝4，

∴a＝c﹣4，

∵拋物線與y軸交點在（0，1）與（0，2）之間，

∴1＜c＜2，

∴﹣3＜a＜﹣2，②正確．

∵拋物線與x軸有2個交點，

∴b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，③正確．

∵a＝c﹣4，

∴ax2+bx+a＝m﹣4可整理為ax2+bx+c＝m，

∵拋物線開口向下，頂點坐標為（﹣1，4），

∴m＜4時，拋物線與直線y＝m有兩個不同交點，④錯誤．

由圖象可得x＜﹣1時y隨x增大而增大，

∴⑤錯誤．

故選：B．

總結提升：本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，解題關鍵是掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關系．

14．（2022?雅安）拋物線的函數(shù)表達式為y＝（x﹣2）2﹣9，則下列結論中，正確的序號為（）

①當x＝2時，y取得最小值﹣9；②若點（3，y1），（4，y2）在其圖象上，則y2＞y1；③將其函數(shù)圖象

向左平移3個單位長度，再向上平移4個單位長度所得拋物線的函數(shù)表達式為y＝（x﹣5）2﹣5；④函

數(shù)圖象與x軸有兩個交點，且兩交點的距離為6．

A．②③④B．①②④C．①③D．①②③④

思路引領：由拋物線解析式可得拋物線頂點坐標，從而可判斷①②，由二次函數(shù)圖象平移的規(guī)律可判

斷③，令y＝0可得拋物線與x軸交點橫坐標，從而判斷④．

解：∵y＝（x﹣2）2﹣9，

∴拋物線對稱軸為直線x＝2，拋物線開口向上，頂點坐標為（2，﹣9），

∴x＝2時，y取最小值﹣9，①正確．

∵x＞2時，y隨x增大而增大，

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∴y2＞y1，②正確．

將函數(shù)圖象向左平移3個單位長度，再向上平移4個單位長度所得拋物線的函數(shù)表達式為y＝（x+1）2

﹣5，③錯誤．

令（x﹣2）2﹣9＝0，

解得x1＝﹣1，x2＝5，

∴5﹣（﹣1）＝6，④正確．

故選：B．

總結提升：本題考查二次函數(shù)的性質，解題關鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，掌握二次函數(shù)與方

程及不等式的關系．

15．（2022?廣元）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖所示，圖象過點（﹣1，0），對稱軸為直

線x＝2，下列結論：（1）abc＜0；（2）4a+c＞2b；（3）3b﹣2c＞0；（4）若點A（﹣2，y1）、點B（，

1

?2

y2）、點C（，y3）在該函數(shù)圖象上，則y1＜y3＜y2；（5）4a+2b≥m（am+b）（m為常數(shù)）．其中正確的

7

結論有（2）

A．5個B．4個C．3個D．2個

思路引領：根據(jù)拋物線的對稱軸方程和開口方向以及與y軸的交點，可得a＜0，b＞0，c＞0，由對稱軸

為直線x＝2，可得b＝﹣4a，當x＝2時，函數(shù)有最大值4a+2b+c；由經(jīng)過點（﹣1，0），可得a﹣b+c＝0，

c＝﹣5a；再由a＜0，可知圖象上的點離對稱軸越近對應的函數(shù)值越大；再結合所給選項進行判斷即可．

解：∵拋物線的開口向下，

∴a＜0，

∵拋物線的對稱軸為直線x2，

?

∴b＞0，=?2?=

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∵拋物線交y軸的正半軸，

∴c＞0，

∴abc＜0，所以（1）正確；

∵對稱軸為直線x＝2，

∴2，

?

∴b?＝2?﹣=4a，

∴b+4a＝0，

∴b＝﹣4a，

∵經(jīng)過點（﹣1，0），

∴a﹣b+c＝0，

∴c＝b﹣a＝﹣4a﹣a＝﹣5a，

∴4a+c﹣2b＝4a﹣5a+8a＝7a，

∵a＜0，

∴4a+c﹣2b＜0，

∴4a+c＜2b，故（2）不正確；

∵3b﹣2c＝﹣12a+10a＝﹣2a＞0，故（3）正確；

∵|﹣2﹣2|＝4，|2|，|2|，

1573

??=?=

∴y1＜y2＜y3，故（24）錯誤2；22

當x＝2時，函數(shù)有最大值4a+2b+c，

∴4a+2b+c≥am2+bm+c，

4a+2b≥m（am+b）（m為常數(shù)），故（5）正確；

綜上所述：正確的結論有（1）（3）（5），共3個，

故選：C．

總結提升：本題考查二次函數(shù)的圖象及性質，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質是解題的關鍵．

16．（2022?天津）已知拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，0＜a＜c）經(jīng)過點（1，0），有下列結論：

①2a+b＜0；

②當x＞1時，y隨x的增大而增大；

③關于x的方程ax2+bx+（b+c）＝0有兩個不相等的實數(shù)根．

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其中，正確結論的個數(shù)是（）

A．0B．1C．2D．3

思路引領：根據(jù)拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點（1，0）、結合題意判斷①；根據(jù)拋物線的對稱性判斷②；

根據(jù)一元二次方程根的判別式判斷③．

解：①∵拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點（1，0），

∴a+b+c＝0，

∵a＜c，

∴a+b+a＜0，即2a+b＜0，本小題結論正確；

②∵a+b+c＝0，0＜a＜c，

∴b＜0，

∴對稱軸x＞1，

?

=?

∴當1＜x＜2?時，y隨x的增大而減小，本小題結論錯誤；

?

③∵a+b+c＝?02，?

∴b+c＝﹣a，

對于方程ax2+bx+（b+c）＝0，Δ＝b2﹣4×a×（b+c）＝b2+4a2＞0，

∴方程ax2+bx+（b+c）＝0有兩個不相等的實數(shù)根，本小題結論正確；

故選：C．

總結提升：本題考查的是二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系、一元二次方程根的判別式、拋物線與x軸的交點，

熟記二次函數(shù)的對稱軸、增減性以及一元二次方程根的判別式是解題的關鍵．

17．（2022?自貢）已知A（﹣3，﹣2），B（1，﹣2），拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）頂點在線段AB上運動，

形狀保持不變，與x軸交于C，D兩點（C在D的右側），下列結論：

①c≥﹣2；

②當x＞0時，一定有y隨x的增大而增大；

③若點D橫坐標的最小值為﹣5，則點C橫坐標的最大值為3；

④當四邊形ABCD為平行四邊形時，a．

1

其中正確的是（）=2

A．①③B．②③C．①④D．①③④

思路引領：根據(jù)頂點在線段AB上拋物線與y軸的交點坐標為（0，c）可以判斷出c的取值范圍，得到

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①正確；當頂點運動到y(tǒng)軸右側時，根據(jù)二次函數(shù)的增減性判斷出②錯誤；當頂點在A點時，D能取

到最小值，當頂點在B點時，C能取得最大值，然后根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求出此時點C的橫坐標，即

可判斷③正確；令y＝0，利用根與系數(shù)的關系與頂點的縱坐標求出CD的長度的表達式，然后根據(jù)平行

四邊形的對邊平行且相等可得AB＝CD，然后列出方程求出a的值，判斷出④正確．

解：∵點A，B的坐標分別為（﹣3，﹣2）和（1，﹣2），

∴線段AB與y軸的交點坐標為（0，﹣2），

又∵拋物線的頂點在線段AB上運動，拋物線與y軸的交點坐標為（0，c），

∴c≥﹣2，（頂點在y軸上時取“＝”），故①正確；

∵拋物線的頂點在線段AB上運動，開口向上，

∴當x＞1時，一定有y隨x的增大而增大，故②錯誤；

若點D的橫坐標最小值為﹣5，則此時對稱軸為直線x＝﹣3，C點的橫坐標為﹣1，則CD＝4，

∵拋物線形狀不變，當對稱軸為直線x＝1時，C點的橫坐標為3，

∴點C的橫坐標最大值為3，故③正確；

令y＝0，則ax2+bx+c＝0，

CD2＝（）2﹣4，

2

????4??

?2

?×?=?

根據(jù)頂點坐標公式，2，

2

4????

=?

∴8，即4?8，

22

4??????4??

=?=

∴CD?28，?

18

∵四邊=形?A×BC=D?為平行四邊形，

∴CD＝AB＝1﹣（﹣3）＝4，

∴42＝16，

8

=

解得?a，故④正確；

1

綜上所=述2，正確的結論有①③④．

故選：D．

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總結提升：本題考查了二次函數(shù)的綜合題型，主要利用了二次函數(shù)的頂點坐標，二次函數(shù)的對稱性，根

與系數(shù)的關系，平行四邊形的對邊平行且相等的性質，①要注意頂點在y軸上的情況．

18．（2022?貴港）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象的一部分如圖所示，該函數(shù)圖象經(jīng)過點（﹣2，0），

對稱軸為直線x．對于下列結論：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③a+b+c＝0；④am2+bm＜（a﹣2b）

11

=?24

（其中m）；⑤若A（x1，y1）和B（x2，y2）均在該函數(shù)圖象上，且x1＞x2＞1，則y1＞y2．其中正

1

確結論的≠個?數(shù)2共有3個．

思路引領：根據(jù)拋物線與x軸的一個交點（﹣2，0）以及其對稱軸，求出拋物線與x軸的另一個交點（1，

0），利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，再根據(jù)拋物線開口朝下，可得a＜0，進而可得b＜0，c＞0，再結合

二次函數(shù)的圖象和性質逐條判斷即可．

解：∵拋物線的對稱軸為直線x，且拋物線與x軸的一個交點坐標為（﹣2，0），

1

∴拋物線與x軸的另一個交點坐=標?為2（1，0），

把（﹣2，0）（1，0）代入y＝ax2+bx+c（a≠0），可得：

，

4??2?+?=0

解?得+?+?=0，

?=?

∴a+b?+c=＝?a2+?a﹣2a＝0，故③正確；

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∵拋物線開口方向向下，

∴a＜0，

∴b＝a＜0，c＝﹣2a＞0，

∴abc＞0，故①錯誤；

∵拋物線與x軸兩個交點，

∴當y＝0時，方程ax2+bx+c＝0有兩個不相等的實數(shù)根，

∴b2﹣4ac＞0，故②正確；

∵am2+bm＝am2+am＝a（m）2a，

11

+2?4

（a﹣2b）（a﹣2a）a，

111

==?

∴4am2+bm（4a﹣2b）＝a（4m）2，

11

?+

又∵a＜0，m4，2

1

≠?

∴a（m）2＜02，

1

+

即am2+bm2＜（a﹣2b）（其中m），故④正確；

11

≠?

∵拋物線的對4稱軸為直線x，且拋2物線開口朝下，

1

=?

∴可知二次函數(shù)，在x＞時，2y隨x的增大而減小，

1

?2

∵x1＞x2＞1＞，

1

?

∴y1＜y2，故⑤錯2誤，

正確的有②③④，共3個，

故答案為：3．

總結提升：本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質、二次函數(shù)和一元二次方程的關系等知識，掌握二次函數(shù)

的性質，利用數(shù)形結合思想解題是關鍵．

19．（2022?武漢）已知拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)）開口向下，過A（﹣1，0），B（m，0）兩點，

且1＜m＜2．下列四個結論：

①b＞0；

②若m，則3a+2c＜0；

3

=

③若點M2（x1，y1），N（x2，y2）在拋物線上，x1＜x2，且x1+x2＞1，則y1＞y2；

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④當a≤﹣1時，關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1必有兩個不相等的實數(shù)根．

其中正確的是①③④（填寫序號）．

思路引領：①正確．根據(jù)對稱軸在y軸的右側，可得結論；

②錯誤．3a+2c＝0；

③正確．由題意，拋物線的對稱軸直線x＝h，0＜h＜0.5，由點M（x1，y1），N（x2，y2）在拋物線上，

x1＜x2，且x1+x2＞1，推出點M到對稱軸的距離＜點N到對稱軸的距離，推出y1＞y2；

④正確，證明判別式＞0即可．

解：∵對稱軸x＞0，

?1+?

∴對稱軸在y軸=右側2，

∴＞0，

?

∵a?＜2?0，

∴b＞0，

故①正確；

當m時，對稱軸x，

3?1

==?=

∴b2，2?4

?

=?

當x＝﹣21時，a﹣b+c＝0，

∴c＝0，

3?

+

∴32a+2c＝0，故②錯誤；

由題意，拋物線的對稱軸直線x＝h，0＜h＜0.5，

∵點M（x1，y1），N（x2，y2）在拋物線上，x1＜x2，且x1+x2＞1，

∴點M到對稱軸的距離＜點N到對稱軸的距離，

∴y1＞y2，故③正確；

設拋物線的解析式為y＝a（x+1）（x﹣m），

方程a（x+1）（x﹣m）＝1，

整理得，ax2+a（1﹣m）x﹣am﹣1＝0，

Δ＝[a（1﹣m）]2﹣4a（﹣am﹣1）

＝a2（m+1）2+4a，

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∵1＜m＜2，a≤﹣1，

∴Δ＞0，

∴關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1必有兩個不相等的實數(shù)根．故④正確，

故答案為：①③④．

總結提升：本題考查二次函數(shù)的性質，一元二次方程的根的判別式等知識，解題的關鍵是讀懂圖象信息，

靈活運用所學知識解決問題．

類型四旋轉中的多結論問題

20．（2022?丹東）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，對角線AC與BD交于點O，點E是AD

的中點，連接OE，△ABD的周長為12cm，則下列結論錯誤的是（）

A．OE∥AB

B．四邊形ABCD是中心對稱圖形

C．△EOD的周長等于3cm

D．若∠ABC＝90°，則四邊形ABCD是軸對稱圖形

思路引領：根據(jù)平行四邊形的性質及三角形中位線定理判斷各個選項即可．

解：∵AB∥CD，AB＝CD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

∵對角線AC與BD交于點O，點E是AD的中點，

∴OE是△ABD的中位線，

∴OE∥AB，

∴A選項結論正確，不符合題意；

∵四邊形ABCD是中心對稱圖形，

∴B選項結論正確，不符合題意；

∵△ABD的周長為12cm，

∴△EOD的周長等于6cm，