專題11 填空題重點(diǎn)出題方向規(guī)律探究與猜想歸納思想（解析版）

專題11填空題重點(diǎn)出題方向規(guī)律探究與猜想歸納思想（解析版）

模塊一2022中考真題集訓(xùn)

類型一實(shí)數(shù)計(jì)算中的規(guī)律性問題

1．（2022?鄂爾多斯）按一定規(guī)律排列的數(shù)據(jù)依次為，，，按此規(guī)律排列，則第30個(gè)數(shù)是．

1471088

??

思路引領(lǐng)：由所給的數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律為第n個(gè)數(shù)是2510，當(dāng)17n＝30時(shí)即可求解．901

3??2

2

解：∵，，，，?+1

14710

??

∴第n個(gè)2數(shù)5是101，7

3??2

2

當(dāng)n＝30時(shí)，?+1，

3??23×30?288

2=2=

故答案為：?．+130+1901

88

總結(jié)提升：9本0題1考查數(shù)字的變化規(guī)律，能夠通過所給的數(shù)，探索出數(shù)的一般規(guī)律是解題的關(guān)鍵．

2．（2022?懷化）正偶數(shù)2，4，6，8，10，…，按如下規(guī)律排列，

則第27行的第21個(gè)數(shù)是744．

思路引領(lǐng)：由圖可以看出，每行數(shù)字的個(gè)數(shù)與行數(shù)是一致的，即第一行有1個(gè)數(shù)，第二行有2個(gè)數(shù)，第

三行有3個(gè)數(shù)????????第n行有n個(gè)數(shù)，則前n行共有個(gè)數(shù)，再根據(jù)偶數(shù)的特征確定第幾行第幾

?(?+1)

個(gè)數(shù)是幾．2

解：由圖可知，

第一行有1個(gè)數(shù)，

第二行有2個(gè)數(shù)，

第三行有3個(gè)數(shù)，

???????

第n行有n個(gè)數(shù)．

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∴前n行共有個(gè)數(shù)．

?(?+1)

∴前27行共有3728個(gè)數(shù)，

∴第27行第21個(gè)數(shù)是一共378個(gè)數(shù)中的第372個(gè)數(shù)．

∵這些數(shù)都是正偶數(shù)，

∴第372個(gè)數(shù)為372×2＝744．

故答案為：744．

總結(jié)提升：本題考查了數(shù)列的規(guī)律問題，解決這類問題的關(guān)鍵是先根據(jù)題目的已知條件找出其中的規(guī)律，

再結(jié)合其他已知條件求解．

類型二數(shù)式規(guī)律中的猜想歸納思想

3．（2022?達(dá)州）人們把0.618這個(gè)數(shù)叫做黃金比，著名數(shù)學(xué)家華羅庚優(yōu)選法中的“0.618法”就應(yīng)

5?1

≈

用了黃金比．設(shè)a2，b，記S1，S2，…，S100，

5?15+11122100100

===+=2+2=100+100

則S1+S2+…+S100＝52050．21+?1+?1+?1+?1+?1+?

思路引領(lǐng)：利用分式的加減法則分別可求S1＝1，S2＝2，S100＝100，…，利用規(guī)律求解即可．

解：∵a，b，

5?15+1

==

∴ab212，

5?15+1

=2×2=

∵S11，

112+?+?

=1+?+1+?=1+?+?+??=

S22，

22

222(1+?+1+?)

=2+2=2222=

…，1+?1+?1+?+?+??

S100100，

100100

100100100(1+?+1+?)

=100+100=100100100100=

∴S1+S12++?…+S1001＝+1?+2+…+11+0?0＝5+0?50，+??

故答案為：5050．

總結(jié)提升：本題考查了分式的加減法，找出的規(guī)律是本題的關(guān)鍵．

類型三圖案規(guī)律中的猜想歸納思想

4．（2022?大慶）觀察下列“蜂窩圖”，按照這樣的規(guī)律，則第16個(gè)圖案中的“”的個(gè)數(shù)是49．

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思路引領(lǐng)：從數(shù)字找規(guī)律，進(jìn)行計(jì)算即可解答．

解：由題意得：

第一個(gè)圖案中的“”的個(gè)數(shù)是：4＝4+3×0，

第二個(gè)圖案中的“”的個(gè)數(shù)是：7＝4+3×1，

第三個(gè)圖案中的“”的個(gè)數(shù)是：10＝4+3×2，

..．

∴第16個(gè)圖案中的“”的個(gè)數(shù)是：4+3×15＝49，

故答案為：49．

總結(jié)提升：本題考查了規(guī)律型：圖形的變化類，從數(shù)字找規(guī)律是解題的關(guān)鍵．

5．（2022?十堰）如圖，某鏈條每節(jié)長為2.8cm，每兩節(jié)鏈條相連接部分重疊的圓的直徑為1cm，按這種連

接方式，50節(jié)鏈條總長度為91cm．

思路引領(lǐng)：先求出1節(jié)鏈條的長度，2節(jié)鏈條的總長度，3節(jié)鏈條的總長度，然后從數(shù)字找規(guī)律，進(jìn)行計(jì)

算即可解答．

解：由題意得：

1節(jié)鏈條的長度＝2.8cm，

2節(jié)鏈條的總長度＝[2.8+（2.8﹣1）]cm，

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3節(jié)鏈條的總長度＝[2.8+（2.8﹣1）×2]cm，

..．

∴50節(jié)鏈條總長度＝[2.8+（2.8﹣1）×49]＝91（cm），

故答案為：91．

總結(jié)提升：本題考查了規(guī)律型：圖形的變化類，從數(shù)字找規(guī)律是解題的關(guān)鍵．

類型四點(diǎn)的坐標(biāo)中的規(guī)律探究與猜想歸納思想

6．（2022?淄博）如圖，正方形ABCD的中心與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，將頂點(diǎn)D（1，0）繞點(diǎn)A（0，1）逆時(shí)針

旋轉(zhuǎn)90°得點(diǎn)D1，再將D1繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得點(diǎn)D2，再將D2繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得點(diǎn)D3，

再將D3繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得點(diǎn)D4，再將D4繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得點(diǎn)D5……依此類推，則點(diǎn)

D2022的坐標(biāo)是（﹣2023，2022）．

思路引領(lǐng)：如圖，過點(diǎn)D1作D1E⊥y軸于E，過點(diǎn)D2作D2F⊥x軸于F，過點(diǎn)D3作D3G⊥y軸于G，過

點(diǎn)D4作D4H⊥x軸于H，過點(diǎn)D5K作D5K⊥y軸于K，可得D1（1，2），D2（﹣3，2），D3（﹣3，﹣4），

D4（5，﹣4），D5（5，6），D6（﹣7，6），……，觀察發(fā)現(xiàn)：每四個(gè)點(diǎn)一個(gè)循環(huán)，D4n（4n+1，﹣4n），

D4n+1（4n+1，4n+2），D4n+2（﹣4n﹣3，4n+2），D4n+3（﹣4n﹣3，﹣4n﹣4），由2022＝505×4+2，推出

D2022（﹣2023，2022）．

解：如圖，過點(diǎn)D1作D1E⊥y軸于E，過點(diǎn)D2作D2F⊥x軸于F，過點(diǎn)D3作D3G⊥y軸于G，過點(diǎn)D4

作D4H⊥x軸于H，過點(diǎn)D5K作D5K⊥y軸于K，

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∵正方形ABCD的中心與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，D（1，0），

∴OA＝OB＝OC＝OD＝1，AB＝BC＝CD＝AD，∠BAO＝∠CBO＝∠DCO＝∠ADO＝45°，

∴A（0，1），B（﹣1，0），C（0，﹣1），=2

∵將頂點(diǎn)D（1，0）繞點(diǎn)A（0，1）逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得點(diǎn)D1，

∴∠D1AE＝45°，∠AED1＝90°，AD1＝AD，

∴AE＝AD1?cos∠D1AEcos45°＝1，D1E=＝A2D1?sin∠D1AEsin45°＝1，

∴OE＝OA+AE＝1+1＝2=，B2D1＝AB+BD12，=2

∴D1（1，2），=2+2=2

∵再將D1繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得點(diǎn)D2，

∴∠D2BF＝45°，∠D2FB＝90°，BD2＝BD1＝2，

∴D2F＝BD2sin∠D2BF＝2sin45°＝2，BF＝BD2c2os∠D2BF＝2cos45°＝2，

∴OF＝OB+BF＝1+2＝3，22

∴D2（﹣3，2），

再將D2繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得點(diǎn)D3，再將D3繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得點(diǎn)D4，再將D4繞點(diǎn)A逆時(shí)

針旋轉(zhuǎn)90°得點(diǎn)D5……

同理可得：D3（﹣3，﹣4），D4（5，﹣4），D5（5，6），D6（﹣7，6），……，

觀察發(fā)現(xiàn)：每四個(gè)點(diǎn)一個(gè)循環(huán)，D4n（4n+1，﹣4n），D4n+1（4n+1，4n+2），D4n+2（﹣4n﹣3，4n+2），D4n+3

（﹣4n﹣3，﹣4n﹣4），

∵2022＝4×505+2，

∴D2022（﹣2023，2022）；

故答案為：（﹣2023，2022）．

總結(jié)提升：本題考查坐標(biāo)與圖形的變化﹣旋轉(zhuǎn)，等腰直角三角形性質(zhì)，規(guī)律型問題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)

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探究規(guī)律的方法，屬于中考選擇題中的壓軸題．

7．（2022?黔西南州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A1（2，0），B1（0，1），A1B1的中點(diǎn)為C1；A2（0，3），

B2（﹣2，0），A2B2的中點(diǎn)為C2；A3（﹣4，0），B3（0，﹣3），A3B3的中點(diǎn)為C3；A4（0，﹣5），B4（4，

0），A4B4的中點(diǎn)為C4；…；按此做法進(jìn)行下去，則點(diǎn)C2022的坐標(biāo)為（﹣1011，）．

2023

2

思路引領(lǐng)：根據(jù)題意得點(diǎn)n的位置按4次一周期的規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)，可求得點(diǎn)C2022在第二象限，從而可

求得該題結(jié)果．?

解：由題意可得，點(diǎn)n的位置按4次一周期的規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)，

∵2022÷4＝505……2?，

∴點(diǎn)C2022在第二象限，

∵位于第二象限內(nèi)的點(diǎn)C2的坐標(biāo)為（﹣1，），

3

點(diǎn)C6的坐標(biāo)為（﹣3，），2

7

點(diǎn)C10的坐標(biāo)為（﹣5，2），

11

……2

∴點(diǎn)n的坐標(biāo)為（，），

??+1

??

∴當(dāng)n＝2022時(shí)，221011，，

?2022?+12022+12023

?2=?2=?==

∴點(diǎn)C2022的坐標(biāo)為（﹣1011，），222

2023

故答案為：（﹣1011，）．2

2023

總結(jié)提升：此題考查了點(diǎn)2的坐標(biāo)方面規(guī)律性問題的解決能力，關(guān)鍵是能根據(jù)題意確定出該點(diǎn)的出現(xiàn)規(guī)律．

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模塊二2023中考押題預(yù)測(cè)

8．（2022?漣源市校級(jí)模擬）定義：a是不為1的有理數(shù)，我們把稱為a的差倒數(shù)．如：2的差倒數(shù)是

11

=?

，?1的差倒數(shù)是．已知．a(chǎn)2是a1的差倒1?數(shù)?，a3是a2的差倒數(shù)，a4是a3的差倒1?數(shù)2，…，

111

1=?1=

以此類推，則a20212?＝(?1﹣)22．3

思路引領(lǐng)：通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)每3次運(yùn)算結(jié)果循環(huán)出現(xiàn)一次，則a2022＝a3＝﹣2．

解：∵，

1

?1=

∴a23，a32，a4，……，

13111

=1==3=?==

∴每31次?運(yùn)3算2結(jié)果循環(huán)1?出2現(xiàn)一次，1+23

∵2022÷3＝674，

∴a2022＝a3＝﹣2，

故答案為：﹣2．

總結(jié)提升：本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，通過計(jì)算探索出運(yùn)算結(jié)果的循環(huán)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．

9．（2022?渭源縣模擬）觀察下列一組數(shù)：，，，，…，根據(jù)這組數(shù)的排列規(guī)律，可推出第9個(gè)

1157

??

數(shù)是．32912

17

思路引領(lǐng)2：7通過觀察所給的數(shù)可得第n個(gè)數(shù)是（﹣1）n+1?，將n＝9代入求值即可．

2??1

解：∵，，，，…，3?

1157

??

∴，3，2，9，1…2，

1357

??

∴3，69，12，，…，

1357

??

∴第1×3n個(gè)數(shù)2是×3（﹣3×1）3n+1?4×3，

2??1

∴第9個(gè)數(shù)是，3?

17

故答案為：2．7

17

總結(jié)提升：本27題考查數(shù)字的變化規(guī)律，通過觀察所給的數(shù)，探索出數(shù)的分子與分母的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．

﹣

10．（2022?運(yùn)城二模）一組按規(guī)律排列的式子a2，a5，a8，a11，…，則第n個(gè)式子是a3n1．

思路引領(lǐng)：通過觀察發(fā)現(xiàn)，所給式子中每個(gè)單項(xiàng)式的指數(shù)的規(guī)律為3n﹣1，由此求解即可．

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解：∵a2，a5，a8，a11，…，

﹣

∴第n個(gè)式子為a3n1，

﹣

故答案為：a3n1．

總結(jié)提升：本題考查數(shù)字是變化規(guī)律，通過觀察，找到式子的指數(shù)的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．

11．（2022?丹江口市模擬）中國古代數(shù)學(xué)史曾經(jīng)有自己光輝燦爛的篇章，而“楊輝三角”的發(fā)現(xiàn)就是十分

精彩的一頁，上圖是其中的一部分．“楊輝三角”蘊(yùn)含了許多優(yōu)美的規(guī)律，小明對(duì)此非常著迷．一次，他

把寫的楊輝三角數(shù)表用書本遮蓋住，只漏出其中某一行的一部分的5個(gè)數(shù)字：1，10，45，120，210，讓

同桌小聰說出第6個(gè)數(shù)字，小聰稍加思索，便說出正確答案，正確答案是252．

思路引領(lǐng)：通過觀察，找到所給數(shù)所在行的數(shù)之間的關(guān)系，可得第6個(gè)數(shù)是252．

10×9×8×7×6

=

解：∵45，120，210，5×4×3×2

10×910×9×810×9×8×7

=2=3×2=4×3×2

∴252，

10×9×8×7×6

=

故答5案×為4×；3×2252．

總結(jié)提升：本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，能夠通過所給的楊輝三角形，找到各行數(shù)字之間的關(guān)系是解題的

關(guān)鍵．

12．（2022?煙臺(tái)模擬）如圖，數(shù)字都是按一定規(guī)律排列的，其中x的值是

313．

思路引領(lǐng)：通過觀察可知，25＝a+b，b＝a+1，x＝25a+b，求解即可．

解：由題可知，25＝a+b，b＝a+1，

∴a＝12，b＝13，

∵x＝25a+b，

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∴x＝25×12+13＝313，

故答案為：313．

總結(jié)提升：本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，通過觀察所給的圖中的數(shù)，找個(gè)各數(shù)之間的聯(lián)系是解題的關(guān)鍵．

13．（2022?興慶區(qū)校級(jí)二模）用符號(hào)f（x）表示關(guān)于自然數(shù)x的代數(shù)式，我們規(guī)定：當(dāng)x為偶數(shù)時(shí)，f（x）

；當(dāng)x為奇數(shù)時(shí)，f（x）＝3x+1．例如：f（1）＝3×1+1，f（8）4．設(shè)x1＝8，x2＝f（x1），x3

?8

＝=2（），，＝（）．以此規(guī)律，得到一列數(shù)、、，，=2，=則這個(gè)數(shù)之和

fx2?xnfxn﹣1x1x2x3?x20222022x1+x2+x3+

等于．

?+x2021+x20224725

思路引領(lǐng)：通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)從開始每次的運(yùn)算結(jié)果循環(huán)一次，由此可知、，，循環(huán)次，

x23x2x3?x2019673

并且x2021＝4，x2022＝2，再計(jì)算即可．

解：∵x1＝8，

∴x2＝f（x1）＝f（8）＝4，

x3＝f（x2）＝f（4）＝2，

x4＝f（x3）＝f（2）＝1，

x5＝f（x4）＝f（1）＝4，

?

∴從x2開始每3次的運(yùn)算結(jié)果循環(huán)一次，

∵（2022﹣1）÷3＝673…2，

∴、，，循環(huán)次，＝，＝，

x2x3?x2019673x20214x20222

∵x2+x3+x4＝7，

∴＝×＝，

x1+x2+x3+?+x2021+x20228+6737+4+24725

故答案為：4725．

總結(jié)提升：本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，根據(jù)所給的運(yùn)算規(guī)律，找到結(jié)果的循環(huán)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．

14．（2022?龍口市一模）如圖所示，在這個(gè)數(shù)據(jù)運(yùn)算程序中，若開始輸入的x的值為2，結(jié)果輸出的是1，

返回進(jìn)行第二次運(yùn)算，輸出的是﹣4，…，則第2022次輸出的結(jié)果是﹣3．

思路引領(lǐng)：分別求出第1次到第9次的運(yùn)算結(jié)果，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律：從第二次的結(jié)果開始，每6次運(yùn)算結(jié)

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果循環(huán)一次，即可求解．

解：當(dāng)x＝2時(shí)，

第一次的輸出結(jié)果為2＝1，

1

×

第二次的輸出結(jié)果為21﹣5＝﹣4，

第三次的輸出結(jié)果為（﹣4）＝﹣2，

1

×

第四次的輸出結(jié)果為2（﹣2）＝﹣1，

1

×

第五次的輸出結(jié)果為﹣21﹣5＝﹣6，

第六次的輸出結(jié)果為（﹣6）＝﹣3，

1

×

第七次的輸出結(jié)果為﹣23﹣5＝﹣8，

第八次的輸出結(jié)果為（﹣8）＝﹣4，

1

×

……2

∴從第二次的結(jié)果開始，每6次運(yùn)算結(jié)果循環(huán)一次，

∵（2022﹣1）÷6＝336…5，

∴第2022次的結(jié)果與第7次的結(jié)果一樣，

∴第2022次輸出的結(jié)果是﹣3，

故答案為：﹣3．

總結(jié)提升：本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，由所給的運(yùn)算流程圖，通過計(jì)算，探索輸出結(jié)果的循環(huán)規(guī)律是解

題的關(guān)鍵．

15．（2022?湖口縣二模）有一組數(shù)：1，1，2，3，5，8，13，21，…，稱為斐波那契數(shù)列，由十三世紀(jì)意

大利數(shù)學(xué)家列昂納多?斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”．該數(shù)列從第三項(xiàng)開始，

每項(xiàng)等于其前相鄰兩項(xiàng)之和，則這列數(shù)中第九項(xiàng)是34．

思路引領(lǐng)：直接根據(jù)每項(xiàng)等于其前相鄰兩項(xiàng)的和計(jì)算即可．

解：∵該數(shù)列從第三項(xiàng)開始，每項(xiàng)等于前兩項(xiàng)的和，

∴第九項(xiàng)等于第七項(xiàng)與第八項(xiàng)的和，

即第九項(xiàng)的數(shù)值＝13+21＝34．

故答案為：34．

總結(jié)提升：本題考查了新定義，正確理解新定義是解答本題的關(guān)鍵．

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16．（2022?楚雄州一模）下面是按一定規(guī)律排列的代數(shù)式：﹣a2，3a4，﹣5a6，7a8，﹣9a10，…則第13個(gè)

代數(shù)式是﹣25a26．

思路引領(lǐng)：通過觀察排列的單項(xiàng)式可以看出，其系數(shù)都是連續(xù)的奇數(shù)，且第奇數(shù)個(gè)代數(shù)式是負(fù)數(shù)；字母

指數(shù)都是連續(xù)的偶數(shù)，根據(jù)此規(guī)律可以得出第13個(gè)代數(shù)式．

解：通過排列的單項(xiàng)式可以看出，其系數(shù)與它的序號(hào)之間的關(guān)系是（﹣1）n（2n﹣1）；

而字母指數(shù)與序號(hào)之間的關(guān)系為2n，

所以第n個(gè)代數(shù)式可表示為（﹣1）n（2n﹣1）a2n，

所以第13個(gè)代數(shù)式是﹣25a26．

故答案為：﹣25a26．

總結(jié)提升：本題考查了根據(jù)單項(xiàng)式排列的規(guī)律，求未知單項(xiàng)式，解題的關(guān)鍵是找出變化規(guī)律，然后把這

種變化規(guī)律用代數(shù)式的序號(hào)表示出來．

17．（2022?興慶區(qū)校級(jí)一模）如圖，點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（1，0），A2在y軸的正半軸上，且∠A1A2O＝30°，過

點(diǎn)A2作A2A3⊥A1A2，垂足為A2，交x軸于點(diǎn)A3；過點(diǎn)A3作A3A4⊥A2A3，垂足為A3，交y軸于點(diǎn)A4；

過點(diǎn)A4作A4A5⊥A3A4，垂足為A4，交x軸于點(diǎn)A5；過點(diǎn)A5作A5A6⊥A4A5，垂足為A5，交y軸于點(diǎn)A6……

1010

按此規(guī)律進(jìn)行下去，則點(diǎn)A2021的坐標(biāo)為（3，0）．

﹣

思路引領(lǐng)：由題意得點(diǎn)An到原點(diǎn)的距離是（）n1，且其位置按x軸的正半軸、y軸的正半軸、x軸的

負(fù)半軸、y軸的正半軸的規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)，即可求3得此題的規(guī)律．

解：由題意得，點(diǎn)A2到原點(diǎn)的距離是，

∴其坐標(biāo)為（0，）；3

2

點(diǎn)A3到原點(diǎn)的距離3是（）＝3，

∴其坐標(biāo)為（﹣3，0）；3

3

點(diǎn)A4到原點(diǎn)的距離是（）＝3，

∴其坐標(biāo)為（0，﹣3）；33

4

點(diǎn)A5到原點(diǎn)的距離是（3）＝9，

3

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∴其坐標(biāo)為（9，0）；

5

點(diǎn)A6到原點(diǎn)的距離是（）＝9，

∴其坐標(biāo)為（0，9）；33

……3

n﹣1

∴點(diǎn)An到原點(diǎn)的距離是（），且其位置按x軸的正半軸、y軸的正半軸、x軸的負(fù)半軸、y軸的正

半軸上4次一循環(huán)的規(guī)律出現(xiàn)3，

∴當(dāng)n＝2021時(shí)，

﹣

（）20211＝31010，2021÷4＝505…1，

1010

∴點(diǎn)3A2021的坐標(biāo)為（3，0），

故答案為：（31010，0）．

總結(jié)提升：此題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律問題的解決能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確觀察、猜想、歸納并運(yùn)用相應(yīng)規(guī)律．

18．（2022?桑植縣模擬）如圖，在一單位為1的方格紙上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7……都是斜邊在

x軸上，斜邊長分別為2，4，6……的等腰直角三角形，若△A1A2A3的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A1（2，0），A2（1，

﹣1），A3（0，0），則依圖中所示規(guī)律，A2020的坐標(biāo)為（2，1010）．

思路引領(lǐng)：根據(jù)腳碼確定出腳碼為偶數(shù)時(shí)的點(diǎn)的坐標(biāo)，得到規(guī)律當(dāng)腳碼是2、6、10…時(shí)，橫坐標(biāo)為1，

縱坐標(biāo)為腳碼的一半的相反數(shù)，當(dāng)腳碼是4、8、12…時(shí)，橫坐標(biāo)是2，縱坐標(biāo)為腳碼的一半，然后確定

出第2020個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)即可．

解：∵各三角形都是等腰直角三角形，

∴直角頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)的長度為斜邊的一半，

A2（1，﹣1），A4（2，2），A6（1，﹣3），A8（2，4），A10（1，﹣5），A12（2，6），…，

∵2020÷4＝505，

∴點(diǎn)A2020在第一象限，橫坐標(biāo)是2，縱坐標(biāo)是2020÷2＝1010，

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∴A2020的坐標(biāo)為（2，1010）．

故答案為：（2，1010）．

總結(jié)提升：本題是對(duì)點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律的考查，根據(jù)2020是偶數(shù)，求出點(diǎn)的腳碼是偶數(shù)時(shí)的變化規(guī)律是

解題的關(guān)鍵．

19．（2022?成縣校級(jí)模擬）按一定規(guī)律排列的式子：，，，，……第n個(gè)式子是（﹣1）

3?8?15?24?

?3?57

n?．????

?(?+2)?

2??1

思路?引領(lǐng)：觀察分子、分母的變化規(guī)律，總結(jié)出一般規(guī)律即可．

解：3b，8b，15b，24b…，分子可表示為：n（n+2）b．

﹣

1，3，5，7，…分母可表示為a2n1，

則第n個(gè)式子為：（﹣1）n?．

?(?+2)?

2??1

故答案是：（﹣1）n??．

?(?+2)?

2??1

總結(jié)提升：本題考查了?單項(xiàng)式的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是觀察分子、分母的變化規(guī)律．

20．（2022?涼州區(qū)校級(jí)一模）一組按規(guī)律排列的代數(shù)式：a+2b，a2﹣2b3，a4+2b5，a4﹣2b7，…，則第n個(gè)

﹣

式子是an+（﹣1）n+1?2b2n1．

思路引領(lǐng)：根據(jù)已知的式子可以得到每個(gè)式子的第一項(xiàng)中a的次數(shù)是式子的序號(hào)；第二項(xiàng)的符號(hào)：第奇

數(shù)項(xiàng)是正號(hào)，第偶數(shù)項(xiàng)是負(fù)號(hào)；第二項(xiàng)中b的次數(shù)是序號(hào)的2倍減1，據(jù)此即可寫出．

﹣

解：觀察代數(shù)式，得到第n個(gè)式子是：an+（﹣1）n+1?2b2n1．

﹣

故答案為：an+（﹣1）n+1?2b2n1．

總結(jié)提升：本題考查了探索規(guī)律，根據(jù)所排列的代數(shù)式，總結(jié)出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．

21．（2022?云岡區(qū)二模）將一組數(shù)按如下規(guī)律排列：

則第10行的第3個(gè)數(shù)是：48．

思路引領(lǐng)：先觀察發(fā)現(xiàn)題中各數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，即每個(gè)數(shù)字為連續(xù)正整數(shù)的特征，且每行數(shù)字的個(gè)數(shù)等

于行數(shù)，即可確定答案．

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解：由圖可得，第一行1個(gè)數(shù)，第2行2個(gè)數(shù)，第3行3個(gè)數(shù)，…，前9行的數(shù)字有：

1+2+3+4+…+9＝45個(gè)數(shù)，

∴第9行最后一個(gè)數(shù)是45，

∴第10行第3個(gè)數(shù)是：45+3＝48，

故答案為：48．

總結(jié)提升：本題考查了數(shù)字的排列規(guī)律，觀察發(fā)現(xiàn)數(shù)字間的排列規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵．

22．（2022?武威模擬）觀察下列等式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，……通

過觀察，用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律確定22022的個(gè)位數(shù)字是4．

思路引領(lǐng)：根據(jù)已知冪的結(jié)果找出個(gè)位數(shù)的周期性規(guī)律，進(jìn)而分析判斷即可．

解：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，

可知，2n的個(gè)位數(shù)字以“2，4，8，6…”重復(fù)出現(xiàn)，

∵2022÷4＝505……2，

所以22022的個(gè)位數(shù)字是4；

故答案為：4．

總結(jié)提升：本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，根據(jù)已知確定數(shù)字的周期規(guī)律是解題的關(guān)鍵．

23．（2022?樂業(yè)縣二模）觀察一列數(shù)：0，，，3，，，，…，按此規(guī)律，這列數(shù)的第22

個(gè)數(shù)是3（結(jié)果需化簡）．36231532

思路引領(lǐng)：觀7察所給數(shù)字的規(guī)律，找到一般表達(dá)式進(jìn)而求解即可．

解：觀察這列數(shù)，

得到，第n個(gè)數(shù)，

∴這列數(shù)的第22=個(gè)數(shù)3?是?33，

故答案為：3．3×22?3=63=7

總結(jié)提升：本題7考查了數(shù)式規(guī)律中的猜想歸納，解題關(guān)鍵在于寫出一般形式．

24．（2022?武功縣模擬）我國宋朝數(shù)學(xué)家楊輝在他的著作《詳解九章算術(shù)》中提出如圖所示的表，此表揭

示了（a+b）n（n為非負(fù)整數(shù)）展開式的各項(xiàng)系數(shù)的規(guī)律，例如：

（a+b）0＝1，它只有一項(xiàng)，系數(shù)為1；

（a+b）1＝a+b，它有兩項(xiàng)，系數(shù)分別為1，1；

（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三項(xiàng)，系數(shù)分別為1，2，1；

（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，它有四項(xiàng)，系數(shù)分別為1，3，3，1；

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（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，它有五項(xiàng)，系數(shù)分別為1，4，6，4，1；

根據(jù)以上規(guī)律，計(jì)算（a+b）5展開式各項(xiàng)系數(shù)的和等于32．

思路引領(lǐng)：根據(jù)數(shù)字的變化得出系數(shù)和與次數(shù)的關(guān)系即可．

解：（a+b）0＝1，它只有一項(xiàng)，系數(shù)為1，系數(shù)和為1；

（a+b）1＝a+b，它有兩項(xiàng)，系數(shù)分別為1，1，系數(shù)和為2；

（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三項(xiàng)，系數(shù)分別為1，2，1，系數(shù)和為4；

（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，它有四項(xiàng)，系數(shù)分別為1，3，3，1，系數(shù)和為8；

（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，它有五項(xiàng)，系數(shù)分別為1，4，6，4，1，系數(shù)和為16；

∴（a+b）5展開式各項(xiàng)系數(shù)的和為32，

故答案為：32．

總結(jié)提升：本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，根據(jù)數(shù)字的變化規(guī)律得出系數(shù)和與次數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．

25．（2022?來鳳縣模擬）將正奇數(shù)按如圖所示的規(guī)律排列下去，若有序?qū)崝?shù)對(duì)（n，m）表示第n排，從左

到右第m個(gè)數(shù)，如（4，2）表示奇數(shù)15，則表示奇數(shù)2021的有序?qū)崝?shù)對(duì)是為（45，25）．

思路引領(lǐng)：觀察所給數(shù)，求出前n排共有個(gè)數(shù)，進(jìn)而確定2021是這列數(shù)的第1011個(gè)數(shù)，從而確

?(?+1)

定其在第45排，再由第45排的數(shù)從右向左增2大，則可確定2021在45排，從左到右第25個(gè)數(shù)．

解：根據(jù)數(shù)的排列可知，第一排1個(gè)數(shù)，第二排2個(gè)數(shù)，第三排3個(gè)數(shù)，……，

前n排共有個(gè)數(shù)，

?(?+1)

∵2021是這列數(shù)2的第1011個(gè)數(shù)，前44排有990個(gè)數(shù)，前45排有1035個(gè)數(shù)，

∴2021在第45排，

∴前44排共有990個(gè)數(shù)，

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再通過觀察，奇數(shù)排的數(shù)，從右向左增大，偶數(shù)排的數(shù)，從左向右增大，

∴第45排的數(shù)從右向左增大，

∵1011﹣990＝21，

∴2021在45排，從左到右第25個(gè)數(shù)，

故奇數(shù)2021的有序?qū)崝?shù)對(duì)是為（45，25）．

故答案為：（45，25）．

總結(jié)提升：本題考查數(shù)字的變化規(guī)律；能夠通過所給數(shù)的排列特點(diǎn)，逐步確定2021的位置是解題的關(guān)鍵．

26．（2022?肅州區(qū)模擬）按一定規(guī)律排列的多項(xiàng)式：﹣x+2y，x2+4y，﹣x3+6y，x4+8y，﹣x5+10y，…，根據(jù)

上述規(guī)律，則第n個(gè)多項(xiàng)式是（﹣x）n+2ny．．

思路引領(lǐng)：從三方面（符號(hào)、系數(shù)的絕對(duì)值、指數(shù)）總結(jié)規(guī)律，再根據(jù)規(guī)律進(jìn)行解答便可．

解：按一定規(guī)律排列的多項(xiàng)式：﹣x+2y＝（﹣x）1+1×2y，

x2+4y＝（﹣x）2+2×2y，

﹣x3+6y＝（﹣x）3+3×2y，

x4+8y＝（﹣x）4+4×2y，

﹣x5+10y＝（﹣x）5+5×2y，

…，

則第n個(gè)多項(xiàng)式是（﹣x）n+2ny，

故答案為：（﹣x）n+2ny．

總結(jié)提升：此題考查了數(shù)字的變化類，是一道關(guān)于數(shù)字猜想的問題，關(guān)鍵是通過歸納與總結(jié)，得到其中

的規(guī)律．

27．（2022?寧遠(yuǎn)縣模擬）如圖，將正整數(shù)按此規(guī)律排列成數(shù)表，則2022是表中第64行第6列．

思路引領(lǐng)：根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以寫出前幾行的數(shù)字個(gè)數(shù)，然后即可寫出前n行的數(shù)字個(gè)數(shù)，從而可

以得到2022在圖中的位置．

解：由圖可知，

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第一行1個(gè)數(shù)字，

第二行2個(gè)數(shù)字，

第三行3個(gè)數(shù)字，

…，

則第n行n個(gè)數(shù)字，

前n行一共有個(gè)數(shù)字，

?(?+1)

∵＜2022＜2，20222022﹣2016＝6，

63×6464×6563×64

?=

∴20222是表中第64行2第6列，2

故答案為：64，6．

總結(jié)提升：本題考查數(shù)字的變化類，解答本題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點(diǎn)，寫出前n行的數(shù)字個(gè)數(shù)．

28．（2022?烏海一模）一組按規(guī)律排列的式子，，，，則第n個(gè)式子是（n為正

24682?

?????

?2

整數(shù)）．251017?+1

思路引領(lǐng)：根據(jù)式子中分子分母的變化得出第n個(gè)式子為即可．

2?

?

2

解：由題知，第1個(gè)式子為，?+1

2

?

2

第2個(gè)式子為，1+1

2×2

?

2

第3個(gè)式子為2+1，

2×3

?

2

???，3+1

第n個(gè)式子為，

2?

?

2

故答案為：?+．1

2?

?

2

總結(jié)提升：?本+題1主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，根據(jù)數(shù)字變化歸納出第n個(gè)式子是解題的關(guān)鍵．

29．（2022?十堰模擬）如圖，將從1開始的自然數(shù)按以下規(guī)律排列，例如4的位置位于第2行第1列、記

作（2，1），類似地，12的位置記作（3，4），則2022的位置記作（45，4）．

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思路引領(lǐng)：觀察圖表可知：第n行第一個(gè)數(shù)是n2，可得第45行第一個(gè)數(shù)是2025，第44行第一個(gè)數(shù)是

1936，則可求得2022位置．

解：觀察圖表可知：第n行第一個(gè)數(shù)是n2，

∴第45行第一個(gè)數(shù)是2025，第44行第一個(gè)數(shù)是1936，

∵2025﹣2022＝3，

∴2022在第45行第4個(gè)數(shù)，記作（45，4）．

故答案為：（45，4）．

總結(jié)提升：本題考查規(guī)律型﹣數(shù)字問題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)觀察，探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問題．

30．（2022?祿勸縣一模）觀察下列等式：1＝12﹣02，3＝22﹣12，5＝32﹣22，…，按此規(guī)律，則第8個(gè)等式

為15＝82﹣72．

思路引領(lǐng)：根據(jù)所給的等式的形式，不難得出第n個(gè)等式為：2n﹣1＝n2﹣（n﹣1）2，從而可求解．

解：∵1＝12﹣02，3＝22﹣12，5＝32﹣22，…，

∴第n個(gè)等式為：2n﹣1＝n2﹣（n﹣1）2，

∴第8個(gè)等式為：2×8﹣1＝82﹣72，

即15＝82﹣72，

故答案為：15＝82﹣72．

總結(jié)提升：本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解答的關(guān)鍵是由所給的等式總結(jié)出存在的規(guī)律．

31．（2022?灞橋區(qū)校級(jí)四模）觀察下列一系列數(shù)，按照這種規(guī)律排下去，那么第5行從左邊數(shù)第6個(gè)數(shù)是

22．

思路引領(lǐng)：根據(jù)圖中的數(shù)字，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點(diǎn)，從而可以求得第5行從左邊數(shù)第6個(gè)數(shù)，本題

得以解決．

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解：由圖可得，

第一行有1個(gè)數(shù)，

第二行有3個(gè)數(shù)，

第三行有5個(gè)數(shù)，

…，

則第5行有9個(gè)數(shù)，

前4行一共有：1+3+5+7＝16個(gè)數(shù)字，

則第5行從左邊數(shù)第6個(gè)數(shù)的絕對(duì)值是16+6＝22，

∵圖中的奇數(shù)都是負(fù)數(shù)，偶數(shù)都是正數(shù)，

∴第5行從左邊數(shù)第6個(gè)數(shù)是22，

故答案為：22．

總結(jié)提升：本題考查數(shù)字的變化類，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點(diǎn)，求出相應(yīng)的數(shù)

字．

32．（2022?詔安縣校級(jí)模擬）一個(gè)叫巴爾末的中學(xué)教師成功地從光譜數(shù)據(jù)，，，，…中得到巴爾末

9162536

公式，從而打開了光譜奧秘的大門，請(qǐng)你按照這種規(guī)律，寫出第6個(gè)數(shù)5據(jù)是12213．2

64

思路引領(lǐng)：由題意得第n個(gè)光譜數(shù)據(jù)可表示為，可求得此題結(jié)果．60

2

(?+2)

2

解：，，，(?+2)?，4…，

2222

93164255366

=2=2=2=2

∴第5n個(gè)光3?譜4數(shù)據(jù)12可表4示?為4215，?4326?4

2

(?+2)

2

∴第6個(gè)數(shù)據(jù)是(?+2)?4，

22

(6+2)86464

2=2==

故答案為：．(6+2)?48?464?460

64

總結(jié)提升：6此0題考查了數(shù)字規(guī)律問題的解決能力，關(guān)鍵是能通過觀察、猜想、驗(yàn)證歸納出此題規(guī)律．

33．（2022?迎澤區(qū)校級(jí)模擬）如圖是一組有規(guī)律的圖案，它們是由邊長相同的小正方形組成，其中部分小

正方形涂有陰影，依此規(guī)律，第2022個(gè)圖案中有8089個(gè)涂有陰影的小正方形．

思路引領(lǐng)：根據(jù)圖形的變化發(fā)現(xiàn)規(guī)律：第n個(gè)圖案中涂有陰影的小正方形個(gè)數(shù)為：4n+1，進(jìn)而求得第2022

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個(gè)圖案中涂有陰影的小正方形個(gè)數(shù)．

解：觀察圖形的變化可知：

第1個(gè)圖案中涂有陰影的小正方形個(gè)數(shù)為：5＝4×1+1；

第2個(gè)圖案中涂有陰影的小正方形個(gè)數(shù)為：9＝4×2+1；

第3個(gè)圖案中涂有陰影的小正方形個(gè)數(shù)為：13＝4×3+1；

…

發(fā)現(xiàn)規(guī)律：

第n個(gè)圖案中涂有陰影的小正方形個(gè)數(shù)為：4n+1；

∴第2022個(gè)圖案中涂有陰影的小正方形個(gè)數(shù)為：

4n+1＝4×2022+1＝8089．

故答案為：8089．

總結(jié)提升：本題考查了規(guī)律型﹣圖形的變化類，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形的變化尋找規(guī)律，總結(jié)規(guī)律，

運(yùn)用規(guī)律．

34．（2022?黃岡模擬）對(duì)于正整數(shù)a，我們規(guī)定：若a為奇數(shù)，則f（a）＝3a+1：若a為偶數(shù)，則f（a），

?

=2

例如f（15）＝3×15+1＝46，f（10）5，若a1＝8，a2＝f（a1），a3＝f（a2），a4＝f（a3），…，依

10

==

此規(guī)律進(jìn)行下去，得到一列數(shù)a1，a2，a3，2a4，…，an，…，（n為正整數(shù)），a1+a2+a3+…+a2022＝4725．

思路引領(lǐng)：按照規(guī)定：若a為奇數(shù)，則f（a）＝3a+1；若a為偶數(shù)，則f（a），直接運(yùn)算得出a2、

?

=

a3、a4、a5、a6…，進(jìn)一步找出規(guī)律解決問題．2

解：a1＝8，a24，a32，a41，a5＝1×3+1＝4，a62，…，

8424

========

這一列數(shù)按照除a21外，按照24、2、1三2個(gè)數(shù)一循環(huán)，2

∵（2022﹣1）÷3＝673……2，

∴a1+a2+a3+…+a2022＝8+（4+2+1）×673+4+2＝8+4711+4+2＝4725．

故答案為：4725．

總結(jié)提升：此題考查數(shù)列的規(guī)律，通過運(yùn)算得出規(guī)律：這一列數(shù)按照除a1外，按照4、2、1三個(gè)數(shù)一循

環(huán)是解題的關(guān)鍵．

35．（2022?慶云縣模擬）德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨發(fā)現(xiàn)了如圖所示的單位分?jǐn)?shù)三角形（單位分?jǐn)?shù)是分子為1，分

母為正整數(shù)的分?jǐn)?shù)），又稱為萊布尼茨三角形，根據(jù)前5行的規(guī)律，寫出第6行的第三個(gè)數(shù)：．

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