人教版高二上學(xué)期數(shù)學(xué)(選擇性必修1)《3.4橢圓的簡單幾何性質(zhì)》同步測試題及答案

第第頁人教版高二上學(xué)期數(shù)學(xué)(選擇性必修1)《3.4橢圓的簡單幾何性質(zhì)》同步測試題及答案考試時間：60分鐘；滿分：100分學(xué)校：___________班級：___________姓名：___________考號：___________考卷信息：本卷試題共22題，單選8題，多選4題，填空4題，解答6題，滿分100分，限時60分鐘，本卷題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可衡量學(xué)生掌握本節(jié)內(nèi)容的具體情況！一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）1．（3分）（上海市高二課時練習(xí)）離心率和橢圓形狀的有關(guān)，據(jù)此判斷橢圓C1:x24+y23A．C1 B．C．相同 D．無法判斷2．（3分）（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知橢圓x2+2y2=2A．有相同的長軸與短軸 B．有相同的焦距C．有相同的焦點 D．有相同的離心率3．（3分）（2022·四川·高二期中（文））與橢圓9x2+4y2A．x225+y220=1 B．4．（3分）（2022·上?！じ叨谀┫铝嘘P(guān)于曲線Γ:x2A．曲線Γ是橢圓 B．y的取值范圍是[?3,3]C．關(guān)于直線y=x對稱 D．曲線Γ所圍成的封閉圖形面積大于65．（3分）（2022·全國·高三階段練習(xí)（理））橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左頂點為A，點P,Q均在A．32 B．22 C．126．（3分）（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知F是橢圓C:x2m+y215=1的右焦點，點A2,352在C上，直線AF與A．514 B．154 C．?137．（3分）（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））如圖是5號籃球在太陽光照射下的影子，已知籃球的直徑為22cm，現(xiàn)太陽光與地面的夾角為60°，則此橢圓形影子的離心率為（

A．13 B．12 C．228．（3分）（2022·內(nèi)蒙古赤峰·三模（文））橢圓C:x24①過點F2的直線與橢圓C交于A,B兩點，則△AB②橢圓C上存在點P，使得PF③橢圓C的離心率為32④P為橢圓x24+y2=1一點，則以下選項正確的是（

）A．①② B．①③ C．①②③④ D．①②④二．多選題（共4小題，滿分16分，每小題4分）9．（4分）（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓C中心在原點，焦點在坐標(biāo)軸上，若橢圓C的離心率為32，且過點(2,1)，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

A．x28+y22=1 B．10．（4分）（2022·吉林·高二開學(xué)考試）據(jù)中國載人航天工程辦公室消息，北京時間2021年11月8日1時16分，經(jīng)過約6.5小時的出艙活動，神舟十三號航天員乘組密切協(xié)同，圓滿完成出艙活動全部既定任務(wù)，航天員翟志剛，王亞平安全返回天和核心艙，出艙活動取得圓滿成功.已知天和核心艙的運行軌道是以地球中心為一個焦點的橢圓，設(shè)其近地點距地面N千米，遠(yuǎn)地點距地面M千米，地球半徑為R千米，則下列說法正確的是（

）A．橢圓的短軸長為2N+RM+R千米 B．橢圓的短軸長為C．橢圓的焦距為M?N千米 D．橢圓的長軸長為M+N+2R千米11．（4分）（2022·山東濱州·高二期末）已知橢圓C的兩個焦點分別為F1?2,0，F(xiàn)22,0，離心率為12A．橢圓C的方程為xB．PF2C．當(dāng)PF1D．橢圓x24+12．（4分）（2022·廣東·高三階段練習(xí)）油紙傘是中國傳統(tǒng)工藝品，至今已有1000多年的歷史，為宣傳和推廣這一傳統(tǒng)工藝，某市文化宮于春分時節(jié)開展油紙傘文化藝術(shù)節(jié).活動中，某油紙傘撐開后擺放在戶外展覽場地上，如圖所示，該傘的傘沿是一個半徑為1的圓，圓心到傘柄底端的距離為1，陽光照射油紙叢在地面上形成了一個橢圓形的影子（春分時，該市的陽光照射方向與地面的夾角為60°），若傘柄底端正好位于該橢圓的左焦點位置，則（

A．該橢圓的離心率為3?12 C．該橢圓的焦距為32?6三．填空題（共4小題，滿分16分，每小題4分）13．（4分）（2022·全國·高二課時練習(xí)）若橢圓x240+y214．（4分）（2022·全國·高二課時練習(xí)）以橢圓x225+y215．（4分）（2022·福建省高二期末）已知橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0的一個頂點為B0,b，右焦點為F16．（4分）（2022·全國·高二單元測試）若F1、F2是橢圓C：x29+y225=1的兩個焦點，過F1的直線l與橢圓C交于A①橢圓C的離心率為35；

②存在點A使得A③若AF2+BF2=8四．解答題（共6小題，滿分44分）17．（6分）（2022·全國·高二專題練習(xí)）求下列橢圓的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點坐標(biāo)：(1)x2(2)4x18．（6分）（2023·全國·高三專題練習(xí)）求滿足下列各條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)長軸是短軸的3倍且經(jīng)過點A3,0(2)短軸一個端點與兩焦點組成一個正三角形，且焦點到同側(cè)頂點的距離為3；(3)經(jīng)過點P?23,1(4)與橢圓x24+19．（8分）（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知橢圓C的離心率為23，焦點F1?2,0(1)求橢圓C的方程；(2)已知A?3,0、B3,0，PxP,yP是橢圓20．（8分）（2021·廣東·高二期中）已知橢圓C:x2a2+(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點A0,1，點B在橢圓C上，求線段AB21．（8分）（2022·全國·高二課時練習(xí)）某海面上有A，B兩個觀測點，點B在點A正東方向4nmile處．經(jīng)多年觀察研究，發(fā)現(xiàn)某種魚群（將魚群視為點P）洄游的路線是以A，B為焦點的橢圓C．現(xiàn)有漁船發(fā)現(xiàn)該魚群在與點A，點B距離之和為8nmile處．在點A，B，P所在的平面內(nèi)，以A，B所在的直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系．(1)求橢圓C的方程；(2)某日，研究人員在A，B兩點同時用聲吶探測儀發(fā)出信號探測該魚群（探測過程中，信號傳播速度相同且魚群移動的路程忽略不計），A，B兩點收到魚群的反射信號所用的時間之比為5:3，試確定此時魚群P的位置（即點P的坐標(biāo)）．22．（8分）（2022·全國·高三專題練習(xí)）圓錐曲線又稱圓錐截痕、圓錐截面、二次曲線，約在公元前300年左右就已被命名和研究了，數(shù)學(xué)家歐幾里得、阿基米德、阿波羅尼斯對圓錐曲線的貢獻都很大，阿波羅尼斯著有《圓錐曲線論》，對圓錐曲線的性質(zhì)做了系統(tǒng)性的研究，之所以稱為圓錐曲線，是因為這些曲線是由一個平面截一個正圓錐面得到的，其實用一個平面去截圓柱的側(cè)面也會得到一些曲線．如圖，一個底面半徑為2、高為12的圓柱內(nèi)有兩個半徑為2的球，分別與圓柱的上下底面相切，一個平面夾在兩球之間，且與兩球分別切于點F1，F(xiàn)參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）1．（3分）（上海市高二課時練習(xí)）離心率和橢圓形狀的有關(guān)，據(jù)此判斷橢圓C1:x24+y23A．C1 B．C．相同 D．無法判斷【解題思路】分別計算出兩個橢圓的離心率，然后比較，誰的離心率越大且越接近于1，誰就越扁.【解答過程】在橢圓C1:x24+y在橢圓C2:x25+y∵e1=12>故選：A.2．（3分）（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知橢圓x2+2y2=2A．有相同的長軸與短軸 B．有相同的焦距C．有相同的焦點 D．有相同的離心率【解題思路】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，可得a,b,c以及離心率的值，即可求解.【解答過程】將橢圓方程x2+2y其焦點在x軸上，a1=2，b1=1將橢圓方程2x2+y2=1整理得x2則c2=a故選:D．3．（3分）（2022·四川·高二期中（文））與橢圓9x2+4y2A．x225+y220=1 B．【解題思路】求出橢圓9x【解答過程】橢圓9x2+4y2設(shè)所求橢圓的長半軸長為a，則a=2故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2故選：B.4．（3分）（2022·上?！じ叨谀┫铝嘘P(guān)于曲線Γ:x2A．曲線Γ是橢圓 B．y的取值范圍是[?3,3]C．關(guān)于直線y=x對稱 D．曲線Γ所圍成的封閉圖形面積大于6【解題思路】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可判斷A；易得y4≤1，即可判斷B；舉出反例即可判斷C；求出曲線【解答過程】解：因為曲線Γ:所以曲線Γ不是橢圓，故A正確；因為曲線Γ:所以y4≤1，所以曲線Γ:x29+若曲線Γ:x2則點0,3也在曲線Γ:又09+9=9≠1，所以點0,3不在曲線所以曲線Γ:x2對于D，曲線Γ:x2則以±3,0,0,±1四點為頂點的四邊形的面積為所以曲線Γ所圍成的封閉圖形面積大于6，故D正確.故選：D.5．（3分）（2022·全國·高三階段練習(xí)（理））橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左頂點為A，點P,Q均在A．32 B．22 C．12【解題思路】設(shè)P(x0,y0【解答過程】設(shè)P(x0,y0又x02a2+y0故選：B.6．（3分）（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知F是橢圓C:x2m+y215=1的右焦點，點A2,352在C上，直線AF與A．514 B．154 C．?13【解題思路】由題可得橢圓C:x216+y215【解答過程】由題可得22∴m=16，即橢圓C:x∴F1,0，直線AF方程為y=∴B0,?35設(shè)Px0,y0∴PA===116x∴當(dāng)x0=4時，PA?故選：C.7．（3分）（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））如圖是5號籃球在太陽光照射下的影子，已知籃球的直徑為22cm，現(xiàn)太陽光與地面的夾角為60°，則此橢圓形影子的離心率為（

A．13 B．12 C．22【解題思路】利用球的對稱性，作出截面圖，從而判斷∴a=22【解答過程】如圖，l1,l與底面交于點B,D，∴AC=2R=22,R=11,過C作CE//BD交l1,l2于在△ACE中，CEsin90o=ACsin60∴c=4那么橢圓中b=22，∴c=4∴e=c故選：B.8．（3分）（2022·內(nèi)蒙古赤峰·三模（文））橢圓C:x24①過點F2的直線與橢圓C交于A,B兩點，則△AB②橢圓C上存在點P，使得PF③橢圓C的離心率為32④P為橢圓x24+y2=1一點，則以下選項正確的是（

）A．①② B．①③ C．①②③④ D．①②④【解題思路】根據(jù)橢圓方程寫出a、b、c及焦點坐標(biāo)，由橢圓定義求焦點三角形的周長判斷①，根據(jù)橢圓的性質(zhì)及余弦定理求∠F1PF2的最大值，進而確定其范圍判斷②，直接法求離心率判斷③【解答過程】由題設(shè)，橢圓參數(shù)為a=2,b=1,c=3，且F1(?①由橢圓定義知：|AF1|+|AF②當(dāng)P在y軸上時，|PF1|=|PF2|=a=2，而|F1F2|=2c=2③橢圓C的離心率為e=c④由橢圓和圓的方程知：它們在y軸上的交點為橢圓上下頂點，而圓在x軸上的交點為(±1,0)，所以|PQ|∈[0,a+1]=[0,3]，故P,Q的最大距離為3，正確.故選：C.二．多選題（共4小題，滿分16分，每小題4分）9．（4分）（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓C中心在原點，焦點在坐標(biāo)軸上，若橢圓C的離心率為32，且過點(2,1)，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

A．x28+y22=1 B．【解題思路】分焦點在x軸上、焦點在y軸上兩種情況求解，分別設(shè)出橢圓的方程，然后由離心率和過點(2,1)求解即可.【解答過程】①當(dāng)橢圓C的焦點在x軸上時，設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2由橢圓C的離心率為32，得a2=4b2因為橢圓過點(2,1)，所以44b2+1b2=1，②當(dāng)橢圓C的焦點在y軸上時，設(shè)橢圓方程為y2由橢圓C的離心率為32，得m2=4n2因為橢圓過點(2,1)，所以14n2+4n2=1，故選：AC.10．（4分）（2022·吉林·高二開學(xué)考試）據(jù)中國載人航天工程辦公室消息，北京時間2021年11月8日1時16分，經(jīng)過約6.5小時的出艙活動，神舟十三號航天員乘組密切協(xié)同，圓滿完成出艙活動全部既定任務(wù)，航天員翟志剛，王亞平安全返回天和核心艙，出艙活動取得圓滿成功.已知天和核心艙的運行軌道是以地球中心為一個焦點的橢圓，設(shè)其近地點距地面N千米，遠(yuǎn)地點距地面M千米，地球半徑為R千米，則下列說法正確的是（

）A．橢圓的短軸長為2N+RM+R千米 B．橢圓的短軸長為C．橢圓的焦距為M?N千米 D．橢圓的長軸長為M+N+2R千米【解題思路】根據(jù)遠(yuǎn)地點以及近地點的距離，列出方程組a+c=M+Ra?c=N+R，可求得a=【解答過程】設(shè)橢圓的長軸長為2a，短軸長為2b，焦距為2c，則a+c=M+R解得a=M+N+2R所以b2故橢圓的短軸長為2N+R2a=M+N+2R,2c=M?N，故C正確，D正確,故選:ACD.11．（4分）（2022·山東濱州·高二期末）已知橢圓C的兩個焦點分別為F1?2,0，F(xiàn)22,0，離心率為12A．橢圓C的方程為xB．PF2C．當(dāng)PF1D．橢圓x24+【解題思路】根據(jù)離心率計算得到a=4，b=23，得到橢圓方程，計算PF2【解答過程】e=ca=12，c=2，故a=4，b=PF2的最大值為4+3PF1+PF橢圓x24+y2故選：AC.12．（4分）（2022·廣東·高三階段練習(xí)）油紙傘是中國傳統(tǒng)工藝品，至今已有1000多年的歷史，為宣傳和推廣這一傳統(tǒng)工藝，某市文化宮于春分時節(jié)開展油紙傘文化藝術(shù)節(jié).活動中，某油紙傘撐開后擺放在戶外展覽場地上，如圖所示，該傘的傘沿是一個半徑為1的圓，圓心到傘柄底端的距離為1，陽光照射油紙叢在地面上形成了一個橢圓形的影子（春分時，該市的陽光照射方向與地面的夾角為60°），若傘柄底端正好位于該橢圓的左焦點位置，則（

A．該橢圓的離心率為3?12 C．該橢圓的焦距為32?6【解題思路】先求得BF1，結(jié)合橢圓的知識以及正弦定理求得【解答過程】sin60°+45°如圖，A,B分別是橢圓的左?右頂點，F(xiàn)1是橢圓的左焦點，BC是圓的直徑，D因為BD=DF設(shè)橢圓的長軸長為2a，焦距為2c，則a+c=2因為∠A=60由正弦定理得2sin解得a=32+所以ca故選：BC.三．填空題（共4小題，滿分16分，每小題4分）13．（4分）（2022·全國·高二課時練習(xí)）若橢圓x240+y2【解題思路】討論橢圓焦點的位置，然后根據(jù)焦距，列等式求k.【解答過程】因為橢圓x240+當(dāng)橢圓的焦點在x軸上時，因為a2=40，b2=k，所以當(dāng)橢圓的焦點在y軸上時，因為a2=k，b2=40，所以綜上所述，k的值為31或49．故答案為：31或49.14．（4分）（2022·全國·高二課時練習(xí)）以橢圓x225+y2【解題思路】求出橢圓x2【解答過程】橢圓x225+則該橢圓的焦點在y軸上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2則{a所以以此為四個頂點的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2故答案為：y215．（4分）（2022·福建省高二期末）已知橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0的一個頂點為B0,b，右焦點為F【解題思路】設(shè)出M的坐標(biāo)，由BF=2FM得BF=2FM，從而得到M3【解答過程】設(shè)M的坐標(biāo)為x,y，由題知F(c,0)∴∵BF=2FM，∴∴c=2(x?c)?b=2y，即x=把點M的坐標(biāo)代入橢圓的方程得3∴9c24a故答案為：3316．（4分）（2022·全國·高二單元測試）若F1、F2是橢圓C：x29+y225=1的兩個焦點，過F1的直線l與橢圓C交于①橢圓C的離心率為35；

②存在點A使得A③若AF2+BF2=8【解題思路】對于①，根據(jù)方程求出a,b,c，再求離心率，對于②，設(shè)A=(3cost,5sint)，表示出F1A,【解答過程】對①，由題得a＝5，b＝3，c＝4，離心率為e=ca=對②，設(shè)A=(3cost,5sint)，得橢圓的參數(shù)方程為{x=3costy=5sint（t為參數(shù)），F(xiàn)1(0,4)，F(xiàn)2(0,?4)，所以F1A=(3cost,5對③，因為|AB|=12>2a=10，故③錯誤．對④，當(dāng)A位于短軸端點時，此時△AF1F2的面積最大，所以故答案為：②④.四．解答題（共6小題，滿分44分）17．（6分）（2022·全國·高二專題練習(xí)）求下列橢圓的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點坐標(biāo)：(1)x2(2)4x【解題思路】把橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合a,b,c的值求出長軸長，短軸長，離心率及焦點坐標(biāo)，頂點坐標(biāo).【解答過程】(1)x2+9y2=9整理為：x29+y2=1，焦點在x軸上，則a=3，b=1，c=a2?b2=22(2)4x2+2y2a=22,b=2，所以c=2，長軸長為2a=42，短軸長為2b=4，離心率ca=2218．（6分）（2023·全國·高三專題練習(xí)）求滿足下列各條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)長軸是短軸的3倍且經(jīng)過點A3,0(2)短軸一個端點與兩焦點組成一個正三角形，且焦點到同側(cè)頂點的距離為3；(3)經(jīng)過點P?23,1(4)與橢圓x24+【解題思路】（1）分焦點在x軸、焦點在y軸上，設(shè)橢圓方程并代入A點坐標(biāo)可得答案；（2）根據(jù)a=2ca?c=3和（3）設(shè)方程為mx2+n（4）橢圓x24+y23=1的離心率是a2=4,b2【解答過程】（1）若焦點在x軸上，設(shè)方程為x2∵橢圓過點A3,0，∴9a2∵2a=3×2b，∴b=1，∴方程為x2若焦點在y軸上，設(shè)方程為x2∵橢圓過點A3,0，∴9b2又2a=3×2b，∴a=9，∴方程為x2綜上所述，橢圓方程為x29+（2）由已知，有a=2ca?c=3解得a=23若焦點在y軸上，則x2若焦點在x軸上，x2∴所求橢圓方程為x212+（3）設(shè)方程為mx則有12m+n=13m+4n=1，解得m=則所求橢圓方程為x2（4）橢圓x24+y23=1當(dāng)焦點在x軸上時，設(shè)所求橢圓的方程是x2∴ca=1∴所求橢圓方程為x2當(dāng)焦點在y軸上時，設(shè)所求橢圓的方程為x2∴ca=1∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2故所求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為x28+19．（8分）（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知橢圓C的離心率為23，焦點F1?2,0(1)求橢圓C的方程；(2)已知A?3,0、B3,0，PxP,yP是橢圓【解題思路】（1）根據(jù)已知條件求得c,a,b，從而求得橢圓C的方程.（2）由PA?PB<0【解答過程】（1）依題意，c=2,c所以橢圓C的方程為x2（2）依題意，PA=由于∠APB是鈍角，所以PA?PB由于PxP,所以0<xP<3，且將②代入①得xP2?9+5?5所以xP的取值范圍是0,320．（8分）（2021·廣東·高二期中）已知橢圓C:x2a2+(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點A0,1，點B在橢圓C上，求線段AB【解題思路】（1）由題意可得2c=22，e=ca=2a=（2）設(shè)Bx【解答過程】(1)依題意，得2c=22?c=2所以b=a所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2(2)設(shè)Bx0,y所以x0由兩點間的距離公式，得|AB=?y因為?2所以當(dāng)y0=?1,x0=±21．（8分）（2022·全國·高二課時練習(xí)）某海面上有A，B兩個觀測點，點B在點A正東方向4nmile處．經(jīng)多年觀察研究，發(fā)現(xiàn)某種魚群（將魚群視