2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練600題（多選題）：概率（10題）

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練600題（多選題）：概率（10題）一．多選題（共10小題）（多選）1．（2024?東湖區(qū)校級(jí)模擬）下列說(shuō)法中，正確的是（）A．?dāng)?shù)據(jù)40，27，32，30，38，54，31，50的第25百分位數(shù)為32 B．從一批含有10件正品、4件次品的產(chǎn)品中任取3件，則取得2件次品的概率是1591C．已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B（n，p），若E（X）＝20，D（X）＝10，則n＝40 D．已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（2，σ2），若P（ξ＞1）＝p，則P（ξ＜3）＝1﹣p（多選）2．（2024?新鄭市校級(jí)一模）關(guān)于下列命題中，說(shuō)法正確的是（）A．已知X～B（n，p），若E（X）＝30，D（X）＝20，則p=2B．?dāng)?shù)據(jù)91，72，75，85，64，92，76，78，86，79的45%分位數(shù)為78 C．已知ξ～N（0，1），若P（ξ＞1）＝p，則P(-1≤ξ≤0)=D．某校三個(gè)年級(jí)，高一有400人，高二有360人．現(xiàn)用分層抽樣的方法從全校抽取57人，已知從高一抽取了20人，則應(yīng)從高三抽取19人（多選）3．（2024?東莞市校級(jí)三模）下列選項(xiàng)中正確的有（）A．若兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的相關(guān)性越強(qiáng)，則線性相關(guān)系數(shù)r的值越接近于1 B．在殘差圖中，殘差點(diǎn)分布的水平帶狀區(qū)域越窄，說(shuō)明模型的擬合精度越高 C．已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（2，σ2），P（X＜4）＝0.8，則P（2＜X＜4）＝0.2 D．若數(shù)據(jù)2x1+1，2x2+1，…，2x16+1的方差為8，則數(shù)據(jù)x1，x2，…，x16的方差為2（多選）4．（2024?香坊區(qū)校級(jí)模擬）一個(gè)袋子中有4個(gè)紅球，6個(gè)綠球，采用不放回方式從中依次隨機(jī)取出2個(gè)球．事件A＝“兩次取到的球顏色相同”；事件B＝“第二次取到紅球”；事件C＝“第一次取到紅球”．下列說(shuō)法正確的是（）A．A?B B．事件B與事件C是互斥事件 C．P(AB)=2D．P(B+C)=（多選）5．（2024?新縣校級(jí)模擬）下列說(shuō)法正確的是（）A．已知隨機(jī)變量X～N（2，σ2），若P（0＜X＜2）＝0.4，則P（X＞4）＝0.1 B．設(shè)a＞0，b＞0，則“l(fā)ogb3＞loga3”成立的充要條件是“a＞b＞1” C．已知P(B|A)=12，P(AB)=3D．若P(AB)=16，P（A）=13，P(B)=14（多選）6．（2024?日照模擬）同時(shí)投擲甲、乙兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，記“甲正面向上”為事件A，“乙正面向上”為事件B，“甲、乙至少一枚正面向上”為事件C，則下列判斷正確的是（）A．A與B相互獨(dú)立 B．A與B互斥 C．P(B|C)=23 D（多選）7．（2024?袁州區(qū)校級(jí)三模）同時(shí)拋出兩枚質(zhì)地均勻的骰子甲、乙，記事件A：甲骰子點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)，事件B：乙骰子點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)，事件C：甲、乙骰子點(diǎn)數(shù)相同．下列說(shuō)法正確的有（）A．事件A與事件B對(duì)立 B．事件A與事件B相互獨(dú)立 C．事件A與事件C相互獨(dú)立 D．P（C）＝P（AB）（多選）8．（2024?鯉城區(qū)模擬）已知隨機(jī)變量X的分布列如下：X123…nPP1P2P3…Pn若數(shù)列{Pn}是等差數(shù)列，則（）A．若n為奇數(shù)，則P(X=n+1B．PnC．若數(shù)列{Pn}單調(diào)遞增，則nP1＜1 D．E(X)=（多選）9．（2024?城區(qū)校級(jí)模擬）已知某果園的每棵果樹(shù)生長(zhǎng)的果實(shí)個(gè)數(shù)為X，且X服從正態(tài)分布N（90，σ2），X小于70的概率為0.2，從該果園隨機(jī)選取10棵果樹(shù)，其中果實(shí)個(gè)數(shù)在[90，110]的果樹(shù)棵數(shù)記作隨機(jī)變量Y，則下列說(shuō)法正確的是（）A．P（90≤X≤110）＝0.3 B．P（Y＝1）＝0.3×0.79 C．E（Y）＝2 D．D（Y）＝2.1（多選）10．（2024?樊城區(qū)校級(jí)模擬）下列結(jié)論正確的是（）A．一組樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)（xi，yi）都在直線y＝0.95x+1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為0.95 B．已知隨機(jī)變量ξ～N（3，4），若ξ＝2η+1，則D（η）＝1 C．在2×2列聯(lián)表中，若每個(gè)數(shù)據(jù)a，b，c，d均變成原來(lái)的2倍，則χ2也變成原來(lái)的2倍（χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+bD．分別拋擲2枚質(zhì)地均勻的骰子，若事件A＝“第一枚骰子正面向上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)”，B＝“2枚骰子正面向上的點(diǎn)數(shù)相同”，則A，B互為獨(dú)立事件

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練600題（多選題）：概率（10題）參考答案與試題解析一．多選題（共10小題）（多選）1．（2024?東湖區(qū)校級(jí)模擬）下列說(shuō)法中，正確的是（）A．?dāng)?shù)據(jù)40，27，32，30，38，54，31，50的第25百分位數(shù)為32 B．從一批含有10件正品、4件次品的產(chǎn)品中任取3件，則取得2件次品的概率是1591C．已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B（n，p），若E（X）＝20，D（X）＝10，則n＝40 D．已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（2，σ2），若P（ξ＞1）＝p，則P（ξ＜3）＝1﹣p【考點(diǎn)】正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義；百分位數(shù)；二項(xiàng)分布的均值（數(shù)學(xué)期望）與方差．【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】BC【分析】由百分位數(shù)的定義進(jìn)行判斷A項(xiàng)，由超幾何分布公式求概率判斷B項(xiàng)，由二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望與方差的性質(zhì)判斷C項(xiàng)，由正態(tài)分布的性質(zhì)判斷D項(xiàng)．【解答】解：對(duì)數(shù)據(jù)排列：27，30，31，32，38，40，50，54，因?yàn)?×25%＝2，所以第25百分位數(shù)=30+312，故對(duì)于B，從一批含有10件正品、4件次品的產(chǎn)品中任取3件，則取得2件次品的概率為p=C42對(duì)于C，X～B（n，p），得np=20np(1-p)=10，解得n=40p=1對(duì)于D，∵ξ～N（2，σ2），則正態(tài)曲線的對(duì)稱軸為ξ＝2，根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性可得P（ξ＞1）＝P（ξ＜3）＝p，故D錯(cuò)誤．故選：BC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查百分位數(shù)的定義，超幾何分布，二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望與方差的性質(zhì)，正態(tài)分布的性質(zhì)相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．（多選）2．（2024?新鄭市校級(jí)一模）關(guān)于下列命題中，說(shuō)法正確的是（）A．已知X～B（n，p），若E（X）＝30，D（X）＝20，則p=2B．?dāng)?shù)據(jù)91，72，75，85，64，92，76，78，86，79的45%分位數(shù)為78 C．已知ξ～N（0，1），若P（ξ＞1）＝p，則P(-1≤ξ≤0)=D．某校三個(gè)年級(jí)，高一有400人，高二有360人．現(xiàn)用分層抽樣的方法從全校抽取57人，已知從高一抽取了20人，則應(yīng)從高三抽取19人【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）；n重伯努利試驗(yàn)與二項(xiàng)分布；正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義；分層隨機(jī)抽樣．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】BCD【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布期望和方差公式可構(gòu)造方程求得p=13，知A錯(cuò)誤；將數(shù)據(jù)按照從小到大順序排序后，根據(jù)百分位數(shù)的估計(jì)方法直接求解知B正確；由正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性可求得C正確；根據(jù)分層抽樣原則可計(jì)算得到高二應(yīng)抽取學(xué)生數(shù)，由此可得高三數(shù)據(jù)，知【解答】解：對(duì)于A，∵X～B（n，p），∴E(X)=np=30D(X)=np(1-p)=20∴1-p=23，解得對(duì)于B，將數(shù)據(jù)從小到大排序?yàn)?4，72，75，76，78，79，85，86，91，92，∵10×45%＝4.5，∴45%分位數(shù)為第5個(gè)數(shù)，即78，故B正確；對(duì)于C，∵ξ～N（0，1），∴P(-1≤ξ≤0)=12對(duì)于D，∵抽樣比為20400∴高二應(yīng)抽取360×120=18人，則高三應(yīng)抽取57﹣20﹣18＝故選：BCD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查離散型隨機(jī)變量期望與方差，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．（多選）3．（2024?東莞市校級(jí)三模）下列選項(xiàng)中正確的有（）A．若兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的相關(guān)性越強(qiáng)，則線性相關(guān)系數(shù)r的值越接近于1 B．在殘差圖中，殘差點(diǎn)分布的水平帶狀區(qū)域越窄，說(shuō)明模型的擬合精度越高 C．已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（2，σ2），P（X＜4）＝0.8，則P（2＜X＜4）＝0.2 D．若數(shù)據(jù)2x1+1，2x2+1，…，2x16+1的方差為8，則數(shù)據(jù)x1，x2，…，x16的方差為2【考點(diǎn)】正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義；用樣本估計(jì)總體的離散程度參數(shù)；變量間的相關(guān)關(guān)系．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】BD【分析】對(duì)于A，B，結(jié)合相關(guān)系數(shù)，殘差的定義，即可求解；對(duì)于C，結(jié)合正態(tài)分布的對(duì)稱性，即可求解；對(duì)于D，結(jié)合方差的線性公式，即可求解．【解答】解：若兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的相關(guān)性越強(qiáng)，則線性相關(guān)系數(shù)|r|的值越接近于1，故A錯(cuò)誤；在殘差圖中，殘差點(diǎn)分布的水平帶狀區(qū)域越窄，說(shuō)明模型的擬合精度越高，故B正確；隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（2，σ2），則P（2＜X＜4）＝P（X＜4）﹣P（X≤2）＝0.8﹣0.5＝0.3，故C錯(cuò)誤；設(shè)數(shù)據(jù)x1，x2，…，x16的方差為m，數(shù)據(jù)2x1+1，2x2+1，…，2x16+1的方差為8，則22×m＝8，解得m＝2，故D正確．故選：BD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查概率與統(tǒng)計(jì)的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．（多選）4．（2024?香坊區(qū)校級(jí)模擬）一個(gè)袋子中有4個(gè)紅球，6個(gè)綠球，采用不放回方式從中依次隨機(jī)取出2個(gè)球．事件A＝“兩次取到的球顏色相同”；事件B＝“第二次取到紅球”；事件C＝“第一次取到紅球”．下列說(shuō)法正確的是（）A．A?B B．事件B與事件C是互斥事件 C．P(AB)=2D．P(B+C)=【考點(diǎn)】互斥事件與對(duì)立事件；隨機(jī)事件．【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】CD【分析】由已知先列舉出事件A，B，C包含的基本事件，然后結(jié)合互斥事件的概念及古典概率公式檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷．【解答】解：由題意可得，A＝{（紅，紅），（綠，綠）}，B＝{（紅，紅），（綠，紅）}，C＝{（紅，紅），（紅，綠）}，則A?B，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；B∩C≠?，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；P（AB）=4×310×9=P（B+C）=4×3+6×4×210×9=故選：CD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了事件基本關(guān)系的判斷，還考查了古典概率公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．（多選）5．（2024?新縣校級(jí)模擬）下列說(shuō)法正確的是（）A．已知隨機(jī)變量X～N（2，σ2），若P（0＜X＜2）＝0.4，則P（X＞4）＝0.1 B．設(shè)a＞0，b＞0，則“l(fā)ogb3＞loga3”成立的充要條件是“a＞b＞1” C．已知P(B|A)=12，P(AB)=3D．若P(AB)=16，P（A）=13，P(B)=14【考點(diǎn)】正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義；相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式；條件概率．【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】AD【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性可判斷A，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可判斷B，根據(jù)條件概率公式可判斷C，根據(jù)獨(dú)立事件的定義可判斷D．【解答】解：對(duì)于A，∵X～N（2，σ2），且P（0＜X＜2）＝0.4，∴P（X＞4）＝P（X＜0）＝0.5﹣P（0＜X＜2）＝0.5﹣0.4＝0.1，故A正確；對(duì)于B，設(shè)a＞0，b＞0，若logb3＞loga3，則a＞b＞1或0＜b＜a＜1，設(shè)a＞0，b＞0，若a＞b＞1，則log3a＞log3b＞0，所以loga3＜logb3，即設(shè)a＞0，b＞0，則“l(fā)ogb3＞loga3”成立的充分不必要條件是“a＞b＞1”，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，已知P(B|A)=12，P(AB)=38，則P（A）對(duì)于D，因?yàn)镻（A）=13，所以P（A）所以P（AB）＝P（A）P（B），所以事件A與B相互獨(dú)立，故D正確．故選：AD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性，考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，以及條件概率公式，屬于中檔題．（多選）6．（2024?日照模擬）同時(shí)投擲甲、乙兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，記“甲正面向上”為事件A，“乙正面向上”為事件B，“甲、乙至少一枚正面向上”為事件C，則下列判斷正確的是（）A．A與B相互獨(dú)立 B．A與B互斥 C．P(B|C)=23 D【考點(diǎn)】條件概率；互斥事件與對(duì)立事件．【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】AC【分析】根據(jù)獨(dú)立事件和互斥事件的定義判斷AB，利用條件概率公式判斷C，利用獨(dú)立事件的概率乘法公式判斷D．【解答】解：對(duì)于A，由題意可知，事件A與事件B相互獨(dú)立，故A正確；對(duì)于B，由題意可知，事件A與事件B有可能同時(shí)發(fā)生，例如“甲正面向上且乙正面向上”，故事件A與事件B不是互斥事件，故B錯(cuò)誤；對(duì)于CD，P（C）＝1-12×12=3所以P（B|C）=P(BC)P(C)=23故選：AC．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了獨(dú)立事件和互斥事件的定義，考查了條件概率公式，屬于基礎(chǔ)題．（多選）7．（2024?袁州區(qū)校級(jí)三模）同時(shí)拋出兩枚質(zhì)地均勻的骰子甲、乙，記事件A：甲骰子點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)，事件B：乙骰子點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)，事件C：甲、乙骰子點(diǎn)數(shù)相同．下列說(shuō)法正確的有（）A．事件A與事件B對(duì)立 B．事件A與事件B相互獨(dú)立 C．事件A與事件C相互獨(dú)立 D．P（C）＝P（AB）【考點(diǎn)】互斥事件與對(duì)立事件；隨機(jī)事件．【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)抽象．【答案】BC【分析】對(duì)于A，甲骰子點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)，乙骰子點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)，事件可以同時(shí)發(fā)生，由對(duì)立事件的概念可判斷；對(duì)于B，計(jì)算出P（A）P（B），P（AB），根據(jù)P（AB）＝P（A）P（B）可以判定兩個(gè)事件是否相互獨(dú)立；對(duì)于C，計(jì)算出P（A）P（C），P（AC），根據(jù)P（AC）＝P（A）P（C）可以判定兩個(gè)事件是否相互獨(dú)立；對(duì)于D，由前面可知P（C），P（AB），即可判斷是否相等．【解答】解：由題意，得P(A)=12，P(B)=1對(duì)于A，當(dāng)甲為奇數(shù)點(diǎn)，且乙為偶數(shù)點(diǎn)時(shí)，事件可以同時(shí)發(fā)生，所以事件A與事件B不互斥，故事件A與事件B不對(duì)立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由題意知P(AB)=C31C31C61對(duì)于C，P(AC)=336=112，又P(A)P(C)=12對(duì)于D，由上知，P(C)=16＜故選：BC．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相互獨(dú)立，互斥及對(duì)立事件的判斷，屬于中檔題．（多選）8．（2024?鯉城區(qū)模擬）已知隨機(jī)變量X的分布列如下：X123…nPP1P2P3…Pn若數(shù)列{Pn}是等差數(shù)列，則（）A．若n為奇數(shù)，則P(X=n+1B．PnC．若數(shù)列{Pn}單調(diào)遞增，則nP1＜1 D．E(X)=【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）；離散型隨機(jī)變量及其分布列．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】ACD【分析】由分布列的性質(zhì)及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得P1【解答】解：由數(shù)列Pn是等差數(shù)列且P1+P2+?+Pn＝1，得n(P1+對(duì)于A，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，P(X=n+12)=對(duì)于B，由P1+Pn=對(duì)于C，若數(shù)列{Pn}單調(diào)遞增，則Pn-P1=2n-2由kPk=k[所以E（X）=k=1nkPk=n(n+1)2?（P1﹣d故選：ACD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查離散型隨機(jī)變量分布列及數(shù)學(xué)期望，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．（多選）9．（2024?城區(qū)校級(jí)模擬）已知某果園的每棵果樹(shù)生長(zhǎng)的果實(shí)個(gè)數(shù)為X，且X服從正態(tài)分布N（90，σ2），X小于70的概率為0.2，從該果園隨機(jī)選取10棵果樹(shù)，其中果實(shí)個(gè)數(shù)在[90，110]的果樹(shù)棵數(shù)記作隨機(jī)變量Y，則下列說(shuō)法正確的是（）A．P（90≤X≤110）＝0.3 B．P（Y＝1）＝0.3×0.79 C．E（Y）＝2 D．D（Y）＝2.1【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）；正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義．【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】AD【分析】根據(jù)題意，由正態(tài)分布的性質(zhì)分析A，由二項(xiàng)分布的性質(zhì)分析BCD，綜合可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，X服從正態(tài)分布N（90，σ2），則有P（X＜70）＝P（X＞110），故P（X＞110）＝0.2，則有P（90≤x≤110）＝P（X≥90）﹣P（X≥110）＝0.5﹣0.2＝0.3，故選項(xiàng)A正確；由題意可知Y～B（10，0.3），則P（Y＝1）=C101×0.3×0.7Y～B（10，0.3），則E（Y）＝10×0.3＝3，D（Y）＝10×0.3×（1﹣0.3）＝2.1，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確．故選：AD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正態(tài)分布和二項(xiàng)分布的性質(zhì)，涉及概率的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．（多選）10．（2024?樊城區(qū)校級(jí)模擬）下列結(jié)論正確的是（）A．一組樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)（xi，yi）都在直線y＝0.95x+1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為0.95 B．已知隨機(jī)變量ξ～N（3，4），若ξ＝2η+1，則D（η）＝1 C．在2×2列聯(lián)表中，若每個(gè)數(shù)據(jù)a，b，c，d均變成原來(lái)的2倍，則χ2也變成原來(lái)的2倍（χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+bD．分別拋擲2枚質(zhì)地均勻的骰子，若事件A＝“第一枚骰子正面向上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)”，B＝“2枚骰子正面向上的點(diǎn)數(shù)相同”，則A，B互為獨(dú)立事件【考點(diǎn)】正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義；樣本相關(guān)系數(shù)；獨(dú)立性檢驗(yàn)；命題的真假判斷與應(yīng)用；隨機(jī)事件．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】BCD【分析】根據(jù)統(tǒng)計(jì)的有關(guān)定義，公式逐項(xiàng)判斷即可．【解答】解：A選項(xiàng)，樣本點(diǎn)（xi，yi）都在直線上，這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為1，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，因?yàn)棣巍玁（3，4），所以D（ξ）＝4，又ξ＝2n+1，所以D（ξ）＝4D（η）＝4，∴D（η）＝1，故B正確；C選項(xiàng)，由χ2公式可知，χ2也變成原來(lái)的2倍，故C正確；D選項(xiàng)，由于事件A的發(fā)生不影響事件B的發(fā)生，故A，B互為獨(dú)立事件，故D正確．故選：BCD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查統(tǒng)計(jì)的有關(guān)知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．

考點(diǎn)卡片1．命題的真假判斷與應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】判斷含有“或”、“且”、“非”的復(fù)合命題的真假，首先要明確p、q及非p的真假，然后由真值表判斷復(fù)合命題的真假．注意：“非p”的正確寫法，本題不應(yīng)將“非p”寫成“方程x2﹣2x+1＝0的兩根都不是實(shí)根”，因?yàn)椤岸际恰钡姆疵媸恰安欢际恰保皇恰岸疾皇恰?，要認(rèn)真區(qū)分．【解題方法點(diǎn)撥】1．判斷復(fù)合命題的真假，常分三步：先確定復(fù)合命題的構(gòu)成形式，再指出其中簡(jiǎn)單命題的真假，最后由真值表得出復(fù)合命題的真假．2．判斷一個(gè)“若p則q”形式的復(fù)合命題的真假，不能用真值表時(shí)，可用下列方法：若“pq”，則“若p則q”為真；而要確定“若p則q”為假，只需舉出一個(gè)反例說(shuō)明即可．3．判斷逆命題、否命題、逆否命題的真假，有時(shí)可利用原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假這一關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化判斷．【命題方向】該部分內(nèi)容是《課程標(biāo)準(zhǔn)》新增加的內(nèi)容，幾乎年年都考，涉及知識(shí)點(diǎn)多而且全，多以小題形式出現(xiàn)．2．隨機(jī)事件【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．定義：在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件稱為隨機(jī)事件．（或“偶然性事件”）2．特點(diǎn)：（1）隨機(jī)事件可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行；（2）每個(gè)試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，并且能事先預(yù)測(cè)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果；（3）進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)．3．注意：（1）隨機(jī)事件發(fā)生與否，事先是不能確定的；（2）必然事件發(fā)生的機(jī)會(huì)是1；不可能事件發(fā)生的機(jī)會(huì)是0；隨機(jī)事件發(fā)生的機(jī)會(huì)在0﹣1之間，0和1可以取到．（3）要判斷一個(gè)事件是必然事件、隨機(jī)事件、還是不可能事件，要從定義出發(fā)．3．互斥事件與對(duì)立事件【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．互斥事件（1）定義：一次試驗(yàn)中，事件A和事件B不能同時(shí)發(fā)生，則這兩個(gè)不能同時(shí)發(fā)生的事件叫做互斥事件．如果A1，A2，…，An中任何兩個(gè)都不可能同時(shí)發(fā)生，那么就說(shuō)事件A1，A2，…An彼此互斥．（2）互斥事件的概率公式：在一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，如果隨機(jī)事件A和B是互斥事件，則有：P（A+B）＝P（A）+P（B）注：上式使用前提是事件A與B互斥．推廣：一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么事件發(fā)生（即A1，A2，…，An中有一個(gè)發(fā)生）的概率等于這n個(gè)事件分別發(fā)生的概率之和，即：P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）2．對(duì)立事件（1）定義：一次試驗(yàn)中，兩個(gè)事件中必有一個(gè)發(fā)生的互斥事件叫做對(duì)立事件，事件A的對(duì)立事件記做A．注：①兩個(gè)對(duì)立事件必是互斥事件，但兩個(gè)互斥事件不一定是對(duì)立事件；②在一次試驗(yàn)中，事件A與A只發(fā)生其中之一，并且必然發(fā)生其中之一．（2）對(duì)立事件的概率公式：P（A）＝1﹣P（A）3．互斥事件與對(duì)立事件的區(qū)別和聯(lián)系互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，而對(duì)立事件除要求這兩個(gè)事件不同時(shí)發(fā)生外，還要求二者之一必須有一個(gè)發(fā)生．因此，對(duì)立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對(duì)立事件，即“互斥”是“對(duì)立”的必要但不充分條件，而“對(duì)立”則是“互斥”的充分但不必要條件．【命題方向】1．考查對(duì)知識(shí)點(diǎn)概念的掌握例1：從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是（）A．“至少有一個(gè)紅球”與“都是黑球”B．“至少有一個(gè)黑球”與“都是黑球”C．“至少有一個(gè)黑球”與“至少有1個(gè)紅球”D．“恰有1個(gè)黑球”與“恰有2個(gè)黑球”分析：列舉每個(gè)事件所包含的基本事件，結(jié)合互斥事件和對(duì)立事件的定義，依次驗(yàn)證即可解答：對(duì)于A：事件：“至少有一個(gè)紅球”與事件：“都是黑球”，這兩個(gè)事件是對(duì)立事件，∴A不正確對(duì)于B：事件：“至少有一個(gè)黑球”與事件：“都是黑球”可以同時(shí)發(fā)生，如：一個(gè)紅球一個(gè)黑球，∴B不正確對(duì)于C：事件：“至少有一個(gè)黑球”與事件：“至少有1個(gè)紅球”可以同時(shí)發(fā)生，如：一個(gè)紅球一個(gè)黑球，∴C不正確對(duì)于D：事件：“恰有一個(gè)黑球”與“恰有2個(gè)黑球”不能同時(shí)發(fā)生，∴這兩個(gè)事件是互斥事件，又由從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，得到所有事件為“恰有1個(gè)黑球”與“恰有2個(gè)黑球”以及“恰有2個(gè)紅球”三種情況，故這兩個(gè)事件是不是對(duì)立事件，∴D正確故選D點(diǎn)評(píng)：本題考查互斥事件與對(duì)立事件．首先要求理解互斥事件和對(duì)立事件的定義，理解互斥事件與對(duì)立事件的聯(lián)系與區(qū)別．同時(shí)要能夠準(zhǔn)確列舉某一事件所包含的基本事件．屬簡(jiǎn)單題．例2：下列說(shuō)法正確的是（）A．互斥事件一定是對(duì)立事件，對(duì)立事件不一定是互斥事件B．互斥事件不一定是對(duì)立事件，對(duì)立事件一定是互斥事件C．事件A，B中至少有一個(gè)發(fā)生的概率一定比A，B中恰有一個(gè)發(fā)生的概率大D．事件A，B同時(shí)發(fā)生的概率一定比A，B中恰有一個(gè)發(fā)生的概率小．分析：根據(jù)對(duì)立事件和互斥事件的概率，得到對(duì)立事件一定是互斥事件，兩個(gè)事件是互斥事件不一定是對(duì)立事件，這兩者之間的關(guān)系是一個(gè)包含關(guān)系．解答：根據(jù)對(duì)立事件和互斥事件的概念，得到對(duì)立事件一定是互斥事件，兩個(gè)事件是互斥事件不一定是對(duì)立事件，故選B．點(diǎn)評(píng)：本題考查互斥事件與對(duì)立事件之間的關(guān)系，這是一個(gè)概念辨析問(wèn)題，這種題目不用運(yùn)算，只要理解兩個(gè)事件之間的關(guān)系就可以選出正確答案．2．互斥事件概率公式的應(yīng)用例：甲乙兩人下棋比賽，兩人下成和棋的概率是12，乙獲勝的概率是13分析：記“兩人下成和棋”為事件A，“乙獲勝”為事件B，則A，B互斥，且P(A)=12，P(B)=13，則乙不輸即為事件A+B，由互斥事件的概率公式可得，P（A+B）＝P（A）+解答：甲乙兩人下棋比賽，記“兩人下成和棋”為事件A，“乙獲勝”為事件B，則A，B互斥，則P(A)=12，則乙不輸即為事件A+B，由互斥事件的概率公式可得，P（A+B）＝P（A）+P（B）=故答案為：5點(diǎn)評(píng)：本題主要考查互斥事件的關(guān)系，不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件叫做互斥事件，也叫互不相容事件，考查了互斥事件的概率的加法公式在概率計(jì)算中的應(yīng)用．3．對(duì)立事件概率公式的應(yīng)用例：若事件A與B是互為對(duì)立事件，且P（A）＝0.4，則P（B）＝（）A.0B.0.4C.0.6D.1分析：根據(jù)對(duì)立事件的概率公式p（A）＝1﹣P（A），解得即可．解答：因?yàn)閷?duì)立事件的概率公式p（A）＝1﹣P（A）＝0.6，故選C．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)立事件的定義，屬于基礎(chǔ)題．4．相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．相互獨(dú)立事件：事件A（或B）是否發(fā)生，對(duì)事件B（或A）發(fā)生的概率沒(méi)有影響，這樣兩個(gè)事件叫做相互獨(dú)立事件．2．相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式：將事件A和事件B同時(shí)發(fā)生的事件即為A?B，若兩個(gè)相互獨(dú)立事件A、B同時(shí)發(fā)生，則事件A?B發(fā)生的概率為：P（A?B）＝P（A）?P（B）推廣：一般地，如果事件A1，A2，…，An相互獨(dú)立，那么這n個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率等于每個(gè)事件發(fā)生的概率之積，即：P（A1?A2…An）＝P（A1）?P（A2）…P（An）3．區(qū)分互斥事件和相互獨(dú)立事件是兩個(gè)不同的概念：（1）互斥事件：兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生；（2）相互獨(dú)立事件：一個(gè)事件的發(fā)生與否對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒(méi)有影響．5．條件概率【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、條件概率的定義：對(duì)于任何兩個(gè)事件A和B，在已知事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率叫做條件概率，用符號(hào)P（B|A）來(lái)表示．（2）條件概率公式：稱為事件A與B的交（或積）．（3）條件概率的求法：①利用條件概率公式，分別求出P（A）和P（AB），得P（B|A）=P(AB)P(A)，其中P（A）＞②借助古典概型概率公式，先求出事件A包含的基本事件數(shù)n（A），再在事件A發(fā)生的條件下求出事件B包含的基本事件數(shù)，即n（A∩B），得P（B|A）=【解題方法點(diǎn)撥】典例1：利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生1到6之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)a和b，在a+b為偶數(shù)的條件下，|a﹣b|＞2發(fā)生的概率是29解：由題意得，利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生1到6之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)a和b，基本事件的總個(gè)數(shù)是6×6＝36，即（a，b）的情況有36種，事件“a+b為偶數(shù)”包含基本事件：（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（2，6），（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（4，6）（5，1），（5，3），（5，5），（6，2），（6，4），（6，6）共18個(gè)，“在a+b為偶數(shù)的條件下，|a﹣b|＞2”包含基本事件：（1，5），（2，6），（5，1），（6，2）共4個(gè)，故在a+b為偶數(shù)的條件下，|a﹣b|＞2發(fā)生的概率是P=故答案為：2典例2：甲乙兩班進(jìn)行消防安全知識(shí)競(jìng)賽，每班出3人組成甲乙兩支代表隊(duì)，首輪比賽每人一道必答題，答對(duì)則為本隊(duì)得1分，答錯(cuò)不答都得0分，已知甲隊(duì)3人每人答對(duì)的概率分別為34，23，12，乙隊(duì)每人答對(duì)的概率都是2（Ⅰ）求隨機(jī)變量ξ的分布列及其數(shù)學(xué)期望E（ξ）；（Ⅱ）求在甲隊(duì)和乙隊(duì)得分之和為4的條件下，甲隊(duì)比乙隊(duì)得分高的概率．分析：（Ⅰ）由題設(shè)知ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出P（ξ＝0），P（ξ＝1），P（ξ＝2），P（ξ＝3），由此能求出隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E（ξ）．（Ⅱ）設(shè)“甲隊(duì)和乙隊(duì)得分之和為4”為事件A，“甲隊(duì)比乙隊(duì)得分高”為事件B，分別求出P（A），P（AB），再由P（B/A）=P(AB)解答：（Ⅰ）由題設(shè)知ξ的可能取值為0，1，2，3，P（ξ＝0）＝（1-34）（1-23）（1P（ξ＝1）=34（1-23）（1-12）+（1-34）×23×（1-P（ξ＝2）=3P（ξ＝3）=3∴隨機(jī)變量ξ的分布列為：ξ0123P12414112414數(shù)學(xué)期望E（ξ）＝0×124+1×14（Ⅱ）設(shè)“甲隊(duì)和乙隊(duì)得分之和為4”為事件A，“甲隊(duì)比乙隊(duì)得分高”為事件B，則P（A）=1P（AB）=1P（B|A）=P(AB)6．離散型隨機(jī)變量及其分布列【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、相關(guān)概念；（1）隨機(jī)變量：如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來(lái)表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量隨機(jī)變量常用希臘字母ξ、η等表示．（2）離散型隨機(jī)變量：對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．若ξ是隨機(jī)變量，η＝aξ+b，其中a、b是常數(shù)，則η也是隨機(jī)變量．（3）連續(xù)型隨機(jī)變量：對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機(jī)變量（4）離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量的區(qū)別與聯(lián)系：離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量都是用變量表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果；但是離散型隨機(jī)變量的結(jié)果可以按一定次序一一列出，而連續(xù)性隨機(jī)變量的結(jié)果不可以一一列出．2、離散型隨機(jī)變量（1）隨機(jī)變量：在隨機(jī)試驗(yàn)中，試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量X來(lái)表示，并且X是隨著試驗(yàn)結(jié)果的不同而變化的，這樣的變量X叫做一個(gè)隨機(jī)變量．隨機(jī)變量常用大寫字母X，Y，…表示，也可以用希臘字母ξ，η，…表示．（2）離散型隨機(jī)變量：如果隨機(jī)變量X的所有可能的取值都能一一列舉出來(lái)，則稱X為離散型隨機(jī)變量．3、離散型隨機(jī)變量的分布列．（1）定義：一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的所有可能值為x1，x2，…，xn；X取每一個(gè)對(duì)應(yīng)值的概率分別為p1，p2，…，pn，則得下表：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn該表為隨機(jī)變量X的概率分布，或稱為離散型隨機(jī)變量X的分布列．（2）性質(zhì)：①pi≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1+p2+…+pn＝1．7．離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、離散型隨機(jī)變量的期望數(shù)學(xué)期望：一般地，若離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布為x1x2…xn…Pp1p2…pn…則稱Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…為ξ的數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱期望．?dāng)?shù)學(xué)期望的意義：數(shù)學(xué)期望離散型隨機(jī)變量的一個(gè)特征數(shù)，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．平均數(shù)與均值：一般地，在有限取值離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，則有p1＝p2＝…＝pn=1n，Eξ＝（x1+x2+…+xn）×1期望的一個(gè)性質(zhì)：若η＝aξ+b，則E（aξ+b）＝aEξ+b．8．n重伯努利試驗(yàn)與二項(xiàng)分布【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、二項(xiàng)分布：一般地，在n次獨(dú)立重復(fù)的試驗(yàn)中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，則P（X＝k）=Cnkpk（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…n，此時(shí)稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作X～B（nCnkpk（1﹣p）n﹣k＝b（k，n，2、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)：（1）獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的意義：做n次試驗(yàn)，如果它們是完全同樣的一個(gè)試驗(yàn)的重復(fù)，且它們相互獨(dú)立，那么這類試驗(yàn)叫做獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)．（2）一般地，在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，設(shè)事件A發(fā)生的次數(shù)為X，在每件試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為P（X＝k）=Cnkpk（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…n，此時(shí)稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作X～B（n，p（3）獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)：若n次重復(fù)試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)結(jié)果的概率都不依賴于其他各次試驗(yàn)的結(jié)果，則稱這n次試驗(yàn)是獨(dú)立的．（4）獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式的特點(diǎn)：Pn（k）=Cnkpk（1﹣p）n﹣k，是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件A恰好發(fā)生k次的概率．其中，n是重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù)，p是一次試驗(yàn)中某事件A發(fā)生的概率，k是在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生的次數(shù)，需要弄清公式中n，p【解題方法點(diǎn)撥】獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是相互獨(dú)立事件的特例（概率公式也是如此），就像對(duì)立事件是互斥事件的特例一樣，只要有“恰好”字樣的用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式計(jì)算更簡(jiǎn)單，就像有“至少”或“至多”字樣的題用對(duì)立事件的概率公式計(jì)算更簡(jiǎn)單一樣．【命題方向】典例1：如果ζ～B（100，12），當(dāng)P（ζ＝k）取得最大值時(shí)，k＝50解：∵ζ～B（100，12當(dāng)P(ξ=k)=C由組合數(shù)知，當(dāng)k＝50時(shí)取到最大值．故答案為：50．典例2：一個(gè)盒子里有2個(gè)黑球和m個(gè)白球（m≥2，且m∈N*）．現(xiàn)舉行摸獎(jiǎng)活動(dòng)：從盒中取球，每次取2個(gè)，記錄顏色后放回．若取出2球的顏色相同則為中獎(jiǎng)，否則不中．（Ⅰ）求每次中獎(jiǎng)的概率p（用m表示）；（Ⅱ）若m＝3，求三次摸獎(jiǎng)恰有一次中獎(jiǎng)的概率；（Ⅲ）記三次摸獎(jiǎng)恰有一次中獎(jiǎng)的概率為f（p），當(dāng)m為何值時(shí)，f（p）取得最大值？解：（Ⅰ）∵取出2球的顏色相同則為中獎(jiǎng)，∴每次中獎(jiǎng)的概率p=C（Ⅱ）若m＝3，每次中獎(jiǎng)的概率p=2∴三次摸獎(jiǎng)恰有一次中獎(jiǎng)的概率為C3（Ⅲ）三次摸獎(jiǎng)恰有一次中獎(jiǎng)的概率為f（p）=C31p(1-p)2=3p3﹣6p2+3p∴f′（p）＝3（p﹣1）（3p﹣1），∴f（p）在（0，13）上單調(diào)遞增，在（13，∴p=13時(shí)，f（p）取得最大值，即∴m＝2，即m＝2時(shí)，f（p）取得最大值．9．二項(xiàng)分布的均值（數(shù)學(xué)期望）與方差【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】二項(xiàng)分布：一般地，在n次獨(dú)立重復(fù)的試驗(yàn)中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，則P（X＝k）=Cnkpk（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…n，此時(shí)稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作X～B（nCnkpk（1﹣p）n﹣k＝b（k，n，﹣均值（數(shù)學(xué)期望）：E(X)=n×p，其中n為試驗(yàn)次數(shù)，﹣方差：D(X)=n×【解題方法點(diǎn)撥】﹣使用二項(xiàng)分布的均值和方差公式來(lái)計(jì)算相關(guān)概率分布的期望和方差．【命題方向】﹣重點(diǎn)考察二項(xiàng)分布的期望和方差計(jì)算，常用于統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分析和預(yù)測(cè)問(wèn)題．10．正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．正態(tài)曲線及性質(zhì)（1）正態(tài)曲線的定義函數(shù)φμ，σ（x）=12πσe-(x-μ)22σ2，x∈（﹣∞，+∞），其中實(shí)數(shù)μ和σ（σ＞（2）正態(tài)曲線的解析式①指數(shù)的自變量是x定義域是R，即x∈（﹣∞，+∞）．②解析式中含有兩個(gè)常數(shù)：π和e，這是兩個(gè)無(wú)理數(shù)．③解析式中含有兩個(gè)參數(shù)：μ和σ，其中μ可取任意實(shí)數(shù)，σ＞0這是正態(tài)分布的兩個(gè)特征數(shù)．④解析式前面有一個(gè)系數(shù)為12πσ，后面是一個(gè)以e為底數(shù)的指數(shù)函數(shù)的形式，冪指數(shù)為2．正態(tài)分布（1）正態(tài)分布的定義及表示如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)a，b（a＜b），隨機(jī)變量X滿足P（a＜X≤b）=abφμ，σ（x）dx，則稱X的分布為正態(tài)分布，記作N（μ，（2）正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826；②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．3．正態(tài)曲線的性質(zhì)正態(tài)曲線φμ，σ（x）=12πσe-（1）曲線位于x軸上方，與x軸不相交；（2）曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱；（3）曲線在x＝μ處達(dá)到峰值12π（4）曲線與x軸圍成的圖形的面積為1；（5）當(dāng)σ一定時(shí)，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移；（6）當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散．4．三個(gè)鄰域會(huì)用正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值結(jié)合正態(tài)曲線求隨機(jī)變量的概率．落在三個(gè)鄰域之外是小概率事件，這也是對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)的理論依據(jù)．【解題方法點(diǎn)撥】正態(tài)分布是高中階段唯一連續(xù)型隨機(jī)變量的分布，這個(gè)考點(diǎn)雖然不是高考的重點(diǎn)，但在近幾年新課標(biāo)高考中多次出現(xiàn)，其中數(shù)值計(jì)算是考查的一個(gè)熱點(diǎn)，考生往往不注意對(duì)這些數(shù)值的記憶而導(dǎo)致解題無(wú)從下手或計(jì)算錯(cuò)誤．對(duì)正態(tài)分布N（μ，σ2）中兩個(gè)參數(shù)對(duì)應(yīng)的數(shù)值及其意義應(yīng)該理解透徹并記住，且注意第二個(gè)數(shù)值應(yīng)該為σ2而不是σ，同時(shí)，記住正態(tài)密度曲線的六條性質(zhì)．【命題方向】題型一：概率密度曲線基礎(chǔ)考察典例1：設(shè)有一正態(tài)總體，它的概率密度曲線是函數(shù)f（x）的圖象，且f（x）=18πeA．10與8B．10與2C．8與10D．2與10解析：由18πe-(x-10)28=1答案：B．典例2：已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）＝0.8，則P（0＜ξ＜2）等于（）A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2解析：由P（ξ＜4）＝0.8知P（ξ＞4）＝P（ξ＜0）＝0.2，故P（0＜ξ＜2）＝0.3．故選C．典例3：已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（3，1），且P（2≤X≤4）＝0.6826，則P（X＞4）等于（）A．0.1588B．0.1587C．0.1586D．0.1585解析由正態(tài)曲線性質(zhì)知，其圖象關(guān)于直線x＝3對(duì)稱，∴P（X＞4）＝0.5﹣12P（2≤X≤4）＝0.5-12×0.6826＝題型二：正態(tài)曲線的性質(zhì)典例1：若一個(gè)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，且該函數(shù)的最大值為14（1）求該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式；（2）求正態(tài)總體在（﹣4，4]的概率．分析：要確定一個(gè)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式，關(guān)鍵是求解析式中的兩個(gè)參數(shù)μ，σ的值，其中μ決定曲線的對(duì)稱軸的位置，σ則與曲線的形狀和最大值有關(guān)．解（1）由于該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，所以其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，即μ＝0．由12πσ=14φμ，σ（x）=142πe-x（2）P（﹣4＜X≤4）＝P（0﹣4＜X≤0+4）＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826．點(diǎn)評(píng)：解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是正確理解函數(shù)解析式與正態(tài)曲線的關(guān)系，掌握函數(shù)解析式中參數(shù)的取值變化對(duì)曲線的影響．典例2：設(shè)兩個(gè)正態(tài)分布N（μ1，σ12）（σ1＞0）和N（μ2，σ22）（σ2＞0A．μ1＜μ2，σ1＜σ2B．μ1＜μ2，σ1＞σ2C．μ1＞μ2，σ1＜σ2D．μ1＞μ2，σ1＞σ2解析：根據(jù)正態(tài)分布N（μ，σ2）函數(shù)的性質(zhì)：正態(tài)分布曲線是一條關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱，在x＝μ處取得最大值的連續(xù)鐘形曲線；σ越大，曲線的最高點(diǎn)越低且較平緩；反過(guò)來(lái)，σ越小，曲線的最高點(diǎn)越高且較陡峭，故選A．答案：A．題型三：服從正態(tài)分布的概率計(jì)算典例1：設(shè)X～N（1，22），試求（1）P（﹣1＜X≤3）；（2）P（3＜X≤5）；（3）P（X≥5）．分析：將所求概率轉(zhuǎn)化到（μ﹣σ，μ+σ]．（μ﹣2σ，μ+2σ]或[μ﹣3σ，μ+3σ]上的概率，并利用正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性求解．解析：∵X～N（1，22），∴μ＝1，σ＝2．（1）P（﹣1＜X≤3）＝P（1﹣2＜X≤1+2）＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826．（2）∵P（3＜X≤5）＝P（﹣3＜X≤﹣1），∴P（3＜X≤5）=12[P（﹣3＜X≤5）﹣P（﹣1＜X≤3=12[P（1﹣4＜X≤1+4）﹣P（1﹣2＜X≤1+2=12[P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）﹣P（μ﹣σ＜X≤μ+σ=12×（0.9544＝0.1359．（3）∵P（X≥5）＝P（X≤﹣3），∴P（X≥5）=12[1﹣P（﹣3＜X≤5=12[1﹣P（1﹣4＜X≤1+4=12[1﹣P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ=12×（1﹣0.9544求服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量在某個(gè)區(qū)間取值的概率，只需借助正態(tài)曲線的性質(zhì)，把所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知概率的三個(gè)區(qū)間上．典例2：隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（1，σ2），已知P（ξ＜0）＝0.3，則P（ξ＜2）＝．解析：由題意可知，正態(tài)分布的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，所以P（ξ＞2）＝P（ξ＜0）＝0.3，P（ξ＜2）＝1﹣0.3＝0.7．答案：0.7．題型4：正態(tài)分布的應(yīng)用典例1：2011年中國(guó)汽車銷售量達(dá)到1700萬(wàn)輛，汽車耗油量對(duì)汽車的銷售有著非常重要的影響，各個(gè)汽車制造企業(yè)積極采用新技術(shù)降低耗油量，某汽車制造公司為調(diào)查某種型號(hào)的汽車的耗油情況，共抽查了1200名車主，據(jù)統(tǒng)計(jì)該種型號(hào)的汽車的平均耗油為百公里8.0升，并且汽車的耗油量ξ服從正態(tài)分布N（8，σ2），已知耗油量ξ∈[7，9]的概率為0.7，那么耗油量大于9升的汽車大約有輛．解析：由題意可知ξ～N（8，σ2），故正態(tài)分布曲線以μ＝8為對(duì)稱軸，又因?yàn)镻（7≤ξ≤9）＝0.7，故P（7≤ξ≤9）＝2P（8≤ξ≤9）＝0.7，所以P（8≤ξ≤9）＝0.35，而P（ξ≥8）＝0.5，所以P（ξ＞9）＝0.15，故耗油量大于9升的汽車大約有1200×0.15＝180輛．點(diǎn)評(píng)：服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量在一個(gè)區(qū)間上的概率就是這個(gè)區(qū)間上，正態(tài)密度曲線和x軸之間的曲邊梯形的面積，根據(jù)正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性，當(dāng)P（ξ＞x1）＝P（ξ＜x2）時(shí)必然有x1+典例2：工廠制造的某機(jī)械零件尺寸X服從正態(tài)分布N（4，19），問(wèn)在一次正常的試驗(yàn)中，取1000個(gè)零件時(shí)，不屬于區(qū)間（3，5]解∵X～N（4，19），∴μ＝4，σ=∴不屬于區(qū)間（3，5]的概率為P（X≤3）+P（X＞5）＝1﹣P（3＜X≤5）＝1﹣P（4﹣1＜X≤4+1）＝1﹣P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝1﹣0.9974＝0.0026≈0.003，∴1000×0.003＝3（個(gè)），即不屬于區(qū)間（3，5]這個(gè)尺寸范圍的零件大約有3個(gè)．11．分層隨機(jī)抽樣【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．定義：當(dāng)已知總體由差異明顯的幾部分組成時(shí)，為了使樣本更客觀地反映總體的情況，常將總體按不同的特點(diǎn)分成層次比較分明的幾部分，然后按各部分在總體中所占的比例進(jìn)行抽樣，這種抽樣叫做分層抽樣，其中所分的各部分叫“層”．2．三種抽樣方法比較類別共同點(diǎn)各自特點(diǎn)相互聯(lián)系適用范圍簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣抽樣過(guò)程中每個(gè)個(gè)體被抽取的概率是相同的從總體中逐個(gè)抽取總體中的個(gè)體數(shù)較少系統(tǒng)抽樣將總體均勻分成幾個(gè)部分，按事先確定的規(guī)則在各部分抽取在起始部分抽樣時(shí)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣總體中的個(gè)體數(shù)較多分層抽樣將總體分成幾層，分層進(jìn)行抽取各層抽樣時(shí)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣總體由差異明顯的幾部分組成【解題方法點(diǎn)撥】分層抽樣方法操作步驟：（1）分層：將總體按某種特征分成若干部分；（2）確定比例：計(jì)算各層的個(gè)體數(shù)與總體的個(gè)體數(shù)的比；（3）確定各層應(yīng)抽取的樣本容量；（4）在每一層進(jìn)行抽樣（各層分別按簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣的方法抽取），綜合每層抽樣，組成樣本．【命題方向】（1）區(qū)分分層抽樣方法例：某交高三年級(jí)有男生500人，女生400人，為了解該年級(jí)學(xué)生的健康情況，從男生中任意抽取25人，從女生中任意抽取20人進(jìn)行調(diào)查．這種抽樣方法是（）A．簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法B．抽簽法C．隨機(jī)數(shù)表法D．分層抽樣法分析：若總體由差異明顯的幾部分組成時(shí)，經(jīng)常采用分層抽樣的方法進(jìn)行抽樣解答：總體由男生和女生組成，比例為500：400＝5：4，所抽取的比例也是5：4．故選D點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查抽樣方法，屬基本題．（2）求抽取樣本數(shù)例1：某校高三一班有學(xué)生54人，二班有學(xué)生42人，現(xiàn)在要用分層抽樣的方法從兩個(gè)班抽出16人參加軍訓(xùn)表演，則一班和二班分別被抽取的人數(shù)是（）A.8，8B.10，6C.9，7D.12，4分析：先計(jì)算每個(gè)個(gè)體被抽到的概率，再用每層的個(gè)體數(shù)乘以每個(gè)個(gè)體被抽到的概率，即得到該層應(yīng)抽取的個(gè)體數(shù)．解答：每個(gè)個(gè)體被抽到的概率等于1654+42=16，54×16故從一班抽出9人，從二班抽出7人，故選C．點(diǎn)評(píng)：本題考查分層抽樣的定義和方法，用每層的個(gè)體數(shù)乘以每個(gè)個(gè)體被抽到的概率等于該層應(yīng)抽取的個(gè)體數(shù)．例2：某單位有職工750人，其中青年職工350人，中年職工250人，老年職工150人，為了解該單位職工的健康情況，用分層抽樣的方法從中抽取樣本，若樣本中的青年職工為7人，則樣本容量為（）A.35B.25C.15D.7分析：先計(jì)算青年職工所占的比例，再根據(jù)青年職工抽取的人數(shù)計(jì)算樣本容量即可．解答：青年職工、中年職工、老年職工三層之比為7：5：3，所以樣本容量為7715故選C．點(diǎn)評(píng)：本題考查分層抽樣的定義和方法，求出每個(gè)個(gè)體被抽到的概率，用個(gè)體的總數(shù)乘以每個(gè)個(gè)體被抽到的概率，就得到樣本容量n的值．12．用樣本估計(jì)總體的離散程度參數(shù)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】用一組數(shù)據(jù)中最大數(shù)據(jù)減去最小數(shù)據(jù)的差來(lái)反映這組數(shù)據(jù)的變化范圍，這個(gè)數(shù)據(jù)就叫極差．一組數(shù)據(jù)中各數(shù)據(jù)與平均數(shù)差的平方和的平均數(shù)叫