第22講 軌跡方程（解析版）

一．選擇題（共5小題）1．過點P(2,1)斜率為正的直線交橢圓=1于A，B兩點．C，D是橢圓上相異的兩點，滿足CP，DP分別平分上ACB，上ADB，則ΔPCD外接圓半徑的最小值為()【解答】解：如圖，先固定直線AB，設(shè)，則f（C）=f（D）=f(P)，其中為定值，故點P，C，D在一個阿波羅尼斯圓上，且ΔPCD外接圓就是這個阿波羅尼斯圓，設(shè)其半徑為r，阿波羅尼斯圓會把點A，B其一包含進去，這取決于BP與AP誰更大，不妨先考慮BP>AP的阿波羅尼斯圓的情況，BA的延長線與圓交于點Q，PQ即為該圓的直徑，接下來尋求半徑的表達式，同理，當BP<AP時有，綜上，當直線AB斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為y-1=k(x-2)，即y=kx-2k+1，與橢圓方程聯(lián)立可得(24k2+5)x2+48k(1-2k)x+96(k2-k-1)=0，)，則由根與系數(shù)的關(guān)系有2.|x2-2|注意到x1-2與x2-2異號，故故選：D.A．橢圓B．雙曲線C．拋物線D．圓表示點P(x,y)到定點(-1,1)與定直線的距離相等的點的軌跡，由拋物線的定義可知：點P的軌跡是拋物線.故選：C.3．若動圓過定點A(-3,0)且和定圓(x-3)2+y2=4外切，則動圓圓心P的軌跡為()A．雙曲線B．橢圓C．拋物線D．雙曲線一支【解答】解：設(shè)動圓的半徑為R，動圓圓心為P，點A在動圓上，:|PA|=R又定圓(x-3)2+y2=4的圓心為B(3定圓與動圓P相外切:圓心距|PB|=R+2:點P的軌跡是以A、B為焦點的雙曲線的左支故選：D.2:(x-3)2+y2=9，動圓M同時與圓C1及則動圓圓心M的軌跡方程為()2【解答】解：設(shè)動圓圓心M的坐標為(x,y)，半徑為r，故點M的軌跡是以C1、C2為焦點的雙曲線的左支，2故點M的軌跡方程為故選：B.5．已知F是拋物線x2=4y的焦點，P是該拋物線上的動點，則線段PF中點軌跡方程是()A．x2=y-B．x2=2y-C．x2=2y-2D．x2=2y-1【解答】解：由x2=4y，得其焦點坐標為(0,1)，設(shè)線段PF中點為(x,y)，P(x1，y1)，由中點坐標公式得P是拋物線上的點，:x12=4y1，即4x2:x2=2y-1.故選：D.二．填空題（共7小題）6．兩定點的坐標分別為A(-1,0)，B(2,0)，動點滿足條件上MBA=2上MAB，動點M的軌跡【解答】解：設(shè)M(x,y)，上MAB=α,則上MBA=2α,它們是直線MA、MB的傾角還是傾角的補角，與點M在x軸的上方還是下方有關(guān)；以下討論：①若點M在x軸的上方，y>0，此時，直線MA的傾角為α,MB的傾角為兀-2α,:tanα=kMA=，tan:-，得：3x2-y2=3，|MA|>|MB|，:x≥1.當2α=90O時，α=45O，ΔMAB為等腰直角三角形，此時點M的坐標為(2,3)，它滿足上述方程.②當點M在x軸的下方時，y<0，同理可得點M的軌跡方程為3x2-y2=3(x≥1)，③當點M在線段AB上時，也滿足2上MAB綜上所求點的軌跡方程為3x2-y2=3(x≥1)或y=0(-1<x<2).=36的圓心為C，A(1,0)是圓內(nèi)一定點，Q為圓周上任一點，線段AQ的垂直平分線與CQ的連線交于點M，則M的軌跡方程為【解答】解：如圖，連接MA，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，MA=MQ，因此點M的運動軌跡為橢圓，設(shè)其方程為，所以其方程為故答案為.2=16，點M是圓上一動點，MF1的垂直平分線與MF2交于N點，則點N的軌跡方程為【解答】解：因為MF1的垂直平分線與MF2交于N點，所以NF1=NM. 所以點N的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點的橢圓， 2所以點N的軌跡方程為故答案為9．已知圓M:(x+1)2+y2=1，圓N:(x-1)2+y2=9，動圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C，則C的方程為半徑3.設(shè)動圓的半徑為R，動圓P與圓M外切并與圓N內(nèi)切，:|PM|+|PN|=R+1+(3-R)=4，而|NM|=2，由橢圓的定義可知：動點P的軌跡是以M，N為焦點，4為長軸長的橢圓，2-c2=3.:曲線C的方程為去掉點(-2,0))故答案為+(y-1)2所表示的曲線是雙曲線. 意義是：平面內(nèi)動點(x,y)到定點(1,1)，與到定直線x+y=0的距離的比為·2的點的軌跡， :軌跡是雙曲線.故答案為：雙曲線.11．若動點P(x,y)到定點F(5,0)的距離是它到直線x=的距離的倍，則動點P的軌跡方程是【解答】解：點P(x,y)到定點F(5,0)的距離是·(x-5)2+y2，點P(x,y)到直線x=的距離是|x-|，化簡為12．在平面直角坐標系xOy中，直線x=t(-4<t<4)與橢圓交于兩點P1(t,y1)、P(t,y2)，且y1>0、y2<0，A1、A2分別為橢圓的左所在的曲線方程為兩式左右分別相乘得y2=-(x2-16)①P(t,y1)、P2(t,y2)在橢圓上 :y12=9，y22=9y12代入①可得故答案為三．解答題（共28小題）13．已知點A(-2,0)，B(2,0)，動點M(x,y)滿足直線AM與BM的斜率之積為-，記M的軌跡為曲線C，求C的方程，并說明C是什么曲線.【解答】解：點A(-2,0)，B(2,0)，動點M(x,y)滿足直線AM與BM的斜率之積為-，化簡得曲線C是一個橢圓，除去左右頂點.14．已知坐標平面上點M(x,y)與兩個定點M1(26,1)，M2(2,1)的距離之比等于5.（1）求點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形；（2）記（1）中的軌跡為C，線段AB，點A為C上一點，點B(11,13)，求AB的中點P的軌跡方程.【解答】解1）由題意坐標平面上點M(x,y)與兩個定點M1(26,1)，M2(2,1)的距離之比等于5，得=5，化簡得x2+y2-2x-2y-23=0.:點M的軌跡方程是(x-1)2+(y-1)2=25，（2）設(shè)P(x,y)，A(x0，y0)，根據(jù)題意有，所點A在圓C上，所以有(x0-1)2+(y0-1)2=25，所以(2x-12)2+(2y-14)2=25，所以所以AB的中點P的軌跡方程為+2x-15=0的圓心為A，直線l過點B(1,0)且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E，求點E的軌跡方程.由橢圓定義可得點E的軌跡方程為…（10分）16．已知圓M:(x+1)2+y2=1，圓N:(x-1)2+y2=9，動圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的方程；（2）過點Q(1,1)作圓M的兩條切線，切點分別為A，B，求直線AB被曲線C截得的弦的中點坐標.【解答】解1）由已知得圓M的圓心為M(—1,0)，半徑r1=1，圓N的圓心為N(1,0)，半設(shè)動圓P的圓心為P(x,y)，半徑為R.圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，(r由橢圓的定義可知，曲線C是以M，N為左、右焦點的橢圓（左定點除外得2a=4，:a=2，c=1，:b2=3，:橢圓方程為:中點的橫坐標為代入直線l:y=—2x—1，得中點的縱坐標為，:所求中點坐標為.17．已知圓M:(x+1)2+y2=1，圓N:(x1)2+y圓心P的軌跡為曲線C.（1）求C的方程；（2）若直線l:y=x+k與曲線C相切，求k的值.設(shè)動圓P半徑為R.M在N內(nèi)，:動圓只能在N內(nèi)與N內(nèi)切，不能是N在動圓內(nèi)，即：R<3動圓P與圓M外切，則PM=1+R，動圓P與圓N內(nèi)切，則PN=3-R，:PM+PN=4，即P到M和P到N的距離之和為定值.:P是以M、N為焦點的橢圓.MN的中點為原點，故橢圓中心在原點，:b2=a2-c2=4-1=3，:C的方程為2若直線l和曲線C相切，18．已知圓M:(x+1)2+y2=1，圓N:(x-1)2+y2=9，動圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C．求C的方程.設(shè)動圓P半徑為R.M在N內(nèi)，:動圓只能在N內(nèi)與N內(nèi)切，不能是N在動圓內(nèi)，即：R<3動圓P與圓M外切，則PM=1+R，動圓P與圓N內(nèi)切，則PN=3-R，:PM+PN=4，即P到M和P到N的距離之和為定值.:P是以M、N為焦點的橢圓.MN的中點為原點，故橢圓中心在原點，:b2=a2-c2=4-1=3，:C的方程為19．已知圓C的方程為(x-3)2+y2=4，定點A(-3,0)，求過定點A且和圓C外切的動圓圓心P的軌跡方程.【解答】解：圓P與圓C外切，如圖，:由雙曲線的定義，點P的軌跡是以A，C為焦點，2為實軸長的雙曲線的左支，其中a=1，:b2=c2-a2=9-1=8.故所求軌方程為20．已知兩圓C1:(x+4)2+y2=2，C2:(x-4)2+y2=2．動圓M與兩圓都相切，求動圓圓心M的軌跡方程.【解答】解：由題意，①若兩定圓與動圓相外切或都內(nèi)切，即兩圓C1:(x+4)2+y2=2，:|MC1|=|MC2|，即M點在線段C1，C2的垂直平分線上2的坐標分別為(-4,0)與(4,0):其垂直平分線為y軸，:動圓圓心M的軌跡方程是x=0；②若一內(nèi)切一外切，不妨令與圓C1:(x+4)2+y2=2內(nèi)切，與圓C2:(x-4)2+y2=2外切， 則M到C2的距離減去M到C2的距離的差是2·2，由雙曲線的定義知，點M的軌跡是以(4,0)與(4,0)為焦點，以·為實半軸長的雙曲線左支，故可得b2=c2a2=14，故:此雙曲線的方程為一頂點A的軌跡方程.【解答】解：如圖，設(shè)E、F分別為圓與AB、AC的兩個切點，:點A的軌跡為以B，C為焦點的雙曲線的右支(y≠0)，:b=，:軌跡方程為一故答案為22．直角三角形ABC的直角頂點A為動點，B(一·3，0)C(3，0)，作AD丄BC于D，動點E滿足當動點A運動時，點E的軌跡為曲線G，（1）求曲線A的軌跡方程；（2）求曲線G的軌跡方程；（3）設(shè)直線L與曲線G交于M、N兩點，坐標原點O到直線L的距離為3，求|MN|的最大值. 【解答】解1）直角三角形ABC的直角頂點A的軌跡為圓：x2+y2=3(x≠±·3)；（2）設(shè)E(x,y)，A(x0，y0)，則D(x0，0)，x+y=3，動點E滿足代入曲線A的軌跡方程可得x2+3y2=3，化為+y2=1當直線L的斜率存在時，設(shè)直線L的方程為：y=kx+m，M(x1，y1)，N(x2，y2).坐標原點O到直線L的距離為 3,22:|MN|=2)24x1x2]] =時取等號.綜上可得：|MN|的最大值為2.23．動點P到點F(2,0)的距離與它到直線x+2=0的距離相等，求動點P的軌跡方程.【解答】解：由拋物線的定義知點P的軌跡是以F為焦點的拋物線，其開口方向向右，且解得p=4，所以其方程為y2=8x.故答案為：y2=8x.【解答】解：設(shè)動圓圓心為M(x,y)，半徑為R，:定圓圓心為C(2,0)，半徑r=1，兩圓外切，又動圓M與直線x+1=0相切，:圓心M到直線x+1=0的距離d=R，:|MC|=d+1，即動點M到定點C(2,0)的距離等于它到直線x+2=0的距離，由拋物線的定義可得，點M的軌跡是以C為焦點，x+2=0為準線的拋物線，且=2，即故動圓圓心的軌跡方程為y2=8x.25．設(shè)O為坐標原點，動點M在橢圓C+y2=1上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點P滿足NP=2NM．求點【解答】解：設(shè)M(x0，y0)，由題意可得N(x0，0)，設(shè)P(x,y)，由點P滿足NP=·2 即有x00即有點P的軌跡方程為圓x2+y2=2；的左、右焦點．已知△F1PF2為等腰三角形.(Ⅱ)設(shè)直線PF2與橢圓相交于A，B兩點，M是直線PF2上的點，滿足AM.BM=一2，求點M所以22A，B的坐標滿足方程組2c2，不妨設(shè)設(shè)點M的坐標為，則27．設(shè)λ>0，點A的坐標為(1,1)，點B在拋物線y=x2上運動，點Q滿足，經(jīng)過點Q與x軸垂直的直線交拋物線于點M，點P滿足QM=λMP，求點P【解答】解：由QM=λMP知Q，M，P三點在同一條垂直于x軸的直線上，故可設(shè)P(x,y)，Q(x,y0)，M(x,x2x2y0=λ(yx2)即y0=(1+λ)x2λy①λ-A得將①代入②式得y—λ③又點B在拋物線y=x2故所求的點P的軌跡方程：y=2x—128．已知拋物線C:y2=2x的焦點為F，平行于x軸的兩條直線l1，l2分別交C于A，B兩點，交C的準線于P，Q兩點.(Ⅰ)若F在線段AB上，R是PQ的中點，證明AR//FQ；(Ⅱ)若ΔPQF的面積是ΔABF的面積的兩倍，求AB:R是PQ的中點，:RF=RP=RQ，:ΔPAR三ΔFAR，:上FQB=上PAR，:上PRA=上PQF，:AR//FQ.，B(x2，y2)，0)，準線為設(shè)直線AB與x軸交點為N，:ΔPQF的面積是ΔABF的面積的兩倍，:2|FN|=1，:xN=1，即N(1,0).2=x-1.:AB中點軌跡方程為y2=x-1.29．已知點F1(-1,0)，F(xiàn)2(1,0)，動點P滿足F1F2為PF1和PF2的等差中項.（1）求動點P的軌跡C的方程；（2）過F1作直線L交C于A，B兩點，求AB的中點M的軌跡方程.【解答】解1）:F1(-1,0)，F(xiàn)2(1,0)，:點P在以F1，F(xiàn)2為焦點的橢圓上，:a=2，:橢圓的方程是」A，B在橢圓C上，(1,0)適合上式，30．已知點P(2,2)，圓C:x2+y2一8y=0，過點P的動直線l與圓C交于AAB的中點為M，O為坐標原點．求M的軌跡方程.所以圓心為C(0,4)，半徑為4.2231．在平面直角坐標系xOy中，曲線22（1）求曲線C的直角坐標方程；線C交于A，B兩點，求【解答】解1）曲線C的參數(shù)方程為為參數(shù)，t∈R)，整理得曲線C的普通方程2t2:x2AA2分別為C0的左，右頂點，C1與C0相交于A，B，C，D四點.A2B交點M的軌跡方程；:x2矩形ABCD與矩形A,B,C,D,的面積相等，證明：t+t為定值.【解答】(I)解：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x2=x1，y2=-y1，」A1(-a,0)，A2(a,0)，則直線A1A的方程為直線A2B的方程為A(x1，y1)在橢圓C0上，代入③可得：y2=(II)證明：設(shè)A,(x3，y3)，矩形ABCD與矩形A,B,C,D,的面積相等:4|x1||y1|=4|x3||y3|:x1y1=x3y3A，A,均在橢圓上，:a2(x—x)=xx2，:x1≠x3.:x+x=a22:y+y=b2:t+t=a2+b2為定值.（1）試判斷直線AB是否經(jīng)過某一個定點？若是，求這個定點的坐標；若不是，說明理由；（2）設(shè)點M是ΔPAB的外接圓圓心，求點M的軌跡方程.【解答】解1）因為點P是拋物線C:y=x2—3的頂點，根據(jù)題意可知直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為：y=kx+b，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，因為A、B是C上的兩個動點，則有x1所以124b=8，解得b=1，又直線PA的斜率為kPA=設(shè)點，則有消去x1所以點M的軌跡方程為34．已知橢圓與拋物線M:y2=4x有公共的焦點，且拋物線的準線被橢圓截得的弦長為3.（1）求橢圓C的方程；（2）過橢圓C的右焦點作一條斜率為k(k≠0)的直線交橢圓于A，B兩點，交y軸于點E，P為弦AB的中點，過點E作直線OP的垂線交OP于點Q，問是否存在一定點H，使得QH的長度為定值？若存在，則求出點H，若不存在，請說明理由.【解答】解1）拋物線M:y2=4x的焦點為(1,0)，可得a2b2=1①,拋物線的準線x=1被橢圓截得的弦長為3，所以橢圓C的方程為（2）設(shè)直線AB:y=k(x—1)，聯(lián)立直線與橢圓方程所以點Q的軌跡為以，0)為圓心，為半徑的圓，所以存在定點H(，0)，使得QH的長為定值. 35．已知橢圓的離心率為，橢圓C的下頂點和上頂點分別為B1，=2，過點P(0,2)且斜率為k的直線l與橢圓C交于M，N兩點.(Ⅲ)求證：直線B1M與直線B2N的交點T的縱坐標為定值.因為離心率為 2,2又c2解得m=1或1（舍去2x22x222所以直線與橢圓無交點，所以ΔOMN的面積不存在.(Ⅲ)證明：由題意知，直線l的方程為y=kx+2，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x2因為直線和橢圓有兩個交點，22設(shè)T(m,n)，因為B1，T，N在同一條直線上，mx1x1x1因為B2，T，N在同一條直線上，則mx2x2x2所以所以交點T恒在一條直線y=上，所以交點T的縱坐標為定值為1 22.（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)過橢圓C的右焦點F與坐標軸不垂直的直線l交C于點A，B，交y軸于點E，P為線段AB的中點，EQ丄OP且Q為垂足．問：是否存在定點H，使得QH的長為定值？若存在，求出點H的坐標；若不存在，請說明理由.故C的方程為22所以橢圓C的方程（2）設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，直線則直線AB與y軸的交點為E(0,一2k)，所以直線EQ過定點M(1,0)，所以存在定點H(,0)，使QH的長為定值.（1）求E的方程.（2）設(shè)E的左、右頂點分別為A，B，過點(,0)的直線l與E交于C，D兩點，記直線AC的斜率為k1，直線BD的斜率為k2，則從以下①②③三個問題中任選一個填到橫線①求直線AC和BD交點的軌跡方程；②是否存在實常數(shù)λ,使得k1=λk2恒成立；③過點C作關(guān)于x軸的對稱點C,，連結(jié)C,，D得到直線l1，試探究：直線l1是否恒過定點.【解答】解1）依題意解得（2）設(shè)直線l的方程為)，由韋達定理，得直線AC的方程；直線BD的方程聯(lián)立方程，得2+)y2=(ty2)y1 2ty1y2+9y2=92(y1=92(y12)3y14+3y2)2y1y12,所以直線AC和BD交點的軌跡方程是直線x=6.)，由韋達定理，得于k1y1x23k2x19y1,故存在實數(shù)使得k1=λk2恒成立.由韋達定理，得直線C,D與x軸交于點M，說明C,，D，M三點共線，于是kC,M=kDM，假設(shè)，即亦即mx1x2mx1mx2m則y1(x2m)=y2(x1m)，所