2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第一章集合與常用邏輯用語1.5.1全稱量詞與存在量詞學(xué)案含解析新人教A版必修第一冊

PAGE1-1．5全稱量詞與存在量詞1．5.1全稱量詞與存在量詞[目標(biāo)]1.理解全稱量詞、存在量詞和全稱量詞命題、存在量詞命題的概念；2.能精確地運用全稱量詞和存在量詞符號(即?，?)來表述相關(guān)的數(shù)學(xué)內(nèi)容．[重點]對全稱量詞與存在量詞的理解；能夠用全稱量詞表示全稱量詞命題，用存在量詞表示存在量詞命題．[難點]全稱量詞命題與存在量詞命題的真假推斷．學(xué)問點一全稱量詞和全稱量詞命題[填一填](1)全稱量詞：短語“全部的”“隨意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“?”表示．(2)全稱量詞命題：①定義：含有全稱量詞的命題，叫做全稱量詞命題．②一般形式：全稱量詞命題“對M中隨意一個x，有p(x)成立”可用符號簡記為?x∈M，p(x)，讀作“對隨意x屬于M，有p(x)成立”．其中M為給定的集合，p(x)是一個關(guān)于x的命題．[答一答]1．常見的全稱量詞有哪些？提示：常見的全稱量詞除了“全部的”“隨意一個”，還有“一切”“每一個”“任給”等．2．全稱量詞命題中的“x”，“M”與“p(x)”表達(dá)的含義分別是什么？提示：元素x可以表示實數(shù)、方程、函數(shù)、不等式，也可以表示幾何圖形，相應(yīng)的集合M是這些元素的某一特定的范圍．p(x)表示集合M的全部元素滿意的性質(zhì)．如“隨意一個自然數(shù)都不小于0”，可以表示為“?x∈N，x≥03．如何推斷全稱量詞命題的真假呢？提示：要判定全稱量詞命題“?x∈M，p(x)”是真命題，須要對集合M中每一個元素x，證明p(x)成立；假如在集合M中找到一個元素x，使得p(x)不成立，那么這個全稱量詞命題就是假命題．學(xué)問點二存在量詞和存在量詞命題[填一填](1)存在量詞：短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“?”表示．(2)存在量詞命題：①定義：含有存在量詞的命題，叫做存在量詞命題．②一般形式：存在量詞命題“存在M中的元素x，使p(x)成立”可用符號簡記為?x∈M，p(x)，讀作“存在M中的元素x，使p(x)成立”．[答一答]4．常見的存在量詞有哪些？提示：常見的存在量詞除了“存在一個”“至少有一個”，還有“有些”“有一個”“對某個”“有的”等．5．如何推斷存在量詞命題的真假呢？提示：要判定存在量詞命題“?x∈M，p(x)”是真命題，只需在集合M中找到一個元素x，使p(x)成馬上可；假如在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么這個存在量詞命題是假命題．類型一全稱量詞命題與存在量詞命題的判定【例1】推斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題．(1)凸多邊形的外角和等于360°；(2)圓周上隨意一點到圓心的距離都等于圓的半徑；(3)至少有一個三角形沒有外接圓；(4)有些素數(shù)的和仍是素數(shù)；(5)若一個四邊形是菱形，則這個四邊形的對角線相互垂直．【分析】首先看命題中是否含有全稱量詞或存在量詞，若含有相關(guān)量詞，則依據(jù)量詞確定命題是全稱量詞命題或者是存在量詞命題；若沒有，要結(jié)合命題的詳細(xì)意義進(jìn)行推斷．[解](1)可以改寫為全部的凸多邊形的外角和都等于360°，故為全稱量詞命題．(2)是全稱量詞命題，“隨意”為全稱量詞．(3)是存在量詞命題，“至少有一個”為存在量詞．(4)含有存在量詞“有些”，故為存在量詞命題．(5)若一個四邊形是菱形，也就是全部的菱形，故為全稱量詞命題．推斷一個語句是全稱量詞命題還是存在量詞命題的步驟：1首先推斷語句是否為命題，若不是命題，就當(dāng)然不是全稱量詞命題或存在量詞命題.2若是命題，再分析命題中所含的量詞，含有全稱量詞的命題是全稱量詞命題，含有存在量詞的命題是存在量詞命題.3當(dāng)命題中不含量詞時，要留意理解命題含義的實質(zhì).4一個全稱量詞命題或存在量詞命題往往有多種不同的表述方法，有時可能會省略全稱量詞或存在量詞，應(yīng)結(jié)合詳細(xì)問題多加體會.[變式訓(xùn)練1]下列命題中，是全稱量詞命題的是①②③，是存在量詞命題的是④(填序號)．①正方形的四條邊相等；②有兩個角是45°的三角形是等腰直角三角形；③正數(shù)的平方根不等于0；④至少有一個正整數(shù)是偶數(shù)．類型二用量詞表示命題【例2】用全稱量詞或存在量詞表示下列語句．(1)有理數(shù)都能寫成分?jǐn)?shù)形式；(2)整數(shù)中1最?。?3)方程x2＋2x＋8＝0有實數(shù)解；(4)有一個質(zhì)數(shù)是偶數(shù)．【分析】eq\x(分析命題中所述對象的特征)→eq\x(適當(dāng)添加全稱量詞或存在量詞)[解](1)隨意一個有理數(shù)都能寫成分?jǐn)?shù)形式．(2)全部的整數(shù)中1最小．(3)存在實數(shù)x0，使xeq\o\al(2,0)＋2x0＋8＝0成立．(4)存在一個質(zhì)數(shù)是偶數(shù)．由于敘述的多樣性，有些語句不是典型的全稱量詞命題或存在量詞命題，但卻表達(dá)了這兩種命題的意思，假如能恰當(dāng)?shù)匾肴Q量詞或存在量詞，即可使題意清楚明白.[變式訓(xùn)練2]用量詞符號表述全稱量詞命題．(1)隨意一個實數(shù)乘以－1都等于它的相反數(shù)；(2)對隨意實數(shù)x，都有x3>x2.解：(1)?x∈R，x·(－1)＝－x.(2)?x∈R，x3>x2.類型三全稱量詞命題與存在量詞命題的真假推斷【例3】推斷下列命題的真假：(1)在平面直角坐標(biāo)系中，隨意有序?qū)崝?shù)對(x，y)都對應(yīng)一點P；(2)存在一個函數(shù)，既是偶函數(shù)又是奇函數(shù)；(3)每一條線段的長度都能用正有理數(shù)表示；(4)存在一個實數(shù)x0，使等式xeq\o\al(2,0)＋x0＋8＝0成立．[解](1)真命題．(2)真命題．函數(shù)f(x)＝0就是滿意要求的函數(shù)．(3)假命題．如：邊長為1的正方形的對角線長eq\r(2)，它的長度就不是有理數(shù)．(4)假命題．因為xeq\o\al(2,0)＋x0＋8＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0＋\f(1,2)))2＋eq\f(31,4)>0，所以等式xeq\o\al(2,0)＋x0＋8＝0不成立．1推斷全稱量詞命題?x∈M，px是真命題，要對集合M中的每個元素x，證明px成立；推斷全稱量詞命題為假命題只須要在集合M中找到一個元素x，使得px不成立，即找反例.2推斷存在量詞命題?x∈M，px是真命題，只需在集合M中找到x，使得qx成馬上可，即舉例加以說明；推斷存在量詞命題為假命題，須要證明集合M中使得qx成立的元素不存在.[變式訓(xùn)練3]有下列四個命題：①?x∈R,2x2－3x＋4>0；②?x∈{1，－1,0},2x＋1>0；③?x0∈N，xeq\o\al(2,0)≤x0；④?x0∈N*，x0為29的約數(shù)．其中真命題的個數(shù)為(C)A．1B．2C．3D．4解析：對于①，這是全稱量詞命題，∵Δ＝9－32＝－23<0，∴?x∈R,2x2－3x＋4>0是真命題；對于②，這是全稱量詞命題，當(dāng)x＝－1時，2x＋1<0，故該命題為假命題；對于③，這是存在量詞命題，當(dāng)x0＝0時，xeq\o\al(2,0)≤x0成立，該命題為真命題；對于④，這是存在量詞命題，當(dāng)x0＝1時，x0為29的約數(shù)，該命題為真命題．故選C.類型四素養(yǎng)提升依據(jù)全稱量詞命題、存在量詞命題求參數(shù)的范圍【例4】已知y＝3ax2＋6x－1(a∈R)．(1)當(dāng)a＝－3時，求證：對隨意x∈R，都有3ax2＋6x－1≤0；(2)假如對隨意x∈R，不等式3ax2＋6x－1≤4x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【解】(1)證明：當(dāng)a＝－3時，y＝－9x2＋6x－1，因為Δ＝36－4×(－9)×(－1)＝0，所以對隨意x∈R，都有y≤0.(2)因為3ax2＋6x－1≤4x恒成立，所以3ax2＋2x－1≤0恒成立，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ≤0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,4＋12a≤0，))解得a≤－eq\f(1,3)，即實數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a|a≤－\f(1,3))).1若含有參數(shù)的不等式y(tǒng)≤m在范圍D上能成立，則ymin≤m；若含有參數(shù)的不等式y(tǒng)≥m在范圍D上能成立，則ymax≥m.2若含有參數(shù)的不等式y(tǒng)≤m在范圍D上恒成立，則ymax≤m；若含有參數(shù)的不等式y(tǒng)≥m在范圍D上恒成立，則ymin≥m.3存在量詞命題是真命題，可以轉(zhuǎn)化為能成立問題，全稱量詞命題是真命題，可以轉(zhuǎn)化為恒成立問題解決.[變式訓(xùn)練4]已知函數(shù)y＝x2－2x＋5.(1)是否存在實數(shù)m0，使不等式m0＋x2－2x＋5>0對于隨意x∈R恒成立，并說明理由．(2)若存在一個實數(shù)x0，使不等式m－(xeq\o\al(2,0)－2x0＋5)>0成立，求實數(shù)m的取值范圍．解：(1)存在．理由：不等式m0＋x2－2x＋5>0可化為m0>－(x2－2x＋5)，即m0>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m0>－(x－1)2－4對于隨意x∈R恒成立，只需m0>－4即可．故存在實數(shù)m0使不等式m0＋x2－2x＋5>0對于隨意x∈R恒成立，此時需m0>－4.(2)不等式m－(xeq\o\al(2,0)－2x0＋5)>0可化為m>xeq\o\al(2,0)－2x0＋5，若存在一個實數(shù)x0使不等式m>xeq\o\al(2,0)－2x0＋5成立，只需m>(xeq\o\al(2,0)－2x0＋5)min.∵xeq\o\al(2,0)－2x0＋5＝(x0－1)2＋4，∴(xeq\o\al(2,0)－2x0＋5)min＝4，∴m>4.∴所求實數(shù)m的取值范圍是{m|m>4}．1．下列命題是“?x∈R，x2>3”A．有一個x∈R，使得x2>3B．對有些x∈R，使得x2>3C．任選一個x∈R，使得x2>3D．至少有一個x∈R，使得x2>3解析：“?”和“任選一個”都是全稱量詞．2．既是存在量詞命題，又是真命題的是(B)A．斜三角形的內(nèi)角是銳角或鈍角B．至少有一個x∈R，使x2≤0C．兩個無理數(shù)的和是無理數(shù)D．存在一個負(fù)數(shù)x，使eq\f(1,x)>2解析：如x＝0時，x2＝0，滿意x2≤0.3．(多選)下列存在量詞命題中，是真命題的是(ABD)A．?x∈Z，x2－2x－3＝0B．至少有一個x∈Z，使x能同時被2和3整除C．?x∈R，|x|<0D．有些自然數(shù)是偶數(shù)解析：A中，x＝－1時，滿意x2－2x－3＝0，所以A是真命題；B中，6能同時被2和3整除，所以B是真命題；D中，2既是自然數(shù)又是偶數(shù)，所以D是真命題；C中，因為全部實數(shù)的肯定值非負(fù)，所以C是假命題．故選ABD.4．下列命題：①偶數(shù)都可以被2整除；②角平分線上的任一點到這個角的兩邊的距離相等；③正四棱錐的側(cè)棱長相等；④有的實數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)；⑤有的菱形是正方形；⑥存在三角形其內(nèi)角和大于180°.既是全稱量詞命題又是真命題的是①②③，既是存在量詞命題又是真命題的是④⑤(填上全部滿意要求的序號)．解析：①是全稱量詞命題，是真命題；②是全稱量詞命題，是真命題；③是全稱量詞命題，即：隨意正四棱錐的側(cè)棱長相等，是真命題；④含存在量詞“有的”，是存在量詞命題，是真命題；⑤是存在量詞命題，是真命題；⑥是存在量詞命題，是假命題，因為隨意三角形內(nèi)角和為180°.5．用量詞符號“?”“?”表述下列命題，并推斷真假．(1)肯定有整數(shù)x0，y0，使得3x0－2y0＝10成立．(2)全部的有理數(shù)x都能使eq\f(1,3)x2＋eq\f(1,2)x＋1是有理數(shù)．(3)存在一對實數(shù)(x，y)，使2x－y＋1<0成立．解：(1)?x0，y0∈Z,3x0－2y0＝10；真命題．(2)?x∈Q，eq\f(1,3)x2＋eq\f(1,2)x＋1是有理數(shù)；真命題．(3)?(x，y)，x∈R，y∈R,2x－y＋1<0，是真命題．如x＝0，y＝2時，2x－y＋1＝0－2＋1＝－1<0成立．——本課須駕馭的兩大問題1．理解全稱量詞命題及存在量詞命題時應(yīng)留意的問題：(1)全稱量詞命題就是陳述某集